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Hemos visto que un histograma es una manera conveniente de visualizar la distribución de
probabilidad asociada a una variable aleatoria X y que, si usamos subdivisiones de 1 unidad,
entonces la probabilidad P (c X d ) se calcula como la área bajo el histograma entre X =c y X =d .Por otro lado, hemos también visto que puede ser dif í cil calcular probabilidades para rangos
de X que no son un número entero de subdivisiones. Para introducir la solución de este problema,vamos a ver el siguiente ejemplo, basado en Ejemplo 2 en Sección 1:
Ejemplo 1 Edad de un coche alquilado
Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche
alquilado:
Edad (Años) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7
Probabilidad .10 .26 .28 .20 .11 .04 .01
El histograma de la distribución de probabilidad se muestra a la izquierda de la figura más
abajo, sugiriendo una curva como esta mostrada a la derecha. (Hay muchas curvas parecidas
que se sugiere el histograma. El problema de hallar la curva más apropiada para una
situación especí fica es un tema que consideremos más abajo.)
x
x
La curva a la derecha es la gráfica de cualquier función f , que se llama una función de
densidad de probabilidad. Tomamos para el dominio de f el intervalo [0 + ), pues este
intervalo es el rango de los valores posibles que pueden tomar X (en principio). Además,usamos x para referir a valores particulares de X , así que no es coincidencia que aquellos
valores son mostrados en el eje- x. Por lo general, una función de densidad de probabilidadtendrá cualquier (posiblemente no acotado) intervalo como su dominio.
Supóngase, como en la sección anterior, que deseemos calcular la probabilidad de que un
coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad. Por la tabla,
P (0 X 4)= 10+ 26+ 28+ 20= 84
Si miramos la gráfica a la izquierda en la siguiente figura, observamos que podemos obtener
los mismo resultado por sumar las áreas de las barras correspondientes, pues cada barratiene una anchura de 1 unidad.
x
P (0 x 4)= Área sombreada
x
P (0 x 4)= 04 f ( x) dx Idealmente (vea la gráfica en la figura más arriba), nuestra función de densidad de
probabilidad debe tener la propiedad que la área de abajo su curva para 0 X 4 es igual ala misma probabilidad; es decir,
P (0 X 4)= 04 f ( x) dx= 84
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¿Ahora qué sucede si deseamos calcular P (2 X 3 5)? Lo estimamos en Sección 1 porusar la mitad del rectángulo entre 3 y 4 (vea la próxima figura).
x
P (2 x 3 5)= Área sombreada
x
P (2 x 3 5)= 23 5 f ( x) dx
En cambio, podemos usar la integral definida
P (2 x 3 5)= 23 5 f ( x) dx
Antes de seguir... Aunque no le hemos dado una formula
para f ( x), desear í amos que f ( x) se comporte como descrito más arriba. Hay también algomás que desearí amos: Pues un coche tiene una probabilidad igual a 1 de tener una edad
entre 0 y , requerimos
P (0 X + )= 0+ f ( x) dx=1Inicio de página
Ejemplo 1 sugiera la siguiente definición:
Función de densidad de probabilidad
Una función de densidad de probabilidad es una función f cuyo dominio es unintervalo (a b) y que tiene las siguientes propiedades:
(a) f ( x) 0 por toda x
(b) ab f ( x) dx=1
Permitimos que sea infinita a b o todos dos, como en el ejemplo más arriba, demodo que la integral in (b) serí a impropia.
Calculación de probabilidad por una función de densidad de probabilidad
Una variable aleatoria continua X admite una función de densidad de
probabilidad f si, por toda c y d ,
P (c X d )= cd f ( x) dx
Ejemplo Sea f ( x)=2 x2 en el intervalo [a b]=[1 2] Entonces propiedad (a) se
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html#tophttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm7.html#improperhttp://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html#top
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aplique, pues es positiva 2 x2 en en intervalo [1 2] Para propiedad (b),
ab f ( x) dx= 122 x2 dx= − x2 21=−1+2=1
Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces
Relaciones entre la función e istri!ución
" la función e ensia iscreta#
$ro!a!ilia e inter%alos#
&xiste una relación 'u" i'ortante entre las funciones e istri!ución F ( x)" e ensia f ( x) e una %aria!le aleatoria iscreta# a función eistri!ución en un unto se o!tiene acu'ulano el %alor e la función e
ensia ara toos los %alores el recorrio 'enores o i*uales al unto en
cuestión#
&n efecto suon*a'os ,ue el recorrio e una %aria!le iscreta X es
- x1 x2 ### xk ###. " ,ue esea'os conocer el %alor e la función eistri!ución en un unto x tal ,ue xi / x xi+1 entonces es in'eiato ,ue
F ( x) = P ( X / x) = P ( X = x1) + P ( X = x2) + ### + P ( X = xi) = f ( x1) + f ( x2) + f ( x3)+ ### + f ( xi)
$or ee'lo ara una %aria!le inicaora e un suceso A tene'os la relaciónsi*uiente
Valor de x f ( x ) F ( x )(− 0) 0
0 P ( Ac) P ( Ac)
(0 1) P ( Ac)
1 P ( A) P ( Ac) + P ( A) = 1
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t3.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t7.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t3.htmhttp://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t7.htm
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(1 +) 1
artir e las funciones e ensia " e istri!ución es osi!le exresar las ro!a!iliaes ara cual,uier osi!le inter%alo e %alores e la %aria!le# $oree'lo
Intervalo
P ( X / a) = F (a)
P ( X a) = F (a) − f (a) P ( X a) = 1 − F (a) = 1 − P ( X / a)
P ( X a) = 1 − F (a) + f (a) = 1 − P ( X a)
P (a X / b) = F (b) − F (a)
P (a X b) = F (b) − f (b) − F (a)
P (a / X / b) = F (b) − F (a) + f (a)
P (a / X b) = F (b) − f (b) − F (a) + f (a)
DISTRIBUCIONES DE ROB!BI"ID!DES#FUNCI$N DE ROB!BI"ID!D# FUNCI$N
DENSID!D DE ROB!BI"ID!D % FUNCI$NDISTRIBUCI$N !CU&U"!D!
7na istri!ución e ro!a!ilia e una %aria!le aleatoria es el conunto e ares orenaos (X , f(X)) one f(X) es la función de probabilidad de X (si X es discreta) o función densidad de probabilidadde X (si X es continua)# 7na istri!ución e ro!a!ilia uee estar aa or una ta!la una *r9fica ouna exresión 'ate'9tica (fór'ula) ,ue a las ro!a!iliaes con ,ue la %aria!le aleatoria to'aiferentes %alores#
Tabla 1 Probabilidad de la variable del ejemplo 3
S Valores de X :
x i
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(11) 2
(12) (21) 3
(13) (31) (22) 4
(14) (41) (23) (32) 5
(15) (51) (24) (42) (33) 6
(16) (61) (25) (52) (34) (43) :
(26) (62) (35) (53) (44) 8
(36) (63) (45) (54) ;
(46) (64) (55) 10
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(56) (65) 11
(66) 12
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Fig. " #istograa de la Distribución del eje!lo "
Ejemplo 4: @i lanAa'os una 'onea le*al " reresenta'os or el nB'ero e ensa"os realiAaos ?asta,ue aarece or ri'era %eA un 9*uila entonces el esacio 'uestra corresoniente es infinito "a ,ue?a" un nB'ero infinito e nu'era!le e resultaos a sa!er 1 2 2 3 C De ?ec?o =1 si*nifica ,ueaarece un 9*uila en el ri'er ensa"o =2 inica ,ue ri'ero se o!tiene sol " en el se*uno tiro un9*uila etc# $uesto ,ue las 9*uilas " los soles son i*ual'ente ro!a!les " los ensa"os son ineenientes
tene'os ,ue
De esta 'anera o!tene'os la función e ro!a!ilia
a istri!ución e ro!a!ilia e se uee exresar 'eiante una ta!la co'o se %e a continuación
X f(X)
1 1/2
2 1/4
3 1/
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4 1/1!
" 1/32
Ejemplo 5: @e extraen os tornillos al aAar e un conunto e 10 tornillos cuatro e los cuales est9n
efectuosos# &ncontrar " i!uar la función e ro!a!ilia e la %aria!le aleatoria = nB'ero etornillos efectuosos extraos#
Solució: Eo'o ?a" 10 tornillos e los cuales 4 son efectuosos " se extraen 2 tornillos al aAar (sin
ree'laAo)F entonces el carinal el esacio 'uestra es " X to'a los %alores el 0al 2 "a ,ue al extraer os tornillos sólo uee ocurrir ,ue no sal*a nin*Bn efectuoso un efectuoso o os
efectuosos = -0 1 2.# as ro!a!iliaes resecti%as son
"
!is"ribució de
Probabilidad
#r$fica de l%eas &is"o'rama
f()
0 15G45
1 24G45
2 26G45
3 45G45
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Distribución de !robabilidad de la variable aleatoria del eje!lo ".$
Ejemplo (: a función densidad de probabilidad nor#al est$ndar se efine or
one
a continuación se resenta su *r9fica " oe'os %er ,ue es una cur%a sua%e " continua en lu*ar e una*r9fica e lneas
Fig. $ Función densidad noral estándar
F%&'I& DI*+I,%'I& (-'%%/-D-)
@i X es una %aria!le aleatoria entonces ara cual,uier nB'ero real x% existe la ro!a!ilia
el e%ento ( X to'a cual,uier %alor 'enor o i*ual a x%)#
a ro!a!ilia ,ue eene e la elección e x% es la ro!a!ilia acu'ulaa ?asta x% ,ue esla fució dis"ribució o dis"ribució acumulada " se enota or F(x% )&
F(x% ) =
Ejemplo ): &ncuentre los %alores e la función istri!ución acu'ulaa F(X) e la %aria!lealeatoria X escrita en el ee'lo 3#
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X f(X) F(X)
2 1G36 1G36
3 2G36 3G36
4 3G36 6G36
5 4G36 10G36
6 5G36 15G36
: 6G36 21G36
8 5G36 26G36
; 4G36 30G36
10 3G36 33G36
11 2G36 35G36
12 1G36 36G36
>!sHr%ese ,ue F(X'") ' f(X'2) f(X'3) f(X'4) f(X'") '
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a *r9fica e la función istri!ución acu'ulaa e una %aria!le iscreta es sie're una *r9ficaescalonaa#
Fig. 0 Función distribución !ara la variable aleatoria del eje!lo ".3
Ejemplo *: Ialle los %alores e la función istri!ución acu'ulaa F(X), e la %aria!le aleatoria X elee'lo 5#
f() J()
0 15G45 15G45
1 24G45 3;G45
2 6G45 45G45
?ora e'ostrare'os ,ue la ro!a!ilia e un e%ento se ueeexresar en tHr'inos e la función istri!ución acu'ulaa F(X), one x1 " x2 son os e los %alores
cuales,uiera #
>!sHr%ese ,ue " son e%entos 'utua'ente exclusi%os su unión es el
e%ento #
$or el axio'a 3 e ro!a!ilia o!tene'os
P ( ) = P ( ) + P ( )
Deseano P se tiene
P = P ( ) K P ( ) = F(x2 ) F(x1 )
&n consecuencia F(x) eter'ina en for'a Bnica la istri!ución e ro!a!iliaes e la %aria!le aleatoria corresoniente#
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F%&'I& DI*+I,%'I& P-+- V-+I-,/1 -/1-*2+I-'2&*I&%-
@i X es una %aria!le aleatoria continua entonces la re*la e la corresonencia ,ue efine la funciónistri!ución acu'ulaa F(X) es
Ie'os usao * ara reresentar la %aria!le e inte*ración "a ,ue x se usa ara reresentar al l'itesuerior e la inte*ración# &l inte*rano f es la función ensia e ro!a!ilia " al eri%ar la exresiónanterior (
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Fi'+ 4+) Fució dis"ribució
3# si X es continua#
4# @i X es continua
Ejemplo 4+,: Deter'inar el %alor e la constante c tal ,ue f(x) efina una función ensia en el inter%aloao " eter'inar la re*la e corresonencia e la función e istri!ución acu'ulaa corresoniente#
a#
!#
Solució: a inte*ral so!re too el inter%alo es la ro!a!ilia el esacio 'uestral ,ue es i*ual a 1# 7na
%eA e%aluaa la inte*ral efinia se esea la constante c lo cual *arantiAar9 ,ue la función o!tenia esuna función ensia e ro!a!ilia#
a#
!#
@ustitu"eno el %alor e c se o!tiene la función ensia
a función istri!ución es entonces la inte*ral e la función ensia ara cual,uier inter%alo
(0x) la cual er'itir9 calcular ro!a!iliaes ara cual,uier inter%alo#
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c# $ara el se*uno caso se ?ar9 lo 'is'o ,ue ara el anterior con la iferencia ,ue tene'os unainte*ral i'roia#
a función ensia es entonces
/as !ro!iedades de la función distribución acuulada son
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4. si X es iscreta
si X es continua#
3. si X es continua#
". @i X es continua
BIBLIOGRAFIA
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