Deduccin de la Ecuacin del Calor

MOTIVACININTRODUCCION:La ecuacin del calor fue propuesta por Fourier en 1807en su memoria sobre la propagacin del calor en los cuerpos slidos.En ella propona adems el germen de lo que pasara a ser la Teora de las Series de Fourier.Tan controvertida fue esta ltima, que tom quince aos, hasta 1822, para que la Academia de Ciencias decidiese publicarla.

QUE ES?:La ecuacin del calor es un modelo matemtico (quizs el ms sencillo) que trata de describir la evolucin de la temperatura en un cuerpo slido.

CAMPOS EN LOS QUE SE EMPLEA:La ecuacin del calor es de importancia fundamental en campos cientficos diversos. Enmatemticas, es el prototipo deecuacin diferencial parcial parablica. Enestadstica, la ecuacin del calor est conectada con el estudio deMovimiento browniano; laecuacin de la difusin, una versin ms general de la ecuacin del calor, se presenta con respecto al estudio de la difusin qumica y de otros procesos relacionados.

QUE DESCRIBE:La ecuacin del calor describe cmo se distribuye la temperatura en un cuerpo slido en funcin del tiempo y el espacio. El inters en su estudio radica en las mltiples aplicaciones que tiene en diversas ramas de la ciencia. En las matemticas generales, representa la tpica ecuacin en derivadas parciales parablica y concretamente en la estadstica est relacionada con los procesos aleatorios. Por otro lado, en el campo de la qumica nos predice, entre otros procesos de transferencia de calor, que si juntamos un material a 0 y otro a 100, rpidamente la temperatura del punto de conexin entre ambos ser de 50.CONOCIMIENTOS PREVIOSMETODO DE SEPARACIN DE VARIABLES:Este mtodo busca una solucin particular en forma de un producto de una funcin de x, una funcin de y, comoU(x,y)= X(x). Y(y)A veces es posible convertir una ecuacin en derivadas parciales lineal con 2 variables en 2 ecuaciones ordinarias.Para hacerlo notemos que:

De esta forma el problema de resolver una ecuacin en derivadas parciales se reduce al problema ms conocido de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Ilustraremos esta tcnica para la ecuacin del calor.Solucin a una ecuacin diferencial de primer orden y orden superior:

Condiciones para hallar la Ecuacin del calor:La ecuacin unidimensional del calor es el modelo de variacin de la temperaturau segn la posicinxy el tiempoten una varilla calentada de longitudLy de temperatura inicialf(x) que se extiende a lo largo del ejexy cuyos extremos se mantienen a una temperatura constante de cero grados en todo instante. Si El flujo de calor se produce solamente en la direccin del eje x. No se pierde calor a travs de la superficie lateral de la varilla. No se genera calor en la varilla. la varilla es homognea, esto es, su densidad por unidad de longitud es constante. su calor especfico y su conductividad trmica son constantes,

A continuacin de deduciremos cmo llegar a la expresin final de la citada ecuacin en una dimensin:

Imaginemos una vara de longitud L, seccin transversal S, fina, homognea (toda ella est compuesta por el mismo material) y completamente aislada del exterior. Estas consideraciones permitirn que las leyes fsicas que emplearemos dependan nicamente de la posicin x y del tiempo t. LSFlujo de calor entranteFlujo saliente

x

En el proceso de derivacin de la ecuacin se emplearn las siguientes magnitudes:u(x,t)= Temperatura de la vara para la posicin x y el instante de tiempo tQ(x,t)= Flujo (o cantidad) de calor en la direccin positiva de x para la posicin x y el instante de tiempo t x unidad de superficie.

Si aplicamos el Principio de Conservacin de la Energa sobre la vara de cobre en el segmento x+ x, obtendremos que: Variacin de la energa interna (calor) = Flujo de calor entrante Flujo de calor salienteLa expresin matemtica correspondiente ser la siguiente:

Por otro lado, existe una ley fsica que relaciona que el calor Q(x,t), con la masa m y la temperatura u(x,t) llamada Ecuacin Fundamental de la Termologa, de la siguiente forma:

Esta ecuacin describe el proceso de calentamiento de una fase de un cuerpo (por ejemplo, cmo el agua pasa de -50 a 0), en la que es una constante caracterstica del material (la vara en nuestro caso), determinada experimentalmente, que representa su calor especfico.

Consideremos nuevamente, a continuacin, el segmento infinitesimal (x, x + x) . Como la seccin transversal de la vara tiene una superficie S, el volumen resultante ser Sx. Si ahora introducimos un nuevo parmetro,, que represente la densidad del material, podremos establecer la siguiente relacin:

m=SxSustituyendo en la ecuacin del calor especfico llegaremos al resultado siguiente:

Derivando respecto al tiempo:

De esta manera, hemos obtenido otra expresin para Q(x,t). El siguiente paso consiste en combinarla con el principio de conservacin del calor que enunciamos anteriormente. Por consiguiente:

Dividiendo ambos miembros entre Sx:

Ahora extraemos un signo menos como factor comn del miembro de la derecha y nos queda lo siguiente:

Hemos suprimido los subndices porque se trata, al fin y al cabo, de la misma funcin evaluada en puntos diferentes. Si, a continuacin, hacemos tender x a 0:

El resultado es la derivada parcial de Q(x,t), respecto a x. Reescribiendo la expresin:

Finalmente, aplicaremos la Ley de Fourier de Conduccin del Calor, que nos indica que el flujo de calor se traslada en direccin opuesta al gradiente de la temperatura y es proporcional a l:

La constante k hace referencia a la conductividad trmica del material. Si aplicamos esta ley a una nica dimensin (la de x), obtendremos que:

Por lo tanto, lo nico que nos resta para llegar a la ecuacin final es sustituir esta ltima expresin, con lo que nos quedar que:

Agrupando todas las constantes en un miembro:

Representa la difusividad de la vara:A partir de este ltimo paso se puede generalizar fcilmente esta expresin para las tres dimensiones. El resultado ser:

PROBLEMA PROPUESTO:Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo [0, L], tal que la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0C en cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla se mantiene a 0C en cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla est dada por F(x)=x(L-x). Determina la temperatura u(x, t), de la varilla, conociendo que el modelo matemtico de este problema viene dado por:

Para resolver este problema usamos el mtodo de separacin de variables y asumimos que:

Luego obtenemos las derivadas de la ecuacin:

Luego reemplazando en la ecuacin:

Aplicando la separacin de variables:

De donde obtenemos dos ecuaciones diferenciales:

La solucin para esta ecuacin se asume como:

Se obtiene:

1.- :

La solucin es de la forma:

Hallando A y B usando los valores de frontera:

Como A y B=0 nos da una solucin trivial donde:

2.- :

La solucin es de la forma:

Hallando A y B usando los valores de frontera:

Como A y B=0 nos da una solucin trivial donde:

3.-

La solucin es de la forma: Hallando A y B usando los valores de frontera:

Ahora X(x) es:

Luego se obtiene la solucin para la segunda ecuacin diferencial que est en funcin de t:

Expresando en sumatoria:

Ahora se usa la condicin inicial:

Procedemos a integrar por partes:

Integramos otra vez por partes:

Luego:

La solucin es:

AUTOEVALUACIN:1.- Por qu decimos que la densidad del fragmento de barra que estamos analizando permanece constante a pesar de que hay una variacin de temperatura?Como sabemos un incremento en la temperatura hace que la densidad de un material vare debido a que este se dilata y aumenta su volumen, pero como estamos un fragmento casi infinitesimal la dilatacin que este experimenta es casi nula, por ende su densidad se mantiene constante. 2.-Encontrar la solucin a la ecuacin de calor.

RPTA:

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