ECUACIONES DIFERENCIALES COEFICIENTES POR OPERADOR
ANULADOR.
POR: JOSE MANUEL BAUTISTA SALDAÑA.GRUPO: B-209 No. REG: 11310040.
• UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN N SE PUEDE ESCRIBIR DE LA SIGUIENTE FORMA:
anD y+an-1D y+… +a1Dy +a0y=g(x),n-1n
• PARA REALIZAR ESTO NECESITAMOS EXAMINAR 2 CONCEPTOS:
FACTORIZACION DE OPERADORES.
• CUANDO LAS ai, i=0,1….,n SON CONSTANTES REALES , SE PUEDE FACTORIZAR UN OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL SIEMPRE QUE SE FACTORICE EL POLINOMIO CARACTERISTICO anm + an-1m +…+ a1m+a0=0.• EN TODAS PALABRAS, SI r1 ES UNA RAIZ DE LA ECUACION
• anm + an-1m +…+ a1m+a0= 0,n n-1
• ENTOCES L=(D-r1)P(D), EN DONDE LA EXPRESION P(D) ES UN OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN n -1.
• Una ecuación diferencial como y” + 4y’ + 4y = 0 se puede escribir en la forma:
( +4D+4)y=0 (D+2) (D+2)y=0 y=0
OPERADOR ANULAR.• SI L ES UN OPERADOR DIFERENCIAL CON COEFICIENTES
CONSTANTES Y f ES UNA FUNCION DIFERENCIABLE TAL QUE: L(f(x))=0L=ES UN ANULADOR DE LA FUNCION. f(x)= ES UNA FUNCION.
• LAS FUNCIONES QUE ANULEN UN OPERADOR DIFERENCIAL LINEAL L DE ORDEN n SON AQUELLAS QUE PUEDEN OBTENER DE LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA L(y)=0.
• EL OPERADOR DIFERENCIAL ANULA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FINCIONES
,x,,…..,.
• PARA COMPROBARLO, SE OBSERVA QUE LA ECUACION AUXILIAR DE LA ECUACION HOMOGENEA y=0 ES =0.
α ES UNA RAIZ DE MULTIPLICIDAD n.
LA SOLUCION GENERAL ES:
Y=C1 ,C2x,+...+Cn.
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