8/16/2019 Curvas en el espacio
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Curvas en el espacio
Sea ( ) f t una función vectorial de una variable escalar t :
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3ˆˆ ˆ f t f t i f t j f t k = + +
Entonces para cada valor de t existe un vector de posición dado por:ˆˆ ˆr xi yj zk = + +r
Cuyo punto inicial está en el origen de coordenadas dado y cuyo punto final especifica
un punto p del espacio. Cuando t varía, se dice que P se mueve en una trayectoria
curva. sí por la definición de igualdad de vectores:
( )1 x f t = ! !( )2 y f t = ( )3 z f t =Estas ecuaciones se llaman ecuaciones param"tricas de la curva C en el espacio
con t como parámetro.
Sea P un punto de una curva C para el cual ( ) f f t = y Q el punto que corresponde a
( ) f t t + ∆ , entonces: ( )0
lim 't
R f t
t ∆ →=
∆
rdonde ( ) ( ) R f t t f t = + ∆ − es decir R
resultante de PQ. sí
es el vector
( )' f t es un vector tangente a la curva espacial C en P .
Q
P
#na regla práctica para $allar la dirección de la resultante,
solamente para el caso de vectores de posición, es que
esta resultante siempre estará dirigida $acia el vector de
posición positivo.
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#n punto t i en una curva en el espacio C se llama punto singular de C si ( )' 0 f t =
de otro modo, se llama punto no singular.
%a dirección de la curva en el espacio C en un punto P , es la del vector tangente a C
en P . #na función vectorial suave es una función vectorial que tiene una derivada
continua y no tiene puntos singulares.
Diferenciación de vectores
%as reglas de diferenciación de funciones vectoriales son similares a las
correspondientes, para funciones escalares, con una excepción, para diferenciar el
producto vectorial &cru'( de funciones vectoriales debe conservarse el orden de los
factores, porque el producto cru' no es una operación conmutativa.
Si ( ) ( ) ( ), y A t B t C t son funciones vectoriales diferenciables, además se tiene que
( ) ( )yt t α ϕ son funciones escalares diferenciables, entonces las reglas de
diferenciación que cumplen estas funciones son:
).* ( ) ( ) ( ) ( )' 'd
A t B t A t B t dt + = +
r rr r
+.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd
t A t t A t t A t dt ϕ ϕ ϕ = +
r r r
.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd
A t B t A t B t A t B t dt
× = × + × r r rr r r
-.* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 'd
A t B t A t B t A t B t dt × = × + ×
r r rr r r
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Regla de la cadena para funciones vectoriales
Si t es una variable de una función ( ) A t pero se tiene tambi"n que t es una función
de una variable s por tanto ( )t g s= , así la regla de la cadena se aplica de la siguiente
manera:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d A g sdA t dA t dA t dg sdt
ds ds dt ds dt ds
= = =
Derivadas de funciones vectoriales de mas de una variable
#na función vectorial f de dos variables yu v asigna a cada punto ( ),u v
región un vector nico
de alguna
( ), f u v
En un sistema coordenado rectangular que sea dependiente de tres variables , yu v w
la función ( ), , f u v w se representa como:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 ˆˆ ˆ, , , , , , , , f u v w f u v w i f u v w j f u v w k = + +/onde las componentes
1 2 3, , f f f son funciones escalares dependientes de las variables
, y .u v w %a derivada parcial u f del vector f se define por:
u
f f
u
∂=
∂
r
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/e modo similar, definimos las derivadas parciales de f yv wcon respecto a , así:
v
f f
v
∂=
∂
rw
f f
w
∂=
∂
r!
%as derivadas parciales de orden superior se pueden definir tambi"n de esta manera.2
2uu
f f
u
∂=
∂
r! !uv
f f
v u
∂ ∂= ÷∂ ∂
rvw
f f
w v
∂ ∂=
÷∂ ∂
r
Longitud de una curva
%a longitud de arco ( ) L t de una curva es una función de la variable escalar t desdealgn punto fi0o $asta t .
( ) ( )'t
a
L t f t dt = ∫ r
Problema.* plique la formula de longitud de arco para $allar la longitud de la curva
2 1 y x= + ! con x definida en el rango 1 3 x− ≤ ≤ . Compruebe su resultado observandoque la curva es un segmento rectilíneo y calculando su longitud con la formula dedistancia.
Solución.- 1ara esta curva el vector ( ) f x es: ( ) ( )ˆ ˆ2 1 f x xi x j= + +
%a derivada de esta función es: ( ) ( )ˆ ˆ' 2 ' 5 f x i j f x= + ⇒ = , por tanto ( ) L x es:
( ) ( ) ( ) ( )
33
11
' 5 5 5 3 1 4 5
x
a L x f x dx dx x −
−= = = = − − = ∫ ∫ r
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1ara comprobar el resultado calculemos la distancia entre dos puntos con los límites
para x dados en el problema. sí para ( )1 2 1 1 1 x y= − ⇒ = − + = − , para 3 7 x y= ⇒ =
%a distancia entre estos dos puntos es ( ) : L x ( ) ( ) ( )2 2
3 1 7 1 4 5 L x = + + + =
2tra forma de $allar esto es: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ̂
1 3 3 7 f x i j f x i j= − = − − ⇒ = = +( ) ( ) ( ) ( )
2 21 3 3 1 7 1 4 5 PQ f x f x= = − − = = + + + =
r r
Problema.* 3race la gráfica de la curva
y encuentre su longitud exacta.
( ) ( )cos , sin 0 2t t x e t y e t t π = = ≤ ≤
Solución: %a función del vector de posición es: ( ) ( ) ( )ˆ ˆcos sint t f t e t i e t j= +
%a derivada de esta función respecto del parámetro t esta dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ' cos sin sin cost t t t f t e t e t i e t e t j = − + +
%a magnitud es el valor absoluto de esta derivada:( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
' cos sin sin cos 2t t t t t f t e t e t e t e t e = − + + = r
1or tanto la longitud de arco es:
( ) ( ) ( )2
2 2
0
0
' 2 2 2 1
x
t t
a
L t f t dt e dt e e
π π
π = = = = − ∫ ∫ r
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Vector Tangente y Curvatura
1ara efectos de notación $aremos una precisión acerca de la longitud de arco L y la
función de longitud de arco, que llamaremos s(t). sí llamaremos L a la longitud de
arco escalar en el cual el parámetro t est" definido entre los extremos a y b.
( )' ;b
a
L f t dt a t b= ≤ ≤∫ r
1or lo que la función de longitud de arco s(t) tiene la misma definición de L, pero uno
de sus extremos &el superior( no está definido.
( ) ( )'t
a
s t r t dt = ∫ r ( )
( )'ds t
r t dt
= r
con ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f t r t f t r t = ⇒ =
Si C es una curva suave definida por la función vectorialparam"trica del vector de posición , en donde( )r t ( )' 0.r t ≠
Se tiene que el vector es tangente a la curva en
un punto 1 generali'ado. Se define al vector unitario
tangente con la misma dirección de como:
( )'r t
( )'r t
( )
( )
( )
'
'
r t
T t r t =
r
r ( ) 1T t =
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Cada uno de los vectores en la curva mostrada representa
al vector , por lo que puede decirse que indica la
dirección de la curva.
( )T t ( )T t
%a curvatura de C en un punto dado es una medida de que tan rápido la curva cambiasu dirección en un punto. sí, se define la curvatura &k ( como la variación del vector
tangente unitario respecto de la longitud de arco.
( )dT t k
ds
= ( ) ( )dT t T t ds
dt ds dt
= ( )
( )( )
( )
'
'
dT t dT t T t dt
dsds r t dt
= =
r r
r( )
( )
'
'
T t k
r t
= rcon ⇒ ⇒
Los vectores ormal y !inormal
En un punto dado de una curva suave definida en forma param"trica por el vector de
posición , $ay muc$os vectores que son ortogonales al vector unitario tangente,
pero tengamos en cuenta que la magnitud de es constante, es decir
( )r t
( )T t ( ) 1T t =
( ) 2
1T t =r ( ) ( ) 1T t T t × = ( ) ( ) ( ) ( )2 ' 0d T t T t T t T t dt
× = × = r r r r
1uede verse entonces que son ortogonales, así se define un vector
unitario que llamaremos normal, de la siguiente manera:( ) ( )y 'T t T t
( ) ( )
( )
'
'
T t N t
T t =
rr ( ) 1 N t
=
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Con los dos vectores se puede construir una base de tres vectores
ortonormales, en donde el tercer vector se denomina binormal, se define como:( ) ( )yT t N t
( ) ( ) ( ) B t T t N t = ×
( )' 1 B t =
sí, estos tres vectores forman una tríada que se despla'a punto a punto sobre la
curva C, como se muestra en la figura de arriba. En función de estos vectores se
definen planos sobre la curva que se conocen como: a( 1lano 4ormal.* es el plano
formado por los vectores . b( 1lano 2sculante.* es el plano formado por
los vectores . c( 1lano 3angente.* es el plano formado por los vectores
( ) ( )y B t N t
( ) ( )yT t N t ( ) ( )y . B t T t
1roblema.* Encuentre los vectores unitarios Tangente, ormal y !inormal para:
a( ( ) 2 323, ,r t t t t =r
1&),+5,)( b( ( ) , sen , cost t t r t e e t e t =r
1&),6,)(
Solución.- 1ara el inciso a( se tiene:
( ) ( )
( )
$ $ $ $2
2 4
' 2 2 2 2
3' 4 4 1
r t ti t j k i j k T t
r t t t
+ + + += = =
+ +
r $ $rr
( )
( )
( )
'
'
T t N t
T t =
uuruur ( )
$ $$ $
( ) ( )
12
22 2 4
2 4
2 22 2 4 4 1
4 4 1
ti t j k T t ti t j k t t
t t
−+ += = + + + +
+ +
$r$
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( ) $( ) ( ) ( ) ( ) $ $( )31
2 22 4 2 4 3 21' 2 4 4 4 1 4 4 1 8 16 2 22
T t i t j t t t t t t ti t j k − − = + + + + − + + + + + ÷
r$ $
( )2 2 2
6 12 12 1 324 18' 36 144 144
27 27 27 27 27 27T t
= + + = + + = = ÷ ÷ ÷
r
( ) ( )( )
$ $' 6 12 12 27 1 2 2, ,27 18 3 3 3'
T t i j k N t T t
− + − = = = − − ÷ ÷
$uur uur
( )
$( ) $ $( )
$( ) $ $( ) $ $2 4 9 2 4 12 2 212 6 12 12' 2 23 27 27 27
i j i j i j k i j k
T t i j k
+ + − + + − + −= − + + = =
$ $ $ $r$
l ser estos vectores ortonormales su producto punto es cero:
( ) ( )
$ $ $ $2 2 2 2 2 4 2
03 3 9
i j k i j k
T t N t
+ + − + − − + −
× = × = = ÷ ÷ ÷ ÷
$ $ur uur
( ) ( ) ( )
$ $
( ) $( ) $( ) $ $( )1 1
2 2 1 4 2 4 1 4 2 6 3 69 9
1 2 2
i j k
B t T t N t i j k i j k = × = = − − − − + + + = − + + − −
$ur ur uur
$ $
( ) $ $( ) $ $1 2 2 2
6 3 69 3 3 3
B t i j k i j k = − + + = − + +ur
$ $
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1ara el inciso b( se tiene:
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $
( ) ( )2 2
2
sen cos cos sen'
'sen cos cos sen
t t t t t
t t t t t
e i e t e t j e t e t k r t T t
r t e e t e t e t e t
+ + + −= =
+ + + −
r $rr
( ) $ $sen cost t t r t e i e t j e tk = + +r $
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $
( ) ( )2 2
sen cos cos sen'
' 1 sen cos cos sen
t
t
e i t t j t t k r t T t
r t e t t t t
+ + + − = =+ + + −
r $r
r
( ) ( ) $ ( ) $
( ) ( )2 2 2 2
sen cos cos sen
1 sen 2sen cos cos cos 2sen cos sen
i t t j t t k T t
t t t t t t t t
+ + + −=
+ + + + − +
$r
( ) ( ) $ ( ) $sen cos cos sen
3
i t t j t t k T t
+ + + −=
$r
( ) ( ) $ ( ) $cos sen sen cos
'
3
t t j t t k T t
− − +=
r( )
( ) ( )2 2
cos sen sen cos'
3
t t t t T t
− + +=
r
( ) ( ) ( )2 2 2 2cos 2sen cos sen sen 2sen cos cos 2
'3 3
t t t t t t t t T t
− + + + += =
r
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $' cos sen sen cos 3
23'
T t t t j t t k N t
T t
− − += = ÷
uuruur
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Comprobemos el producto punto entre los vectores 3angente y 4ormal
( ) ( ) ( ) $ ( ) $ ( ) $ ( ) $sen cos cos sen cos sen sen cos
3 2
i t t j t t k t t j t t k T t N t
+ + + − − + − −× = ×
$ur uur
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sen cos cos sen cos sen sen cos6
t t t t t t t t T t N t + − + − − −× =ur uur
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2sen cos sen cos sen cos sen cos cos sen sen cos
06
t t t t t t t t t t t t T t N t
− + − + − − + +× = =
ur uur
( ) ( ) ( )
$ $
( ) ( )
( ) ( )
1 1 sen cos cos sen6
0 cos sen sen cos
i j k
B t T t N t t t t t
t t t t
= × = + −− − −
$
ur ur uur
( ) ( ) ( ) $ ( ) $ ( ){ }2 21 sen cos cos sen cos sen 0 cos sen 06
B t i t t t t j t t k t t = + − − − − + − + − − ur
$
( ) $( ) ( ) $1
4sen cos cos sen cos sen6
B t t ti j t t t t k = + + + − ur
$
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1roblema.* Encuentre los vectores unitarios Tangente, ormal y !inormal, y la
curvatura k para:
( ) 3 2 31 13 3, ,r t t t t t t = − +r
Solución.- El vector de posición en su forma vectorial es:
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $
( ) ( )
( ) $ ( ) $
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 4 2 2 42 2 2
1 2 1 1 2 1'
' 1 2 4 1 21 4 1
t i t j t k t i t j t k r t T t
r t t t t t t t t t
− + + + − + + += = =
− + + + + +− + + +
r $ $rr
( ) ( ) ( )3 2 31 13 3 ˆˆ ˆr t t t i t j t t k = − + + +r
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $ ( ) $ ( ) $
( )
( ) $ ( ) $
( )
2 2 2 2 2 2
2 4 22 4 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1'
' 2 4 2 2 1 2 2 1
t i t j t k t i t j t k t i t j t k r t T t
r t t t t t t
− + + + − + + + − + + += = = =
+ + + + +
r $ $ $rr
( ) ( )
( )
( ) $ ( ) $
( )
2 2
2
1 2 1'
' 2 1
t i t j t k r t T t
r t t
− + + += =
+
r $rr ( )
( )
( )
'
'
T t N t
T t =
rr
( )$ $( ) ( ) ( ) $ ( ) $
( )
2 2 2
22
2 2 2 2 1 1 2 1 2 2'
2 1
ti j tk t t i t j t k t T t
t
− + + + − − + + + =+
$ $r
( )
$ $( ) ( ) ( ) $ ( ) $
( )
2 2 2
22
1 1 2 1
' 21
ti j tk t t i t j t k t
T t t
− + + + − − + + + = =+
$ $r
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( ) ( )
( )
( ) ( ) $
( )
2
22
2
22 1
1'
2'
1
ti t jt T t
N t T t
t
− + − += =
+
$uur
uuruur
( ) ( ) ( ) ( ) $ ( ) ( ) $
( )
2 2 2 2 2 2
22
1 1 1 2 1 1' 2
1
t t t t i t t j t t t t k T t
t
− + − − + + − + + − + =+
$r
( ) ( ) $
( )
2
22
2 1' 21
ti t jT t t
− + − = +
$
r ( )( )
( ) 22 2
22
2' 4 11
T t t t t
= + − +
r
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
22 2 4 2
2 2 22 2
2 2 2' 4 1 2 1
11 1
T t t t t t
t t t
= + − + = + =
++ +
r
( ) ( )
( )
( ) $
( )
2
2
2 1'
1'
ti t jT t N t
t T t
− + −= =
+
$uuruur
( )
( )
'
'
T t k
r t = r
( )
( ) ( )
2
22 2
2
1 1
1 2 1
t k
t t
+= =
+ +
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( ) ( ) ( )( )
$
( ) ( )
( )
2 2
22
2
ˆ
11 2 1
2 12 1 0
i j k
B t T t N t t t t t
t t
= × = − ++
− −
$
ur ur uur
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) $ ( ) ( ) ( ){ }2 22 2 2 2
22
1 ˆ1 1 2 1 1 22 1
B t T t N t t t i j t t k t t t
= × = − − + − + + − + +
ur ur uur$
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) $ ( ) ( ){ }
22 2 2 2
22
1 ˆ1 1 2 1 1
2 1
B t T t N t t t i j t t k t
t
= × = − − + − + + +
+
ur ur uur$
( ) ( ) ( ) ( ) $ ( )
( )
2 2
2
ˆ1 2 1
2 1
t i t j t k B t T t N t
t
− − + += × =
+
$ur ur uur
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