Desigualdad diferencial

IntroduccionConocimientos previos

Unicidad de la solucion de un sistema de EDOReferencias

Desigualdad Diferencial y Unicidad deSolucion

Teorıa de ecuaciones diferenciales

Jose V. Ramırez [email protected]

Universidad del Bıo-Bıo

2 de Junio de 2009

Jose Ramırez Unicidad de Solucion

Indice

1 Introduccion

1 Conocimientos previosCondicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)

2 Unicidad de la solucion de un sistema de EDOLema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion

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1 Introduccion

Introduccion

En esta presentacion se estudiara la demostracion de una delas desigualdades diferenciales, la cual sera empleada comouna herramienta fundamental para demostrar el teorema de laUnicidad de solucion de una funcion vectorial f (t , x) concondicion inicial x(t0) = x0. Que usualmente se le denominaproblema de condiciones iniciales o problema de Cauchy.

Condicion de lipschitz y un lemaAlgebra lineal (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)

Condicion de lipschitz y un lema

Una funcion (o funcion vectorial) f (t , x) satisface la condicionde lipschitz respecto a x en un conjunto D si existe unaconstante k > 0 tal que, para dos puntos cualquiera(t , x), (t , y) ∈ D, se cumple

Condicion de lipschitz

|f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | (1)

Lema 1Si una funcion vectorial f (t , x) (x ∈ Rn, f ∈ Rn, n ≥ 1) tiene enuna region D, convexa respecto a x , derivadas parciales∂fi/∂xj , y ademas |∂fi/∂xj | ≤ l (i , j = 1, . . . ,n) en D, entoncesf (t , x) satisface la condicion de lipschitz (1) con k = nl en laregion D.

|f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | (1)

Algebra lineal:

. . . se conocen las siguientes operaciones con vectores en Rn :x + y , x − y , αy , x · y = x1y1+, . . . , xnyn (producto escalar), |x | =√

x21 +, . . . ,+x2

n (longitud o modulo de un vector). Se sabe que|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular), y que;

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Para todo x , y ∈ Rn ⇒ |x · y | ≤ |x | · |y |. (2)

Algebra lineal:

. . . se conocen las siguientes operaciones con vectores en Rn :x + y , x − y , αy , x · y = x1y1+, . . . , xnyn (producto escalar), |x | =√

x21 +, . . . ,+x2

n (longitud o modulo de un vector). Se sabe que|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular), y que;

Desigualdad de Cauchy-Schwartz

Para todo x , y ∈ Rn ⇒ |x · y | ≤ |x | · |y |. (2)

Lema: Desigualdad diferencialTeorema: Unicidad de la solucion

Desigualdad diferencial

Lema: Desigualdad diferencial

Si en un intervalo I que contiene el punto t0 se tiene quez(t) ∈ Rn, |z ′(t)| ≤ k |z(t)|+ m, donde k ≥ 0, y |z(t0)| ≤ r0,entonces, en I, |z(t)| ≤ r0 + m|t − t0| si k = 0, mientras que sik > 0, se cumple

|z(t)| ≤ r0ek |t−t0| +mk

(ek |t−t0| − 1

). (3)

Demostracion: Supongamos que t1 ∈ I, t1 > t0, z(t1) 6= 0. Siz(t) 6= 0 en (t0, t1), entonces tomamos t∗ = t0. En casocontrario, en calidad de t∗ tomaremos la cota superior de losvalores de t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0, pues de otro modo t∗ no serıa la cota superior. Enambos casos se cumple |z(t∗)| ≤ r0,

Desigualdad diferencial

Lema: Desigualdad diferencial

Si en un intervalo I que contiene el punto t0 se tiene quez(t) ∈ Rn, |z ′(t)| ≤ k |z(t)|+ m, donde k ≥ 0, y |z(t0)| ≤ r0,entonces, en I, |z(t)| ≤ r0 + m|t − t0| si k = 0, mientras que sik > 0, se cumple

|z(t)| ≤ r0ek |t−t0| +mk

(ek |t−t0| − 1

). (3)

Demostracion: Supongamos que t1 ∈ I, t1 > t0, z(t1) 6= 0. Siz(t) 6= 0 en (t0, t1), entonces tomamos t∗ = t0. En casocontrario, en calidad de t∗ tomaremos la cota superior de losvalores de t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0, pues de otro modo t∗ no serıa la cota superior. Enambos casos se cumple |z(t∗)| ≤ r0,

Continuando. . .

y para t∗ < t < t1 tenemos z(t) 6= 0 y existe la derivada

|z(t)|′ =(√

z21 + z2

2 , . . . , z2n

Derivando respecto a t los dos mienbros de la igualdad|z|2 = z · z, obtenemos 2|z| · |z|′ = 2z · z ′ ≤ 2|z| · |z ′|. Resulta|z|′ ≤ |z ′|, si z 6= 0. Haciendo |z(t)| = r(t), tenemos r(t∗) ≤ r0 yr ′ ≤ |z ′| ≤ kr + m, para t∗ < t < t1. En el caso k = 0, deaquı se deduce la desigualdad exigida.

Continuando. . .

En el caso k > 0, para la funcion ϕ(t) = e−kt(r(t) + m/k)obtenemos ϕ′(t) = e−kt(r ′ − kr −m) ≤ 0. Por eso, la funcionϕ(t) no crece y ϕ(t1) ≤ ϕ(t∗), es decir,

e−kt1(

r(t1) +mk

)≤ e−kt∗

(r(t∗) +

Dado que r(t∗) ≤ r0, se tiene

r(t1) ≤ r0ek(t1−t∗) +mk

(ek(t1−t∗) − 1

El numero t1 ∈ I es arbitrario y mayor que t0, y t1 − t∗ ≤ t1 − t0,por lo tanto, la desigualdad (3) queda demostrada para todot ∈ I, t ≥ t0. El caso t < t0 se reduce al caso ya analizadosustituyendo t por −t y t0 por −t0, y entonces en el enunciadodel lema |z(t ′)| y |t − t0| no cambian.

Unicidad de la solucion

Teorema: Unicidad de la solucionSupongamos que una funcion vectorial f (t , x) y sus derivadas∂fi/∂xj (i , j = 1, . . . ,n) son continuas en una region D.Entonces, para todo punto (t0, x0) ∈ D puede existir no mas deuna solucion del problema

= f (t , x), x(t0) = x0. (4)

Mas exactamente, dos soluciones arbitrarias de este problemason iguales en la parte comun de sus intervalos de existencia.

Demostracion: Supongamos que existen dos soluciones x(t)e y(t) del problema (4), x(t0) = y(t0), x(t1) 6= y(t1) para ciertot1 > t0 (el caso t1 < t0 se reduce a este mismo caso

Unicidad de la solucion

Teorema: Unicidad de la solucionSupongamos que una funcion vectorial f (t , x) y sus derivadas∂fi/∂xj (i , j = 1, . . . ,n) son continuas en una region D.Entonces, para todo punto (t0, x0) ∈ D puede existir no mas deuna solucion del problema

= f (t , x), x(t0) = x0. (4)

Mas exactamente, dos soluciones arbitrarias de este problemason iguales en la parte comun de sus intervalos de existencia.

Demostracion: Supongamos que existen dos soluciones x(t)e y(t) del problema (4), x(t0) = y(t0), x(t1) 6= y(t1) para ciertot1 > t0 (el caso t1 < t0 se reduce a este mismo caso

Continuando. . .

sustituyendo t por −t). Sea z(t) = x(t)− y(t) y sea t∗ la cotasuperior de los t ∈ [t0, t1] para los cuales z(t) = 0. Entonces,z(t∗) = 0 y z(t) 6= 0 para todo t ∈ (t∗, t1] (pues de otro modo elnumero t∗ no serıa la cota superior).Sea S la bola contenida en D

(t − t∗)2 + |x(t)− x(t∗)|2 ≤ h2, h > 0.

En ella todas las derivadas ∂fi/∂xj son continuas y, por tanto,acotadas. Entonces, la funcion f satisface en ella la condicion(1).

Continuando. . .

Por eso,

|z ′| = |x ′ − y ′| = |f (t , x)− f (t , y)| ≤ k |x − y | = k |z|.

De esta manera, del Lema 2: Desigualdad diferencial sededuce que z(t) = 0 para t∗ ≤ t ≤ t1, lo cual contradice lasuposicion x(t1) 6= y(t1).

Referencias

Filıppov Alexey F.Introduccion a la TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES, Traducido de la edicicon rusa (URSS,Moscu,2007).

Fco. Javier Cobos Gavala, Amparo Osuna Lucena.Apuntes de ALGEBRA LINEAL.

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