Criterio de Raiz
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TEOREMA (CRITERIO DE LA RAIZ O CRITERIO DE CAUCHY) Si en la serie infinita ∑ n=1 ∞ a n , de términos positivos, se tiene que lim n→∞ n √ a n =k , entonces: i) Si k<1, la serie ∑ n=1 ∞ a n es convergente ii) Si k>1, la serie ∑ n=1 ∞ a n es divergente iii) Si k=1, no se puede determinar nada. Ejemplo: 1) Determinar si la serie ∑ n=1 ∞ ( n+1 2 n−1 ) n es convergente o divergente Solución De acuerdo al criterio de la raíz: lim n→∞ n √ a n =k k=lim n→∞ n √ ( n+ 1 2 n−1 ) n k=lim n→∞ ( n +1 2 n− 1 ) =¿ 1 2 ¿ Como: 1 2 <1 , la serie ∑ n=1 ∞ ( n+1 2 n−1 ) n , es convergente de acuerdo a la parte i) del criterio de la raíz.
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TEOREMA (CRITERIO DE LA RAIZ O CRITERIO DE CAUCHY)
Si en la serie infinita ∑n=1
∞
an, de términos positivos, se tiene que limn→∞
n√an=k, entonces:
i) Si k<1, la serie ∑n=1
∞
an es convergente
ii) Si k>1, la serie ∑n=1
∞
an es divergente
iii) Si k=1, no se puede determinar nada.
Ejemplo:
1) Determinar si la serie ∑n=1
∞
( n+12n−1 )n
es convergente o divergente
Solución
De acuerdo al criterio de la raíz:
limn→∞
n√an=k
k= limn→∞
n√( n+12n−1 )n
k= limn→∞ ( n+12n−1 )=¿ 1
2¿
Como:
12<1, la serie ∑
n=1
∞
( n+12n−1 )n
, es convergente de acuerdo a la parte i) del criterio de la raíz.
