Conceptos Basicos de Topologia

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1 Conceptos básicos Conceptos básicos de Topología EQJULHJRHOWÑUPLQRktoposyVLJQLILFDOXJDUH[WHQVLÚQRSRVLFLÚQ\HOWÑUPLQRkORJRVy VLJQLILFDFLHQFLDRVDEHUSRUHOORktopología”VHU˚ODFLHQFLDGHODH[WHQVLÚQRGHOOXJDU Según una leyenda, la fundación de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces floreciente ciudad de Cambé y solicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización para establecerse allí. Contestó éste accediendo a concederles la extensión de terreno que pudiera abarcar una piel de buey. Entonces Dido, reina de los fugitivos, ordenó partir la piel de buey en estrechas tiras que unió para formar un largo cordón y con éste puedo acotar una extensión de terreno suficiente para formar la colonia. Ningún matemático griego pensó en sacar más partido de este problema. Para nuestro tiempo es natural pensar qué hubiera ocurrido si llamándose a engaño el rey Yarba hubiera exigido como condición suplementaria que la piel no hubiese quedado “desconexa”, esto es, prohibir toda posibilidad de coser o anudar lo rasgado. ¿Podría en estas condiciones acotarse un terreno de consideración? La respuesta es afirmativa, y a ella se llega teóricamente por deducciones topológicas. &RPR IXQGDPHQWR GH OD WRSRORJÕD WHQHPRV OD LGHD GH continuidad R kSUR[LPLGDGy (VGHFLUXQHVWXGLRWRSROÚJLFRVHEDVDU˚HQprecisar qué se entiende por continuo R VL VH SUHILHUH contiguo y qué transformaciones conservan esta continuidad&RQP˚VSUHFLVLÚQ Topología La topología es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar los conjuntos estructurados mediante relaciones que nos permitan decir cuándo un elemento del conjunto es “contiguo” o “próximo” a una parte del mismo. Curiosidades Definición 1

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7RSRORJÕD

1Conceptos básicos

Conceptos básicos de Topología

��EQ�JULHJR�HO�WÑUPLQR�ktoposy�VLJQLILFD�OXJDU��H[WHQVLÚQ�R�SRVLFLÚQ�\�HO�WÑUPLQR�kORJRVy

VLJQLILFD�FLHQFLD�R�VDEHU��SRU�HOOR�ktopología”�VHUÊ�OD�FLHQFLD�GH�OD�H[WHQVLÚQ�R�GHO�OXJDU�

Según una leyenda, la fundación de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos

de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces

floreciente ciudad de Cambé y solicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización

para establecerse allí. Contestó éste accediendo a concederles la extensión de

terreno que pudiera abarcar una piel de buey. Entonces Dido, reina de los

fugitivos, ordenó partir la piel de buey en estrechas tiras que unió para formar

un largo cordón y con éste puedo acotar una extensión de terreno suficiente para

formar la colonia.

Ningún matemático griego pensó en sacar más partido de este problema. Para

nuestro tiempo es natural pensar qué hubiera ocurrido si llamándose a engaño

el rey Yarba hubiera exigido como condición suplementaria que la piel no

hubiese quedado “desconexa”, esto es, prohibir toda posibilidad de coser o

anudar lo rasgado. ¿Podría en estas condiciones acotarse un terreno de

consideración? La respuesta es afirmativa, y a ella se llega teóricamente por

deducciones topológicas.

��&RPR�IXQGDPHQWR�GH� OD� WRSRORJÕD� WHQHPRV� OD� LGHD�GH�continuidad� R� kSUR[LPLGDGy�

(V�GHFLU��XQ�HVWXGLR�WRSROÚJLFR�VH�EDVDUÊ�HQ�precisar qué se entiende por continuo

�� R� � VL� VH� SUHILHUH� contiguo� y qué transformaciones conservan esta

continuidad��&RQ�PÊV�SUHFLVLÚQ�

Topología

La topología es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar los

conjuntos estructurados mediante relaciones que nos permitan decir cuándo

un elemento del conjunto es “contiguo” o “próximo” a una parte del mismo.

Curiosidades

Definición 1

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7RSRORJÕD

2 Conceptos básicos

'LEXMHPRV�XQ�GLDJUDPD�GH�9HQQ��A�VREUH�XQD�KRMD�GH�SDSHO�P�

����������������������������

3RGHPRV�FRQVLGHUDU�TXH�HO�FRQMXQWR�TXH�HVWXGLDPRV�HV�WRGD�OD�KRMD�GH�SDSHO�\�HO

GLDJUDPD�GH�9HQQ�HV�XQD�SDUWH�GH�ÑO��/D� IRUPD�PÊV� LQWXLWLYD�GH� LQWURGXFLU�XQD

WRSRORJÕD�HQ�HO�FRQMXQWR�P�HV�GHILQLU� OD�SUR[LPLGDG�GH�XQ�SXQWR�DO�VXEFRQMXQWR�A

XWLOL]DQGR� OD� kGLVWDQFLDy� HQWUH� GLFKR� SXQWR� \� HO� VXEFRQMXQWR�� 'H� HVWD� IRUPD�� HO

SXQWR�r�HV�FRQWLJXR�DO�FRQMXQWR�A�\�HO�SXQWR�q�QR�OR�HV��YHU�ILJXUD��

���������������������������������

6L�DKRUD�DUUXJDPRV�OD�KRMD�GH�SDSHO�VLQ�URPSHUOD�WHQGUHPRV�XQD�WUDQVIRUPDFLÚQ

WRSROÚJLFD�SXHV�HQ�OD�KRMD�DUUXJDGD�ORV�SXQWRV�q�\�r�WLHQHQ�ODV�PLVPDV�UHODFLRQHV

GH�SUR[LPLGDG�FRQ�HO�VXEFRQMXQWR�A�

���������������������������������������������

Ejemplo 1

Page 3: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

3Conceptos básicos

��7UDVODGDUHPRV� ODV� LGHDV� H[SXHVWDV� HQ� HO� HMHPSOR� �� DO� conjunto de los números

reales��(Q�SDUWLFXODU��QRV� LQWHUHVD�GHILQLU� OD�distancia� HQ�HVWH�FRQMXQWR�\�SDUD�HOOR

QHFHVLWDPRV�GHO�valor absoluto�

Valor absoluto de un número real

El valor absoluto D de un número real D es:

DD D

D D=

≥− <

si

si

0

0.

Es decir, se trata del mismo número si éste es positivo o nulo y de su opuesto

si éste es negativo.

��3RU�GHILQLFLÚQ��HO�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�HV�VLHPSUH�no negativo�\�YHULILFD�

L�� D D D= − ∀ ∈R ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�\�GH�VX�RSXHVWR�VRQ�VLHPSUH� ORV

PLVPRV�

LL�� DE D E D E= ∀ ∈, R �� (O� YDORU� DEVROXWR� GH� XQ� SURGXFWR� HV� LJXDO� DO� SURGXFWR� GH� ORV

YDORUHV�DEVROXWRV�

LLL�� D D= ⇔ =0 0 ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQ�QàPHUR�HV�FHUR�VL�\�VÚOR�VL�ÑVWH�HV�FHUR�

LY�� D E D E+ ≤ + ��(O�YDORU�DEVROXWR�GH�XQD�VXPD�HV�FRPR�PÊ[LPR�LJXDO�D�OD�VXPD�GH

ORV�YDORUHV�DEVROXWRV��desigualdad triangular��

9DPRV�D�FDOFXODU�HO�YDORU�DEVROXWR�GH�DOJXQRV�QàPHURV�

��������������������������� − =3 3 �� 4 4= �� − + =3 5 2 �� − + =5 3 2 �

(O�YDORU�DEVROXWR�GH�ODV�H[SUHVLRQHV�OLWHUDOHV�no puede darse explícitamente�\

QRV�WHQHPRV�TXH�UHIHULU�D�OD�GHILQLFLÚQ��3RU�HMHPSOR�

����������������������������� ( )[ \[ \ [ \

[ \ [ \+ =

+ + ≥− + + <

si

si

0

0�

&XDQGR�PDQHMHPRV� IXQFLRQHV�FRQRFLGDV� WDPELÑQ�GHEHPRV�XWLOL]DU� OD�GHILQLFLÚQ�\

UHVROYHU�SRVWHULRUPHQWH�ODV�LQHFXDFLRQHV�REWHQLGDV�

�������������������������������1

1 10

1 10

sensen sen

sen sen[

[ [

[ [

=≥

− <

si

si�

Definición 2

Ejemplo 2

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7RSRORJÕD

4 Conceptos básicos

&RPSUREHPRV�FRQ�XQ�HMHPSOR�TXH�HO�YDORU�DEVROXWR�GH�XQD�VXPD�HV�FRPR�PÊ[LPR

LJXDO�D�OD�VXPD�GH�ORV�YDORUHV�DEVROXWRV��(Q�HIHFWR�

��������������������������������������������� − + =2 2 0

PLHQWUDV�TXH�

���������������������������������������� − + = + =2 2 2 2 4 �

SRU�OR�TXH�HVFULELPRV�

������������������������������������������ − + ≤ − +2 2 2 2 �

6LQ�HPEDUJR��HO�YDORU�DEVROXWR�GHO�SURGXFWR�

������������������������������������������� ( )− = − =2 2 4 4

FRLQFLGH�FRQ�HO�SURGXFWR�GH�ORV�YDORUHV�DEVROXWRV�

������������������������������������������� − = ⋅ =2 2 2 2 4 �

El valor absoluto puede ser definido de otras maneras. Por ejemplo:

{ }[ [ [= −max , ,

o bien:

[ [= + 2 .

Así para − 3 su valor absoluto obtenido por la primera fórmula es:

{ } { }− = − − − = − =3 3 3 3 3 3max , ( ) ,max

y por la segunda:

− = + − = + =3 3 9 32( ) .

��&RQ�HO�YDORU�DEVROXWR�SDVDPRV�D�GHILQLU�OD�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�UHDO�

Distancia

La distancia entre dos puntos [ \, ∈R se define como el valor absoluto de su

diferencia:

( )G [ \ [ \, = − .

Ejemplo 3

Observación 1

Definición 3

Page 5: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

5Conceptos básicos

/D�GLVWDQFLD�HQWUH�ORV�QàPHURV�UHDOHV� − 3 �\�3 �HV�LJXDO�D�

����������������������������������� ( )G( , )− = − − = − =3 3 3 3 6 6 �

PLHQWUDV�TXH�OD�GLVWDQFLD�HQWUH� 4 �\� 0 �HV�

����������������������������������������� G( , )4 0 4 0 4= − = �

�/D�GLVWDQFLD�YHULILFD�ODV�SURSLHGDGHV�

L�� G [ \ [ \( , ) ,≥ ∀ ∈0 R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�HV�VLHPSUH�QR�QHJDWLYD�

LL�� G [ \ [ \( , ) = ⇔ =0 �� /D� GLVWDQFLD� HQWUH� GRV� SXQWRV� HV� QXOD� VL� \� VÚOR� VL� DPERV

FRLQFLGHQ�

LLL�� G [ \ G \ [ [ \( , ) ( , ) ,= ∀ ∈R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH� [ �H� \ �HV�OD�PLVPD�TXH�HQWUH� \ �\� [ �

LY�� G [ \ G [ \ G \ ] [ \ ]( , ) ( , ) ( , ) , ,≤ + ∀ ∈R ��/D�GLVWDQFLD�HQWUH�GRV�SXQWRV�HV�VLHPSUH�PHQRU

TXH�OD�VXPD�GH�GLVWDQFLDV�GH�HVWRV�GRV�SXQWRV�D�XQ�WHUFHUR��GHVLJXDOGDG�WULDQJXODU��

��(O� OHFWRU� SXHGH� FRPSUREDU� TXH� HVDV� SURSLHGDGHV� VRQ� GHGXFLEOHV� D� SDUWLU� GH� ODV� GHO

YDORU�DEVROXWR�

��/RV�QàPHURV�UHDOHV�VRQ��D�PHQXGR��UHSUHVHQWDGRV�JHRPÑWULFDPHQWH�FRPR�SXQWRV�GH

XQD� UHFWD� �TXH� OODPDUHPRV� eje real R� recta real��� 6H� HOLJH� XQ� SXQWR� SDUD� TXH

UHSUHVHQWH� HO� �� \� RWUR� D� OD� GHUHFKD� GHO� �� SDUD� TXH� UHSUHVHQWH� HO� ��� (VWD� HOHFFLÚQ

GHWHUPLQD�OD�HVFDOD��ILJXUD�DEDMR��

������������

��&RQ�XQ�FRQMXQWR�DGHFXDGR�GH�D[LRPDV�SDUD�OD�JHRPHWUÕD�HXFOÕGHD��D�FDGD�SXQWR�GH�OD

UHFWD�UHDO�FRUUHVSRQGH�XQ�QàPHUR�UHDO�\�XQR�VÚOR��\�UHFÕSURFDPHQWH��FDGD�QàPHUR�UHDO

HVW� UHSUHVHQWDGR� SRU� XQ� SXQWR� GH� OD� UHFWD� UHDO� \� XQR� VROR�� $FRVWXPEUDPRV� D

UHIHULUQRV�DO�SXQWR� [ �HQ�YH]�GHO�SXQWR�GH�OD�UHFWD�DVLJQDGR�DO�QàPHUR�UHDO� [ .

/D� UHODFLÚQ� GH� RUGHQ� SXHGH� LQWHUSUHWDUVH� DKRUD� GH� XQD� IRUPD� JUÊILFD�� 6L [ \< �

HQWRQFHV�HO�SXQWR� [ �HVW�D�OD�L]TXLHUGD�GHO�SXQWR \ ��ILJXUD�DEDMR��

����

Ejemplo 4

Page 6: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

6 Conceptos básicos

��(VWD�UHFWD�HV�WDPELÑQ�XQ�PDUFR�DSURSLDGR�SDUD�LQWHUSUHWDU�OD�DQWHULRU�GHILQLFLÚQ�GH

GLVWDQFLD��(Q� HIHFWR�� FRPSUREDUHPRV� TXH� OR� TXH� HQWHQGHPRV� SRU� GLVWDQFLD� HQWUH� GRV

QàPHURV�UHDOHV�FRLQFLGH�FRQ�OD�kGLVWDQFLDy�HQWUH�ORV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�TXH�UHSUHVHQWDQ

D�WDOHV�QàPHURV���ILJXUD�DEDMR��

�������������

��$� QLYHO� SUÊFWLFR�� PHGLDQWH� OD� GHILQLFLÚQ� GH� GLVWDQFLD� \� HVWDV� UHSUHVHQWDFLRQHV

SRGHPRV� GHGXFLU� DOJXQDV� SURSLHGDGHV� DGLFLRQDOHV� \� UHVROYHU� LQHFXDFLRQHV� GRQGH

LQWHUYLHQH�HO�YDORU�DEVROXWR�

Demostrar que la expresión [ U< equivale a las desigualdades: − < <U [ U .

��3RGHPRV� LQWHUSUHWDU� HO� YDORU� DEVROXWR� [ � FRPR� OD� GLVWDQFLD� GH� [ � D� 0 � SXHV� HV

HYLGHQWH�TXH�

����������������������������������������������� [ [= − 0 �

'H�HVWD�IRUPD�

���������������������������������� [ U [ U G [ U< ⇒ − < ⇒ <0 0( , )

\�VX�VROXFLÚQ�SDVD�SRU�KDOODU�ORV�QàPHURV�UHDOHV� [ �FX\D�GLVWDQFLD�D�FHUR�HV�PHQRU

TXH�HO�YDORU� U ��*UÊILFDPHQWH�

/R�TXH�LPSOLFD�TXH� − < <U [ U �FRPR�EXVFÊEDPRV�

1 Además, las propiedades de la distancia tienen una traducción gráfica inmediata.

Ejemplo 5

Page 7: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

7Conceptos básicos

Hallar la solución de la siguiente inecuación:

�������������������������������������������������������� [ − ≥3 1 �

3RGHPRV�LQWHUSUHWDU�OD�GHVLJXDOGDG�HQ�HO�VHQWLGR�GH�ODV�GLVWDQFLDV��UHVXOWDQGR�

�������������������������������������������������������� G [( , )3 1≥ �

*UÊILFDPHQWH�VLJQLILFD�TXH�GHEHPRV�HQFRQWUDU�WRGRV�ORV�SXQWRV�FX\D�GLVWDQFLD�D��

VHD�PD\RU�R�LJXDO�TXH�XQR��(V�GHFLU��ILJXUD�DEDMR�

$VÕ��OD�VROXFLÚQ�HVWÊ�IRUPDGD�SRU�HO�FRQMXQWR�GH�WRGRV�ORV�QàPHURV�UHDOHV�PD\RUHV

R� LJXDOHV� TXH� 4 � XQLÚQ� FRQ� HO� FRQMXQWR� GH� WRGRV� ORV� QàPHURV� UHDOHV� PHQRUHV� R

LJXDOHV�TXH� 2 ��(Q�VÕPERORV�

������������������������������������������������ ] ] [ [− ∞ ∪ +∞, ,2 4

R�ELHQ�

������������������������������������������������ ( ] [ )− ∞ ∪ +∞, ,2 4 �

Hallar la solución de [2 1 2+ > .

��'H�QXHYR��XWLOL]DQGR�HO�FRQFHSWR�GH�GLVWDQFLD�UHVXOWD�

����������������������������� [ [ G [2 2 21 2 1 2 1 2+ > ⇒ − − > ⇒ − >( ) ( , ) ��

(VWR� VLJQLILFD� TXH�GHEHPRV�EXVFDU� DTXHOORV� YDORUHV�� [2 � FX\D�GLVWDQFLD� D� −1 � VHD

VXSHULRU�D� 2 ��3RU�WDQWR�KDEU�GH�FXPSOLUVH�

���������������������������������������� [2 1> ����R���� [2 3< −

�ILJXUD�DEDMR��

/D� VHJXQGD� LQHFXDFLÚQ� � [2 3< − �� QR� WLHQH� VROXFLÚQ� SRU� OR� TXH� VÚOR� GHEHUHPRV

UHVROYHU� OD� SULPHUD�� [2 1> �� &RPR� VH� WUDWD� GH� XQD� inecuación polinómica de

segundo grado en una variable� HPSOHDUHPRV�HO�PÑWRGR�GH� ODV�regiones��TXH

QRV�RIUHFH�OD�VROXFLÚQ�� ] [ ] [− ∞ − ∪ +∞, ,1 1 �

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Page 8: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

8 Conceptos básicos

Hallar la solución de la siguiente inecuación:

�������������������������������������������������������� [ + <3 2 �

��&RPR� OD� GLVWDQFLD� VH� GHILQH� HQ� WÑUPLQRV� GH� YDORUHV� DEVROXWRV� GH� GLIHUHQFLDV

GHEHPRV� WUDQVIRUPDU� OD� H[SUHVLÚQ� [ + 3 � HQ� XQD� GLIHUHQFLD�� (VWR� HV� VHQFLOOR� SXHV

EDVWD�HVFULELU�OD�VXPD�FRPR�UHVWD�GH�XQ�QàPHUR�QHJDWLYR�

�������������������������������������������������� [ [+ = − −3 3( ) �

$SOLFDQGR�HVWD�WUDQVIRUPDFLÚQ�D�OD�LQHFXDFLÚQ�WHQHPRV�

�������������������������������� [ [ G [+ < ⇒ − − < ⇒ − <3 2 3 2 3 2( ) ( , ) �

(Q�UHVXPHQ��EXVFDPRV�DTXHOORV�QàPHURV�UHDOHV�FX\D�GLVWDQFLD�D� − 3 �VHD�LQIHULRU�D

2 ��ILJXUD�DEDMR��

/D�VROXFLÚQ�HV�SXHV�HO�LQWHUYDOR�DELHUWR� ] [− −5 1, �

La inecuación del ejemplo 8 podríamos haberla resuelto empleando la propiedad

que demostramos en el ejemplo 5 (la expresión [ U< equivale a las

desigualdades: − < <U [ U ). En efecto, esa propiedad hace referencia a valores

absolutos sin precisar si la expresión sobre la que se aplica está formada por un

sólo término o varios. De esta manera:

[ + <3 2

equivale a:

− < + <2 3 2[

por lo que para despejar [ sumamos a todos los miembros de la inecuación el

valor − 3 y se tiene:

− + − < + + − < + − ⇒ − < < −2 3 3 3 2 3 5 1( ) ( ) ( )[ [ .

��}&ÚPR�SRGHPRV�GHWHUPLQDU� OD�PD\RU� R�PHQRU�SUR[LPLGDG� GH� XQ� SXQWR� [ ∈R � D� XQ

VXEFRQMXQWR� $ ⊂ R "� 3XHV� ELHQ��PHGLDQWH� FLHUWRV� FRQMXQWRV� TXH� OODPDPRV� entornos

abiertos�

Ejemplo 8

Observación 2

Page 9: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

9Conceptos básicos

Entorno abierto2 de centro [ ∈R y radio U ≥ 0 .

Un entorno abierto centrado en un punto de la recta real [ y de radio U ≥ 0

es el conjunto formado por todos aquellos puntos que se encuentran a una

distancia estrictamente menor de dicho punto que el valor del radio. En

símbolos:

( ) { }( [ U \ G [ \ U; / ( , )= ∈ <R .

Hallar el entorno abierto de centro 3 y radio U = 1.

��6HJàQ� OD� GHILQLFLÚQ� GHEHPRV� HQFRQWUDU� ORV� SXQWRV� \ � TXH� VH� HQFXHQWUHQ� D� XQD

GLVWDQFLD�PHQRU�TXH�1 �GHO�SXQWR�3 ��(Q�VÕPERORV�

����������������������������������������� G \ \( , )3 1 3 1< ⇒ − < �

3DUD�HOOR�XWLOL]DPRV�OD�SURSLHGDG�GHPRVWUDGD�HQ�HO�HMHPSOR���

������������������������������������������� 3 1 1 3 1− < ⇒ − < − <\ \

\�VXPDQGR�D�WRGRV�ORV�PLHPEURV�HO�YDORU� − 3 �UHVXOWD�

���������� − < − < ⇒ − + − < − + − < + − ⇒ − < − < −1 3 1 1 3 3 3 1 3 4 2\ \ \( ) ( ) ( ) �

0XOWLSOLFDPRV� WRGRV� ORV� PLHPEURV� SRU� ( )−1 � �OR� TXH� LQYLHUWH� HO� VHQWLGR� GH� ORV

VÕPERORV�GH�GHVLJXDOGDG��

�������������� − < − < − ⇒ − − > − − > − − ⇒ > >4 2 4 1 1 2 1 4 2\ \ \( )( ) ( )( ) ( )( ) �

(O�HQWRUQR�DELHUWR�GH�FHQWUR� 3 �\�UDGLR� 1 HV�SXHV�HO� LQWHUYDOR�DELHUWR� ] [2 4, � �ILJXUD

DEDMR��

Los entornos abiertos centrados en [ y de radio U son intervalos abiertos cuyo

centro es este punto y cuya longitud es igual al doble del radio U (figura abajo):

En el caso de que el radio sea cero se obtiene el conjunto vacío ya que la

inecuación: G \ [( , ) < 0 no puede ser satisfecha por ningún número real

2 También suele denominarse entorno simétrico abierto de centro [ y radio U .

Definición 4

Ejemplo 9

Observación 3

Page 10: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

10 Conceptos básicos

��/D� SULPHUD� GHILQLFLÚQ� VREUH� kSUR[LPLGDGy� TXH� SRGHPRV� GDU� PHGLDQWH� HO� XVR� GH

HQWRUQRV�HV�OD�TXH�VLJXH�

Punto adherente y adherencia de un conjunto

Un punto [ es contiguo (adherente) a un determinado conjunto $ si todos

los entornos de [ tienen puntos del conjunto $ . La colección de todos los

puntos adherentes a $ se denomina adherencia de $ y se nota por ( )adh $ o

bien $ .

(O�SXQWR� 0 � HV� DGKHUHQWH� DO� FRQMXQWR� [ ]$ = −11, � \D� TXH� WRGR� HQWRUQR� GH� 0 � �FX\RV

H[WUHPRV�UHSUHVHQWDPRV�FRQ�SDUÑQWHVLV��kFRUWDy�D�HVWH�LQWHUYDOR��ILJXUD�DEDMR��

���

'HO�PLVPR�PRGR��HO�SXQWR� 1 �HV�DGKHUHQWH�DO�FRQMXQWR� $ �SXHV�WDPELÑQ�WRGRV�VXV

HQWRUQRV�WLHQHQ�SXQWRV�GH�GLFKR�FRQMXQWR�

��

A partir de ahora para representar sobre la recta entornos centrados en un punto

y de un radio dado, utilizaremos paréntesis o corchetes. Por ejemplo, para el

entorno de centro 1 y radio 0 5, se tiene (figura abajo):

entendiendo que todos los puntos que se hallen entre los paréntesis, a excepción de

los extremos, son los que forman el entorno. Alternativamente, con corchetes

(figura abajo):

Definición 5

Ejemplo 10

Observación 4

Page 11: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

11Conceptos básicos

¿Es adherente el punto 0 al conjunto $ [ [Q

Q= ∈ = =

R / , , , ,...1

1 2 3 ?

��&RQYLHQH�UHSUHVHQWDU�HO�FRQMXQWR� $ ��ILJXUD�DEDMR�HQ�URMR��

9HPRV� TXH� WRGR� HQWRUQR� DELHUWR� GH� FHUR� FRUWD� D� DOJàQ� SXQWR� GH� $ � \D� TXH� ORV

HOHPHQWRV�GH�HVWH�FRQMXQWR�VH�kDFHUFDQy�WRGR�OR�TXH�TXHUDPRV�D�FHUR��(VWR�VLJQLILFD

TXH� 0 �HV�DGKHUHQWH�D� $ ��DXQTXH�QR�SHUWHQHFH�D�WDO�FRQMXQWR��

��(Q� HO� HMHPSOR� �� DSUHFLDPRV� TXH� SXHGHQ� H[LVWLU� dos diferentes grados de

adherencia� R� FRQWLJâLGDG�� (Q� HIHFWR�� HQ� HVH� HMHPSOR�� WDQWR� HO� 0 � FRPR� HO� 1 � VRQ

DGKHUHQWHV� D� [ ]−11, � SHUR� HO� 0 � HVWÊ� HQ� HO� kLQWHULRUy� PLHQWUDV� TXH� HO� 1 � HVWÊ� HQ� OD

kIURQWHUDy�

Punto interior de un conjunto

Se dice que un punto [ es interior a un conjunto $ , si es posible hallar al

menos un entorno abierto centrado en [ que esté incluido en $ .

Demostrar que el punto 0 es interior al conjunto ] ]− ∞,2 .

��(Q�HIHFWR��HO�HQWRUQR�GH�FHQWUR� 0 �\�UDGLR� 1 �VH�HQFXHQWUD�LQFOXLGR�HQ�HO�FRQMXQWR

�ILJXUD�DEDMR��

��������������

��/D�FROHFFLÚQ�GH�WRGRV�ORV�SXQWRV�LQWHULRUHV�D�XQ�GHWHUPLQDGR�FRQMXQWR� $ �VH�OODPDUÊ�HO

interior�GH� $ �\�VH�QRWDU�PHGLDQWH�� ( )int $ �R�ELHQ� $R

��([LVWH� XQD� LPSRUWDQWH� UHODFLÚQ� HQWUH� ORV� SXQWRV� LQWHULRUHV� GH� XQ� FRQMXQWR� \� HVWH

FRQMXQWR�

Ejemplo 11

Definición 6

Ejemplo 12

Page 12: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

12 Conceptos básicos

Relaciones entre un conjunto y su interior

Todo conjunto $ ⊂ R contiene a su interior. Es decir:

( )int $ $⊂ .

Demostración:

��6L�HO�FRQMXQWR� $ � IXHUD�YDFÕR�VX�LQWHULRU�WDPELÑQ�VHUÕD�YDFÕR�SRU� OR�TXH� OD

LQFOXVLÚQ�VH�GDUÕD�GH�IRUPD�WULYLDO��6XSRQJDPRV�DKRUD�TXH�HO�LQWHULRU�GH� $

HV� QR� YDFÕR�� ( )int $ ≠ ∅ �� (Q� HVH� FDVR�� WRGR� SXQWR� TXH� SHUWHQH]FD� D� HVWH

LQWHULRU�� ( )[ $∈int �� WLHQH� XQ� HQWRUQR� DELHUWR� LQFOXLGR� HQ� $ �� &RPR� [ � HV

HOHPHQWR� GH� WRGRV� VXV� HQWRUQRV�� WDPELÑQ� VH� KDOODUÊ� HQ� $ � \� SRU� WDQWR�

( )int $ $⊂ �

F�T�G��

Punto frontera de un conjunto

Se dice que un punto [ es frontera de un conjunto $ , si es posible hallar en

todo entorno abierto centrado en [ , puntos de $ y puntos del

complementario4 de $ .

Demostrar que el punto 1 es frontera del conjunto de los números

racionales.

��/RV� QàPHURV� UHDOHV� VH� SXHGHQ� FODVLILFDU� HQ� GRV� WLSRV� GLVMXQWRV�� racionales� H

irracionales��3DUD�VLPEROL]DU�HO�FRQMXQWR�GH�ORV�QàPHURV�UDFLRQDOHV�HVFULELUHPRV

Q �PLHQWUDV�TXH�ORV�LUUDFLRQDOHV�VH�QRWDUÊQ�SRU� I ��$VÕ�HV��R Q I Q I= ∪ ∧ ∩ = ∅ �\

HVWRV�VXEFRQMXQWRV�VRQ�FRPSOHPHQWDULRV�XQR�GHO�RWUR��7DPELÑQ�VH�FDUDFWHUL]DQ�SRU

WHQHU�HOHPHQWRV�kSRU�GRTXLHUy�HQ�OD�UHFWD��(V�GHFLU��VL�HOHJLPRV�XQ�LQWHUYDOR�GH�OD

UHFWD� UHDO� QRV� HQFRQWUDUHPRV� HQ� ÑO� DO�PHQRV�XQ�QàPHUR� UDFLRQDO� \� DO�PHQRV�XQ

QàPHUR�LUUDFLRQDO��3RU�HMHPSOR��HQ�HO�LQWHUYDOR� ] ]0 1, �KD\�XQD�LQILQLGDG�GH�QàPHURV

UDFLRQDOHV�� 13

14

110, , ,... �{�H�LQILQLGDG�GH�QàPHURV�LUUDFLRQDOHV�� 0 30300300030000, .... �

0 997835625141, ...., ........ �&RPR� ORV� HQWRUQRV�GHO�SXQWR� 1 � VRQ� LQWHUYDORV� GH� OD� UHFWD

KDOODUHPRV�HQ�WRGRV�HOORV�SXQWRV�GH� Q �\�SXQWRV�VX�FRPSOHPHQWDULR� I �SRU�OR�TXH

3 Esta es la abreviatura de “como queda demostrado”.4 El complementario de un conjunto de la recta está formado por todos aquellos puntos de la recta que no pertenezcan a dicho conjunto.

Proposición1

Definición 7

Ejemplo 13

Page 13: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

13Conceptos básicos

GLFKR�SXQWR�HV�IURQWHUD�GH�Q ���\�SRU�OD�PLVPD�UD]ÚQ�WDPELÑQ�GH� I ��

��/D�FROHFFLÚQ�GH�WRGRV�ORV�SXQWRV�IURQWHUD�GH� $ �VH�GLUÊ�TXH�HV�OD�frontera GH� $ �\�VH

QRWDU�SRU� ( )Fr A ��$�GLIHUHQFLD�GHO�LQWHULRU��QR�SRGHPRV�JDUDQWL]DU�TXH�OD�IURQWHUD�GH

XQ�FRQMXQWR�HVW�LQFOXLGD�HQ�GLFKR�FRQMXQWR�

��/DV� GHILQLFLRQHV� TXH� KHPRV� GDGR� GH� LQWHULRU� \� IURQWHUD� SHUPLWHQ� GHPRVWUDU� OD

VLJXLHQWH�SURSRVLFLÚQ�

Adherencia de un conjunto

La adherencia de un conjunto $ es la unión disjunta de su interior y su

frontera.

Demostración�

��(V� FODUR� TXH� WRGR� SXQWR� LQWHULRU� \� WRGR� IURQWHUD� GH� XQ� FRQMXQWR� $ � VRQ

DGKHUHQWHV�D�ÑVWH��SXHV�YHULILFDQ�OD�FRQGLFLÚQ�GH�WHQHU�HQ�WRGRV�VXV�HQWRUQRV

DO�PHQRV�XQ�SXQWR�GH� $ ��$GHPÊV�� VL�XQ�SXQWR�HV� LQWHULRU�KDOODUHPRV�TXH

DOJXQR�GH�VXV�HQWRUQRV�HVW�LQFOXLGR�HQ� $ �\��HQ�FRQVHFXHQFLD��QR�SXHGH�VHU

IURQWHUD��5HFÕSURFDPHQWH��VL�HV�IURQWHUD�QR�SRGUÊ�VHU� LQWHULRU�\D�TXH�QR�HV

SRVLEOH� HQFRQWUDU� XQ� HQWRUQR� FRQ� WRGRV� VXV� SXQWRV� SHUWHQHFLHQWHV� D� $ �

5HVXPLHQGR�

����������������������� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )adh int Fr , int Fr$ $ $ $ $= ∪ ∩ = ∅ �

F�T�G�

��&XDQGR�XQ�SXQWR� [ �QR�HV�DGKHUHQWH�D�XQ�FRQMXQWR�GDGR� $ �HQWRQFHV�SRGHPRV�KDOODU

DO�PHQRV�XQ�HQWRUQR�DELHUWR�TXH�QR�WLHQH�QL�XQ�VÚOR�SXQWR�GH� $ ��(Q�WDO�FDVR��GHFLPRV

TXH� HO� SXQWR� [ � HV�exterior� DO� FRQMXQWR� $ � \� D� OD� FROHFFLÚQ� GH� WRGRV� HVWRV� SXQWRV� OD

OODPDPRV�exterior GH� $ ��)RUPDOPHQWH�

Punto exterior de un conjunto

Un punto de la recta real es exterior a un subconjunto dado $ cuando sea

posible encontrar al menos un entorno abierto centrado en el punto que no

contenga a ningún elemento del conjunto. El conjunto de todos los puntos con

Proposición2

Definición 8

Page 14: Conceptos Basicos de Topologia

7RSRORJÕD

14 Conceptos básicos

esta propiedad se llamará exterior de $ y se notará por ( )ext $

(O�SXQWR� 2 �HV�H[WHULRU�DO�FRQMXQWR� [ ]$ = −11, �\D�TXH�HO�HQWRUQR�FHQWUDGR�HQ� 2 �\�GH

UDGLR�1

2�WLHQH�LQWHUVHFFLÚQ�YDFÕD�FRQ�HO�FRQMXQWR� $ ��ILJXUD�DEDMR��

���

��6XSRQJDPRV�TXH� $ �HV�XQ�VXEFRQMXQWR�GH�OD�UHFWD�UHDO��(QWRQFHV�VL� [ �HV�XQ�SXQWR�GH

HVWD�UHFWD�puede ser adherente o no a este subconjunto. En el caso de que no

sea adherente será exterior y en el caso de que sea adherente será o bien

interior o bien frontera. (Q�FRQVHFXHQFLD��WRGRV�ORV�SXQWRV�GH�OD�UHFWD�SHUWHQHFHUÊQ

DO�LQWHULRU��DO�H[WHULRU�R�D�OD�IURQWHUD�GH� $ �\�VÚOR�D�XQR�GH�HOORV�

Hallar el interior, el exterior y la frontera del conjunto: ] [− +∞1, .

��(O�LQWHULRU�GH�HVWH�FRQMXQWR�HV�ÑO�PLVPR�

������������������������������������� ] [( ) ] [int , ,− +∞ = − +∞1 1

\D� TXH� VL� ] [[ ∈ − +∞1, � VLHPSUH� SRGUHPRV� KDOODU� XQ� HQWRUQR� DELHUWR� LQFOXLGR� HQ

] [− +∞1, ��ILJXUD�DEDMR��

$GHPÊV�QLQJàQ�RWUR�SXQWR�TXH�QR�SHUWHQH]FD�DO� LQWHUYDOR�SXHGH�VHU�LQWHULRU��YHU

SURSRVLFLÚQ����

��(O� H[WHULRU� GHO� FRQMXQWR� HV�� ] [− ∞ −, 1 �� (O� àQLFR� SXQWR� TXH� QR� HV� QL� LQWHULRU� QL

H[WHULRU�HV�� −1 �SRU�OR�WDQWR�� ] [( )Fr ,− +∞ = −1 1 �

Ejemplo 14

Ejemplo 15