7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
1/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 12 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
PRCTICA No 1
CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO
COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE CLCULO DE EXCEL.
OBJETIVOS
Al finalizar la prctica el estudiante estar en capacidad de:
Emplear las hojas de clculo como herramienta para estimar el
comportamiento de una poblacin bacteriana.
Estimar los diferentes parmetros cinticos tanto de crecimiento como muerte
bacteriana.
MARCO TERICO
El desarrollo de los diversos modelos de prediccin empleados en microbiologa
descansa sobre unas bases matemticas preestablecidas con anterioridad. Ya en
1949, Monod desarroll un modelo matemtico mediante el cual se poda estimar
la poblacin final de una bacteria, sustrato o metabolito en funcin del tiempo.
Este modelo fue aplicado a la industria de la fermentacin. En aos posteriores
diversos investigadores empezaron a explicar en forma de expresiones
matemticas la relacin existente entre el nmero de bacterias finales en funcin
del tiempo y como varan estas con respecto a la aplicacin de algn factor
externo que influya sobre su crecimiento/supervivencia. En el presente
documento se describe los fundamentos matemticos que rigen el
crecimiento/supervivencia bacteriana.
Ecuaciones de crecimiento: Como es sabido el crecimiento bacteriano sigueuna relacin exponencial de primer orden, esto es, que por cada clula que se
divida se originan dos nuevas (Fig. 8.1). De esta forma se puede afirmar que el
crecimiento bacteriano se comporta de acuerdo a la siguiente relacin:
N = 2n(Ecc. 1)
donde N es el nmero de clulas y n el nmero de duplicaciones que han tenido
lugar.
Si asumimos que N = Nf en determinado tiempo Nf(t), entonces Nf(t) es
dependiente del nmero inicial de clulas (No) y del nmero de divisiones que
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
2/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 13 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
haya tenido lugar en ese intervalo de tiempo n(t), de esta forma si reordenamos
la ecuacin 1, obtenemos la siguiente expresin matemtica que rige el
crecimiento bacteriano en funcin del tiempo:
Nf = No*2n(Ecc. 2)
Figura 1. Representacin grfica del crecimiento y curva de crecimientobacteriano (Tomado de Labuza, T., 20041)
Velocidad relativa de crecimiento y velocidad especfica de crecimiento: Six(t) es una variable tiempo-dependiente que describe la variacin de cierta
sustancia, como biomasa o concentracin de la clula. La velocidad instantnea
del proceso es la derivada de x(t):dx(t)/dt. La velocidad especfica, (t), se define
como:
(t) = dx/dt (Ecc. 3)
Si x(t) denota la concentracin celular entonces en un cultivo bacteriano la
velocidad de crecimiento es medida como el aumento absoluto en la
concentracin celular por unidad de tiempo de la unidad, mientras que la
velocidad de crecimiento especfica es el incremento en la concentracin celular
1Labuza, T. (2004). Predictive Microbiology Principles. Department of Food Science and Nutrition.
University of Minnesota. USA. Pp. 12.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
3/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 14 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
por unidad de tiempo por clula. Una simple ecuacin muestra que si x(t) es
positivo entonces:
(t) = d(ln x(t))/dt (Ecc. 4)
Por consiguiente, la velocidad de crecimiento especfica puede medirse como la
inclinacin de la curva de crecimiento cuando el logaritmo natural (ln) de x(t) se
traza contra el tiempo. Si el log10es usado en lugar de ln, entonces la pendiente
de log10 ser moderada = 2,3 veces menor que la velocidad de crecimiento
especfico cuando empleamos el ln.
La velocidad de crecimiento especfica () puede calcularse a travs de la
ecuacin 4.1.
= lnNf lnNo/ (tf to) (Ecc. 4.1)
La velocidad de crecimiento relativo (k) puede calcularse a travs de la ecuacin
4.2.
k = 2.303*(logNf logNo/ tf to) (Ecc. 4.2)
Tiempo de duplicacin (Td) y tiempo de generacin (Tg): En un momento fijo(tfix), el valor de (t) ser (tfix) = fix. La relacin para el tiempo de duplicacin, Td
= ln2/ fix= 0.69/fix, de tal forma que si (t) permaneciera constante, al tiempo tfix+ Td, la concentracin celular sera el doble que cuando estaba a t fix. Es
importante anotar que, en cultivos asincrnicos, Td no es equivalente al tiempo
medio de generacin. De hecho, el tiempo medio de generacin puede estimarse
por 1/ fix en lugar de la relacin 0.69/ fix, si la divisin celular puede
aproximarse por un proceso aleatorio, como el proceso de Poisson.
El tiempo de generacin puede calcularse a travs de la siguiente ecuacin:
Tg = t/n (Ecc. 5)
donde t es el diferencial de tiempo y n el nmero de generaciones.
El nmero de generaciones puede estimarse a travs de la ecuacin 6:
n = 3,3 * logNf logNo(Ecc. 6)
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
4/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 15 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Si reemplazamos la Ecc. 6 en Ecc. 5, el tiempo de generacin se puede calcular
mediante la ecuacin 7:
Tg = t/3,3*(logNf logNo) (Ecc. 7)
Curvas de crecimiento y muerte bacteriana: Como hemos comentadoanteriormente, la cintica de crecimiento bacteriana sigue una tendencia de
primer orden, lo mismo puede asumirse para la muerte bacteriana, esto es que al
graficar el Log de la poblacin en funcin del tiempo se obtiene una lnea que
representa cmo evoluciona esta poblacin. Esta lnea de crecimiento o muerte
puede entonces ajustarse a nuevas lneas de tendencia que comparan el
crecimiento real frente a una funcin matemtica definida: funcin lineal o funcin
exponencial por mtodo grfico o estimacin lineal o estimacin logartmica por
medio de frmulas Excel, de las cuales pueden obtenerse la ecuacin que
representa cada una de estas funciones, su coeficiente de correlacin R2 o los
valores de las diferentes constantes. En este caso puede asumirse que el
crecimiento o muerte bacteriana sigue una tendencia lineal o exponencial
dependiendo del valor de R2, cuando R2 se aproxima a 1 el comportamiento
bacteriano sigue esa tendencia. A manera de ejemplo, si en un estudio de
crecimiento se ajusta la grfica de los datos a una funcin lineal con un R2 =
0,955 y a una funcin exponencial con un R2= 0,985, la tendencia de crecimiento
de esa poblacin se comporta ms como una funcin exponencial que una lineal.
En el caso de un comportamiento lineal, puede obtenerse la poblacin final a un
tfixo calcularse el t a una densidad de poblacin x a travs de la ecuacin de la
recta:
Y = mx + b
donde m es la pendiente y b es la interseccin.
Si el crecimiento se ajusta a un comportamiento exponencial, puede obtenerse la
poblacin final a un tfixo calcularse el t a una densidad de poblacin x a travs
de la ecuacin exponencial:
Y = cebx
donde c y b son constantes y e es la base del logaritmo neperiano. Esta
ecuacin tambin puede ser representada como:
Y = blnmx
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
5/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 16 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
donde b es una constante equivalente a c y lnm es la constante equivalente a eb.
MATERIALES, EQUIPOS E INSUMOS
Computador con paquete Microsoft Office 2003 o posterior y conexin a internet.
REACTIVOS
No se requieren.
PROCEDIMIENTO
Para el desarrollo de la presente gua de prcticas se empleo la hoja de clculo
Excel 2007.
Mtodo grfico: A travs de ventanas que representa la hoja de clculo Excel
desarrollaremos un ejercicio de estimacin de crecimiento.
PASO 1: En primer lugar debe realizarse una captura de datos donde
representaremos: el tiempo en horas y semanas, la densidad de poblacin, el
log10 y Ln de esa poblacin, as mismo calcularemos la tasa de crecimiento
especfica y velocidad de crecimiento especfico (Fig 2).
PASO 2:Seleccionamos en la columna D las filas correspondientes desde D2hasta D24 (D2:D24) que representa los datos de crecimiento en funcin del
tiempo, y posteriormente picamos en el icono de asistente para grficos para
seleccionar el tipo de grfico XY (dispersin) (Figura 3).
PASO 3: Posteriormente damos clic en siguiente, y seleccionamos en la
ventana de serie los valores para X (Columna A2 hasta A24 A2:A24). (Figura
4).
PASO 4: Continuamos con clic en siguiente y procedemos a completar la
informacin del grfico: nombre del grfico, nombre de la categora X y de la
categora Y, etc., y damos clic en finalizar.
PASO 5: Posteriormente nos ubicamos con el cursor sobre la lnea que
representa el crecimiento y damos clic con el botn derecho del ratn, y
seleccionamos la opcin: agregar lnea de tendencia (Figura 6)
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
6/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 17 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
PASO 6:En la siguiente ventana escogemos la opcin de tendencia lineal en la
ventana tipo (Figura 7) y en la ventana opciones marcamos presentar ecuacin
en el grfico y presentar R cuadrado en el grfico (Figura 8) y posteriormente
aceptar, para obtener el grfico mostrado en la figura 9. Repetimos esta
operacin desde el paso 5 pero esta vez seleccionamos la opcin logartmica.
As obtendremos la grfica de la figura 10.
Figura 2. Cuadro de captura de datos.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
7/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 18 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 3.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
8/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 19 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 4. (Pgina anterior).
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
9/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 20 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
El grfico generado es el siguiente:
Figura 5.Curva de crecimiento de S. aureus.
Curva de crecimiento de S. aureus
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
0 5 10 15 20 25
Tiempo (h)
Log10
UFC/g
Serie1
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
10/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 21 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 6.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
11/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 22 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 7.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
12/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 23 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 8.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
13/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 24 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 9.
Curva de crecimiento de S. aureus
y = 0,3209x + 2,9289
R2= 0,8979
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
0 5 10 15 20 25
Tiempo (h)
Log10UFC/g
Serie1
Lineal (Serie1)
Figura 10.
Curva de crecimiento de S. aureus
y = 0,3209x + 2,9289R2= 0,8979
y = 2,967e0,0619x0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
0 5 10 15 20 25
Log10UFC/g
R2= 0,8151Tiempo (h)
Serie1
Lineal (Serie1)
Exponencial (Serie1)
Al analizar la figura 10 podemos observar que a pesar de que los R2 son bajos
(deficientes) el valor que ms se aproxima a 1 es el de la tendencia lineal. Por lo
tanto, en el caso de este ejemplo el crecimiento de S. aureus se adapta a una
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
14/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 25 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
tendencia lineal ms que exponencial, de tal forma que para predecir el
comportamiento de S. aureusen funcin del tiempo escogemos la ecuacin lineal Y
= 0.3209x + 2.9289.
Mtodo de las frmulas en Excel
Para el mtodo de las frmulas emplearemos el mismo ejemplo del caso anterior.
ocedemos a calcular las estimaciones lineales y logartmicas, para
la
scribimos D2:D24 que representa el logaritmo
ro Conocido_x escribimos A2:A24 que representa el tiempo
silla correspondiente a Constante y Estadstica escribimos la
esta informacin presionamos al tiempo las teclas
inalmente obtenemos la informacin que se muestra en la figura 15.
PASO 1: igual que para el anterior (Figura 2). Posteriormente completamos la
informacin y seleccionamos 5 casillas en blanco en dos columnas seguidas
(Figura 11).
PASO 2: Prello seleccionaremos en el panel principal insertar funcin (Figura 12), y en la
ventana de seleccionar una categora buscamos la opcin todas. Posteriormente
buscamos la opcin ESTIMACION.LINEAL y damos clic en aceptar (Figura 13).
PASO 3: Posteriormente complementamos la informacin que se despliega en
ventana mostrada en la figura 14.
En el cuadro Conocido_ye
base 10 del crecimiento de la poblacin (mismos valores seleccionados en
el paso 2).
En el cuad
durante el cual crece la poblacin (mismos valores seleccionados en el
paso 3).
En la ca
palabra VERDADERO.
PASO 4: Una vez diligenciada
Control + Shif + Aceptar de la ventana anterior. La tecla Shif corresponde a
aquella que tiene la flecha:
F
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
15/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 26 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 26 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
PASO 5: Volvemos con el paso 2 (Figura 16 y 17) pero esta vez seleccionamos la
opcin ESTIMACION.LOGARITMICA y continuamos con los pasos 3 y 4.
Finalmente obtenemos los datos de la figura 18.
Figura 11.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
16/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 27 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 12.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
17/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 28 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 13.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
18/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 29 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 29 de 138
Figura 14.
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
19/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 30 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 15.
ESTIMACION LINEAL
M B
0,3209301 2,92888514
0, 0
02361197 ,30596499 0,89792845
10,80275564
84,738024 2113,53274
119,048251 88
0,3209 corsponde alEn esta ventana el valo r v lor de la pendiente. El valorr e a
m
2,9288 corresponde a la constante b y el valor de 0,897 representa el R 2. Estos
datos son los mismos obtenidos de la grfica de estimacin lineal de la figura 10.
b
R2
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
20/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 31 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 31 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 16.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
21/23
Manual de Prcticas de Microb iologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 32 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 17.
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
22/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 33 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento deMicrobiologa
Figura 18.
ESTIMCION LOGARITMICA
BM
1,06387243 2,967038240,00643519 0,08338751
0,81509383 0,2187825292,5711141 21
4,43098946 1,00518158
m
b o c
R2
7/26/2019 CONSTRUCCIN Y ESTIMACIN DEL CRECIMIENTO MICROBIANO EMPLEANDO COMO HERRAMIENTA LA HOJA DE C
23/23
Manual de Prcticas de MicrobiologaPredictiva
Enrique Alfonso Cabeza Herrera, Ph.D.
Cdigo FGA-73 V. 00
Pgina 34 de 138
Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Bsicas Departamento de
Y = bLnmx
Y = ceby, donde b = LnmEn la ventana anterior el valor 1,06387243 corresponde al valor de la pendiente. El
valor 2,96703824 corresponde a la constante b (o c, segn sea el caso) y el valor de
0,815 representa el R2. Estos datos son los mismos obtenidos de la grfica de
estimacin exponencial de la figura 10.
NIVEL DE RIESGO
Para el desarrollo de la anterior prctica se ha definido un nivel de Riesgo Bajo o
nivel 1; es decir que se requiere del uso de Bata de Laboratorio Manga Larga,Zapato Cerrado Bajo, Pantaln Largo.
BIBLIOGRAFA
Labuza, T. (2004). Predictive Microbiology Principles. Department of Food
Science and Nutrition. University of Minnesota. USA. Pp. 12.
NIES, M.L. (2006). Using Computer Spreadsheets to Solve Equations. Learning
& Leading with Technology, 3(23).
Microsoft Office Excel 2007 de Microsoft Corporation Inc. Marca registrada.