TEOREMA (CRITERIO DE LA RAIZ O CRITERIO DE CAUCHY)

Si en la serie infinita ∑n=1

∞

an, de términos positivos, se tiene que limn→∞

n√an=k, entonces:

i) Si k<1, la serie ∑n=1

∞

an es convergente

ii) Si k>1, la serie ∑n=1

∞

an es divergente

iii) Si k=1, no se puede determinar nada.

Ejemplo:

1) Determinar si la serie ∑n=1

∞

( n+12n−1 )n

es convergente o divergente

Solución

De acuerdo al criterio de la raíz:

limn→∞

n√an=k

k= limn→∞

n√( n+12n−1 )n

k= limn→∞ ( n+12n−1 )=¿ 1

2¿

Como:

12<1, la serie ∑

n=1

∞

( n+12n−1 )n

, es convergente de acuerdo a la parte i) del criterio de la raíz.