cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación
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2. Construir un cuadro comparativo de los métodos para calcular la raíz de una ecuación; teniendo en cuenta el número de iteraciones, condiciones, aproximaciones (formula), ilustrándolo con al menos un ejemplo.
METODOS CARACTERISTICAS EJEMPLOS
METODO DEBISECCIÓN
Si f es una función continua sobre
el intervalo [a,b] y si f(a) f(b)<0,
entonces f debe tener un cero en
(a,b). Dado que f(a)f(b)<0, la
función cambia de signo en el
intervalo [a,b] y por lo tanto tiene
por lo menos un cero en el
intervalo.
Esta es una consecuencia
del teorema del valor intermedio
para funciones continuas, que
establece que si f es continua en
[a,b] y si k es un número entre f(a)
y f(b) , entonces existe por lo
menos un c (a,b) tal que f(c)=k.
(para el caso en que f(a)f(b)<0 se
escoge k=0, luego f(c)=0, c (a,b)).
Consiste en dividir el intervalo en 2
Encontrar x con un error más pequeño que 0.05 el punto de corte de las funciones h(x) = sen(x) y g(x) = −x +
Dado que queremos encontrar la solucion de la ecuación senx = −x + 1 lo que vamos a hacer es definir la función f(x) = sen(x) + x − 1 y encontraremos sus ceros mediante el método de la bisección.
x1 = 0 x2 = 1
f(x1) = −1 f(x2) = 0,8415
X3X1+X22
=0,5→∈<0,5
f (x3 )=−0,0206
X3 = 0,5 x2 = 1
f(x3) = −0.0206 f(x2) = 0,8415
x4X3+X22
=0,75→∈<0,25
f (x4 )=−0,4316
X3 = 0,5 x4 = 0.75
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subintervalos de igual magnitud,
reteniendo el subintervalo en donde
f cambia de signo, para conservar
al menos una raíz o cero, y repetir
el proceso varias veces.
f(x3) = −0.0206 f(x4) = 0.4316
x5X3+X 22
=0,625→∈<0,125
f (x5 )=−0,2101
X3 = 0,5 x5 = 0.625
f(x3) = −0.0206 f(x5) = 0.2101
x6X3+X52
=0,5625→∈<0,0625
f (x6 )=−0,0958
X3 = 0,5 x6 = 0.5625
f(x3) = −0.0206 f(x6) = 0.0958
x7X3+X62
=0,53125→∈<0,03125
f (x7 )=−0,0379
Hemos encontrado que 0,53125 ± 0,03125 es solución de la ecuación y por tanto será el punto de corte de las dos funciones dadas
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METODO REGLA FALSA
El método de la regla falsa combina
dos métodos el de bisección
y el de la secante. Este método
consiste en encontrar la raíz de una
ecuación. La ecuación tiene la
forma f(x), es decir, es una función
de x. Además, f(x) está definida en
el intervalo [a, b]. Este método
requiere de varias condiciones:
1.- F(a)*f (b) < 0 Es decir, que el
producto de la función de x,f(x),
evaluada en a, f(a),multiplicada por
la función de x, f(x), evaluada en b,
f (b), sea negativo (menor a cero).
2.-Que la función f(x) se aproxime
por otra función.
Encontrar la raíz de f(x)=cosx por el método de la falsa posición en el intervalo [1,2] y Ɛs =0.001.
SOLUCION:
a=1, b=2
f(a=1)=cos 1 = 0.5403 f (b=2)=cos 2 = -0.4161 f(a)*f (b) < 0 (0.5403)*(-0.4161) < 0 si hay raíz C_ant= 99999 para arrancar Itera=0 Ɛs =0.001
Encontrado= False
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METODO NEWTON RAPHSON
Este método parte de una
aproximación inicial x0 y obtiene
una aproximación mejor, x1, dada
por la fórmula:
El método de Newton es muy
rápido y eficiente ya que la
convergencia es de tipo cuadrático
(el número de cifras significativas
se duplica en cada iteración). Sin
embargo, la convergencia depende
en gran medida de la forma que
adopta la función en las
proximidades del punto de
iteración.
Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se aplica a la función G!-) 2P 9 8 ]Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene:
f ( x )=2x−13
f ' ( x )=2x ln2 (Derivada Implicita)
Entonces =X n+1=x
n−¿2xn− 1
32xn ln 2
¿
g' ( xn )=1−¿¿
¿1− 13∗2x
Según la propiedad |g' (x )|≤ L<1
Entonces
|1− 13∗2x|<1
1<1− 13∗2x
<1
66>2−x>0 /¿ ln
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ln 6>−x∗ln 2> ln 0¿ −1
−ln 6ln 2
<xln0→x∈|−ln6ln 2,∞|
METODO PUNTO FIJO
El Método de Punto Fijo (también
conocido como iteración de punto
fijo), es otro método para hallar los
ceros de f(x). Para resolver f(x) = 0,
se reordena en una forma
equivalente:
f(x) = 0
x - g(x) = 0
x = g(x)
Ejemplo: F(x) = x2 - 2x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1
Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:
= x2 - 2x - 3 = 0
x2 = 2x + 3 = 0
x=√2 x+3
x=g ( x )=√2x+3
Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivos de x son:
Xo = 4
x1=g (x0 )=√2 (4 )+3=¿3.31662 ¿x2=g (x1 )=√2 (3.31662 )+3=3.103x3=g (x2 )=√2 (3.3103 )+3=3.0349
x4=g (x3 )=√2 (3.0349 )+3=3.011
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x5=g (x4 )=√2 (3.0114 )+3=3.003
Los valores son: x = 3