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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES
1. Resuelva en forma analtica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de
x= 0 a 2: 2 1.1dy
yx ydx
, donde y(0)=1. Grafique la solucin.
2. Utilice el mtodo de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique
los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dostamaos de paso.
3. Emplee el mtodo de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta
que 1%s
4. Use el mtodo de RK clsico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1
5. Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el
intervalo de x=0 a 1, 1 2 , 0 1dy
x y ydx
6. Utilice los mtodos de a) Euler, b) Heun (sin iteracin) para resolver:
2
2 0.5 0
d yt y
dt ,donde y(0)=2 y (0)=0
Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los mtodos por medio de graficar las
soluciones.
7. Resuelva el problema siguiente con el mtodo de RK de cuarto orden:
2
2 0.6 8 0
d y dyy
dxdx .Donde y(0) = 4 y y(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5.
Grafique sus resultados.
8. Resuelva la ecuacin que se presenta a continuacin, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los
mtodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden: 3 , 0 1dy
ysen t ydt
9. Solucione numricamente el problema de t = 0 a 3, 2 0 1dy
y t ydt
Utilice el mtodo RK de cuarto orden, con un tamao de paso de 0.5
10. Use los mtodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:
2
2 4
3
xdy y edx
dz yz
dx
En el rango de x= 0 a 1, con un tamao de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4
11. Investigue sobre el enfoque de RK Fehlbergpara llevar a cabo el mismo clculo del
ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1.
12. Haga un programa amistoso para el usuario para el mtodo de Heun con corrector
iterativo. Prubelo para el problema 8
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13. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el mtodo clsico de RK
de cuarto orden. Pruebe el problema 9.
14. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con
el empleo del mtodo RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10.
15. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (vase la figura) esta descrito por
la ecuacin diferencial ordinaria que sigue:2
2 0
d x dxm c kx
dt dt
Donde x = desplazamiento desde la posicin de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg
masa, y c = coeficiente de amortiguacin (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c
adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200
(sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de
cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuacin con el uso de un
mtodo numrico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . Grafique el desplazamiento
versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento
sobre la misma curva.
16. Si se drena agua desde un tanque cilndrico vertical por medio de abrir una vlvula en
la base, el lquido fluir rpido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se
drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:
dyk y
dt , donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del
rea de la seccin transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y
se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se
requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m.
Resuelva con la aplicacin de la ecuacin de Euler y escriba un programa de
computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos.
17. El siguiente es una ecuacin diferencial de segundo orden con valor inicial:
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2
2 5 7 0
d x dxx x sen t
dt dt
Donde:
0 1.5 0 6dx
y xdt
Observe que 1 . Descomponga la ecuacin en dos ecuaciones diferenciales de
primer orden. Despus de la descomposicin. Resuelva el sistema de t = 0 a 15, y
grafique sus resultados.
18. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede
modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la
ecuacin diferencial siguiente:
2dcdv g v
dt m
Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleracin de la gravedad
(9.81m/s2), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m= masa (kg).
Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de
arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine en que momento choca
con el suelo. Obtenga la solucin con a) el mtodo de Euler, y b) el mtodo de RK de
cuarto orden.
19. Un tanque esfrico tiene un orificio circular en el fondo a travs del cual fluye lquido
(vase la figura ). La tasa de flujo a travs del agujero se calcula como:
2salQ CA gH
Donde salQ = flujo de salida (m3/s), C = coeficiente obtenido en forma emprica, A = rea
del orificio (m2), g = constante gravitacional (=9,81 m/s2) y H = profundidad del lquido
dentro del tanque. Emplee alguno mtodos numricos a fin de determinar cunto tiempo
tomara que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de dimetro con altura
inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un dimetro de 3 cm y C= 0.55.
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20. Para simular una poblacin se utiliza el modelo logstico:
max1 /gmdp
k p p pdt
Donde p= poblacin, kgm= tasa mxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax
es la capacidad de carga. Simule la poblacin mundial entre 1950 y 2000, con el empleo
de algn mtodo numrico.
21. El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como:
2
2 0.15 0
d TT
dx
Investigue una solucin analtica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150
22. Use el enfoque de diferencias finitas con 1x para resolver el problema 21
23. Emplee el mtodo de diferencias finitas para resolver:
2
27 2 0d y dy y x
dx dx
Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8, 2x
24. Utilice el mtodo de diferencias finitas para solucionar
2
47
2 1 10 273 4 150 0
d Tx T T
dx
.. (*)
Obtenga una solucin para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100
0.01x 25. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan
simplificar si se linealizan los trminos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el
trmino a la cuarta potencia de la ecuacin (* , ejercicio 24), se puede usar una
expansin en series de Taylor de primer orden; as:
4 4 37 7 71 10 273 1 10 273 4 10 273b b bx T x T x T T T
Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el trmino. Sustituya
esta relacin en la ecuacin (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuacin lineal resultante
con el enfoque de diferencias finitas. Emplee 150 0.01bT y x para obtener
su solucin.
26. a) Use menores para expandir el determinante de:
2 8 10
8 4 5
10 5 7
b) Investigue y emplee el mtodo de potencias para determinar el valor propio ms altoy el vector propio correspondiente, para el inciso a)
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27. Investigue y emplee el mtodo de potencias para determinar el valor propio ms bajo y
el vector propio correspondiente para el problema 26.
28. Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el
enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Prubelo
con la duplicacin del ejercicio 24.
29. Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio ms altocon el mtodo de la potencia. Prubelo con la duplicacin del ejercicio 26.
30. Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio ms
pequeo con el mtodo de la potencia. Prubelo con la duplicacin del ejemplo 27
31. Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin
linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee
0.1x para obtener su solucin.
32. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100
1 21 1 2 1 2 2
0.35 1.6 0.04 0.15dy dyy y y y y ydt dt
Donde y1= 1 y y2= 0.05 en t= 0. Desarrolle una grfica de espacio estacionario (y 1
versus y2) de sus resultados.
33. La ecuacin diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibracin de un
amortiguador de un auto:
26 7 9
21.2(10 ) 10 1.5(10 ) 0
d x dxx
dtdt
Transforme esta ecuacin en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones,
de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para
determinar los valores y vectores propios para el sistema.
34. Use algn cdigo de Matlab para integrar:
a)
dxax bxy
dt
dycy dxy
dt
Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y =
1 e integre de t = 0 a 30
b)
dxx y
dt
dyrx y xz
dt
dzbz xy
dt
Donde 10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e
integre de t = 0 a 20.
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35. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuacin diferencial ordinaria con valores en la
frontera :2
2 6 2
d u duu
dx dx
Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados u versus x.
Utilice 0.1x
36. Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del mtodo de diferencias finitas,que describa la distribucin de la temperatura en una barra circular con fuente interna
de calor S.
2
2
10
d T dT S
dr r dr
En el rango 0< r < 1, con las condiciones de frontera
01 1 0rdT
T rdr
ParaS= 1, 10 y 20 k/m2. Grafique la temperatura versus el radio
37. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y
tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Escriba las tres
ecuaciones diferenciales en forma matricial.
/ 0vector deaceleracin matriz k m vector dedesplazamiento
Observe que cada ecuacin ha sido dividida entre la masa. Resuelva para los valores
propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los
resortes: k1= k4= 15N/m, k2= k3= 35 N/m, y m1= m2= m3= 1.5 kg
38. Considere el sistema masaresorte que se ilustra en la figura de la parte inferior. Las
frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solucin para los
valores propios y con la aplicacin de 0Mx kx , que da como resultado:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 0 2 0
0 0 2 0
0 0 2 0
m x k k k x
m x k k k x
m x k k k x
Al elegir0
mx x e como solucin se obtiene la matriz siguiente:
2
1 01
2
2 02
2
3 03
2 0
2 0
2 0
m
k m k k x
k k m k x e
k k k m x
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39. Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parsita no lineal:
21 15dy
y tdt
Si la condicin inicial es 1(0) 0.08y , obtenga una solucin de t=0 a t=5:
a) Analtica
b) Con RK-4 con tamao de paso constante de 0.03125
c) Investigue el uso de la funcin ODE45 de Matlab y aplquelo al problema
40. Un balance de masa para un producto qumico completamente mezclado en un reactor
se escribe as
2dcV F Qc kVcdt
Donde V = volumen (12m3), c = concentracin (g/m3), F = tasa de alimentacin (175
g/min), Q = tasa de flujo (1 m3/min), y k = tasa de reaccin de segundo orden (0.15
m3/g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentracin alcance un nivel
estable. Use el mtodo de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados.Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben
ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una
trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con
las soluciones de estado estable.
41. S 0.121 ten bc c e ; calcule la concentracin en el flujo de salida de una sustancia
conservativa (no reactiva) para un reactor nico mezclado completamente, como
funcin del tiempo. Use el mtodo de Heun (sin iteracin) para efectuar el clculo.
Emplee valores de340 /bc mg m , Q = 6 m
3/min, V = 100 m3, y c0= 20 mg/m3. Haga el
clculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentracin
del flujo de entrada versus tiempo
42. Se bombea agua de mar con una concentracin de 8000 g/m3 hacia un tanque bien
mezclado, a una tasa de 0.6 m3/h. Debido al diseo defectuoso, el agua se evapora del
tanque a una tasa de 0.025 m3/h. La solucin salina abandona el tanque a una tasa de
0.6 m3/h.
a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3
de la solucin que entra, cunto tiempodespus de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque?
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b) Use mtodos numricos para determinar la concentracin de sal en el tanque como
funcin del tiempo.
43. Un cubo de hielo esfrico (una esfera de hielo) que mide 6 cm de dimetro es retirada
de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To
= 20oC. Cul ser el dimetro del cubo de hielo como funcin del tiempo fuera del
congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a travs dela pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto
tranquilo es alrededor de 3 W/(m2.K). El flujo calorfico de la esfera de hielo al aire est
dado por:
oq
Flujo h T TA
Donde q = calor y A = rea superficial de la esfera. Use un mtodo numrico para hacer
el clculo. Observe que el calor latente de la fusin es de 333 kJ/kg, y la densidad del
hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m3
.44. Las ecuaciones siguientes definen la concentracin de tres reactivos:
10
10
10 2
aa c b
ba c b
ca c b c
dcc c c
dt
dcc c c
dt
dcc c c c
dt
Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las
concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s.
45. El compuesto A se difunde a travs de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme
se difunde. La ecuacin que gobierna la difusin con la reaccin es:
2
2 0
d AD kA
dx
En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentracin de 0.1
M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y
hace que la concentracin sea 0 M. Si D = 1.5x10 -6 cm2/s y k=5x10-6s-1, Cul es la
concentracin de A como funcin de distancia en el tubo?
46. En la investigacin de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es
importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones
experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una
tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente
circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del
enfriamiento. As, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y Taes la temperatura
ambiente constante:
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49. El sistema siguiente es un ejemplo clsico de EDO rgidas que ocurre en la solucin de
una reaccin qumica cintica:
11 1 3
22 3
31 1 3 2 3
0.013 1000
2500
0.013 1000 2500
dcc c c
dt
dcc c
dt
dcc c c c c
dt
Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c 1(0) = c2(0) = 1, y c3(0)
= 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la
funcin estndar (por ejemplo, ode 45) como la rgida (por ejemplo, ode 23s) para
obtener sus soluciones.
50. Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera
parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemtico Vito Volterra y del bilogo
norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo ms simple es el siguiente sistema EDO:
dxax bxy
dt
dycy dxy
dt
Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razn de
crecimiento de la presa, c=razn de muerte del depredador, b y d= razn que
caracteriza el efecto de la interaccin depredador presa sobre la muerte de la presa y el
crecimiento del depredador , respectivamente. Los trminos que se multiplican (es decir,
los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales.
Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el mtodo de a) Euler , b) Heun (sin
iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la funcin ode 45 de MATLAB. En todos
los casos use variables de precisin sencilla, tamao de paso de 0.1, y simule de t = 0 a
20. Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8,
d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=0
51. Un modelo sencillo basado en las dinmicas del fluido atmosfrico son las ecuaciones
de Lorenz:
dxx y
dt
dyrx y xz
dt
dzbz xy
dt
Lorenz desarroll estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de
fluido atmosfrico, x, con las variaciones de temperatura, y z en las direcciones
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horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con 10, 2.6667, 28b r .
Emplee como condiciones iniciales 5x y z , en t=0
Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el mtodo de a) Euler, b) Heun (sin iterar el
corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la funcin ode 45 de MATLAB. En todos los
casos emplee variables de precisin sencilla y un tamao de paso de 0.1 y simule de t =
0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado espacio.
52. La ecuacin siguiente se utiliza para modelar la deflexin de mstil de un bote sujeto a
la fuerza del viento : 2
2
2 2
d y fL z
dz EI
Donde f = fuerza del viento, E = mdulo de elasticidad, L = longitud del mstil, e I =
momento de inercia. Calcule la deflexin si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su clculo
utilice valores de parmetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 10 8, e I = 0.05.
53. Efecte el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del
viento constante, emplee una fuerza que vari con la altura de acuerdo con la ecuacin
2 /30200
5
zzf z ez
54. Un ingeniero ambiental est interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago
estratificado y una baha adyacente (vase la figura inferior). Un trazador conservativo
se mezcla instantneamente con el agua de la baha y despus se monitorea la
concentracin del trazador durante el periodo que se muestra a continuacin en los tres
segmentos. Los valores son:
t 0 2 4 6 8 12 16 20
c1 0 15 11 7 6 3 2 1
c2 0 3 5 7 7 6 4 2
c3 100 48 26 16 10 4 3 2
Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO
simultneas siguientes:
11 1 12 2 1 3 3 1
22 2 1 2
33 3 1 3
i
i
i
dcV Qc E c c E c cdt
dcV E c c
dt
dcV E c c
dt
Donde V1= volumen del segmento i, Q = flujo y Eij= la tasa de mezcla difusiva entre los
segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1=
1 x 107, V2= 8 x 106, V3= 5 x 10
6 y Q = 4 x 106. Para su anlisis, emplee el mtodo de
Euler con tamao de paso de 0.1.
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55. Las dinmicas del crecimiento de la poblacin son importantes en varios estudios de
planeacin tales como el transporte y la ingeniera de los recursos hidrulicos. Uno de
los modelos ms simples de dicho crecimiento incorpora la suposicin de que la tasa de
cambio de la poblacin p es proporcional a la que existe en cualquier momento r.
dpGp
dt
.(55.1)
Donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre
mayor sea la poblacin ms grande ser el nmero de padres potenciales. Al tiempo t =
0, una isla tiene una poblacin de 6000 personas. Si G = 0.075 por ao, emplee el
mtodo de Heun (sin iteracin) para predecir la poblacin en t = 20 aos, con el uso de
un tamao de paso de 0.5 aos. Grafique p versus t, en papel estndar y
semilogartmico. Determine la pendiente de la lnea sobre la grfica semilogartmica.
Analice sus resultados.
56. Aunque el modelo del problema anterior funciona en forma adecuada cuando elcrecimiento de la poblacin es ilimitado, falla ante la existencia de factores tales como
falta de comida, contaminacin y falta de espacio, los cuales inhiben el crecimiento. En
tales casos, la tasa de crecimiento se considera que es inversamente proporcional a la
poblacin. Un modelo de esta relacin es:
maxG G p p .(56.1)
Donde G = tasa de crecimiento dependiente de la poblacin (por persona-ao) y pmax=
poblacin mxima sostenible. As cuando la poblacin es pequea (p
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0.5 aos. Emplee valores de G = 10-5 por persona-ao y pmax = 20000 personas. Al
tiempo t = 0, la isla tiene una poblacin de 6000 personas. Grafique p versus t e
interprete la forma de la curva.
57. El parque nacional Isla Royal es un archipilago de 210 millas cuadradas compuesto de
una sola isla grande y muchas pequeas, en el lago Superior. Alrededor de 1900
llegaron alces y hacia 1930, su poblacin se acercaba a 3000, por lo que devastaban lavegetacin. En 1949, los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. Desde
finales de la dcada de 1950, se registran los nmeros de alces y lobos, como se
muestra a continuacin. (Un guion indica que no hay datos).
Ao Alces Lobos Ao Alces Lobos
1960 700 22 1972 836 23
1961 - 22 1973 802 24
1962 - 23 1974 815 30
1963 - 20 1975 778 41
1964 - 25 1976 641 43
1965 - 28 1977 507 33
1966 881 24 1978 543 40
1967 - 22 1979 675 42
1968 1000 22 1980 577 50
1969 1150 17 1981 570 30
1970 966 18 1982 590 13
1971 674 20 1983 811 23
a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020, determine los valores de
los coeficientes que arrojan un ajuste ptimo. Compare su simulacin con los datos que
usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados.
b) Grafique la simulacin de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio.
c) Despus de 1993, suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un
lobo por ao y lo llevan fuera de la isla. Pronostique cmo evolucionara tanto la
poblacin de lobos como de alces hacia el ao 2020. Presente sus resultados tanto
como una serie de tiempo como una grfica de estado-espacio. Para este caso, as
como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106,
d = 0.0002632.
58. Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (vase la figura inferior). El cable sostiene una
carga distribuida cuya magnitud vara con x segn la ecuacin.
12
o
A
xw w sen
l
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Donde wo= 1000 lbs/ft. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto ms
bajo del cable. Tambin es el punto donde la tensin del cable alcanza un mnimo de To.
La ecuacin diferencial que gobierna el cable es:
2
2 1
2
o
o A
wd y xsen
dx T l
Resuelva esta ecuacin con el uso de un mtodo numrico y grafique la forma del cable
(y versus x). Para la solucin numrica se desconoce el valor de T o, por lo que la
solucin debe utilizar una tcnica iterativa, similar al mtodo del disparo, para converger
en un valor correcto de hApara distintos valores de To
59. La ecuacin diferencial bsica de la curva elstica para una viga volada (vase la figura
en la parte inferior) est dada por:
2
2
d yEl P L x
dx
Donde E = mdulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexin
de la viga con el empleo de un mtodo numrico. Se aplican los valores siguientes de
parmetro: E = 30000 ksi, I = 800 in4, P = 1 kip, L = 10ft. Compare sus resultados
numricos con la solucin analtica.
2 3
2 6
PLx Px
y EI EI
60. La ecuacin diferencial bsica de la curva elstica para una viga con carga uniforme
(vase la figura en parte inferior) est dada por:
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62. Los ingenieros y cientficos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinmica
de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como terremotos. En la
figura de la parte inferior se ilustra una representacin como estas para un edificio de
tres plantas. En este caso, el anlisis se limita al movimiento horizontal de la
estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los
siguientes.
21 2 21 2
1 1
22 3 321 2 3
2 2 2
23 32 3
3 3
0
0
0
k k kw X X
m m
k k kkX w X Xm m m
k kX w X
m m
Determine los valores y vectores propios y represente en forma grfica los modos de
vibracin de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para
cada uno de los vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el
desplazamiento del tercer piso sea igual a uno.
.63. Son comunes los circuitos elctricos en los que la corriente varia con el tiempo, enlugar de permanecer constante. Cuando se cierra sbitamente el interruptor, se
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establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en
la figura inferior.
Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura ,
se basa en las leyes Kirchohoff, que establecen que la suma algebraica de las cadas
de tensin alrededor de un ciclo cerrado es cero. Asi: ( ) 0di q
L Ri E t
dt c
,
(63.1)dondedi
Ldt
es la cada de voltaje a travs del inductor , L=inductancia,
R=resistencia, q= carga del capacitor, C=capacitancia, E(t)= fuente de voltaje
variable en el tiempo , ademsdq
idt
(63.2).
Las ecuaciones (63.1) y (63.2) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales
de primer orden que se pueden resolver analticamente, por ejemplo si
0( ) , 0E t E sen t R , la solucion exacta es:
0 0
2 22 2( )
( )
E Eq t sen pt sen t
p L pL p
Donde 1/p LC , los valores de q y dq/dt son cero para t=0. Use un
procedimiento numrico para resolver las ecuaciones (63.1) y (63.2) y compare los
resultados con la solucin analtica, suponga que L=1, E0=1, C=0.25 ,2 3.5
Resuelva el sistema anterior de t = 0 a 0.5, si q = 0.1 e i = -3.281515 en t = 0. Utilice
un valor de R = 50 y los mismos parmetros indicados.
64. Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la
ley de ohm).
0di
L Ridt
Donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para i, si L = 1, R =
1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en forma analtica y con algn mtodo
numrico. Presente sus resultados en forma grfica.
65. En contraste con el problema 64, las resistencias reales no siempre siguen la ley de
ohm. Por ejemplo, la cada del voltaje quiz sea no lineal y la dinmica del circuito
quede descrita por una relacin como la siguiente.
3
0di i i
L Rdt I I
Donde todos los dems parmetros se definen como el problema 64 e I es una
corriente conocida de referencia e igual a 1. Resuelva para i como funcin del tiempo
en las mismas condiciones que se especifican para el problema 64.
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66. Los ingenieros mecnicos a menudo presentan problemas relacionados con el
movimiento peridico de los cuerpos libres. Para abordar tales problemas se requiere
conocer la posicin y velocidad de un cuerpo en funcin del tiempo. Tales funciones
son invariablemente la solucin de EDOs y se basan en el movimiento de Newton.
Considere el pndulo simple cuyo peso W est suspendido de un cable sin peso de
longitud l. Las nicas fuerzas que actan sobre esta partcula son su peso y latensin R en el cable. La posicin de la partcula en cualquier instante est
completamente especificada en trminos del ngulo y l . El diagrama del cuerpo
libre muestra las fuerzas que actan sobre la partcula y la aceleracin. Es
conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la direccin x, tangente
a la trayectoria de la partcula:
WF Wsen a
g
donde: g= constante gravitacional (32.2 ft/s2) y a=aceleracin en la direccin x . La
aceleracin angular de la particula ( ) es:a
l .
En coordenadas polares: 2 2/d dt :
2 2
2 2 0
W l W l d d gWsen sen
g g ldt dt
Esta ecuacin es no lineal de segundo orden. En general, es difcil o imposible
resolverla analticamente. Se tienen dos opciones para resolverla: reducirla a unaforma donde sea posible resolverla analticamente o aplicar una tcnica de
aproximacin numrica para resolverla directamente.
Solucin analtica: Usando expansin en serie de potencias para sen , se tiene:
3 5 7
...3! 5! 7!
sen
Para desplazamientos angulares pequeos sen cuando se expresa en
radianes , por tanto, para desplazamientos pequeos la ecuacin se convierte en:
2
2 0
d g
ldt
que es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden. Esta aproximacin es muy
importante pues es fcil de resolver analticamente. La solucin analtica tiene la
forma:0( ) cos
gt t
l
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donde0
es el desplazamiento en t=0, y se supone la velocidad ( d
vdt
) es cero
en t=0. Al tiempo requerido por el pndulo para un ciclo completo de oscilacin se le
llama periodo y esta dado por: 2 l
Tg
Solucin numrica: Las suposiciones hechas en la solucin analtica de la EDO, nos
llevan a concluir que no es una solucin exacta, para alcanzar la exactitud debemos
usar un mtodo numrico. Para resolverla se puede usar el mtodo de Euler o RK-4
previamente convirtiendo la ecuacin en un sistema EDO:
dv
dt
dv gsen
dt l
Resuelva el sistema EDO con0
24
l ft para un pndulo de 1 m de longitud y
luego compare con la solucion numrica del problema lineal con las mismas
condiciones iniciales usando el mtodo RK-4 y Euler, 0.2t
67. En la seccin 8.4 se presenta una ecuacin diferencial de segundo orden que se
utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Dado
que m = 1.2 x 106 g, c = 1 x 10 7 g/s, y k = 1.25 x 109 g/s2, use algn mtodo
numrico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0.4 y dx (0)/dt = 0.0. Resuelva
para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.5 s
68. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como :
adT
k T Tdt
Donde T = temperatura del cuerpo (oC), Ta= temperatura del medio circundante (oC)
y k = constante de proporcionalidad (min-1). As, esta ecuacin especifica que la tasa
de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del
ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en
agua que se mantiene a un valor constante de Ta= 20oC, utilice un mtodo numrico
para calcular el tiempo que toma que la bola se enfri a 40 oC, si k = 0.25 min-1.
69. La tasa de flujo calorfico (conduccin) entre dos puntos de un cilindro calentado por
un extremo est dada por:
dQ dT A
dt dx
Donde = una constante, A = rea de la seccin transversal del cilindro, Q = flujo
calorfico, T = temperatura, t = tiempo, y x = distancia a partir del extremo calentado.
Debido a que la ecuacin involucra dos derivadas, la ecuacin se simplificara
haciendo que
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100 20100
L x tdT
dx xt
Donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de
calor de t = 0 a 25 s. La condicin inicial es Q(0) = 0 y los parmetros son 0.5
cal.cm/s, A = 12 cm2, L = 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados.
70. La ecuacin diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistemaamortiguado resortemasa (vase la figura en la parte inferior):
23
2 0
d x dx dxm a bx
dt dt dt
Donde x = desplazamiento a partir de la posicin de equilibrio, t = tiempo, m = 1 kg
masa, y a = 5N/(m/s)2. El trmino de amortiguamiento es no lineal y representa el
amortiguamiento del aire.
El resorte es un resorte cubico y tambin es no lineal con b = 5 N/m3. Las
condiciones iniciales son:
Velocidad inicial 0.5dx
dt m/s
Desplazamiento inicial 1x m
Resuelva esta ecuacin con algn mtodo para el periodo de tiempo o < t < 8 s.
Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase
plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes.
a) Ecuacin lineal similar
2
2 2 5 0
d x dxm x
dt dt
b) La ecuacin no lineal con solo un trmino de resorte no lineal
23
2 2 0
d x dxbx
dt dt
c) La ecuacin no lineal con solo un trmino de amortiguamiento no lineal
2
2 5 0
d x dx dxm a x
dt dt dt
d) La ecuacin por completo no lineal en la que tanto el trmino de amortiguamiento
como el de resorte son no lineales.
23
2 0
d x dx dxm a bx
dt dt dt
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71. Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (vase la figura en la parte inferior)
tiene la ecuacin diferencial ordinaria siguiente para su movimiento:
2
2 o
d x dx dxm a kx F sen t
dt dt dt
Donde x = desplazamiento a partir de la posicin de equilibrio, t = tiempo, m = 2 kg
masa, a = 5 N/(m/s)2 y k = 6 N/m. El trmino de amortiguamiento es no lineal y
representa el amortiguamiento del aire. La funcin de la fuerza F osen(wt) tiene
valores de Fo= 2.5 N y w = 0.5 rad/s. Las condiciones iniciales son
Velocidad inicial 0dx
dt m/s
Desplazamiento inicial 1x m
Resuelva esta ecuacin con el empleo de algn mtodo numrico durante el periodo
de tiempo 0 < t < 15 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo,y grafique la funcin de fuerza sobre la misma curva. Asimismo, desarrolle una
grfica separada de la velocidad versus el desplazamiento.
72. La distribucin de temperatura en una aleta de enfriamiento cnica y ahusada (vase
la figura en la parte inferior) esta descrita por la ecuacin diferencial siguiente, que a
sido no dimensionada.
2
2
20
d u dupu
dx x dx
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Donde u = temperatura (0 < u < 1), x = distancia axial (0 < x < 1), y p es un parmetro
no dimensional que describe la transferencia de calor y la geometra.
2
41
2
hLp
k m
Donde h = coeficiente de transferencia de calor, k = conductividad trmica, L =
longitud o altura de cono, y m = pendiente de la pared del cono. La ecuacin tiene las
condiciones de frontera siguientes.
0 0 1 1u x u x
Resuelva esta ecuacin para la distribucin de temperatura con el empleo de
mtodos de diferencias finitas. Para las derivadas utilice diferencias finitas exactas
de segundo orden anlogas, escriba un programa de computadora para obtener la
solucin y grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos valores de p
= 10, 20, 50 y 100.
73. Las dinmicas de un sistema forzado resorte masa amortiguador se representa
con la EDO de segundo orden siguiente:
2
1 3 32 cos
d x dxm c k x k x P wt
dt dt
Donde m = 1 kg, c = 0.4 N. s/m, P = 0.5 N, y w = 0.5/s. Utilice un mtodo numrico
para resolver cual es el desplazamiento (x) y la velocidad (v = dx/dt) como funcin del
tiempo del tiempo con condiciones iniciales x = v = 0. Exprese sus resultados en
forma grfica como graficas de series de tiempo (x y v versus t) y grafica de plano-
fase (v versus x). Haga simulaciones para un resorte a) lineal (k1 = 1; k3 = 0) y b) no
lineal (k1 = 1; k3 = 0.5).
74. La ecuacin diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto de Bungee
es diferente segn si el saltador ha cado una distancia en la que la cuerda est
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extendida por completo y comienza a encogerse. As, si la distancia recorrida es
menor que la longitud de la cuerda, el saltador solo est sujeto a las fuerzas
gravitacionales y de arrastre. Una vez que la cuerda comience a encogerse, tambin
deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda. Estas dos
condiciones se expresan con las ecuaciones siguientes:
2dcdv g sign v v x Ldt m
2dcdv k
g sign v v x L v x Ldt m m m
Donde v = velocidad (m/s), t = tiempo (s), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s 2),
signo (x) = funcin que devuelve -1, 0 y 1, para x negativa, cero y positiva, cero y
positiva, respectivamente, cd =coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), m =
masa (kg), k = constante de resorte de la cuerda (N/m), = coeficiente de
amortiguamiento de la cuerda (N.s/m), y L = longitud de la cuerda (m). Determine la
posicin y velocidad del saltador dadas por los parmetros siguientes: L = 30 m, m =
68.1 kg, cd= 0.25 kg/m, k = N/m, y = 8 kg/s. haga el clculo de t = 0 a 50 s y
suponga que las condiciones iniciales son x(0) = v(0) = 0
75. En los problemas 15, resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Heun.
a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.2. Luego tome h = 0.05 y de 40
pasos con el programa 9.2
b) Compare la solucin exacta y(2) con las dos aproximaciones obtenidas en el
apartado (a).
c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado
(a). como se espera cuando h se divide entre dos?
d) Dibuje las aproximaciones y la solucin exacta en una misma grfica.
1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t
2. 34 1
3 3 0 1,3 3
ty y t con y y t e t
3. 2
/ 2 0 1, ty ty con y y t e
4. 2 2 21 1
2 0 ,10 10
t t ty e y con y y t e te
5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t
76. Consideremos un proyectil que dispara hacia arriba y luego cae siguiendo una
trayectoria rectilnea. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad,
entonces el problema de valor inicial para la velocidad v(t) es:
0 10 0Kv v con v vM
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Siendo vo la velocidad inicial, M la masa y K el coeficiente de resistencia del aire.
Supongamos que vo= 40 m/s y K/M = 0.1. Use el mtodo de Heun con h = 0.5 para
resolver el problema de valor inicial
10 0.1 0,4 0 40v v en con v
Dibuje su solucin y la solucin exacta /10140 100tv t e en una misma grfica.
(Observe que la velocidad lmite es -100 m/s)
77. En psicologa, la ley de estmulo-respuesta de Wever-Fechner establece que la tasa
de variacin dR/dE de la reaccin R ante un estmulo E es inversamente proporcional
al estmulo. Si llamamos valor umbral al mnimo nivel de estmulo So que es posible
detectar, entonces el problema de valor inicial que modela esta situacin es:
0ok
R con R SS
Supongamos que 0.1oS y que 0.1 0R . Use el mtodo de Heun con 0.1hpara resolver
1
0.1, 5.1 0.1 0.1R en con RS
78. y pruebe que cuando se utiliza el Investigue sobre el mtodo de Taylor de orden N
para resolver EDOs mtodo de Taylor de orden N con tamaos de paso h y h/2,
entonces el error global final se reduce, aproximadamente, en un factor de 2 N
79. Investigue sobre el mtodo de Taylor para EDOsy pruebe que el mtodo de Taylor
falla cuando queremos aproximar la solucin 3/ 2y t t del problema de valor inicial
1/3 , 1.5 0 0y f t y y con y . Justifique su respuesta. Cul es el problema?
80. a) Verifique que la solucin del problema de valor inicial 2 , 0 1y y y en el
intervalo 0,1 es 1/ 1y t t .
b) Verifique la solucin del problema de valor inicial 2 1 , 0 1y y y en el intervalo
0, / 4 es
tan / 4y t t
c) Use los resultados de los apartados (a) y (b) para deducir que la solucin del
problema de valor inicial 2 2 , 0 1y t y y tiene una asntota vertical entre
/ 4 1y (localizada cerca de 0.96981t )
81. Consideremos el problema de valor inicial 2 1 , 0 1y y y .
a) determine las expresiones de 2 3 4,y t y t e y t .
b) Evalu las derivadas en 0t y selas para calcular los cinco primeros trminos del
desarrollo de Maclaurin de tan t .
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82. En los problemas 15, resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Taylor.
a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.3. Luego tome h = 0.05 y de 40
pasos con el programa 9.3
b) Compare la solucin exacta y(2) de las aproximaciones obtenidas en el item (a).
c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado
(a). Como se espera cuando h se divide entre dos?d) Dibuje las aproximaciones y la solucin exacta en una misma grfica.
1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t
2. 34 1
3 3 0 1,3 3
ty y t con y y t e t
3. 2 / 2 0 1, ty ty con y y t e
4. 2 2 21 1
2 0 ,
10 10
t t ty e y con y y t e te
5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t
83. En los ejercicios 1 a 5 resuelva la ecuacin diferencial usando el mtodo de Runge
Kutta de orden N=4.
a) Tome h = 2 y d dos pasos calculando los valores a mano. Luego, tome h = 0.1 y d
cuatro pasos calculando los valores a mano.
b) Compare la solucin exacta y(0.4) con las dos aproximaciones calculadas en el
apartado (a).
c) Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado a)
como se espera cuando h se divide entre dos?
1. 2 2 0 1, 2 2ty t y con y y t e t t
2. 34 1
3 3 0 1,3 3
ty y t con y y t e t
3. 2 / 2 0 1, ty ty con y y t e
4. 2 2 21 1
2 0 ,10 10
t t t
y e y con y y t e te
5. 2 2 2 0 1, 1/ 1y ty con y y t t
84. Pruebe que cuando se usa el mtodo de Runge - Kutta de orden N = 4 para resolver el
problema de valor inicial y f t en ,a b con 0y a el resultado es:
1
1/ 2 1
0
4 ,6
M
k k k
k
hy b f t f t f t
85. Resuelva el sistema 2 3 , 2x x y y x y con la condicin inicial
0 2.7 0 2.8x e y en el intervalo 0 1.0t . La curva poligonal formada por
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88. Resuelva el sistema 4 , x y x y x y con la condicin inicial 0 1 0 1x e y
en el intervalo 0 1.2t usando como tamao de paso 0.05h . La curva poligonal
formada por las coordenadas de la solucin numrica obtenida se muestra en la figura
y puede compararse con la solucin exacta
29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2
3 / 23 / 2
29 / 2 29 / 2 29 / 2 29 / 2
3 / 23 / 2
3 3
22 29
7 7
22 29
t t t t
tt
t t t t
tt
e e e e
x t ee
e e e ey t
ee
89. En los ejercicios siguientes:
a) Compruebe que la funcin x(t) es la solucin
b) Reformule la ecuacin diferencial de segundo orden como un sistema de dos
ecuaciones de primer orden
c) Use el mtodo de Euler con tamao de paso h = 0.1 para calcular a mano 1 2x y x
d) Use el mtodo de RungeKutta con tamao de paso h = 0.05 para calcular a mano
1x
1) 22 5 3 45 0 2 0 1tx t x t x t e con x y x
/ 2 3 24 7 9t t tx t e e e
2) 6 9 0 0 4 0 4x t x t x t con x y x
3 3
4 8t t
x t e te
3) 6cos 0 2 0 3x t x t t con x e x
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2cos 3 3x t t sen t tsen t
90. Resuelva , 0 4 0 1 0,8x x xy y y xy con x e y en tomando h = 0.1.
Las trayectorias de este sistema son curvas cerradas y la trayectoria poligonal obtenida
con la solucin numrica es una de las curvas de la figura
91. Resuelva 2 3 3 2 2 , 2 2x x y xy y x y y con 0 0.8 0 0.6 0,4x e y en
tomando 0.1h . De acuerdo con la teora cualitativa, el origen se clasifica, para este
sistema, como un foco asintticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la
solucin numrica es una de las curvas de la figura .
92. Resuelva2 2 , 2x y x y xy con 0 2.0 0 0.1 0.0,1.5x e y en tomando h =
0.05. De acuerdo con la teora cualitativa, el origen se clasifica, para este sistema, como
un punto de silla inestable. La trayectoria poligonal obtenida con la solucin numrica es
una de las curvas de la figura
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93. Resuelva2 2 1 , x y y x y con 0 1.2 0 0.0 0,5x e y en tomando h =
0.1. De acuerdo con la teora cualitativa, el punto (1,1) se clasifica, para este sistema,
como un foco asintticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la solucin
numrica es una de las curvas de la figura .
94. Resuelva3 2 2 3
2 , 2x x xy y x y y con 0 1.0 0 0.2 0,2x e y en tomando
h = 0.025. Este sistema tiene un punto crtico inestable en el origen. La trayectoria
poligonal obtenida con la solucin numrica es una de las curvas de la figura.
95. Resuelva2 2 , 2x x y y xy con 0 2.0 0 0.6 0.0,1.6x e y en tomando h =
0.02. Este sistema tiene un punto crtico inestable en el origen. La trayectoria poligonal
obtenida con la solucin numrica es una de las curvas de la figura .
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0 1.0 0.0000 1.0000 1.0000
1 -0.9514 0.8450 0.8773 1.0629
2 0.8102 0.9135 0.5372 1.3653
3 -0.5902 0.1412 0.3042 1.8926
4 0.3128 -0.7540 0.1763 2.5589
5 -0.0050 -0.9589 0.1035 3.297899. Resuelva las siguientes ecuaciones para o < t < 5 utilizando el mtodo de Euler
modificado:
4 3 7 2 , 0 1y y z t y
7z =-2y+8z, z(0)=0
Utilice tanto h= 0.01 como h = 0.001
100. Un tanque cnico contiene agua hasta una altura de 0.5 m desde el fondo. El tanque
tiene un agujero de 0.02 m de radio en el fondo. El radio del tanque en y est dado por
r = 0.25y, donde r es el radio y y es la altura medida desde el fondo. La velocidad del
agua que sale por el agujero est dada por2v 2gy , donde g = 9.8 m/s2. Utilice el
mtodo de Euler hacia adelante (con h = 0.001s) para averiguar cuantos minutos
tardara el tanque en vaciarse.
101. Un circuito que se muestra en la figura inferior, tiene una autoinductancia de L = 100
mH, una resistencia R = 20 k y una fuente de voltaje de DC de 10 V. Si el
interruptor se cierra en t = 0, la corriente I(t) cambia segn:
dI t
L . (0) 0I t R E Idt
a) Determine la corriente I en t = 1, 2, 3, 4 y 5 ms por el mtodo de Euler hacia
adelante con h = 0.01 ms.
b) Evale el error comparando la solucin numrica con la solucin analtica dada por
I t / 1 exp / .E R Rt L
c) Investigue el efecto de h repitiendo los clculos anteriores con h = 0.1 ms
102. Un tubo en U de 0.05 m de radio est lleno inicialmente con agua, pero separado con
una particin de modo que el nivel del agua en la rama vertical izquierda esta 0.2 m
ms alto que el nivel de agua en la rama vertical derecha. En t = 0 la particin se
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retira repentinamente. El nivel de agua en la rama vertical izquierda, yA, medido
desde el plano medio entre dos superficies, satisface
ALy 2 Agy
Donde L es la longitud total de agua en el tubo (se supone que es 1 m) y g = 9.8
m/s2. Ignore la friccin en el tubo y calcule el nivel del agua por el mtodo de Euler
hacia adelante para 0 < t < 10 s y encuentre en que momentos yAalcanza mnimos y
mximos. Utilice h = 0.1 s.
103. Repita el problema anterior suponiendo que hay friccin en el tubo, de modo que la
ecuacin del movimiento est dada por.
ALy 2 A Agy y
Donde = 0.8m/s . Utilice h = 0.001 s
104. La densidad numrica (nmero de tomos por cm3) del radioistopo yodo 135
satisface
i
dNi i
tN t
dt
Donde N(t) es la densidad numrica del yodo 135 yi es su constante de
desintegracin, igual a 0.1044 h-1. Si Ni(0) = 105tomos /cm3en t = 0, calcule Ni(t)
en t = 1 h por el mtodo de Euler modificado (Heun). Utilice h = 0.05 h.
105. El producto de la desintegracin del yodo-135 (considerado en el problema anterior)
es xenn-135, que tambin es radiactivo. La constante de desintegracin del Xenon-
135 es 1x 0.0753h . La densidad numrica del xenn satisface:
x
dNx x i i
tN t N t
dt
Donde Nxes la densidad numrica del xenn y N ies la densidad numrica del yodo
definida en el problema anterior. Suponiendo que Nx(0)=0, escriba un programa para
calcular Niy Nxcon base en el mtodo de Euler modificado (Heun). (Puesto que las
ecuaciones diferenciales son lineales, utilice soluciones de forma cerrada para cada
incremento de tiempo). Encuentre la solucin para 0 < t < 50 h y grafique. Utilice h =0.1 h
106. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 orden, encuentre y(1) para la siguiente
ecuacin empleando el mtodo de RungeKutta de segundo orden con h = 0.5:
2v
y=- , 0 1t+y
y
107. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 ordenCalcule y(2) para la siguiente
ecuacin utilizando el mtodo de Runge - Kutta de segundo orden con h = 1:
y +0.2y+0.003ysen t 0, 0 0, 0 1y y
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108. Investigue el mtodo de Runge Kutta de 2 orden Encuentre el valor de y(1)
resolviendo: y - 0.05y +0.15y = 0, y 0 0 , considere h = 0.5
109. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial 2
2y + y 0, 0 0, 0 1y y y
Por el mtodo de RungeKutta de segundo orden con h = 0.5 y evalu y(1) y y(1)
110. Un problema de valor inicial de una ecuacin diferencial ordinaria est dado por:
y = - y, y 0 0 0y
Utilice el mtodo de RungeKutta de cuarto orden con h = 0.2 para calcular y(0.4).
111. a) Un tanque de 50 gal lleno de agua contiene sal a una concentracin de 10 oz/gal.
Con objeto de reducir el contenido de sal, se agrega agua dulce a razn de 2 gal/min.
Si el tanque se mezcla bien y el agua sale del tanque con la misma velocidad de
flujo, el contenido de sal satisface:
1 1y 2 /50t y
Donde 1y t es la concentracin de sal en onz/gal y t es el tiempo en minutos.
Aplique el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden con h=1 min para averiguar
cunto tardara la concentracin de sal en llegar a 1/10 de su valor inicial.
b) El agua que sale del tanque ingresa en otro con capacidad de 20 gal, en el cual
tambin se vierte agua dulce con una velocidad de 3 gal/min. Mezclndose bien. La
concentracin de sal en este tanque satisface:
2 2 1y 5/ 20 2 / 20 0 0t y t y
Donde y1(t) es la concentracin de sal en el tanque de 50 gal del inciso anterior.
Utilice el mtodo de RungeKutta de cuarto orden para averiguar en qu momento
la concentracin de sal en el tanque de 20 gal llega a su mximo. Suponga que el
agua del segundo tanque es dulce en t = 0
112. Calcule y(1) resolviendo la siguiente ecuacin por el mtodo de Runge Kutta de
cuarto orden con h = 1, 2y= - y / t+y , 0 1y
113. Encuentre la solucin de : 2y t 1/ 1 , 0 1y y
Para t = 1 y t = 2 empleando el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden con h = 0.5
y h = 1
114. Se dispara una bala al aire con un ngulo de 45 grados respecto del suelo a
150 /u v m s , donde u y v son las velocidades horizontal y vertical,
respectivamente. Las ecuaciones del movimiento estn dadas por:
, 0 150 /
, 0 150 /
u cVu u m s
v g cVv v m s
(A)
Donde u y v son funciones del tiempo, u = u (t) y v = v (t), y
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V2= u2 + v2 , c = 0.005 m-1 (coeficiente de arrastre) , g = 9.8 m/s2 (aceleracin
debida a la gravedad)
Las ecuaciones del movimiento pueden resolverse por uno de los mtodos de Runge
Kutta. La trayectoria de la bala puede calcularse integrando.
x u y y v
O bien:
0
0
t
t
x u t dt
y v t dt
(B)
A continuacin listamos un guion basado en el mtodo de Euler hacia adelante que
resuelve la ecuacin (A) y evala la ecuacin (B)
clear; clg
u=150; v=150; h=1; c=0.005; t=0;
ub=u; vb=v;
y=0; x=0; n=1;
u_rec(1)=u; v_rec(1)=v; t_rec(1)=t;
x_rec(1)=x; y_rec(1)=y;
while y>=0
vel1=sqrt(ub*ub+vb*vb);
k1=h*(-c*vel1*ub);
l1=h*(-9.8-c*vel1*vb);
u=ub+k1; v=vb+11;
x=x+h*(ub+u)/2; y=y+h*(vb+v)/2;
ub=u; vb=v;
n=n+1; t=t+1;
u_rec(n)=u; v_rec(n)=v; t_rec(n)=t;
x_rec(n)=x; y_rec(n)=y;
end
plot(x_rec, y_rec)
xlabel(x); ylabel(y)
a) Ejecute el guion y grafique la trayectoria de la bala. b) Reescriba el guion
utilizando el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden en una forma vectorial.
Encuentre, con un error de menos del 0,1%, la distancia horizontal que alcanza la
bala.
115. Se muestra la solucin de 2y= 1 1 y por el mtodo de Runge Kutta de
segundo orden para dos valores de h distintos:
h=0.1 h=0.2
t Y y
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0.0 1.0000000 1.0000000
0.1 0.9487188
0.2 0.8946720 0.8947514
a) Estime el error local de y(0.2) con h = 0.1.
b) Estime el valor ms exacto de y (0.2)
c) Si el error local debe satisfacer 0.00001hE , estime h.
116. Para la ecuacin dada por: 3 exp 1 , 0 1y y t y
Encuentre un incremento de tiempo ptimo para el mtodo de Runge Kutta de
cuarto orden que satisfaga 0.0001hE . (Ejecute el mtodo de Runge Kutta de
cuarto orden para un intervalo con un valor de h y vuelva a ejecutarlo para dos
intervalos con h/2)
117. La temperatura inicial de una pieza de metal es de 25oC. La pieza se calienta
internamente mediante una corriente elctrica a razn de Q = 3000 W. La ecuacin
para la temperatura es:
4 41
298 298 , 0 298cdT
Q A T h A T T K dt V c
Donde T esta en kelvin y
k=60 W/mk (conductividad elctrica)
= 5.67x10-8W/m2K4(Constante de Stefan-Boltzmann)
A = 0.25 m2(rea superficial)
118. Deduzca ecuaciones de diferencia para el siguiente problema de valor en la frontera:
0.22 ''( ) ( ) xy x y x e , con las condiciones de frontera:
(0) 0.1 , '(10) (10)y y y , suponga que la retcula tiene espacio unitario.
119. Deduzca ecuaciones de diferencia para i = 1 e i = 10 en el problema anterior,
suponiendo que las condiciones de frontera cambian a
1 1 10 0y y y y y
118. Deduzca ecuaciones de diferencia para:
' ' , 0p x x q x x S x x H
119. La ecuacin diferencial para un cable flexible de 50 m de longitud, fijo en los dos
extremos, est dada por
/ , 0 50 0y x w x T y y
Donde x esta em metros, y(x) es el desplazamiento del cable medido desde el nivel
de los extremos est dada por:
20 1 exp / 25 /w x x kg m
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Determine la forma del cable. (Utilice 10 intervalos de retcula)
120. Considere una aleta de enfriamiento con rea de seccin transversal variable y
permetro variable. Suponiendo que la temperatura a travs de cualquier seccin
transversal perpendicular al eje es uniforme, la temperatura en la direccin axial es la
solucin de la ecuacin
' ' c ckA x T x P x h T x P x h T Donde k es la conductividad trmica, P(x) es el permetro, A(x) es el rea de seccin
transversal y T
es la temperatura del entorno. Las condiciones de frontera estn
dadas por : T(0)=100oC
ckT H h T H T
Donde H es la longitud de la aleta y hc es el coeficiente de transferencia de calor por
conveccin. Resuelve el problema anterior suponiendo las siguientes constantes:
230 /ch w m K
0.1 , 100 / , 20oH m k w mK T C
2( 0.005 0.05 0.25 )A x x m
/ 0.005 0.01xP A x m
(Utilice 10 intervalos de retcula).
121. Considere una celda unitaria cilndrica en un reactor nuclear de agua ligera que
consiste en una varilla de combustible y moderador, como se muestra en la figura .
El flujo trmico de neutrones en la celda satisface la ecuacin de difusin de
neutrones dada por
1
a
d dDr r r S r
r dr dr
Donde D es el coeficiente de difusin.a Es la seccin transversal de absorcin y
S es la fuente de neutrones. Las constantes para el UO2y el H2O se muestran en la
figura. Las condiciones de frontera son:
0 1 0
a) Utilice cinco puntos de retcula para todo el dominio con un intervalo constante de
0.25 cm y deduzca ecuaciones de diferencia por cada punto de retcula.
b) Resuelva las ecuaciones de diferencia deducidas en (a) por la solucin tridiagonal.
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122. Se tiene un material en plancha con espesor de 0.2 cm. El lado izquierdo est
perfectamente aislado, pero la temperatura de la superficie derecha esta fija en 0oC.
La plancha tiene una fuente de calor distribuida. La ecuacin de temperatura est
dada por / .T x q x k Elabore un programa para calcular la distribucin de
temperatura empleando 10 intervalos de retcula. Suponiendo que la conductividad
trmica es k=30 W/m2K, ejecute el programa para las dos siguientes distribuciones
de la fuente de calor:
a) 3200 /q x kW m
b) 3100exp 10 /q x x kW m
Compare los resultados con las siguientes soluciones analticas:
a) 210 / 3 0.04T x x
b) 2 10
0.033 2 10
x
T x e x e
123. La ecuacin de difusin para una geometra cilndrica est dada por
1
p r r r q r r S rr
Considerando los tres puntos de retcula que se muestran en la figura 11.10,
podemos deducir ecuaciones de diferencia integrando la ecuacin desde el punto
medio entre i 1 e i hasta el punto medio entre i e i+1. Suponiendo que los
coeficientes son constantes, como se ilustra en la figura, y el espaciado de la retcula
no es uniforme, deduzca las ecuaciones de diferencia integrando el volumen entre a
y b.
123. La ecuacin para el desplazamiento de una membrana circular sometida a unapresin constante P (vase la figura) est dada por.
1
/ , 0.2 0.5y r y r P T m r mr
Donde r es la coordenada radial, y es el desplazamiento de la membrana (positivo
hacia abajo), T es la tensin (400kg/m) y la presin se da como P=800kg/m2. Las
condiciones de frontera son y(0.2) = y(0.5) = 0. Determine el desplazamiento de la
membrana, y (r).
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124. El cuerpo esfrico de un material de radio 0.05 m se calienta con una fuente de calor
distribuida por
300exp 20 0.05S r r
Donde r es el radio en metros y las unidades de S son W/m3. La superficie de la
esfera est expuesta al aire. El calor escapa al aire circundante por conveccin con
el coeficiente de transferencia de calor 220 /ch W m K . En el estado estacionario, la
distribucin de la temperatura es la solucion de la ecuacin.
221 d d
r k T r s r r dr dr
Las condiciones de frontera son:
0 0
, 20
o
c
T
k h T T R T C
a) Escriba las ecuaciones de diferencia para la temperatura utilizando cuatro
intervalos de retcula equiespaciados.
b) Resuelva las ecuaciones de diferencia por la solucin tridiagonal.
125. Un extremo de una aleta de enfriamiento rectangular de longitud H=0.1 m est
conectada a una fuente de calor a 200 oC. La aleta transfiere calor tanto por radiacin
como por conveccin al entorno que est a 20 oC. Suponiendo que tanto la aleta
como el entorno son cuerpos negros, la temperatura de la aleta satisface la ecuacin
de difusin no lineal.
4 4 0c oAkT x Ph T x T P T x T
Donde
k=120W/mK (conductividad trmica)
A=1.5x10-4m2 (rea de seccin transversal de la aleta)
P=0.106 m (permetro de la aleta)
hc=100W/m2K (coeficiente de transferencia de calor por conveccin)
=5.67x10-8
W/m2
K4
(constante de Stefan-Boltzmann)
T
=293 K (temperatura del entorno)
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Las condiciones de frontera estn dadas por
0 500 273
0
T K
T H
Si se supone que el extremo derecho de la aleta est perfectamente aislado.
a) Deduzca una ecuacin de diferencia para la ecuacin diferencial anterior
empleando 10 intervalos de retcula igualmente espaciados
b) Resuelva la ecuacin de diferencia mediante sustituciones sucesivas.
c) Repita (b) utilizando la iteracin de Newton.
126. En los ejercicios siguientes use el mtodo de diferencias finitas para calcular las tres
filas de la solucin aproximada de la ecuacin de la onda a mano o con calculadora.
a) ( , ) 4 ( , ), 0 1, 0 0.5tt xxU x t U x t x t con las condiciones de contorno:
(0, ) 0 , (1, ) 0 , 0 0.5
( ,0) ( ) ,0 1
( ,0) 0 ,0 1t
U t U t t
U x sen x x
u x x
tome h=0.2 , k=0.1 , r=1
b) ( , ) 4 ( , ), 0 1, 0 0.5tt xxU x t U x t x t
(0, ) 0 , (1, ) 0 , 0 0.5
5 3, 0
2 5( ,0)
15 15 3, 14 5
( ,0) 0 ,0 1t
U t U t t
xx
U xx
x
u x x
tome h=0.2 , k=0.1 , r=1
127. En los problemas siguientes use un programa numrico para resolver la ecuacin de
las ondas2( , ) ( , ), 0 , 0tt xxU x t c U x t x a t b , con las condiciones de contorno:
(0, ) 0 , ( , ) 0 , 0
( ,0) ( )
( ,0) ( ) ,0t
U t U a t t b
U x f x
u x g x x a
empleando los valores dados en cada caso
a) a=1, b=1, c=1, ( ) ( ) , ( ) 0f x sen x g x , tome h=0.1, k=0.1
b) a=1, b=1, c=1,2( ) , ( ) 0f x x x g x , tome h=0.1, k=0.1
c) a=1, b=1, c=1,2 , 0 0.5
( ) , ( ) 02 2 0.5 1
x xf x g x
x x
, tome h=0.1, k=0.1
d) a=1, b=1, c=2, ( ) ( ) , ( ) 0f x sen x g x , tome h=0.1, k=0.05
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128. En los problemas siguientes use el mtodo de las diferencias progresivas para calcular
las tres primeras filas de la malla que se construye para la ecuacin del calor que se
da. Realice las operaciones a mano o calculadora.
a) ( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t U x t x t , con la condicin inicial
( ,0) ( ) , 0 , 0 1U x sen x para t x , y las condiciones de contorno:
(0, ) 0 , 0 , 0 0.1
(1, ) 0 , 1 , 0 0.1
U t x t
U t x t
b) ( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t U x t x t , con la condicin inicial
( ,0) 1 2 1 , 0 , 0 1U x x para t x y las condiciones de contorno:
(0, ) 0 , 0 , 0 0.1
(1, ) 0 , 1 , 0 0.1
U t x t
U t x t
130. Resuelva la ecuacin del calor2
( , ) ( , ), 0 1, 0 1t xxU x t c U x t x t con lacondicin inicial ( ,0) ( ) , 0 , 0 1U x f x para t x , con las condiciones de
contorno:
(0, ) 0 , 0 , 0 0.1
(1, ) 0 , 1 , 0 0.1
U t x t
U t x t
para los valores que se dan:
a) ( ) ( ) (2 ) , 0.1 , 0.01 1f x sen x sen x h k r
b) ( ) 3 3 1 3 2 , 0.1 , 0.01 1f x x x h k r
131. Determine el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incgnitas p1, p2,p3,p4que se
usa para calcular las aproximaciones a la funcin armnica ( , )U x y en el cuadrado
, :0 3, 0 3R x y x y , los valores en la frontera son:
( ,0) 10 , ( ,3) 90, 0 3
(0, ) 70 , (3, ) 0 , 0 3
U x U x x
U y U y y
resuelva el sistema de ecuaciones para hallar p1, p2,p3,p4
132. Determine el sistema de seis ecuaciones con seis incgnitas q1, q2,,q6 que se usa
para calcular las aproximaciones de la funcin armnica ( , )U x y , en el cuadrado:
, :0 3, 0 3R x y x y , los valores en la frontera son:
( ,3) 90 , ( ,0) 90, 0 3
(0, ) 70 , (3, ) 0 , 0 3
yU x U x x
U y U y y
Resuelva el sistema para hallar q1, q2,,q6
133. Use un programa para calcular aproximaciones a la funcin armnica ( , )U x y en el
cuadrado , :0 1.5, 0 1.5R x y x y . Tome h=0.5 y los valores en lafrontera:
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4 4 2
4 4 2
( ,0) , ( ,1.5) 13.5 5.0625, 0 1.5
(0, ) , (1.5, ) 13.5 5.0625 , 0 1.5
U x x U x x x x
U y y U y y y y
Dibuje la solucin aproximada y comprela con la solucin exacta4 2 2 4( , ) 6U x y x x y y
134. Use una malla de orden 5x5 para determinar un sistema de nueve ecuaciones connueve incgnitas p1, p2,p3,,p9 para calcular aproximaciones de la funcin ( , )U x y
que es armnica en el cuadrado , :0 4, 0 4R x y x y y verifica lascondiciones de contorno:
( ,0) 10 , ( , 4) 120, 0 4
(0, ) 90 , (4, ) 40, 0 4
U x U x x
U y U y y
calcule p1, p2,p3,,p9
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