Diseñó: Arturo Corona PeguerosDiseñó: Arturo Corona Pegueros Julio 2010Julio 2010
Álgebra de Matrices UTEQ
Conceptos básicos
• Concepto de matriz
• Operaciones con matrices- Adición- Producto por escalar
- Producto de matrices
En esta presentación te mostramos una forma de acercarte al concepto de matriz, sin embargo es importante aclarar que las matrices no nacieron de esta forma. Las matrices surgen de la necesidad de trabajar sistemas de ecuaciones lineales.
Para mayor información puedes revisar la siguiente dirección:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
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Conceptos básicosCONCEPTO DE MATRIZ
Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos:
Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 mantelesSucursalPlaza del Parque:
SucursalPlaza Zaragoza:
Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles
¿Cuál es el total de cada artículo por mes?
Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles
Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 mantelesFeb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles
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Conceptos básicosCONCEPTO DE MATRIZ
Una empresa de alquileres tuvo los siguientes movimientos:
Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 mantelesSucursalPlaza del Parque:
SucursalPlaza Zaragoza:
Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles
Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles
Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 mantelesFeb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles
Una forma de solución es la siguiente:
¿Cuál es el total de cada artículo por mes?
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Conceptos básicosCONCEPTO DE MATRIZ
Mar: 150 mesas, 100 sillas y 100 mantelesSucursalPlaza del Parque:
SucursalPlaza Zaragoza:
Mar: 100 mesas, 100 sillas y 150 manteles
Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 manteles
Ene: 200 mesas, 300 sillas y 200 mantelesFeb: 300 mesas, 350 sillas y 200 manteles
Una forma de solución es la siguiente:
P = EneFebMar
mesas
sillas manteles
mesas sillas manteles Ene 200 300 200
Z = Feb 300 350 200 Mar 100 100 150
A cada arreglo se le denomina:MATRIZ
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Operaciones con MatricesADICIÓN
La adición de matrices se realiza término a término:
P
300 400 250400 300 300150 100 100
+
+
Z
200 300 200300 350 200100 100
150
300 + 200
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Operaciones con MatricesADICIÓN
La adición de matrices se realiza término a término:
P
300 400 250400 300 300150 100 100
+
+
Z
200 300 200300 350 200100 100
150
500 700
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Operaciones con MatricesADICIÓN
La adición de matrices se realiza término a término:
P
300 400 250400 300 300150 100 100
+
+
Z
200 300 200300 350 200100 100
150
500 700 450
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Operaciones con MatricesADICIÓN
La adición de matrices se realiza término a término:
P
300 400 250400 300 300150 100 100
+
+
Z
200 300 200300 350 200100 100
150
500 700 450700 650 500250 200 250
= R Matriz resultanteo Matriz Resultado
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Operaciones con MatricesADICIÓN
De manera general, podemos establecer lo siguiente:
Numeramos las columnas
C1 C2 C3
Numeramos los renglones
R1
R2
R3
Numeramos cada elemento con dos subíndices
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
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Operaciones con MatricesADICIÓN
De manera general, podemos establecer lo siguiente:
Numeramos las columnas
C1 C2 C3
Numeramos los renglones
R1
R2
R3
Numeramos cada elemento con dos subíndices
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
De esta forma queda la representación o modelo matemáticode una matriz de 3 x 3
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Operaciones con MatricesADICIÓN
De manera general, podemos establecer lo siguiente:
Numeramos las columnasNumeramos los renglonesNumeramos cada elemento con dos subíndices
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
De esta forma queda la representación o modelo matemáticode una matriz de 3 x 3
Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamoscon la letra b
+
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
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Operaciones con MatricesADICIÓN
De manera general, podemos establecer lo siguiente:
Numeramos las columnasNumeramos los renglonesNumeramos cada elemento con dos subíndices
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
De esta forma queda la representación o modelo matemáticode una matriz de 3 x 3
Adicionamos una segunda matriz cuyos elementos denominamoscon la letra b
+
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
De manera que la matriz resultante tiene elementos c que seobtienen mediante la operación:
cij = aij + bij
c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
=
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Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
La sucursal Plaza del Parque tuvo las siguientes ventas:
SucursalPlaza del Parque:
¿Cuál es el total de ventas por mes de la sucursalPlaza Zaragoza?
Abr: 200 mesas, 300 sillas y 100 mantelesMay: 300 mesas, 300 sillas y 200 manteles
La sucursal Plaza Zaragoza tuvo 40% más ventas en losmismos dos meses comparada con Plaza del Parque.
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Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 300 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Álgebra de Matrices UTEQ
Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 300 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200
Z = 1.4(200
)
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Álgebra de Matrices UTEQ
Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 300 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200
Z = 1.4(200)
1.4(300)
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Álgebra de Matrices UTEQ
Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 300 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200
Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100)
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 200 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200
Z = 1.4(200) 1.4(300) 1.4(100)
1.4(300) 1.4(300) 1.4(200)
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Álgebra de Matrices UTEQ
Llamamos P a la matriz asociada a Plaza del Parque
P =200 300 100300 300 200
Si llamamos Z a la matriz asociada a Plaza Zaragoza, entoncesTenemos que:
Z = P + 0.40*P Z = 1.40 * P200 300 100300 300 200
Z = 280 420 140420 420 280 Esta operación se llama:
Producto por escalar
Operaciones con MatricesPRODUCTO POR ESCALAR
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
La sucursal Plaza Zaragoza tiene ventas registradaspor
El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel.
Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 mantelesMar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles
¿A cuánto asciende el ingreso por mes?
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
Ene: 300 mesas, 400 sillas y 250 mantelesFeb: 400 mesas, 300 sillas y 300 mantelesMar: 150 mesas, 100 sillas y 100 manteles
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
El precio por artículo es el siguiente: $20 cada mesa, $10 cada silla y $15 cada mantel.
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
300(20)Ene
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
300(20)Ene + 400(10)
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
300(20)Ene + 400(10)+ 250(15)
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
300(20)Ene + 400(10)+ 250(15)Feb400(20) + 300(10) + 300(15)Mar150(20) + 100(10) + 100(15)
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Una forma de resolver el problema:
300 400 250400 300 300150 100 100
mesas sillas manteles
EneFebMar
IngresoMesa 20Silla 10Mantel 15
13,750Ene
Feb 15,500Mar 5,500
Matriz de Ingreso por mes
Ingreso
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
La fabrica de muebles Michoacán tuvo los siguientes volúmenesde producción durante enero en sus tres sucursales:
Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero
Norte: 600 escritorios y 700 librerosSur: 800 escritorios y 600 librerosCentro: 900 escritorios y 500 libreros
Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero
Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero
¿Cuáles son los costos individuales por sucursal?
Con los siguientes costos:
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
Mano de obra de $750 por escritorio y $600 por librero
Norte: 600 escritorios y 700 librerosSur: 800 escritorios y 600 librerosCentro: 900 escritorios y 500 libreros
Materia prima de $2,500 por escritorio y $2,000 por librero
Gastos indirectos de $500 por escritorio y $400 por librero
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
2,500 750 5002,000 600 400
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
600(2,500) + 700(2,000)
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
Materia prima
2,900,000Norte
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
600(750) + 700(600)
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
Materia prima
2,900,000Norte
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
870,000
Mano de obra
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
Materia prima
2,900,000Norte
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
870,000
Mano de obra
600(500) + 700(400)
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
Materia prima
2,900,000Norte
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
870,000
Mano de obra
580,000
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
Gastos indirectos
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Álgebra de Matrices UTEQ
Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
Escribimos dos matrices asociadas a los datos:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
Materia prima
2,900,000Norte
El producto de matrices se realiza de la siguiente forma:
870,000
Mano de obra
580,000
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
Gastos indirectos
3,200,000 960,000 600,000Sur
3,250,000 975,000 650,000Centro
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
La operación se realizó de la siguiente forma:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
La operación se realizó de la siguiente forma:
600 700800 600900 500
Escritorio librero
Norte
Sur
Centro
Escritorio
Librero2,500 750 5002,000 600 400
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
MateriaPrima
Mano de obra
Gastos indirectos
Norte
Sur
Centro
600(2,500) + 700(2,000) 600(750) + 700(600) 600(500) + 700(400)
800(2,500) + 600(2,000) 800(750) + 600(600) 800(500) + 600(400)
900(2,500) + 500(2,000) 900(750) + 500(600) 900(500) + 500(400)
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Operaciones con MatricesPRODUCTO DE MATRICES
De forma general, el producto de matrices se realiza de laSiguiente manera:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
b11 b12
b21 b22
b31 b32
c11 c12
c21 c22=
Cada elemento de la matriz resultante se obtiene de la siguienteforma:
cij = Ri Cj
R1
R2
C1 C2
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Álgebra de Matrices UTEQ
Diseñó:M.D.M. Arturo Corona Pegueros
Carrera de Administración Área Recursos HumanosDivisión Económico-Administrativa
Universidad Tecnológica de QuerétaroQuerétaro, México
Última actualización: julio 2010Cualquier comentario dirigirlo a:
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