7RSRORJÕD
1Conceptos básicos
Conceptos básicos de Topología
��EQ�JULHJR�HO�WÑUPLQR�ktoposy�VLJQLILFD�OXJDU��H[WHQVLÚQ�R�SRVLFLÚQ�\�HO�WÑUPLQR�kORJRVy
VLJQLILFD�FLHQFLD�R�VDEHU��SRU�HOOR�ktopología”�VHUÊ�OD�FLHQFLD�GH�OD�H[WHQVLÚQ�R�GHO�OXJDU�
Según una leyenda, la fundación de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos
de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces
floreciente ciudad de Cambé y solicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización
para establecerse allí. Contestó éste accediendo a concederles la extensión de
terreno que pudiera abarcar una piel de buey. Entonces Dido, reina de los
fugitivos, ordenó partir la piel de buey en estrechas tiras que unió para formar
un largo cordón y con éste puedo acotar una extensión de terreno suficiente para
formar la colonia.
Ningún matemático griego pensó en sacar más partido de este problema. Para
nuestro tiempo es natural pensar qué hubiera ocurrido si llamándose a engaño
el rey Yarba hubiera exigido como condición suplementaria que la piel no
hubiese quedado “desconexa”, esto es, prohibir toda posibilidad de coser o
anudar lo rasgado. ¿Podría en estas condiciones acotarse un terreno de
consideración? La respuesta es afirmativa, y a ella se llega teóricamente por
deducciones topológicas.
��&RPR�IXQGDPHQWR�GH� OD� WRSRORJÕD� WHQHPRV� OD� LGHD�GH�continuidad� R� kSUR[LPLGDGy�
(V�GHFLU��XQ�HVWXGLR�WRSROÚJLFR�VH�EDVDUÊ�HQ�precisar qué se entiende por continuo
�� R� � VL� VH� SUHILHUH� contiguo� y qué transformaciones conservan esta
continuidad��&RQ�PÊV�SUHFLVLÚQ�
Topología
La topología es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar los
conjuntos estructurados mediante relaciones que nos permitan decir cuándo
un elemento del conjunto es “contiguo” o “próximo” a una parte del mismo.
Curiosidades
Definición 1
7RSRORJÕD
2 Conceptos básicos
'LEXMHPRV�XQ�GLDJUDPD�GH�9HQQ��A�VREUH�XQD�KRMD�GH�SDSHO�P�
����������������������������
3RGHPRV�FRQVLGHUDU�TXH�HO�FRQMXQWR�TXH�HVWXGLDPRV�HV�WRGD�OD�KRMD�GH�SDSHO�\�HO
GLDJUDPD�GH�9HQQ�HV�XQD�SDUWH�GH�ÑO��/D� IRUPD�PÊV� LQWXLWLYD�GH� LQWURGXFLU�XQD
WRSRORJÕD�HQ�HO�FRQMXQWR�P�HV�GHILQLU� OD�SUR[LPLGDG�GH�XQ�SXQWR�DO�VXEFRQMXQWR�A
XWLOL]DQGR� OD� kGLVWDQFLDy� HQWUH� GLFKR� SXQWR� \� HO� VXEFRQMXQWR�� 'H� HVWD� IRUPD�� HO
SXQWR�r�HV�FRQWLJXR�DO�FRQMXQWR�A�\�HO�SXQWR�q�QR�OR�HV��YHU�ILJXUD��
���������������������������������
6L�DKRUD�DUUXJDPRV�OD�KRMD�GH�SDSHO�VLQ�URPSHUOD�WHQGUHPRV�XQD�WUDQVIRUPDFLÚQ
WRSROÚJLFD�SXHV�HQ�OD�KRMD�DUUXJDGD�ORV�SXQWRV�q�\�r�WLHQHQ�ODV�PLVPDV�UHODFLRQHV
GH�SUR[LPLGDG�FRQ�HO�VXEFRQMXQWR�A�
���������������������������������������������
Ejemplo 1
7RSRORJÕD
3Conceptos básicos
��7UDVODGDUHPRV� ODV� LGHDV� H[SXHVWDV� HQ� HO� HMHPSOR� �� DO� conjunto de los números
reales��(Q�SDUWLFXODU��QRV� LQWHUHVD�GHILQLU� OD�distancia� HQ�HVWH�FRQMXQWR�\�SDUD�HOOR
QHFHVLWDPRV�GHO�valor absoluto�
Valor absoluto de un número real
El valor absoluto D de un número real D es:
DD D
D D=
≥− <
si
si
0
0.
Es decir, se trata del mismo número si éste es positivo o nulo y de su opuesto
si éste es negativo.
��3RU�GHILQLFLÚQ��HO�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�HV�VLHPSUH�no negativo�\�YHULILFD�
L�� D D D= − ∀ ∈R ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�\�GH�VX�RSXHVWR�VRQ�VLHPSUH� ORV
PLVPRV�
LL�� DE D E D E= ∀ ∈, R �� (O� YDORU� DEVROXWR� GH� XQ� SURGXFWR� HV� LJXDO� DO� SURGXFWR� GH� ORV
YDORUHV�DEVROXWRV�
LLL�� D D= ⇔ =0 0 ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�HV�FHUR�VL�\�VÚOR�VL�ÑVWH�HV�FHUR�
LY�� D E D E+ ≤ + ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQD�VXPD�HV�FRPR�PÊ[LPR�LJXDO�D�OD�VXPD�GH
ORV�YDORUHV�DEVROXWRV��desigualdad triangular��
9DPRV�D�FDOFXODU�HO�YDORU�DEVROXWR�GH�DOJXQRV�QàPHURV�
��������������������������� − =3 3 �� 4 4= �� − + =3 5 2 �� − + =5 3 2 �
(O�YDORU�DEVROXWR�GH�ODV�H[SUHVLRQHV�OLWHUDOHV�no puede darse explícitamente�\
QRV�WHQHPRV�TXH�UHIHULU�D�OD�GHILQLFLÚQ��3RU�HMHPSOR�
����������������������������� ( )[ \[ \ [ \
[ \ [ \+ =
+ + ≥− + + <
si
si
0
0�
&XDQGR�PDQHMHPRV� IXQFLRQHV�FRQRFLGDV� WDPELÑQ�GHEHPRV�XWLOL]DU� OD�GHILQLFLÚQ�\
UHVROYHU�SRVWHULRUPHQWH�ODV�LQHFXDFLRQHV�REWHQLGDV�
�������������������������������1
1 10
1 10
sensen sen
sen sen[
[ [
[ [
=≥
− <
si
si�
Definición 2
Ejemplo 2
7RSRORJÕD
4 Conceptos básicos
&RPSUREHPRV�FRQ�XQ�HMHPSOR�TXH�HO�YDORU�DEVROXWR�GH�XQD�VXPD�HV�FRPR�PÊ[LPR
LJXDO�D�OD�VXPD�GH�ORV�YDORUHV�DEVROXWRV��(Q�HIHFWR�
��������������������������������������������� − + =2 2 0
PLHQWUDV�TXH�
���������������������������������������� − + = + =2 2 2 2 4 �
SRU�OR�TXH�HVFULELPRV�
������������������������������������������ − + ≤ − +2 2 2 2 �
6LQ�HPEDUJR��HO�YDORU�DEVROXWR�GHO�SURGXFWR�
������������������������������������������� ( )− = − =2 2 4 4
FRLQFLGH�FRQ�HO�SURGXFWR�GH�ORV�YDORUHV�DEVROXWRV�
������������������������������������������� − = ⋅ =2 2 2 2 4 �
El valor absoluto puede ser definido de otras maneras. Por ejemplo:
{ }[ [ [= −max , ,
o bien:
[ [= + 2 .
Así para − 3 su valor absoluto obtenido por la primera fórmula es:
{ } { }− = − − − = − =3 3 3 3 3 3max , ( ) ,max
y por la segunda:
− = + − = + =3 3 9 32( ) .
��&RQ�HO�YDORU�DEVROXWR�SDVDPRV�D�GHILQLU�OD�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�UHDO�
Distancia
La distancia entre dos puntos [ \, ∈R se define como el valor absoluto de su
diferencia:
( )G [ \ [ \, = − .
Ejemplo 3
Observación 1
Definición 3
7RSRORJÕD
5Conceptos básicos
/D�GLVWDQFLD�HQWUH�ORV�QàPHURV�UHDOHV� − 3 �\�3 �HV�LJXDO�D�
����������������������������������� ( )G( , )− = − − = − =3 3 3 3 6 6 �
PLHQWUDV�TXH�OD�GLVWDQFLD�HQWUH� 4 �\� 0 �HV�
����������������������������������������� G( , )4 0 4 0 4= − = �
�/D�GLVWDQFLD�YHULILFD�ODV�SURSLHGDGHV�
L�� G [ \ [ \( , ) ,≥ ∀ ∈0 R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�HV�VLHPSUH�QR�QHJDWLYD�
LL�� G [ \ [ \( , ) = ⇔ =0 �� /D� GLVWDQFLD� HQWUH� GRV� SXQWRV� HV� QXOD� VL� \� VÚOR� VL� DPERV
FRLQFLGHQ�
LLL�� G [ \ G \ [ [ \( , ) ( , ) ,= ∀ ∈R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH� [ �H� \ �HV�OD�PLVPD�TXH�HQWUH� \ �\� [ �
LY�� G [ \ G [ \ G \ ] [ \ ]( , ) ( , ) ( , ) , ,≤ + ∀ ∈R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�HV�VLHPSUH�PHQRU
TXH�OD�VXPD�GH�GLVWDQFLDV�GH�HVWRV�GRV�SXQWRV�D�XQ�WHUFHUR��GHVLJXDOGDG�WULDQJXODU��
��(O� OHFWRU� SXHGH� FRPSUREDU� TXH� HVDV� SURSLHGDGHV� VRQ� GHGXFLEOHV� D� SDUWLU� GH� ODV� GHO
YDORU�DEVROXWR�
��/RV�QàPHURV�UHDOHV�VRQ��D�PHQXGR��UHSUHVHQWDGRV�JHRPÑWULFDPHQWH�FRPR�SXQWRV�GH
XQD� UHFWD� �TXH� OODPDUHPRV� eje real R� recta real��� 6H� HOLJH� XQ� SXQWR� SDUD� TXH
UHSUHVHQWH� HO� �� \� RWUR� D� OD� GHUHFKD� GHO� �� SDUD� TXH� UHSUHVHQWH� HO� ��� (VWD� HOHFFLÚQ
GHWHUPLQD�OD�HVFDOD��ILJXUD�DEDMR��
������������
��&RQ�XQ�FRQMXQWR�DGHFXDGR�GH�D[LRPDV�SDUD�OD�JHRPHWUÕD�HXFOÕGHD��D�FDGD�SXQWR�GH�OD
UHFWD�UHDO�FRUUHVSRQGH�XQ�QàPHUR�UHDO�\�XQR�VÚOR��\�UHFÕSURFDPHQWH��FDGD�QàPHUR�UHDO
HVW� UHSUHVHQWDGR� SRU� XQ� SXQWR� GH� OD� UHFWD� UHDO� \� XQR� VROR�� $FRVWXPEUDPRV� D
UHIHULUQRV�DO�SXQWR� [ �HQ�YH]�GHO�SXQWR�GH�OD�UHFWD�DVLJQDGR�DO�QàPHUR�UHDO� [ .
/D� UHODFLÚQ� GH� RUGHQ� SXHGH� LQWHUSUHWDUVH� DKRUD� GH� XQD� IRUPD� JUÊILFD�� 6L [ \< �
HQWRQFHV�HO�SXQWR� [ �HVW�D�OD�L]TXLHUGD�GHO�SXQWR \ ��ILJXUD�DEDMR��
����
Ejemplo 4
7RSRORJÕD
6 Conceptos básicos
��(VWD�UHFWD�HV�WDPELÑQ�XQ�PDUFR�DSURSLDGR�SDUD�LQWHUSUHWDU�OD�DQWHULRU�GHILQLFLÚQ�GH
GLVWDQFLD��(Q� HIHFWR�� FRPSUREDUHPRV� TXH� OR� TXH� HQWHQGHPRV� SRU� GLVWDQFLD� HQWUH� GRV
QàPHURV�UHDOHV�FRLQFLGH�FRQ�OD�kGLVWDQFLDy�HQWUH�ORV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�TXH�UHSUHVHQWDQ
D�WDOHV�QàPHURV���ILJXUD�DEDMR��
�������������
��$� QLYHO� SUÊFWLFR�� PHGLDQWH� OD� GHILQLFLÚQ� GH� GLVWDQFLD� \� HVWDV� UHSUHVHQWDFLRQHV
SRGHPRV� GHGXFLU� DOJXQDV� SURSLHGDGHV� DGLFLRQDOHV� \� UHVROYHU� LQHFXDFLRQHV� GRQGH
LQWHUYLHQH�HO�YDORU�DEVROXWR�
Demostrar que la expresión [ U< equivale a las desigualdades: − < <U [ U .
��3RGHPRV� LQWHUSUHWDU� HO� YDORU� DEVROXWR� [ � FRPR� OD� GLVWDQFLD� GH� [ � D� 0 � SXHV� HV
HYLGHQWH�TXH�
����������������������������������������������� [ [= − 0 �
'H�HVWD�IRUPD�
���������������������������������� [ U [ U G [ U< ⇒ − < ⇒ <0 0( , )
\�VX�VROXFLÚQ�SDVD�SRU�KDOODU�ORV�QàPHURV�UHDOHV� [ �FX\D�GLVWDQFLD�D�FHUR�HV�PHQRU
TXH�HO�YDORU� U ��*UÊILFDPHQWH�
/R�TXH�LPSOLFD�TXH� − < <U [ U �FRPR�EXVFÊEDPRV�
1 Además, las propiedades de la distancia tienen una traducción gráfica inmediata.
Ejemplo 5
7RSRORJÕD
7Conceptos básicos
Hallar la solución de la siguiente inecuación:
�������������������������������������������������������� [ − ≥3 1 �
3RGHPRV�LQWHUSUHWDU�OD�GHVLJXDOGDG�HQ�HO�VHQWLGR�GH�ODV�GLVWDQFLDV��UHVXOWDQGR�
�������������������������������������������������������� G [( , )3 1≥ �
*UÊILFDPHQWH�VLJQLILFD�TXH�GHEHPRV�HQFRQWUDU�WRGRV�ORV�SXQWRV�FX\D�GLVWDQFLD�D��
VHD�PD\RU�R�LJXDO�TXH�XQR��(V�GHFLU��ILJXUD�DEDMR�
$VÕ��OD�VROXFLÚQ�HVWÊ�IRUPDGD�SRU�HO�FRQMXQWR�GH�WRGRV�ORV�QàPHURV�UHDOHV�PD\RUHV
R� LJXDOHV� TXH� 4 � XQLÚQ� FRQ� HO� FRQMXQWR� GH� WRGRV� ORV� QàPHURV� UHDOHV� PHQRUHV� R
LJXDOHV�TXH� 2 ��(Q�VÕPERORV�
������������������������������������������������ ] ] [ [− ∞ ∪ +∞, ,2 4
R�ELHQ�
������������������������������������������������ ( ] [ )− ∞ ∪ +∞, ,2 4 �
Hallar la solución de [2 1 2+ > .
��'H�QXHYR��XWLOL]DQGR�HO�FRQFHSWR�GH�GLVWDQFLD�UHVXOWD�
����������������������������� [ [ G [2 2 21 2 1 2 1 2+ > ⇒ − − > ⇒ − >( ) ( , ) ��
(VWR� VLJQLILFD� TXH�GHEHPRV�EXVFDU� DTXHOORV� YDORUHV�� [2 � FX\D�GLVWDQFLD� D� −1 � VHD
VXSHULRU�D� 2 ��3RU�WDQWR�KDEU�GH�FXPSOLUVH�
���������������������������������������� [2 1> ����R���� [2 3< −
�ILJXUD�DEDMR��
/D� VHJXQGD� LQHFXDFLÚQ� � [2 3< − �� QR� WLHQH� VROXFLÚQ� SRU� OR� TXH� VÚOR� GHEHUHPRV
UHVROYHU� OD� SULPHUD�� [2 1> �� &RPR� VH� WUDWD� GH� XQD� inecuación polinómica de
segundo grado en una variable� HPSOHDUHPRV�HO�PÑWRGR�GH� ODV�regiones��TXH
QRV�RIUHFH�OD�VROXFLÚQ�� ] [ ] [− ∞ − ∪ +∞, ,1 1 �
Ejemplo 6
Ejemplo 7
7RSRORJÕD
8 Conceptos básicos
Hallar la solución de la siguiente inecuación:
�������������������������������������������������������� [ + <3 2 �
��&RPR� OD� GLVWDQFLD� VH� GHILQH� HQ� WÑUPLQRV� GH� YDORUHV� DEVROXWRV� GH� GLIHUHQFLDV
GHEHPRV� WUDQVIRUPDU� OD� H[SUHVLÚQ� [ + 3 � HQ� XQD� GLIHUHQFLD�� (VWR� HV� VHQFLOOR� SXHV
EDVWD�HVFULELU�OD�VXPD�FRPR�UHVWD�GH�XQ�QàPHUR�QHJDWLYR�
�������������������������������������������������� [ [+ = − −3 3( ) �
$SOLFDQGR�HVWD�WUDQVIRUPDFLÚQ�D�OD�LQHFXDFLÚQ�WHQHPRV�
�������������������������������� [ [ G [+ < ⇒ − − < ⇒ − <3 2 3 2 3 2( ) ( , ) �
(Q�UHVXPHQ��EXVFDPRV�DTXHOORV�QàPHURV�UHDOHV�FX\D�GLVWDQFLD�D� − 3 �VHD�LQIHULRU�D
2 ��ILJXUD�DEDMR��
/D�VROXFLÚQ�HV�SXHV�HO�LQWHUYDOR�DELHUWR� ] [− −5 1, �
La inecuación del ejemplo 8 podríamos haberla resuelto empleando la propiedad
que demostramos en el ejemplo 5 (la expresión [ U< equivale a las
desigualdades: − < <U [ U ). En efecto, esa propiedad hace referencia a valores
absolutos sin precisar si la expresión sobre la que se aplica está formada por un
sólo término o varios. De esta manera:
[ + <3 2
equivale a:
− < + <2 3 2[
por lo que para despejar [ sumamos a todos los miembros de la inecuación el
valor − 3 y se tiene:
− + − < + + − < + − ⇒ − < < −2 3 3 3 2 3 5 1( ) ( ) ( )[ [ .
��}&ÚPR�SRGHPRV�GHWHUPLQDU� OD�PD\RU� R�PHQRU�SUR[LPLGDG� GH� XQ� SXQWR� [ ∈R � D� XQ
VXEFRQMXQWR� $ ⊂ R "� 3XHV� ELHQ��PHGLDQWH� FLHUWRV� FRQMXQWRV� TXH� OODPDPRV� entornos
abiertos�
Ejemplo 8
Observación 2
7RSRORJÕD
9Conceptos básicos
Entorno abierto2 de centro [ ∈R y radio U ≥ 0 .
Un entorno abierto centrado en un punto de la recta real [ y de radio U ≥ 0
es el conjunto formado por todos aquellos puntos que se encuentran a una
distancia estrictamente menor de dicho punto que el valor del radio. En
símbolos:
( ) { }( [ U \ G [ \ U; / ( , )= ∈ <R .
Hallar el entorno abierto de centro 3 y radio U = 1.
��6HJàQ� OD� GHILQLFLÚQ� GHEHPRV� HQFRQWUDU� ORV� SXQWRV� \ � TXH� VH� HQFXHQWUHQ� D� XQD
GLVWDQFLD�PHQRU�TXH�1 �GHO�SXQWR�3 ��(Q�VÕPERORV�
����������������������������������������� G \ \( , )3 1 3 1< ⇒ − < �
3DUD�HOOR�XWLOL]DPRV�OD�SURSLHGDG�GHPRVWUDGD�HQ�HO�HMHPSOR���
������������������������������������������� 3 1 1 3 1− < ⇒ − < − <\ \
\�VXPDQGR�D�WRGRV�ORV�PLHPEURV�HO�YDORU� − 3 �UHVXOWD�
���������� − < − < ⇒ − + − < − + − < + − ⇒ − < − < −1 3 1 1 3 3 3 1 3 4 2\ \ \( ) ( ) ( ) �
0XOWLSOLFDPRV� WRGRV� ORV� PLHPEURV� SRU� ( )−1 � �OR� TXH� LQYLHUWH� HO� VHQWLGR� GH� ORV
VÕPERORV�GH�GHVLJXDOGDG��
�������������� − < − < − ⇒ − − > − − > − − ⇒ > >4 2 4 1 1 2 1 4 2\ \ \( )( ) ( )( ) ( )( ) �
(O�HQWRUQR�DELHUWR�GH�FHQWUR� 3 �\�UDGLR� 1 HV�SXHV�HO� LQWHUYDOR�DELHUWR� ] [2 4, � �ILJXUD
DEDMR��
Los entornos abiertos centrados en [ y de radio U son intervalos abiertos cuyo
centro es este punto y cuya longitud es igual al doble del radio U (figura abajo):
En el caso de que el radio sea cero se obtiene el conjunto vacío ya que la
inecuación: G \ [( , ) < 0 no puede ser satisfecha por ningún número real
2 También suele denominarse entorno simétrico abierto de centro [ y radio U .
Definición 4
Ejemplo 9
Observación 3
7RSRORJÕD
10 Conceptos básicos
��/D� SULPHUD� GHILQLFLÚQ� VREUH� kSUR[LPLGDGy� TXH� SRGHPRV� GDU� PHGLDQWH� HO� XVR� GH
HQWRUQRV�HV�OD�TXH�VLJXH�
Punto adherente y adherencia de un conjunto
Un punto [ es contiguo (adherente) a un determinado conjunto $ si todos
los entornos de [ tienen puntos del conjunto $ . La colección de todos los
puntos adherentes a $ se denomina adherencia de $ y se nota por ( )adh $ o
bien $ .
(O�SXQWR� 0 � HV� DGKHUHQWH� DO� FRQMXQWR� [ ]$ = −11, � \D� TXH� WRGR� HQWRUQR� GH� 0 � �FX\RV
H[WUHPRV�UHSUHVHQWDPRV�FRQ�SDUÑQWHVLV��kFRUWDy�D�HVWH�LQWHUYDOR��ILJXUD�DEDMR��
���
'HO�PLVPR�PRGR��HO�SXQWR� 1 �HV�DGKHUHQWH�DO�FRQMXQWR� $ �SXHV�WDPELÑQ�WRGRV�VXV
HQWRUQRV�WLHQHQ�SXQWRV�GH�GLFKR�FRQMXQWR�
��
A partir de ahora para representar sobre la recta entornos centrados en un punto
y de un radio dado, utilizaremos paréntesis o corchetes. Por ejemplo, para el
entorno de centro 1 y radio 0 5, se tiene (figura abajo):
entendiendo que todos los puntos que se hallen entre los paréntesis, a excepción de
los extremos, son los que forman el entorno. Alternativamente, con corchetes
(figura abajo):
Definición 5
Ejemplo 10
Observación 4
7RSRORJÕD
11Conceptos básicos
¿Es adherente el punto 0 al conjunto $ [ [Q
Q= ∈ = =
R / , , , ,...1
1 2 3 ?
��&RQYLHQH�UHSUHVHQWDU�HO�FRQMXQWR� $ ��ILJXUD�DEDMR�HQ�URMR��
9HPRV� TXH� WRGR� HQWRUQR� DELHUWR� GH� FHUR� FRUWD� D� DOJàQ� SXQWR� GH� $ � \D� TXH� ORV
HOHPHQWRV�GH�HVWH�FRQMXQWR�VH�kDFHUFDQy�WRGR�OR�TXH�TXHUDPRV�D�FHUR��(VWR�VLJQLILFD
TXH� 0 �HV�DGKHUHQWH�D� $ ��DXQTXH�QR�SHUWHQHFH�D�WDO�FRQMXQWR��
��(Q� HO� HMHPSOR� �� DSUHFLDPRV� TXH� SXHGHQ� H[LVWLU� dos diferentes grados de
adherencia� R� FRQWLJâLGDG�� (Q� HIHFWR�� HQ� HVH� HMHPSOR�� WDQWR� HO� 0 � FRPR� HO� 1 � VRQ
DGKHUHQWHV� D� [ ]−11, � SHUR� HO� 0 � HVWÊ� HQ� HO� kLQWHULRUy� PLHQWUDV� TXH� HO� 1 � HVWÊ� HQ� OD
kIURQWHUDy�
Punto interior de un conjunto
Se dice que un punto [ es interior a un conjunto $ , si es posible hallar al
menos un entorno abierto centrado en [ que esté incluido en $ .
Demostrar que el punto 0 es interior al conjunto ] ]− ∞,2 .
��(Q�HIHFWR��HO�HQWRUQR�GH�FHQWUR� 0 �\�UDGLR� 1 �VH�HQFXHQWUD�LQFOXLGR�HQ�HO�FRQMXQWR
�ILJXUD�DEDMR��
��������������
��/D�FROHFFLÚQ�GH�WRGRV�ORV�SXQWRV�LQWHULRUHV�D�XQ�GHWHUPLQDGR�FRQMXQWR� $ �VH�OODPDUÊ�HO
interior�GH� $ �\�VH�QRWDU�PHGLDQWH�� ( )int $ �R�ELHQ� $R
�
��([LVWH� XQD� LPSRUWDQWH� UHODFLÚQ� HQWUH� ORV� SXQWRV� LQWHULRUHV� GH� XQ� FRQMXQWR� \� HVWH
FRQMXQWR�
Ejemplo 11
Definición 6
Ejemplo 12
7RSRORJÕD
12 Conceptos básicos
Relaciones entre un conjunto y su interior
Todo conjunto $ ⊂ R contiene a su interior. Es decir:
( )int $ $⊂ .
Demostración:
��6L�HO�FRQMXQWR� $ � IXHUD�YDFÕR�VX�LQWHULRU�WDPELÑQ�VHUÕD�YDFÕR�SRU� OR�TXH� OD
LQFOXVLÚQ�VH�GDUÕD�GH�IRUPD�WULYLDO��6XSRQJDPRV�DKRUD�TXH�HO�LQWHULRU�GH� $
HV� QR� YDFÕR�� ( )int $ ≠ ∅ �� (Q� HVH� FDVR�� WRGR� SXQWR� TXH� SHUWHQH]FD� D� HVWH
LQWHULRU�� ( )[ $∈int �� WLHQH� XQ� HQWRUQR� DELHUWR� LQFOXLGR� HQ� $ �� &RPR� [ � HV
HOHPHQWR� GH� WRGRV� VXV� HQWRUQRV�� WDPELÑQ� VH� KDOODUÊ� HQ� $ � \� SRU� WDQWR�
( )int $ $⊂ �
F�T�G��
Punto frontera de un conjunto
Se dice que un punto [ es frontera de un conjunto $ , si es posible hallar en
todo entorno abierto centrado en [ , puntos de $ y puntos del
complementario4 de $ .
Demostrar que el punto 1 es frontera del conjunto de los números
racionales.
��/RV� QàPHURV� UHDOHV� VH� SXHGHQ� FODVLILFDU� HQ� GRV� WLSRV� GLVMXQWRV�� racionales� H
irracionales��3DUD�VLPEROL]DU�HO�FRQMXQWR�GH�ORV�QàPHURV�UDFLRQDOHV�HVFULELUHPRV
Q �PLHQWUDV�TXH�ORV�LUUDFLRQDOHV�VH�QRWDUÊQ�SRU� I ��$VÕ�HV��R Q I Q I= ∪ ∧ ∩ = ∅ �\
HVWRV�VXEFRQMXQWRV�VRQ�FRPSOHPHQWDULRV�XQR�GHO�RWUR��7DPELÑQ�VH�FDUDFWHUL]DQ�SRU
WHQHU�HOHPHQWRV�kSRU�GRTXLHUy�HQ�OD�UHFWD��(V�GHFLU��VL�HOHJLPRV�XQ�LQWHUYDOR�GH�OD
UHFWD� UHDO� QRV� HQFRQWUDUHPRV� HQ� ÑO� DO�PHQRV�XQ�QàPHUR� UDFLRQDO� \� DO�PHQRV�XQ
QàPHUR�LUUDFLRQDO��3RU�HMHPSOR��HQ�HO�LQWHUYDOR� ] ]0 1, �KD\�XQD�LQILQLGDG�GH�QàPHURV
UDFLRQDOHV�� 13
14
110, , ,... �{�H�LQILQLGDG�GH�QàPHURV�LUUDFLRQDOHV�� 0 30300300030000, .... �
0 997835625141, ...., ........ �&RPR� ORV� HQWRUQRV�GHO�SXQWR� 1 � VRQ� LQWHUYDORV� GH� OD� UHFWD
KDOODUHPRV�HQ�WRGRV�HOORV�SXQWRV�GH� Q �\�SXQWRV�VX�FRPSOHPHQWDULR� I �SRU�OR�TXH
3 Esta es la abreviatura de “como queda demostrado”.4 El complementario de un conjunto de la recta está formado por todos aquellos puntos de la recta que no pertenezcan a dicho conjunto.
Proposición1
Definición 7
Ejemplo 13
7RSRORJÕD
13Conceptos básicos
GLFKR�SXQWR�HV�IURQWHUD�GH�Q ���\�SRU�OD�PLVPD�UD]ÚQ�WDPELÑQ�GH� I ��
��/D�FROHFFLÚQ�GH�WRGRV�ORV�SXQWRV�IURQWHUD�GH� $ �VH�GLUÊ�TXH�HV�OD�frontera GH� $ �\�VH
QRWDU�SRU� ( )Fr A ��$�GLIHUHQFLD�GHO�LQWHULRU��QR�SRGHPRV�JDUDQWL]DU�TXH�OD�IURQWHUD�GH
XQ�FRQMXQWR�HVW�LQFOXLGD�HQ�GLFKR�FRQMXQWR�
��/DV� GHILQLFLRQHV� TXH� KHPRV� GDGR� GH� LQWHULRU� \� IURQWHUD� SHUPLWHQ� GHPRVWUDU� OD
VLJXLHQWH�SURSRVLFLÚQ�
Adherencia de un conjunto
La adherencia de un conjunto $ es la unión disjunta de su interior y su
frontera.
Demostración�
��(V� FODUR� TXH� WRGR� SXQWR� LQWHULRU� \� WRGR� IURQWHUD� GH� XQ� FRQMXQWR� $ � VRQ
DGKHUHQWHV�D�ÑVWH��SXHV�YHULILFDQ�OD�FRQGLFLÚQ�GH�WHQHU�HQ�WRGRV�VXV�HQWRUQRV
DO�PHQRV�XQ�SXQWR�GH� $ ��$GHPÊV�� VL�XQ�SXQWR�HV� LQWHULRU�KDOODUHPRV�TXH
DOJXQR�GH�VXV�HQWRUQRV�HVW�LQFOXLGR�HQ� $ �\��HQ�FRQVHFXHQFLD��QR�SXHGH�VHU
IURQWHUD��5HFÕSURFDPHQWH��VL�HV�IURQWHUD�QR�SRGUÊ�VHU� LQWHULRU�\D�TXH�QR�HV
SRVLEOH� HQFRQWUDU� XQ� HQWRUQR� FRQ� WRGRV� VXV� SXQWRV� SHUWHQHFLHQWHV� D� $ �
5HVXPLHQGR�
����������������������� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )adh int Fr , int Fr$ $ $ $ $= ∪ ∩ = ∅ �
F�T�G�
��&XDQGR�XQ�SXQWR� [ �QR�HV�DGKHUHQWH�D�XQ�FRQMXQWR�GDGR� $ �HQWRQFHV�SRGHPRV�KDOODU
DO�PHQRV�XQ�HQWRUQR�DELHUWR�TXH�QR�WLHQH�QL�XQ�VÚOR�SXQWR�GH� $ ��(Q�WDO�FDVR��GHFLPRV
TXH� HO� SXQWR� [ � HV�exterior� DO� FRQMXQWR� $ � \� D� OD� FROHFFLÚQ� GH� WRGRV� HVWRV� SXQWRV� OD
OODPDPRV�exterior GH� $ ��)RUPDOPHQWH�
Punto exterior de un conjunto
Un punto de la recta real es exterior a un subconjunto dado $ cuando sea
posible encontrar al menos un entorno abierto centrado en el punto que no
contenga a ningún elemento del conjunto. El conjunto de todos los puntos con
Proposición2
Definición 8
7RSRORJÕD
14 Conceptos básicos
esta propiedad se llamará exterior de $ y se notará por ( )ext $
(O�SXQWR� 2 �HV�H[WHULRU�DO�FRQMXQWR� [ ]$ = −11, �\D�TXH�HO�HQWRUQR�FHQWUDGR�HQ� 2 �\�GH
UDGLR�1
2�WLHQH�LQWHUVHFFLÚQ�YDFÕD�FRQ�HO�FRQMXQWR� $ ��ILJXUD�DEDMR��
���
��6XSRQJDPRV�TXH� $ �HV�XQ�VXEFRQMXQWR�GH�OD�UHFWD�UHDO��(QWRQFHV�VL� [ �HV�XQ�SXQWR�GH
HVWD�UHFWD�puede ser adherente o no a este subconjunto. En el caso de que no
sea adherente será exterior y en el caso de que sea adherente será o bien
interior o bien frontera. (Q�FRQVHFXHQFLD��WRGRV�ORV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�SHUWHQHFHUÊQ
DO�LQWHULRU��DO�H[WHULRU�R�D�OD�IURQWHUD�GH� $ �\�VÚOR�D�XQR�GH�HOORV�
Hallar el interior, el exterior y la frontera del conjunto: ] [− +∞1, .
��(O�LQWHULRU�GH�HVWH�FRQMXQWR�HV�ÑO�PLVPR�
������������������������������������� ] [( ) ] [int , ,− +∞ = − +∞1 1
\D� TXH� VL� ] [[ ∈ − +∞1, � VLHPSUH� SRGUHPRV� KDOODU� XQ� HQWRUQR� DELHUWR� LQFOXLGR� HQ
] [− +∞1, ��ILJXUD�DEDMR��
$GHPÊV�QLQJàQ�RWUR�SXQWR�TXH�QR�SHUWHQH]FD�DO� LQWHUYDOR�SXHGH�VHU�LQWHULRU��YHU
SURSRVLFLÚQ����
��(O� H[WHULRU� GHO� FRQMXQWR� HV�� ] [− ∞ −, 1 �� (O� àQLFR� SXQWR� TXH� QR� HV� QL� LQWHULRU� QL
H[WHULRU�HV�� −1 �SRU�OR�WDQWR�� ] [( )Fr ,− +∞ = −1 1 �
Ejemplo 14
Ejemplo 15