Conceptos y Algoritmos de Planos Cortantes
Profesor: Juan Eduardo Pérez Retamales
CONCEPTOS Y ALGORITMOS DE PLANOS CORTANTES
Métodos y Heurísticas para Programación Entera
Conceptos y Definición
Típico problema, pero usamos la notación de conjunto.
La idea es enfocarnos en la formulación.
max
. .
{ | , }
t
n
c x
x
z
s a
X
X x Ax b x
Conceptos y Definición
( ) { | , 0}conv X x Ax b x
Definición: Envoltura convexa.
Conceptos y Definición
Envoltura convexa: cual podemos expresar como la típica combinación convexa de vértices.
1 1
( ) { | · ; 1 ; 1, , }
n
t ti
i ii i
X
conv X x x x i t
Conceptos y Definición
Lo cual se hace sobre todos lo conjuntos finitos
1{ , , }tx x X
Idea de fondo
Si los vértices son enteros, entonces puedo solucionar el problema lineal y obtener la solución óptima.
El problema es …
Sabemos que con la envoltura convexa, cualquier solución del problema relajado será entera.
X es el conjunto de TODOS los vértices. Luego, es equivalente o peor que Simplex.
Solución – ¡Planos cortantes!
Planos cortantes en las formulaciones
¿Qué son y que pretenden los planos cortantes?
Son restricciones que sirven para mejorar la formulación. Es decir, hacer el dominio del problema sea menor y lo mas cercano posible a la envoltura convexa.
Es decir, es difícil encontrar la envoltura convexa. Así, tratemos de “acercarnos” lo más posible.
Planos cortantes en las formulaciones
Definición: Desigualdad válida.
0
0
Una desigualdad es una desigualdad válida para
X si x Xn
x
x
¿Cuál es una formulación buena o útil?
Si conozco alguna desigualdades válidas, ¿cómo las puedo usar para resolver mi problema?
Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY
5
1 2 3 4 5{ {0,1} | 3· 4· 2· 3· 2}X x x x x x x
Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY
{( , ) | · ; 0 5 ; {0,1} }X x y x M y x y
Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY
1{( , ) | 10· ; 0 14 ; }X x y x y x y
14 4(2 )x y
Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY
En el caso general, cuando c no divide a b
1{( , ) | · ; 0 ; }
( ) 1 ·
X x y x c y x b y
b bx b k y k b c
c c
Ejemplos desigualdades válidas WOLSEY
4X P4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
{ : 13· 20· 11· 6· 72}
Dividiendo por 11
13 20 11 6 72· · · ·
11 11 11 11 11Puesto que 0, si se redondea superior el lado izquierdo
722· 2· 1
El caso anterior se da en muchos
· 1·11
P x x x x x
x x x x
x
x x x x
1 1
1
1
problemas,
como por ejemplo, el problema generalizado de transporte (modificado)
min ·
· 1, ,
1, ,
n m
ij iji j
n
i ij ji
cap camion
m
ij ij
ij
z c x
C x d j m
x a i n
x
Procedimiento Chvatal-Gomory
Procedimiento Chvatal-Gomory
Procedimiento Chvatal-Gomory
Procedimiento Chvatal-Gomory
0
0
la solución óptima
- Si , resolver la separación del problema para
y la familia .
- S
0
Resolver el problema lineal
max{ | }
-
i una desigua
Se
lda
a
( , )d
t t
t
t n
t
t
t
P P
t
z cx x P
F
x
x
x
Inici
Iterac
alizaci
n
n
ó
ió
01
0
es tal que · .
{ | · }
y aumenta .
- para todo el resto detenerse.
t t t
t t t t t
F x
P P x x
t
Procedimiento Chvatal-Gomory
Si el procedimiento terminó sin encontrar una solución óptima, entonces igualmente la formulación que se genera por introducir las desigualdades encontradas es mejor que la formulación original.
Candidato para partir con fuerza bruta (Branch and Bound)
1
0{ | · ; 1, , }t t i tP P x x i t
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