IntroduccionConocimientos previos
Unicidad de la solucion de un sistema de EDOReferencias
Desigualdad Diferencial y Unicidad deSolucion
Teorıa de ecuaciones diferenciales
Jose V. Ramırez [email protected]
Universidad del Bıo-Bıo
2 de Junio de 2009
Jose Ramırez Unicidad de Solucion
IntroduccionConocimientos previos
Unicidad de la solucion de un sistema de EDOReferencias
Indice
1 Introduccion
1 Conocimientos previosCondicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
2 Unicidad de la solucion de un sistema de EDOLema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
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Introduccion
En esta presentacion se estudiara la demostracion de una delas desigualdades diferenciales, la cual sera empleada comouna herramienta fundamental para demostrar el teorema de laUnicidad de solucion de una funcion vectorial f (t , x) concondicion inicial x(t0) = x0. Que usualmente se le denominaproblema de condiciones iniciales o problema de Cauchy.
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Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Condicion de lipschitz y un lema
Una funcion (o funcion vectorial) f (t , x) satisface la condicionde lipschitz respecto a x en un conjunto D si existe unaconstante k > 0 tal que, para dos puntos cualquiera(t , x), (t , y) ∈ D, se cumple
Condicion de lipschitz
|f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | (1)
Lema 1Si una funcion vectorial f (t , x) (x ∈ Rn, f ∈ Rn, n ≥ 1) tiene enuna region D, convexa respecto a x , derivadas parciales∂fi/∂xj , y ademas |∂fi/∂xj | ≤ l (i , j = 1, . . . ,n) en D, entoncesf (t , x) satisface la condicion de lipschitz (1) con k = nl en laregion D.
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Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Condicion de lipschitz y un lema
Una funcion (o funcion vectorial) f (t , x) satisface la condicionde lipschitz respecto a x en un conjunto D si existe unaconstante k > 0 tal que, para dos puntos cualquiera(t , x), (t , y) ∈ D, se cumple
Condicion de lipschitz
|f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | (1)
Lema 1Si una funcion vectorial f (t , x) (x ∈ Rn, f ∈ Rn, n ≥ 1) tiene enuna region D, convexa respecto a x , derivadas parciales∂fi/∂xj , y ademas |∂fi/∂xj | ≤ l (i , j = 1, . . . ,n) en D, entoncesf (t , x) satisface la condicion de lipschitz (1) con k = nl en laregion D.
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Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Condicion de lipschitz y un lema
Una funcion (o funcion vectorial) f (t , x) satisface la condicionde lipschitz respecto a x en un conjunto D si existe unaconstante k > 0 tal que, para dos puntos cualquiera(t , x), (t , y) ∈ D, se cumple
Condicion de lipschitz
|f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | (1)
Lema 1Si una funcion vectorial f (t , x) (x ∈ Rn, f ∈ Rn, n ≥ 1) tiene enuna region D, convexa respecto a x , derivadas parciales∂fi/∂xj , y ademas |∂fi/∂xj | ≤ l (i , j = 1, . . . ,n) en D, entoncesf (t , x) satisface la condicion de lipschitz (1) con k = nl en laregion D.
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Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Algebra lineal:
. . . se conocen las siguientes operaciones con vectores en Rn :x + y , x − y , αy , x · y = x1y1+, . . . , xnyn (producto escalar), |x | =√
x21 +, . . . ,+x2
n (longitud o modulo de un vector). Se sabe que|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular), y que;
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo x , y ∈ Rn ⇒ |x · y | ≤ |x | · |y |. (2)
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Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
Algebra lineal:
. . . se conocen las siguientes operaciones con vectores en Rn :x + y , x − y , αy , x · y = x1y1+, . . . , xnyn (producto escalar), |x | =√
x21 +, . . . ,+x2
n (longitud o modulo de un vector). Se sabe que|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular), y que;
Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo x , y ∈ Rn ⇒ |x · y | ≤ |x | · |y |. (2)
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Desigualdad diferencial
Lema: Desigualdad diferencial
Si en un intervalo I que contiene el punto t0 se tiene quez(t) ∈ Rn, |z ′(t)| ≤ k |z(t)|+ m, donde k ≥ 0, y |z(t0)| ≤ r0,entonces, en I, |z(t)| ≤ r0 + m|t − t0| si k = 0, mientras que sik > 0, se cumple
|z(t)| ≤ r0ek |t−t0| +mk
(ek |t−t0| − 1
). (3)
Demostracion: Supongamos que t1 ∈ I, t1 > t0, z(t1) 6= 0. Siz(t) 6= 0 en (t0, t1), entonces tomamos t∗ = t0. En casocontrario, en calidad de t∗ tomaremos la cota superior de losvalores de t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0, pues de otro modo t∗ no serıa la cota superior. Enambos casos se cumple |z(t∗)| ≤ r0,
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Desigualdad diferencial
Lema: Desigualdad diferencial
Si en un intervalo I que contiene el punto t0 se tiene quez(t) ∈ Rn, |z ′(t)| ≤ k |z(t)|+ m, donde k ≥ 0, y |z(t0)| ≤ r0,entonces, en I, |z(t)| ≤ r0 + m|t − t0| si k = 0, mientras que sik > 0, se cumple
|z(t)| ≤ r0ek |t−t0| +mk
(ek |t−t0| − 1
). (3)
Demostracion: Supongamos que t1 ∈ I, t1 > t0, z(t1) 6= 0. Siz(t) 6= 0 en (t0, t1), entonces tomamos t∗ = t0. En casocontrario, en calidad de t∗ tomaremos la cota superior de losvalores de t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0, pues de otro modo t∗ no serıa la cota superior. Enambos casos se cumple |z(t∗)| ≤ r0,
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Continuando. . .
y para t∗ < t < t1 tenemos z(t) 6= 0 y existe la derivada
|z(t)|′ =(√
z21 + z2
2 , . . . , z2n
)′.
Derivando respecto a t los dos mienbros de la igualdad|z|2 = z · z, obtenemos 2|z| · |z|′ = 2z · z ′ ≤ 2|z| · |z ′|. Resulta|z|′ ≤ |z ′|, si z 6= 0. Haciendo |z(t)| = r(t), tenemos r(t∗) ≤ r0 yr ′ ≤ |z ′| ≤ kr + m, para t∗ < t < t1. En el caso k = 0, deaquı se deduce la desigualdad exigida.
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Continuando. . .
En el caso k > 0, para la funcion ϕ(t) = e−kt(r(t) + m/k)obtenemos ϕ′(t) = e−kt(r ′ − kr −m) ≤ 0. Por eso, la funcionϕ(t) no crece y ϕ(t1) ≤ ϕ(t∗), es decir,
e−kt1(
r(t1) +mk
)≤ e−kt∗
(r(t∗) +
mk
).
Dado que r(t∗) ≤ r0, se tiene
r(t1) ≤ r0ek(t1−t∗) +mk
(ek(t1−t∗) − 1
).
El numero t1 ∈ I es arbitrario y mayor que t0, y t1 − t∗ ≤ t1 − t0,por lo tanto, la desigualdad (3) queda demostrada para todot ∈ I, t ≥ t0. El caso t < t0 se reduce al caso ya analizadosustituyendo t por −t y t0 por −t0, y entonces en el enunciadodel lema |z(t ′)| y |t − t0| no cambian.
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Unicidad de la solucion
Teorema: Unicidad de la solucionSupongamos que una funcion vectorial f (t , x) y sus derivadas∂fi/∂xj (i , j = 1, . . . ,n) son continuas en una region D.Entonces, para todo punto (t0, x0) ∈ D puede existir no mas deuna solucion del problema
dxdt
= f (t , x), x(t0) = x0. (4)
Mas exactamente, dos soluciones arbitrarias de este problemason iguales en la parte comun de sus intervalos de existencia.
Demostracion: Supongamos que existen dos soluciones x(t)e y(t) del problema (4), x(t0) = y(t0), x(t1) 6= y(t1) para ciertot1 > t0 (el caso t1 < t0 se reduce a este mismo caso
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Teorema: Unicidad de la solucionSupongamos que una funcion vectorial f (t , x) y sus derivadas∂fi/∂xj (i , j = 1, . . . ,n) son continuas en una region D.Entonces, para todo punto (t0, x0) ∈ D puede existir no mas deuna solucion del problema
dxdt
= f (t , x), x(t0) = x0. (4)
Mas exactamente, dos soluciones arbitrarias de este problemason iguales en la parte comun de sus intervalos de existencia.
Demostracion: Supongamos que existen dos soluciones x(t)e y(t) del problema (4), x(t0) = y(t0), x(t1) 6= y(t1) para ciertot1 > t0 (el caso t1 < t0 se reduce a este mismo caso
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Continuando. . .
sustituyendo t por −t). Sea z(t) = x(t)− y(t) y sea t∗ la cotasuperior de los t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0 y z(t) 6= 0 para todo t ∈ (t∗, t1] (pues de otro modo elnumero t∗ no serıa la cota superior).Sea S la bola contenida en D
(t − t∗)2 + |x(t)− x(t∗)|2 ≤ h2, h > 0.
En ella todas las derivadas ∂fi/∂xj son continuas y, por tanto,acotadas. Entonces, la funcion f satisface en ella la condicion(1).
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Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion
Continuando. . .
Por eso,
|z ′| = |x ′ − y ′| = |f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | = k |z|.
De esta manera, del Lema 2: Desigualdad diferencial sededuce que z(t) = 0 para t∗ ≤ t ≤ t1, lo cual contradice lasuposicion x(t1) 6= y(t1).
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Referencias
Filıppov Alexey F.Introduccion a la TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES, Traducido de la edicicon rusa (URSS,Moscu,2007).
Fco. Javier Cobos Gavala, Amparo Osuna Lucena.Apuntes de ALGEBRA LINEAL.
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