2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.

METODOS CARACTERISTICAS EJEMPLOS

METODO DEBISECCIÓN

Si f es una función continua sobre

el intervalo [a,b] y si f(a) f(b)<0,

entonces f debe tener un cero en

(a,b). Dado que f(a)f(b)<0, la

función cambia de signo en el

intervalo [a,b] y por lo tanto tiene

por lo menos un cero en el

intervalo.

Esta es una consecuencia

del teorema del valor intermedio

para funciones continuas, que

establece que si f es continua en

[a,b] y si k es un número entre f(a)

y f(b) , entonces existe por lo

menos un c   (a,b) tal que f(c)=k.

(para el caso en que f(a)f(b)<0 se

escoge k=0, luego f(c)=0, c   (a,b)).

Consiste en dividir el intervalo en 2

Encontrar x con un error más pequeño que 0.05 el punto de corte de las funciones h(x) = sen(x) y g(x) = −x +

Dado que queremos encontrar la solucion de la ecuación senx = −x + 1 lo que vamos a hacer es definir la función f(x) = sen(x) + x − 1 y encontraremos sus ceros mediante el método de la bisección.

x1 = 0 x2 = 1

f(x1) = −1 f(x2) = 0,8415

X3X1+X22

=0,5→∈<0,5

f (x3 )=−0,0206

X3 = 0,5 x2 = 1

f(x3) = −0.0206 f(x2) = 0,8415

x4X3+X22

=0,75→∈<0,25

f (x4 )=−0,4316

X3 = 0,5 x4 = 0.75

subintervalos de igual magnitud,

reteniendo el subintervalo en donde

f cambia de signo, para conservar

al menos una raíz o cero, y repetir

el proceso varias veces.

f(x3) = −0.0206 f(x4) = 0.4316

x5X3+X 22

=0,625→∈<0,125

f (x5 )=−0,2101

X3 = 0,5 x5 = 0.625

f(x3) = −0.0206 f(x5) = 0.2101

x6X3+X52

=0,5625→∈<0,0625

f (x6 )=−0,0958

X3 = 0,5 x6 = 0.5625

f(x3) = −0.0206 f(x6) = 0.0958

x7X3+X62

=0,53125→∈<0,03125

f (x7 )=−0,0379

Hemos encontrado que 0,53125 ± 0,03125 es solución de la ecuación y por tanto será el punto de corte de las dos funciones dadas

METODO REGLA FALSA

El método de la regla falsa combina

dos métodos el de bisección

y el de la secante. Este método

consiste en encontrar la raíz de una

ecuación. La ecuación tiene la

forma f(x), es decir, es una función

de x. Además, f(x) está definida en

el intervalo [a, b]. Este método

requiere de varias condiciones:

1.- F(a)*f (b) < 0 Es decir, que el

producto de la función de x,f(x),

evaluada en a, f(a),multiplicada por

la función de x, f(x), evaluada en b,

f (b), sea negativo (menor a cero).

2.-Que la función f(x) se aproxime

por otra función.

Encontrar la raíz de f(x)=cosx por el método de la falsa posición en el intervalo [1,2] y Ɛs =0.001.

SOLUCION:

a=1, b=2

f(a=1)=cos 1 = 0.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.5403)*(-0.4161) < 0 si hay raíz C_ant= 99999 para arrancar Itera=0 Ɛs =0.001

Encontrado= False

METODO NEWTON RAPHSON

Este método parte de una

aproximación inicial x0 y obtiene

una aproximación mejor, x1, dada

por la fórmula:

El método de Newton es muy

rápido y eficiente ya que la

convergencia es de tipo cuadrático

(el número de cifras significativas

se duplica en cada iteración). Sin

embargo, la convergencia depende

en gran medida de la forma que

adopta la función en las

proximidades del punto de

iteración.

Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función G!-) 2P 9 8 ]Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene:

f ( x )=2x−13

f ' ( x )=2x ln2 (Derivada Implicita)

Entonces =X n+1=x

n−¿2xn− 1

32xn ln 2

¿

g' ( xn )=1−¿¿

¿1− 13∗2x

Según la propiedad |g' (x )|≤ L<1

Entonces

|1− 13∗2x|<1

1<1− 13∗2x

<1

66>2−x>0 /¿ ln

ln 6>−x∗ln 2> ln 0¿ −1

−ln 6ln 2

<xln0→x∈|−ln6ln 2,∞|

METODO PUNTO FIJO

El Método de Punto Fijo (también

conocido como iteración de punto

fijo), es otro método para hallar los

ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0,

se reordena en una forma

equivalente:

f(x) = 0

x - g(x) = 0

x = g(x)

Ejemplo: F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

= x2 - 2x - 3 = 0

x2 = 2x + 3 = 0

x=√2 x+3

x=g ( x )=√2x+3

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:

Xo = 4

x1=g (x0 )=√2 (4 )+3=¿3.31662 ¿x2=g (x1 )=√2 (3.31662 )+3=3.103x3=g (x2 )=√2 (3.3103 )+3=3.0349

x4=g (x3 )=√2 (3.0349 )+3=3.011

x5=g (x4 )=√2 (3.0114 )+3=3.003

Los valores son: x = 3