ECUACIONES DIFERENCIALES II

Prof. Isidoro Ruiz Arango

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ngo

Objetivos de la clase:

Reconocer los tipos de solución de

una EDO.

Resolución de Problemas con

valor inicial (PVI).

Métodos de Solución de EDO:

Variables Separables

Resolución de problemas de

aplicación.

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Cualquier función , definida en un intervalo I y con al

menos n derivadas continuas en I, tales que al sustituirse

en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden

reduce la ecuación a una identidad, se dice que es una

solución de la ecuación en el intervalo.

Solución de una EDO

En otras palabras, posee al menos n derivadas y cumple:

IxxxxxF n 0))( , ),(' ),( ,( )( Siempre hemos de considerar una solución junto a su

intervalo I de definición, también llamado intervalo de

existencia, de validez o dominio de la solución.

Al proceso de obtención de las soluciones de una EDO se

le denomina integración de la ecuación.

Las soluciones de una EDO pueden ser:

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SOLUCIÓN GENERAL (SG):

Es una solución que contiene constantes de Integración.

'SOLUCIÓN PARTICULAR (SP):

Por ejemplo:

En y' = y o y' - y = 0 la solución general es: xy = ce

y tiene infinitas soluciones (familia uniparamétrica),

dependiendo del valor que toma c.

Se obtiene de la SG dando valores particulares a la

constante, siendo soluciones únicas. Se les conoce como

problemas con valor inicial PVI, por ejemplo del caso

anterior, si: x

x

x

c =1 y = e

c = 2 y = 2e

c = 3 y = 3e

Nota:

Hay casos donde la EDO no tiene solución como: 0)'( 22 xy

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Ejemplo (1):

2)3( y03' yxy

Verificar que y=cx3 es solución de la ecuación diferencial

. Halle la solución particular sujeta a la

condición inicial:

Solución:

Para obtener la solución particular, apliquemos la condición

inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:

Derivando y=cx3 tenemos que y’=3cx2, luego, sustituyendo

en la ED: 2 3x 3cx - 3 cx = 0

de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.

32 = c( = -27c-3) de donde:

2c = -

27

La solución particular es: 32

y x27

Por lo tanto y = x2 + c no es solución de la ecuación

diferencial:

xdx

dy

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Ejemplo (2):

Comprobar que y = x2 + c no es solución de la ecuación

diferencial: y' x

Solución:

Derivando y = x2 + c tenemos y' 2x

Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la

ecuación diferencial tenemos:

12

2

xx

Tomando c = 0, tenemos: y = x cos x, una solución

particular.

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Ejemplo (3):

y = cx – x cos x es la solución general de:

xy’ – y = x2 sen x en (-, ).

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( solución definida por partes) Ejemplo (4):

Podemos comprobar que la familia uniparamétrica y = cx4

es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ).

0 ,

0 ,

4

4

xx

xxyLa función definida a trozos:

es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0

y c = 1 para x 0.

Soluciones explícitas Solución por tramos

No podemos encontrar ningún valor de c en la

familia de soluciones y = (x2/4 + c)2 que nos

proporcione la solución y = 0, así que llamamos a

y = 0, solución singular.

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Nota Importante:

Solución singular: Es una solución que no puede

obtenerse al especificar los valores de los parámetros de

la familia de soluciones.

Por ejemplo:

y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de

dy/dx = xy1/2, sin embargo:

y(x) = 0 también es una solución de la ED anterior.

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OBTENCIÓN DE LA ED A PARTIR DE

LA SOLUCIÓN GENERAL

2. Derivemos la solución general tantas veces como el

número de constantes de integración aparezcan en

ella. En otras palabra, si la solución general tienen n

constantes de integración diferentes, entonces

derivaremos n veces tal solución.

Para obtener la ED a partir de su solución general,

aplicaremos el siguiente método:

1. Observemos el número de constantes de integración

que aparecen en la solución general dada.

3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada

obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:

a)Si en la última derivada ya no aparecen constantes de

integración, esta será la ED que de la solución general

dada.

Como en esta derivada no aparecen constantes de

integración, quiere decir que esta es la ED pedida.

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b)Si la última derivada contiene constantes de

integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar

para esto, las ecuaciones de las derivadas

encontradas, así como también la solución general

dada. En la ED NO deben aparecer constantes de

integración.

Ejemplo (1):

Encuentre la ED cuya solución general es y = x2 + c.

Solución:

Observemos que sólo aparece una constante de

integración, de manera que derivamos una sola vez la

solución general y = x2 + c. Asi: 2

dyx

dx

Por lo tanto:

es la ED de la solución general, puesto que ya no

aparecen constantes de integración.

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Encuentre la ED cuya solución general es y = c x2.

Ejemplo (2):

Solución:

Observemos que sólo aparece una constante de

integración, de manera que derivamos una sola vez la

solución general y = cx2.

2 .. 1)...(dy

cxdx

Así

Despejamos c de la solución general , y lo

reemplazamos en (1): 2

yc

x

22

2dy ydy yx

d xx dxx

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Encuentre la ED de las siguientes soluciones generales

de:

Ejercicios:

1 2) x xy c e c ea

tan(3) )b y x c

2 2 2

1 2) cc x y c

TAREA N°1 Determine si cada ecuación es solución o no de la ecuación

diferencial dada: 2

5 2 3

28 3 ; 6 160)

d yy x x C x

da

x

cos 1 cos ; cos) x dye y C seny senx y senx

dxb

3

2 2; 4 8 0)dy dy

y C x C xy ydx

cdx

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Función vs solución

La gráfica de una solución

de una EDO se llama curva

solución. Como es una

función diferenciable, es

continua en su intervalo de

definición I. Puede, entonces,

haber diferencias entre la

gráfica de la función y la

solución. Veamos un

ejemplo:

(a) y = 1/x considerada como una función, tiene dominio

de definición (-, 0) U (0, ).

Es discontinua y no diferenciable en x = 0.

(b) y = 1/x es también

solución de:

Se entiende que es

solución en algún

intervalo I en el que es

diferenciable y cumple la EDO. Por ejemplo, en (0, ).

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y' + y = 0x

Solución explícita de una EDO:

La variable dependiente está expresada solamente en

términos de variables independientes y constantes.

Por ejemplo, la solución de xy' + y = 0 en (0, ) es

y = (x) = 1/x.

Solución implícita de una EDO

Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una

EDO en un intervalo I, siempre que exista al menos una

función y = (x) que satisface tanto la relación como la ED en I.

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Ejemplo:

COMPROBACIÓN DE UNA SOLUCIÓN IMPLÍCITA.

x2 + y2 = 25 es una solución implícita de en el

intervalo -5 < x < 5.

dy x

dx y

Puesto que al derivar de forma implícita respecto a x, se

obtiene: 2 2( ) ( ) (25) 2 2 . 0

d d d dyx y x y

dx dx dx dx

De donde: dy x

dx y

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Gráfica de

la solución

implícita:

x2+y2=25

Despejando y de la solución implícita podemos encontrar

dos soluciones explícitas:

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PROBLEMAS DE VALORES INICIALES (PVI)

Es encontrar la solución y(x) de una ED que además

satisfaga condiciones adicionales en y(x) y en sus

derivadas.

Por ejemplo: En un intervalo I que contiene a xo ,se trata de resolver la ecuación: n

(n-1)

n

d y= f(x, y, y', …, y )

dx

Sujeta a las siguientes condiciones:

(n-1)

0 0 0 1 0 n-1y(x ) = y , y'(x ) = y , …, y (x ) = y

A esto se le llama problema de valor inicial (PVI).

Y a las condiciones se las llama: condiciones iniciales.

PVI de primer y segundo orden:

son problemas de valor inicial de primer y segundo orden,

respectivamente. Fácilmente interpretables de manera

geométrica, como vemos en las figuras.

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0 0

dyResolver : = f(x, y)

dx

sujeta a : y(x ) = y

2

2

0 0 0 1

d yResolver : = f(x, y, y')

dx

suejta a : y(x ) = y , y'(x ) = y

y = 3ex

y = -(2/e)ex

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Ejemplo (1):

Sabemos que y = cex es una

familia uniparamétrica de

soluciones de la EDO:

y’ = y en (-, ).

Si y(0) = 3, entonces

3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una

solución de este problema de

valor inicial.

Si queremos una solución que

pase por (1, -2), entonces la

condición es: y(1) = -2. De

modo que -2 = ce, c = -2e-1. Y

tenemos y = -(2/e)ex.

De la misma manera, a partir de x( / 2) = 1 obtenemos

c2 = ¼.

Ejemplo (2):

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Para la ecuación: de x + 16x = 0.

la solución general es: x = c1cos(4t) + c2sen(4t) Halle una solución del siguiente PVI:

x + 16x = 0, x( /2) = −2, x( /2) = 1.

Solución:

Reemplazamos: x( /2) = − 2 en x = c1cos(4t) + c2sen(4t),

y obtenemos c1 = −2.

La solución pedida es:

x = −2 cos 4t + ¼ sen 4t

La solución de: y’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c).

Si imponemos y(0) = -1, obtenemos c = -1

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Importante:

Considérense las siguientes

distinciones:

1) Como función, el dominio de:

es el conjunto de todos los

números reales excepto -1 y 1.

2

1y =

x -1

2) Como una solución: los intervalos de definición mayores

posibles son (-, 1), (-1, 1) y (1, ).

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3) Como un problema de

valor inicial, con y(0) = -1.

El intervalo de definición

mayor es (-1, 1).

ECUACIONES DIFERENCIALES DE

PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO

1. ECUACIONES DE VARIABLES

SEPARABLES

Veamos ahora:

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ECUACIÓN SEPARABLE

)()( yhxgdx

dy

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la

forma:

es separable o que tiene variables separables.

También puede ser de la forma:

; ( ) 0g

h yh

xdy

dx y

Los cuales se podrían escribir como:

g

h

1dy x dx

y h g h y dy x dx; (y) 0

Donde h(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es

una función exclusivamente de x.

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La solución general se obtiene integrando en ambos

miembros de esta ecuación, es decir:

( ) ( ) g y dy h x dx C

Ejemplo (1):

Resolver la ecuación ; (4) 3dy x

ydx y

Solución:

Separando variables ydy = -xdx

Integrando a ambos lados, se tiene.

ydy xdx 2 2

2 2

y xc

cuyo equivalente es: 2 2x y k

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Ahora, reemplazando la condición inicial x=4, y=-3: 2 2: 4 ( 3) 25se tiene k

2 2 25es decir x y es una circunferencia de radio 5

Ejemplo (2):

03 ydxdyx )(Resolver:

Solución: Dividiendo entre (x+3)y, se obtiene el equivalente:

03

dy dx

y x

Integrando: 0

3

dy dx

y x

se tiene: ln(y) = ln(x+3) + c , de donde:

ln( ) ln( 3) ln( 3). ( 3).y x c x c ce e e e y x e

es decir: ( 3)y k x

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Ejemplo (3):

Resolver: 2( )cos 2 ; (0) 0y ydy

e y x e sen x ydx

Solución:

Dividiendo ambos lados entre , se tiene: cosye x

2 2

cos

y

y

e y sen xdy dx

e x

2 .cos( )

cos

y y senx xe ye dy dx

x

Integrando: se tiene: ( ) 2y ye ye dy senxdx

( )y y y y yye dy ye e dy ye e 2cosy y ye ye e x c

Ahora con x=0; y=0 se tiene c=4, luego:

4 2cosy y ye ye e x

Muchas Gracias

por su atención…