Divisió àuria d’un segment.

Donat un segment . Siga E un punt interior del segment divideix el segment en dues parts .Direm que el punt E divideix el segment en proporció àuria (o bé en mitjana i extrema raó) si

A la raó de proporcionalitat s’anomena nombre d’or o auri.

AB

EB

AE

AE

AB

Siga AEx,ABa xa

x

x

a

2x)xa(a 0aaxx 22

Resolem l’equació en la incògnita x

2

51a

2

)a(4aax

22

2

51axAleshores per ser x un valor positiu.

2

51

x

a

Calculem el valor de .

El nombre d’or en el pentàgon. PropietatDemostreu que la proporció entre la diagonal i el costat d’un pentàgon regular és el nombre d’or

aAB Siga el pentàgon regular de costat

Siga la diagonal del pentàgon dAC

Demostació:

BAC=

ABC=

Per ser inscrits en la circumferència, els angles

º3625

º360

º10825

º3603

L’angle ACB=36º

Els angles ABF=72º, AFB=180º-(36º+72º)=72º, El triangle és isòsceles, per tant, aABAF

ABF

Per ser inscrit en la circumferència, l’angle CBF=36º

Els triangles

ABC

BFC són semblants: Pel teorema de Tales:

)ad(daad

a

a

d

FC

BC

AB

AC 2

2

51a

2

a4aad0aadd

2222

Per tant, 2

51

a

d