PROF. MARIELY GÓMEZ
CURVAS DE TRANSICIÓN
Clotoide Enlace
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CURVAS DE TRANSICIÓN
V: Vértice de la curva.
Δ : Angulo de deflexión.
α : Angulo entre rectas o tangentes.
O : Origen del circulo.
Өe : Angulo tangencial en el EC o CE.
γ : Angulo al centro del arco circular
Elementos:
Rc : Radio de la curva circular
TE : Unión tangente-espiral
EC : Unión espiral-círculo
CC : Centro de la curva circular
EC : Unión círculo-espiral
ET : Unión espiral-tangente
Le : Longitud espiral
Lc : Longitud arco de círculo
Xc, Yc : Coord. Rectangulares, EC o CE
Cl, φe : Coord. Polares, EC o CE
T: Subtangente de la clotoide
K : Abscisa del centro del círculo
U: Subtangente corta de la clotoide
N: Normal
G: Subnormal
D : Desplazamiento del círculo
TL: Tangente larga dla clotoide
Tt: Subtangente total (clotoide+círculo)
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CURVAS DE TRANSICIÓN
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Fórmulas para el cálculo:• Los datos básicos son Rc, Le y ∆• La figura anterior muestra el arco de clotoide entre el TE y el EC• En un PSC situado a L metros del TE, se obtienen las siguientes fórmulas:
• Radio de curvatura en PSC=R
•En el EC (o CE) R = Rc
L
AR
L
LRR
LRLR
ALR
ALR
2
ec
ec
2ec
2
• Ángulo tangencial en un PSC = θ
• En el punto EC (o CE)
R2
L
A2
L
LR2
L
LR2
L
LR
dLLd
L
LRR
,R
dLd
2
2
2
ec
2
ec
ec
c
ee
2
2e
e
ec
2e
e
R2
LA2
L
LR2
L
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Dividiendo θ entre θe se obtiene
Los valores de los ángulos están en radianes.
El Punto Característico: R=L=AEn este punto θ=L/2R=L/2L=0,5 radianes = 28ª38´52,4”
2
ee
2e
2
e
L
L
L
L
• Coordenadas Cartesianas de un PSC (X e Y)
2e
2
e
2e
2
e
2e
2
e
L
0
L
0
L
LsendLdY
L
LcosdLdX
L
L
dLsenY
dLcosX
sendLdY
cosdLdX
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...936021610
1LX
...dLA2
L
!6
1dL
A2
L
!4
1dL
A2
L
!2
1dLX
dL....!6!4!2
1X
...!6!4!2
1cos
642
L
0
6
2
2L
0
L
0
4
2
22
2
2L
0
L
0
642
642
El desarrollo en serie de cosθ es:
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...756001320423
LY
...dLA2
L
!7
1dL
A2
L
!5
1dL
A2
L
!3
1dL
A2
LY
dL....!7!5!3
Y
...!7!5!3
sen
753
L
0
7
2
2L
0
L
0
5
2
23
2
2L
02
2
L
0
753
753
Del mismo modo, el desarrollo en serie de senθ es:
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En el punto EC (o CE) se cumple que:
Estando θe en radianes.
...756001320423
LY
...936021610
1LX
7e
5e
3ee
ec
6e
4e
2e
ec
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CURVAS DE TRANSICIÓN
• Coordenadas Polares de un PSC (Φ, C)
C = cuerda
• En el punto EC (o CE):X
Yarctan
X
Ytan
YXC 22
c
ce
c
ce
2c
2c
X
Yarctan
X
Ytan
YXCL
• Ubicación del arco circular: El centro del arco del círculo se puede ubicar respecto del TE (o ET) mediante las distancias K y Rc+D, donde: K= abscisa del centro del círculo D= desplazamiento del círculo o retranqueo Rc= radio del círculo
En la figura de la clotoide enlace se observa que:
En la misma figura se observa que:
ecc
ec
c
senRXK
senRAC
ACXK
ecc
eccc
cos1RYD
cosRYDR
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CURVAS DE TRANSICIÓN
Si en las ecuaciones anteriores se reemplaza Xc y Yc por las expresiones deducidas anteriormente, se desarrolla en serie el coseno y el seno de θe y se sustituye Rc =Le/2θe, se obtienen las siguientes expresiones:
La distancia D es el desplazamiento que debe efectuarse en la curva circular respecto de la tangente para poder introducir la clotoide.
Cuando D es muy pequeño, lo cual ocurre en curvas de radios muy grandes, la diferencia entre la curva circular simple y la curva con clotoide es muy pequeña. Normalmente se considera que cuando D≤0,10, la curva de transición tiene poca significación.
600.209.1840.1533612LD
...040.131160.2602
1LK
7e
5e
3ee
e
6e
4e
2e
e
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• Ubicación del TE (o ET) En la figura clotoide enlace, se puede observar que:
Entonces:
2
tanDRAV
AVKT
c
T
K2
tanDRT cT
• Ubicación del CC
Entonces:
2cos
DROV
ROVE
c
c
c
c R
2cos
DRE
• Elementos del Arco Circular
180RL
2
cc
e
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CURVAS DE TRANSICIÓN
• Otros Elementos de la clotoide
GXT
UXT
tanYG
cos
YN
ancotYU
sen
YT
c
cL
ec
e
c
ec
e
cC
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Enlace de transición total
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Nomenclatura correspondiente a la clotoide de enlace:
V: Vértice de la curva.
K: Abscisa del centro del circulo.
Δ : Angulo de deflexión.
α : Angulo entre rectas o tangentes.
Өe: Angulo tangencial en el ECE.
γ: Angulo al centro del arco circular.
O : Centro del circulo
Rc: Radio de la curva circular.
TE: Unión Tangente - Espiral
ECE: Unión Espiral – Circulo - Espiral
ET: Unión Espiral - Tangente
Le: Longitud de clotoide TE – ECE (ECE – ET).
Xc, Yc: Coord rectangulares de ECE.
Cl, Φe: Coord polares de ECE.
D: Desplazamiento del circulo.
T: Subtangente de la clotoide.
TL: Tangente larga de la clotoide.
TC: Tangente corta de la clotoide.
U: Subtangente corta.
N: Normal.
G: Subnormal
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Ejemplos.
1-. Rc =240 θe= 13°14´48”Calcule los elementos de la clotoide:
Entramos con “θe”
k = 0,339395 x 163,20 K = 55,39
l = 0,680 x 163,20 Le = 110,976
x = 0,676374 x 163,20 Xc = 109,94
y = 0,052206 x 163,20 Yc = 8.52
θ = 13°14´48” = θe
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t = 0,688664x 163,20 T = 112.39
r = 1,470588 x 163,20 Rc = 240
d = 0,013076 x 163,20 D = 2.13
c = 0,678386 x 163,20 Cl = 110,71
Rc = A x r
A = Rc/ r (mantener fijo Rc)
A = 240/1,470588
A = 163,20
ф = 04°24´49” = фe
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