1
Angel Vilariño 1
Derivados y Productos
Estructurados
Ángel VilariñoJunio 2011, México D.F.
Angel Vilariño 2
Derivados financieros
Un derivado es un instrumento financiero cuyo precio está vinculado a la evolución futura de:- el precio de un activo financiero (acción, bono,…)- una tasa de interés- una tasa de cambio- un índice bursátil- el precio de otro derivado- la volatilidad de un activo- el rating de un emisor- el spread de un bono- el precio de la electricidad- la temperatura en una zona cultivada
2
Angel Vilariño 3
Derivados financieros
Los derivados son activos financieros muy antiguos. Lo “nuevo” se resume en:- Nuevas técnicas de valoración de opciones (Black,
Scholes y Merton, 1973)- Creación de mercados específicos para su negociación
- Creación de nuevos derivados (exóticos, crédito, climáticos)
- Fuerte crecimiento del volumen negociado- Amplia difusión entre segmentos de inversores no
especialistas. - Combinación con activos “tradicionales”- Utilización intensiva para gestionar riesgos
Angel Vilariño 4
Tipología de los derivados financieros
• Operaciones a plazo (Forwards) y Futuros
• Permutas financieras (Swaps)
• Opciones estándar
• Opciones exóticas
• Productos estructurados
• Derivados de crédito
• Derivados climáticos
3
Angel Vilariño 5
Mercados
• Mercados organizados (Bolsas)– Estandarización de los contratos (nocionales,
subyacentes y fechas)– Garantías para cubrir riesgo de incumplimiento– Liquidación diaria por cambios de valor
• Mercados “over the counter” (OTC), “gré a gré”– Contratos a medida– Plazos cortos y largos– Puede ser difícil el cierre (liquidez)– Garantías discrecionales
Angel Vilariño 6
Nominales y valores de mercado brutos. OTCJunio-2010
importes en billones (12 ceros) fuente: BIS
OTC Nominal Porcentaje Valor bruto PorcentajeTotal 582,7 100% 24,7 100%Forwards de divisas 53,1 9,1% 2,5 10,2%Tipos de interés 451,8 77,5% 17,5 71,0%- FRAS 56,2 9,6% 0,1 0,3%- Swaps 347,5 59,6% 16,0 64,6%- Opciones 48,1 8,3% 1,5 6,1%Equited-linked 6,3 1,1% 0,7 2,9%Commodity 2,9 0,5% 0,5 1,8%Credit default swaps 30,3 5,2% 1,7 6,7%- single name 18,4 3,2% 1,0 4,0%- multiname 11,9 2,0% 0,7 2,7%Otros derivados 38,3 6,6% 0,8 3,2%
4
Angel Vilariño 7
Evolución del importe nominal y el valor de los contratos OTC
importes en billones (12 ceros) fuente: BIS
Contratos Nominal Nominal Valor ValorOTC jun-98 jun-10 jun-98 jun-10
Total 72,1 582,7 2,6 24,7Forwards de divisas 18,7 53,1 0,8 2,5Tipos de interés 42,4 451,8 1,2 17,5- FRAS 5,1 56,2 0,03 0,1- Swaps 29,3 347,5 1,0 16,0- Opciones 7,9 48,1 0,1 1,5Equited-linked 1,3 6,3 0,2 0,7Commodity 0,4 2,9 0,0 0,5Credit default swaps - 30,3 - 1,7- single name - 18,4 - 1,0- multiname - 11,9 - 0,7Otros derivados 9,3 38,3 0,4 0,8
Angel Vilariño 8
Hechos relevantes
• i) Los derivados utilizados para operaciones de cobertura de
riesgos son un porcentaje importante de los contratos
negociados, dados los altos porcentajes que representan los
swaps, típico instrumento de cobertura, tanto en términos
nominales como en términos de valor bruto (cuadro 1)
• ii) Ha existido un fortísimo crecimiento de los derivados. En el
caso de los contratos negociados en mercados OTC la tasa
anual acumulativa de los importes nominales es 23,2% en el
período 1998‐2008, y en el caso de los mercados organizados
la tasa anual acumulativa para el período 2000‐2007 es 31%,
5
Angel Vilariño 9
Hechos relevantes
• iii) La comparación de los derivados con otros activos para
medir su importancia relativa debe utilizar como concepto
relevante el valor de mercado y no el importe nominal. En el
caso de los mercados organizados existe la dificultad de que,
en el caso de los futuros, los contratos se liquidan
diariamente por lo que su valor de mercado se anula tras la
liquidación.
• iv) Los derivados implícitos en los productos estructurados
están “ocultos” y no aparecen en las estadísticas, salvo que se
cubran y exista la operación simétrica. Es muchos casos se
contabilizan deficientemente.
Angel Vilariño 10
Contrato sobre la compra-venta a plazo de un activo
• Un contrato entre A (comprador) y B (vendedor) que
acuerdan la cantidad de activo que B entregará a A en
una fecha futura y A pagará a B el precio convenido en
el contrato.
• El contrato se puede liquidar, de mutuo acuerdo, por
diferencia entre el precio del activo subyacente y el
precio del contrato multiplicada por la cantidad pactada.
6
Angel Vilariño 11
Precio a plazo racional
• El precio a plazo que impide el arbitraje está dado por
0T 0
0T
0
P P (1 rT )
P precio a plazo
P precio contado
r tipo de int erés
T plazo
Angel Vilariño 12
Ejemplo precio a plazo
• Una acción se cotiza actualmente a P0 = 13 USD• La tasa de interés LIBOR a 6 meses (183 días) es r =
3%• La acción no paga dividendos dentro de los próximos
seis meses• El precio a plazo para entrega de la acción dentro de
seis meses es
0TP 13 (1 3% (183/360)) 13,20 USD
7
Angel Vilariño 13
Imposibilidad de arbitraje
• En 0, pedimos prestado P0 a una tasa de interés r a un plazo T
• Compramos el activo al contado• Vendemos el activo a plazo a un precio PoT
• En T, pagamos el préstamo• Ingresamos la venta del activo y entregamos el activo• La condición de equilibrio (ausencia de arbitraje) es
0T 0
0T 0
Beneficio Ingresos Costes P P 1 rT 0
P P (1 rT )
Angel Vilariño 14
Imposibilidad de arbitraje
• En 0, vendemos el activo e ingresamos P0
• Se presta P0 a la tasa de interés r a un plazo T • Compramos el activo a plazo• En T, cobramos el préstamo• Adquirimos el activo entregando • La condición de equilibrio (ausencia de arbitraje) es
0 0T
0T 0
Beneficio Ingresos Costes P 1 rT P 0
P P (1 rT )
8
Angel Vilariño 15
Valoración del contrato
• El valor del contrato en una fecha cualquiera se obtiene
calculando el valor actual de la liquidación teórica en el
vencimiento con el precio a plazo de mercado
t tT 0T
1V N (P P )
1 zT
Angel Vilariño 16
Ejemplo Valoración
• Una entidad tiene una posición corta en una compra venta a plazo sobre 3.000 bonos de nominal 10.000 USD cada uno con vencimiento dentro de 30 días. El precio forward del contrato es P0T = 98% y el precio forwardnegociado en la fecha actual es PtT = 98,15%. La tasa de interés de las Letras del Tesoro a 30 días es r = 3%
t
1V 3.000 10.000 (98,15% 98%)
1 3% (30/360)44.887,78 euros
9
Angel Vilariño 17
Tasa de cambio a plazo de divisas
• Compra-venta a plazo de una divisa con una tasa de cambio establecida
0T
0T 0 *0T
0T
0
0T
0T
1 r Te e
1 r T
e tasa de cambio a plazo
e tasa de cambio contado (unidades domestica/1unidad extranjera)
r tasa de interes divisa domestica
r tasa de interes divisa extranjera
Angel Vilariño 18
Ejemplo forward divisa
• La tasa de cambio contado del euro es 1,20 USD/euro, la tasa de interés LIBOR del dólar a tres meses (90 días) es rUS = 3,50% y la tasa de interés LIBOR del euro a tres meses es reu = 2,15%
• La tasa de cambio forward a plazo tres meses que impide el arbitraje es
0T
1 3,5% (90/360)e 1,20 1,204 USD/euro
1 2,15% (90/360)
10
Angel Vilariño 19
Ejemplo: Forward sobre divisa
USD 0 T cont USD 0 T cont
NS
Valoracion del contrato sin considerar
riesgo de contraparte : Valor actual del
cierre teorico
1VR VA N (f f ) N (f f )
1 z T
Angel Vilariño 20
FRA (forward rate agreement)Operaciones a plazo de tasas de interés a corto plazo
Se negocia entre dos partes A (comprador) y B (vendedor) la tasa de interés de una determinada
referencia (Euribor, LIBOR, CETES, TES) correspondiente a un plazo determinado para una fecha futura y sobre un nocional pactado.
En la fecha futura se compara la tasa de interés
pactada con el que existe en el mercado y se realiza la liquidación del contrato según el siguiente criterio
11
Angel Vilariño 21
Liquidación del contrato FRA
• Si la tasa de interés de liquidación es superior a la tasa de interés del contrato el vendedor paga al comprador el siguiente importe
• N nocional• Rl tasa de interés de liquidación• Rc tasa de interés del contrato• h plazo
l c
l
N (R R ) hL
1 R h
Angel Vilariño 22
Liquidación del contrato FRA
• Si la tasa de interés de liquidación es inferior a la tasa de interés del contrato el comprador paga al vendedor el siguiente importe
• N nocional• Rl tasa de interés de liquidación• Rc tasa de interés del contrato• h plazo
c l
l
N (R R ) hL
1 R h
12
Angel Vilariño 23
Ejemplo FRA (forward rate agreement)
A comprador del FRA y B vendedor del FRA establecen el siguiente acuerdo.Nominal del contrato: 100 millones de USDTasa de interés de referencia o subyacente: LIBOR del dólar a tres meses.Tasa de interés pactada: 2%Inicio del contrato: Dentro de seis mesesFin del contrato: Dentro de nueve mesesBase de cálculo: 360
Angel Vilariño 24
Ejemplo FRA (forward rate agreement)
Si en la fecha de inicio (dentro de seis meses) la LIBOR a tres meses es 2,7% y por lo tanto superior al 2% pactado, el vendedor abona al comprador una cantidad L definida del modo siguiente
liq con
liq
N(R R )h 100(2,7% 2%) 0,25L 173.827 USD
1 r h 1 2,7% 0,25
13
Angel Vilariño 25
Ejemplo FRA (forward rate agreement)
Si en la fecha de inicio (dentro de seis meses) la LIBOR a tres meses es 1,5% y por lo tanto inferior al 2% pactado, el comprador abona al vendedor una cantidad L definida del modo siguiente
con liq
liq
N(r r )h 100 (2% 1,5%) 0,25L 124.533 USD
1 r h 1 1,5% 0,25
Angel Vilariño 26
Liquidación del contrato FRA
L C
L
La formula general de liquidación es
N (R R ) hL
1 R h
comprador y vendedor
14
Angel Vilariño 27
Notación de los FRA
El anterior FRA se denomina un 6/9 que se lee “un seis contra 9” y en general x/y, contrato que se inicia dentro de x meses para un plazo subyacente de (x- y) meses.
Los contratos se liquidan en la fecha de inicio. Por eso la liquidación se calcula mediante la actualización del diferencial de intereses. Esto es un convenio que en los futuros se ha suprimido.
Angel Vilariño 28
Utilización de los contratos FRA: Cobertura
Cobertura de riesgo de interés
A debe tomar prestado y piensa que las tasa van a subir Compra FRA
B debe prestar y piensa que las tasas van a bajar Vende FRA
Negociación
A piensa que las tasas van a subir Compra FRA
B piensa que las tasas van a bajar Vende FRA
15
Angel Vilariño 29
Tasa de interés futuras (forward) implícitas
Tasa de interés forward implícita en las tasas de interés contado
2 2 1 12 2 1 1 2 1
1 1 1 2
R T R T(1 R T ) (1 R T )(1 f(T T )) f
(1 R T )(T T )
T2
T1T1 – T2
Angel Vilariño 30
Ejemplo forward implícita
3/6
LIBOR 6M 5,15% LIBOR 3M 5,11%
180 905,15% 5,11%
360 360f 5,125%90 180 90
(1 5,11% )( )360 360 360
16
Angel Vilariño 31
Ejemplo forward implícita
3/6
LIBOR 6M 5,25% LIBOR 3M 5,11%
180 905,25% 5,11%
360 360f 5,32%90 180 90
(1 5,11% )( )360 360 360
Angel Vilariño 32
Tasa forward implícita y arbitraje
• Arbitraje es una operación con beneficio cierto o lo que es lo mismo sin riesgo.
• La operación está financiada a los precios (tasa) de mercado y sin embargo se obtiene un beneficio
• La teoría de valoración de activos se basa en determinar los precios bajo la condición de que sea imposible realizar arbitraje. (Criterio de valoración racional) Esto es uno de los principios del valor razonable.
• La tasa negociada en un contrato FRA, que impide el arbitraje, es el forward implícito
17
Angel Vilariño 33
Operativa de arbitraje
• La operativa de arbitraje depende de la relación entre la tasa negociada y la tasa forward implícita
• Si f (mercado) < f (implícita)– Presta a largo– Toma a corto– Compra FRA
• Si f (mercado) > f (implícita)– Toma a largo– Presta a corto– Vende FRA
Angel Vilariño 34
N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 4,45 4,95h30 0 4,45 -100 100 100
T 3,85 -101,000 -0,0498 -101,050T+h -101,374 101,417 0,0426
N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 4,45 4,95h30 0 4,45 -100 100 100
T 5,05 -101,000 0,0498 -100,950T+h -101,375 101,417 0,0416
18
Angel Vilariño 35
N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 5,45 4,95h30 0 5,45 100 -100 -100
T 4,85 101,000 0,050 101,050T+h 101,458 -101,417 0,0416
N RC RL PC PL F F*100 4,00 4,25 90 120 5,45 4,95h30 0 5,45 100 -100 -100
T 6,05 101,000 -0,050 100,950T+h 101,459 -101,417 0,0426
Angel Vilariño 36
Valor razonable (precio) del contrato
Valor del contrato es el valor actual de la liquidación teórica con la tasa de interés forward negociada en el mercado FRA. (si no existe tasa de mercado se utiliza la forward implícita)
El signo + es para la posición compradora y el signo – para la posición vendedora
t con
t Tt
1 1 N( f r )hV L
1 r(T t) 1 r(T t) 1 f h
19
Angel Vilariño 37
Ejemplo Valoración FRA
• Una entidad tiene en la cartera de negociación un FRA 3/6, nocional N = 100 millones de euros, comprado con Rcon = 2,90%. En la fecha actual faltan 30 días para la liquidación, la tasa de interés de las Letras del Tesoro a 30 días es z = 3,15 % y la tasa negociada para el FRA 1/4 es f = 3,25%.
•
1 100.000.000(3,25% 2,90%) 0,25V
1 3,15% (30/360) 1 3,25% 0,25
87.263,66 euros
Angel Vilariño 38
Valor del contrato en la fecha inicial
• Si el contrato se ha negociado a precio de mercado la valoración inicial del contrato es un valor nulo ya que el cierre teórico es cero.
• Como f0 = rcon
• En el caso de que el contrato no se haya negociado a precios de mercado el valor inicial no es nulo.
0 con
0t
1 N(f r )hV 0
1 rT 1 f h
20
Angel Vilariño 39
Futuros sobre tipos de interés
Contratos sobre tasas de interés negociadas en mercados organizados
En un mercado organizado los participantes aportan garantías remuneradas lo que minimiza el riesgo de contraparte
Las posiciones abiertas se valoran diariamente con los precios de cierre del mercado y se producen ingresos y pagos por cambio de valoración
Angel Vilariño 40
Diferencias entre forwards y futuros
La diferencias entre forward y futuros, como consecuencia de negociarse en mercados distintos, afecta principalmente a:
• la estandarización de los contratos.• la liquidez de las posiciones.• la aportación de garantías.• las fechas de vencimiento de los contratos• el riesgo de crédito de las operaciones.• La reinversión de las ganancias o la financiación de las
pérdidas• Cotización en precios y no en tasas• Comprador gana si sube el precio y vendedor gana si
baja el precio
21
Angel Vilariño 41
Diferencias entre forwards y futuros
• Cotización en forma de precios. Por convenio
• Liquidación del contrato (no se actualiza)
0TL N (P P ) h
P 100 f
Angel Vilariño 42
Liquidación diaria
• Contrato sobre Euribor 90 días• Nominal del contrato N = 1.000.000 euros
Día N N acum P P cierre L L acum1 20 20 94,80 94,83 1.500 1.5002 20 20 94,83 94,88 2.500 4.0002 30 50 94,90 94,88 -1.500 2.5003 50 50 94,88 94,95 8.750 11.2504 50 50 94,95 94,98 3.750 15.0004 -50 0 94,96 94,98 -2.500 12.500
22
Angel Vilariño 43
Precio operación a plazo con rendimientos del activo
• Bono: Existe un cupón intermedio C que se paga en la fecha t
• Acción : Existe el pago de dividendos que se pagan en la fecha t
FRA o0TP C (1 r (T t)) P (1 rT )
FR A o0 TP D IV (1 r (T t)) P (1 rT )
Angel Vilariño 44
Precio a plazo de un bono con cupón
• Un contrato de compra venta de un bono a plazo tiene el vencimiento dentro de 120 días. Dentro de 90 días existe el pago de un cupón de importe 5% del nominal. El precio contado del bono es P0 = 98, el tipo de interés a 90 días es 2,15%, el tipo de interés a 120 días es 2,22%.
90/120
0T
f 2, 417%
P 98 (1 2,22% (120/360)) 5 (1 2, 417% (30/360)) 93,72
23
Angel Vilariño 45
Permutas financieras (swaps)
Un contrato que establece el intercambio de flujos de liquidez en fechas futuras
Existen tantas clases diferentes de permutas financieras como las partes quieran establecer
Gran crecimiento desde 1981 (primer swap histórico) debido a la enorme flexibilidad que presentan
Angel Vilariño 46
Permutas financieras
• Intercambio de flujos de liquidez
• Nocionales iguales o distintos
• Flujos nominados en la misma divisa o en divisas distintas
• Fechas coincidentes o diferentes
• Flujos referenciados a tasas de interés
• Flujos referenciados a rendimientos de acciones o índices bursátiles (equity swap)
24
Angel Vilariño 47
Permuta financiera de intereses (Swap genérico)
• Permuta de tasa de interés fija contra tasa de interés variable (IRS, interest rate swap)
• Intereses calculados sobre un nocional con una tasa de interés fija a cambio de intereses calculados sobre el mismo nocional mediante tasas de interés que son desconocidas (variables) en la fecha de la realización del contrato.
• La tasa de interés variable de cada período de liquidación de intereses se determina al inicio del período.
Angel Vilariño 48
Ejemplo de swap de intereses genérico
• Divisa: euro• Principal: 10 millones de euros• Fecha de negociación: 31/12/2004• Fecha valor de entrada en vigor: 2/1/2005• Vencimiento: 2/1/2015• Fechas de liquidación: 2/1 y 2/7 de cada año• Tasa de interés fija: 3,25%• Base: ACT / 360• Tasa de interés variable: LIBOR euro 6 meses• Primera tasa de interés variable establecida: LIBOR 6
meses el 2/1/2005
25
Angel Vilariño 49
Valoración del swap genérico de intereses
• El valor de la permuta es la diferencia entre la suma del valor actual de los los flujos variables y la suma del valor actual de los flujos fijos. En la fecha de emisión el valor es nulo para ambas contrapartes (el tipo fijo se determina)
fv MN
i i j j
i 1 j 1
V FV FF
Angel Vilariño 50
Nocional 100 Valor 0,00000 Fijo 2,388
14-2-05 Días cero factor fijo variable FF FV VAFF VAFV
14-5-05 89 2,097 0,9948 2,388 2,097 0,590 0,518 0,587 0,51614-8-05 92 2,251 0,9943 2,388 2,388 0,610 0,610 0,607 0,607
14-11-05 92 2,352 0,9940 2,388 2,521 0,610 0,644 0,607 0,64014-2-06 92 2,410 0,9939 2,388 2,538 0,610 0,649 0,607 0,645
3,9770 2,4075 2,4075
Permuta financiera valoración inicial
26
Angel Vilariño 51
Permuta financiera Valoración día siguiente
Nocional 100 Valor 0,0025815-2-05 Días cero factor fijo variable FF FV VAFF VAFV14-5-05 88 2,104 0,99488 2,388 2,097 0,590 0,518 0,587 0,51614-8-05 92 2,280 0,99421 2,388 2,436 0,610 0,623 0,607 0,619
14-11-05 92 2,400 0,99390 2,388 2,606 0,610 0,666 0,607 0,66214-2-06 92 2,415 0,99387 2,388 2,415 0,610 0,617 0,607 0,613
3,9769 2,4074 2,4099
Angel Vilariño 52
Curva de tasas cupón cero
• La curva de tasas cupón cero se obtiene de diversas fuentes:
– Tasas de interés de depósitos interbancarios
– Precios de bonos del tesoro con cupones
– Tasas de interés fijas de swaps a diferentes vencimientos.
27
Angel Vilariño 53
Permuta financiera de divisas
• Intercambio de flujos de intereses en divisas diferentes y
generalmente intercambio de principal al final de la
operación a una tasa de cambio acordada en el inicio de
la operación.
Fijo Variable Variable Fijo
Fijo Fijo Variable Variable
Angel Vilariño 54
Ejemplo de swap de divisas genérico
• Divisas: euro y dólar• Principales: 10 millones de euros y 12 millones de USD• Fecha de negociación: 31/12/2004• Fecha valor de entrada en vigor: 2/1/2005• Vencimiento: 2/1/2008• Fechas de liquidación: 2/1 y 2/7 de cada año• Tasa de interés euro: LIBOR euro meses• Tasa de interés dólar: LIBOR dólar 6 meses• Primeras tasas de interés variable establecidas: LIBOR 6
meses el 2/1/2003 de cada divisa.• Tasa de cambio e = 1,20 USD/Euro
28
Angel Vilariño 55
Valoración de swaps de divisas
• Curva de tasas de interés cupón cero de cada divisa• Tasas de interés forward implícitas de las referencias del
contrato• Tasa de cambio establecida en el contrato
t t 0 t tV F($) ($) e F( ) ( )
t t0t t
tt
F($) F(eu)V e 0
1 z(eu)1 z($)
Angel Vilariño 56
Cobertura típica con swaps
• Fija a variable (hipotecario)
BancoBanco
ContraparteActivo
Hipotecas f
v
fs
Rendimiento = V + f - fs
29
Angel Vilariño 57
Coberturas
• Emisión de bonos a tasa fija. Si pago al mercado tasa variable el valor del bono está estabilizado
Banco BonistasBanco
Contraparte fv
fs
Coste = v + f - fs
Angel Vilariño 58
Diferentes tipos de permutas
• Nocional creciente• Nocional decreciente • Distintos tasas fijas• Variable - Variable en la misma divisa pero la misma
referencia y plazo distinto• Variable – Variable en la misma pero distinta referencia• Fijo – Variable con diferencial
30
Angel Vilariño 59
Opciones
• La forma más elemental de un contrato de opciones
consiste en la compra del derecho a comprar, o a
vender, un activo, en una fecha futura determinada y a
un precio establecido.
• La compra del derecho no implica la obligación de
ejercitar el derecho.
Angel Vilariño 60
Opción de compra (call)
A comprador B vendedor o emisor
• A tiene el derecho (pero no la obligación) de comprar a
B un activo a un precio fijado en el contrato, en una
fecha futura establecida.
• B tiene la obligación de vender a A el activo al precio
convenido.
31
Angel Vilariño 61
Opción de compra (call)
• A paga a B un importe por la compra del derecho, es el
precio del contrato, el precio de la opción. Se llama la
prima
• La obtención de una fórmula para el cálculo de la prima
ha sido uno de los avances más importantes de la Teoría
Financiera (Bachelier, Black, Scholes y Merton)
Angel Vilariño 62
Ejemplo opción de compra
• Activo subyacente: Acción cotizada en Bolsa
• Precio de ejercicio: E = 2100
• Precio actual: S = 2000
• Plazo del contrato: 180 días
• Modalidad: Europea
• Prima: 150
32
Angel Vilariño 63
Ejemplo liquidación opción de compra
• En el vencimiento T
• a) S = 2300 A ejercita
• b) S = 2150 A ejercita
• c) S = 2050 A no ejercita
• a) Liquidación L = 2300 - 2100= 200
• b) Liquidación L = 2150 – 2100 = 50
• c) Liquidación L = 0
Angel Vilariño 64
Beneficios o Pérdidas opción de compra
• a) A gana 200 – 150 = 50 B pierde -50
b) A pierde 50 – 150 = -100B gana 100
c) A pierde -150B gana 150
33
Angel Vilariño 65
Función de pago opción de compra
T T TC L Max(S E ,0 )
Max(2300 2100,0) 200
Max(2150 2100,0) 50
Max(2050 2100,0) 0
Angel Vilariño 66
Gráfico Función de Pago opción de compra
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000
34
Angel Vilariño 67
Beneficios y Pérdidas opción de compra
-500
0
500
1000
1500
2000
0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000
Angel Vilariño 68
Opción de venta (put)
A comprador B vendedor o emisor
• A tiene el derecho (pero no la obligación) de vender a B
un activo a un precio fijado en el contrato, en una fecha
futura establecida.
• B tiene la obligación de comprar a A el activo al precio
convenido.
35
Angel Vilariño 69
Opción de venta (put)
• A paga a B un importe por la compra del derecho, es el
precio del contrato, el precio de la opción.
• Se llama la prima de la opción de venta
Angel Vilariño 70
Ejemplo opción de venta
• Activo subyacente: Acción cotizada en Bolsa
• Precio de ejercicio: E = 1900
• Precio actual: S = 1950
• Plazo del contrato: 180 días
• Modalidad: Europea
• Prima: 95
36
Angel Vilariño 71
Ejemplo liquidación opción de venta
• En el vencimiento T• a) S = 2100 A no ejercita • b) S = 1850 A ejercita• c) S = 1750 A ejercita• a) Liquidación L = 0• b) Liquidación L = 1900 – 1850 = 50• c) Liquidación L = 1900 – 1750 = 150
Angel Vilariño 72
Beneficios o Pérdidas opción de venta
• a) A pierde - 95B gana 95
b) A pierde 50 – 95 = – 45B gana 45
c)A gana 150 – 95 = 55B pierde – 55
37
Angel Vilariño 73
Función de pago opción de venta
T T TP L Max(E S ,0 )
M ax(1900 2100 ,0 ) 0
M ax(1900 1850 ,0 ) 50
M ax(1900 1750 ,0 ) 150
Angel Vilariño 74
Gráfico Función de Pago opción de venta
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
38
Angel Vilariño 75
Beneficios y Pérdidas opción de venta
-500
0
500
1000
1500
2000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Angel Vilariño 76
Clases de opciones
• Europeas: Solo se pueden ejercitar en la fecha de
vencimiento del contrato
• Americanas: Se pueden ejercitar en cualquier fecha hábil
desde la celebración del contrato hasta el vencimiento
• Bermudas: Se pueden ejercitar en varias fechas
anteriores a la fecha de vencimiento del contrato.
39
Angel Vilariño 77
Clases de opciones
• Estándar: Se liquidan en el vencimiento según las expresiones
• Exóticas: Se liquidan de forma diferente a las anteriores o añaden restricciones o condiciones– Digitales, Rango– Asiáticas– Barrera– Máximos y mínimos– Forward start
T T
T T
C Max(S E,0)
P Max(E S ,0)
Angel Vilariño 78
Modelo de Black-Scholes (1973)
• Modelo para valorar una opción europea sobre una acción que no paga dividendos. El precio de la opción depende de:– S Precio actual de la acción– E Precio de ejercicio– r Tasa de interés libre de riesgo al plazo – q Rendimiento del activo subyacente– T Plazo– Volatilidad de la rentabilidad del subyacente
40
Angel Vilariño 79
Black-Scholes (acciones, divisas, futuros)
• Precio opción de compra (call) europea estándar• Precio opción de venta (put) europea estándar
q T rT1 2
rT q T2 1
c Se N ( d ) E e N ( d )
p E e N ( d ) Se N ( d )
Angel Vilariño 80
Black-Scholes
2
1 2 1
Sln (r q / 2)T
Ed d d TT
N(d ) Pr ob( z d )
N( d ) 1 N(d )
41
Angel Vilariño 81
Volatilidad
• La única variable que no se observa directamente
• Hay que estimarla
• La negociación del precio es en esencia la negociación
de la volatilidad
Angel Vilariño 82
Volatilidad
• Estimación de la volatilidad• Tenemos n observaciones de la rentabilidad diaria
n
t t t 1t t
t 1 t 1 t 1
S S S 1R ln R
S S n
2t(R )
n 1
42
Angel Vilariño 83
Volatilidad anualizada
día
año día
día año
Sea la volatilidad estimada con datos diarios
Se sup one 250 dias hábiles año 250
Si 0,6% 0,6% 250 9,49%
Angel Vilariño 84
Rentabilidad diaria peso mexicano
-2,0%
-1,5%
-1,0%
-0,5%
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06
43
Angel Vilariño 85
Volatilidad 90 sesiones peso mexicano
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 86
Rentabilidad diaria real brasileño
-3%
-2%
-1%
0%
1%
2%
3%
4%
5%
04/01/05 04/03/05 04/05/05 04/07/05 04/09/05 04/11/05 04/01/06 04/03/06 04/05/06 04/07/06
44
Angel Vilariño 87
Volatilidad 90 sesiones real brasileño
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
11-05-05 11-07-05 11-09-05 11-11-05 11-01-06 11-03-06 11-05-06 11-07-06
Angel Vilariño 88
Rentabilidad diaria peso argentino
-1,5%
-1,0%
-0,5%
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
05/01/05 05/03/0 05/05/0 05/07/0 05/09/0 05/11/05 05/01/06 05/03/0 05/05/0 05/07/0
45
Angel Vilariño 89
Volatilidad 90 sesiones peso argentino
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 90
Rentabilidad diaria peso colombiano
-3%
-3%
-2%
-2%
-1%
-1%
0%
1%
1%
2%
2%
05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06
46
Angel Vilariño 91
Volatilidad 90 sesiones peso colombiano
0,0%
2,0%
4,0%
6,0%
8,0%
10,0%
12,0%
14,0%
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 92
Rentabilidad diaria peso chileno
-2%
-2%
-1%
-1%
0%
1%
1%
2%
2%
05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06
47
Angel Vilariño 93
Volatilidad 90 sesiones peso chileno
0,0%
2,0%
4,0%
6,0%
8,0%
10,0%
12,0%
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 94
Rentabilidad diaria sol peruano
-2,0%
-1,5%
-1,0%
-0,5%
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06
48
Angel Vilariño 95
Volatilidad 90 sesiones sol peruano
0,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
5,0%
6,0%
7,0%
8,0%
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 96
Rentabilidad diaria euro
-2%
-2%
-1%
-1%
0%
1%
1%
2%
2%
3%
05/01/05 05/03/05 05/05/05 05/07/05 05/09/05 05/11/05 05/01/06 05/03/06 05/05/06 05/07/06
49
Angel Vilariño 97
Volatilidad 90 sesiones euro
9,0
9,2
9,4
9,6
9,8
10,0
10,2
10,4
10,6
11/05/05 11/07/05 11/09/05 11/11/05 11/01/06 11/03/06 11/05/06 11/07/06
Angel Vilariño 98
Volatilidad histórica 90 sesiones NASDAQ
VOLATILIDAD 90 SESIONES NASDAQ
0,00%
0,50%
1,00%
1,50%
2,00%
2,50%
3,00%
13-may-02 7-Aug-02 31-oct -02 29-Jan-03 25-Apr-03 22-jul-03 15-oct -03 12-Jan-04 7-Apr-04 06-jul-04 29-sep-04
50
Angel Vilariño 99
Precio call Black-Scholes
• Precio de una opción europea de compra sobre una acción que no paga dividendos con los siguientes datos:
• Precio del activo subyacente S = 50 Precio de ejercicio E = 50,10
• Plazo T = 90 días• Tasa de interés libre de riesgo r = 10%• Volatilidad 25%
Angel Vilariño 100
Cálculos
2
1
50 90ln (0,1 (0,25 /2))
50,10 365d 0,2446090
0,25365
2d 0, 2 4 4 6 0 0, 2 5 9 0 / 3 6 5 0, 12 0 4 6
51
Angel Vilariño 101
Cálculos
N(d)
N (0 , 24460 ) 0 , 5966
N (0 ,12046 ) 0 , 5479
N ( 0 , 24460 ) 1 N ( 0 , 24460 ) 0 , 4034
N ( 0 ,12046 ) 1 N ( 0 ,12046 ) 0.4521
Angel Vilariño 102
Precios
• Precios de la opción de compra y de la opción de venta
0,1 90/365
0,1 90/365
C 50 0,59662 e 50,10 0,5479 3,048
P 50,10 0,4521 e 50 0,4034 1,927
52
Angel Vilariño 103
Precio call Black-Scholes
Precio activo 50,00 Opciones europeasPrecio Ejercicio 50,10 Call: 3,048Tasa libre de riesgo 10,00% Put: 1,927Volatilidad 25,00%Tiempo 0,2466Rendimiento activo 0,00%
Angel Vilariño 104
Volatilidad implícita
• Conocido el precio de una opción se llama volatilidad
implícita el valor de la volatilidad que permite obtener el
precio mediante algún modelo de valoración.
53
Angel Vilariño 105
Volatilidad implícita
• Calcule la volatilidad implícita de una opción europea de compra sobre una acción que no paga dividendos que con los siguientes datos se ha cotizado a 1,25 EUROS
• Precio del activo subyacente S = 27 EUROS
• Precio de ejercicio E = 28 EUROS
• Plazo T = 180 días
• Tasa de interés libre de riesgo r = 3%
Angel Vilariño 106
Inputs OutputsPrecio activo 27,00 Opciones europeasPrecio Ejercicio 28,00 Call: 1,25Tasa libre de riesgo 3,00% Put: 1,84Volatilidad 19,98% Precio Forward 27,40Tiempo 0,4932Rendimiento activo 0,00%
54
Angel Vilariño 107
Opciones exóticas
• Opciones que se diferencian en algún rasgo de las opciones estándar.
• Por la forma de la liquidación– Digitales– Máximos y mínimos
• Porque el valor depende de la trayectoria seguida– Barrera
• Por ambas cosas– Asiáticas
Angel Vilariño 108
Opciones digitales
• Opción digital de compra = derecho a recibir un importe
fijo pactado si el precio del subyacente supera el precio
de ejercicio en el vencimiento.
• Opción digital de venta = derecho a recibir un importe
fijo pactado si el precio del subyacente es inferior al
precio de ejercicio en el vencimiento.
55
Angel Vilariño 109
Opciones digitales
• Función de pagos
L L
E E
Angel Vilariño 110
Opciones digitales
• Un contrato da derecho al comprador a recibir 1 millón de euros si dentro de seis meses (185 días) el precio de Telefónica supera los 14 euros.
• Datos: – Precio actual de Telefónica: 13,5 euros– Tipo de interés a 185 días 2,75%– Tasa anualizada de dividendos 1,25%– Volatilidad estimada 23%
56
Angel Vilariño 111
Valoración del contrato
Input Output
Precio activo 13,50 Asset-or-nothing call: 6,218
Precio Ejercicio 14,00 Asset-or-nothing put: 7,195
Tipo libre de riesgo 2,75%
Volatilidad 23,00% Cash-or-nothing call: 393.278
Tiempo 0,51389 Cash-or-nothing put: 592.690
Rendimiento activo 1,25%
Liquidación 1.000.000 Call europea 0,713
Put europea 1,103
Angel Vilariño 112
Depósito con opción digital
• Una entidad financiera ofrece a sus clientes un depósito a 1 año de plazo cuyo tipo de interés es 9% pero se abona solo si el precio de la acción del banco sube respecto al nivel inicial en la fecha de contratación del depósito.
• Datos:– Tipo de interés a 1 año 5%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 30%
57
Angel Vilariño 113
Liquidación del depósito en el vencimiento
T T
TT S E S E
T
0
1 S EL 100 9 1 1
0 S E
100L CD(100 , 9 )
1 5%
CD(100 , 9 ) opción digital de compra
Angel Vilariño 114
Valoración
1 0 09 5 , 2 4
1 5 %
Input Output
Precio activo 100,00 Asset-or-nothing call: 58,685
Precio Ejercicio 100,00 Asset-or-nothing put: 39,335
Tipo libre de riesgo 5,00%
Volatilidad 30,00% Cash-or-nothing call: 4,110
Tiempo 1,000 Cash-or-nothing put: 4,451
Rendimiento activo 2,00%
Liquidación 9 Call europea 13,020
Put europea 10,123
58
Angel Vilariño 115
Opciones rango
• El comprador de una opción rango tiene el derecho a
recibir un importe fijo pactado si en el vencimiento el
precio del activo subyacente se encuentra dentro de un
determinado rango.
• Se puede expresar en función de dos opciones digitales
Angel Vilariño 116
Opción rango
• Opción rango = CD(E) – CD(E´)
E E´
59
Angel Vilariño 117
Contrato rango
• Un contrato da derecho al comprador a recibir un millón de euros si el tipo de cambio del dólar se sitúa en el rango (0,80 euros/USD 0,85 euros/USD) en el plazo de 30 días.
• Datos:
– Tipo de cambio actual 0,825 euros/USD
– Tipo de interés del euro a 30 días 2,60%
– Tipo de interés del dólar a 30 días 4,15%
– Volatilidad 10%
Angel Vilariño 118
Valoración opción digital larga
Input Output
Precio activo 0,825 Asset-or-nothing call: 0,700
Precio Ejercicio 0,800 Asset-or-nothing put: 0,122
Tipo libre de riesgo 2,60%
Volatilidad 10,00% Cash-or-nothing call: 843.040
Tiempo 0,082 Cash-or-nothing put: 154.825
Rendimiento activo 4,15%
Liquidación 1.000.000 Call europea 0,026
Put europea 0,002
60
Angel Vilariño 119
Valoración opción digital corta
Input Output
Precio activo 0,825 Asset-or-nothing call: 0,117
Precio Ejercicio 0,850 Asset-or-nothing put: 0,705
Tipo libre de riesgo 2,60%
Volatilidad 10,00% Cash-or-nothing call: 135.362
Tiempo 0,082 Cash-or-nothing put: 862.503
Rendimiento activo 4,15%
Liquidación 1.000.000 Call europea 0,002
Put europea 0,028
Angel Vilariño 120
Valoración del contrato rango
0CR CD(0,80;1.000.000) CD(0,85;1.000.000)
843.040 135.362 707.678 euros
61
Angel Vilariño 121
Opciones sobre el subyacente
• El comprador tiene el derecho a recibir el valor del activo subyacente en el vencimiento si el precio de dicho activo supera el precio de ejercicio.
Angel Vilariño 122
Contrato opción de compra sobre el subyacente
• Un contrato otorga el derecho a recibir el importe líquido equivalente al precio de 100.000 acciones de una determinada acción si en el vencimiento el precio de la acción cotiza por encima de 15 euros
• Datos:– Precio actual de la acción 13,5 euros– Plazo, 1 año– Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 4%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 25%
62
Angel Vilariño 123
Valoración del contrato
Input Output
Precio activo 13,500 Asset-or-nothing call: 5,483
Precio Ejercicio 15,000 Asset-or-nothing put: 7,750
Tipo libre de riesgo 4,00%
Volatilidad 25,00% Cash-or-nothing call: 0
Tiempo 1,000 Cash-or-nothing put: 0
Rendimiento activo 2,00%
Liquidación 0 Call europea 0,864
Put europea 2,043
Angel Vilariño 124
Opciones barrera
• En este tipo de opciones se define un nivel del precio llamado barrera. Si el precio del subyacente “cruza” la barrera se modifican los derechos de la opción.
• Barrera out = la opción muere• Barrera in = la opción nace
• Además si en la fecha de contratación el precio es superior a la barrera se denomina down y si el precio es inferior a la barrera se denomina up
63
Angel Vilariño 125
Clases de opciones barrera
Compra up and in (B E) Compra up and in (B E)
Venta up and in (B E) Venta up and in (B E)
Compra up and out (B E) Compra up and out (B E)
Venta up and out (B E) Venta up and out (B E)
Compra down and in (B E) Com
pra down and in (B E)
Venta down and in (B E) Venta down and in (B E)
Compra down and out (B E) Compra down and out (B E)
Venta down and out (B E) Venta down and out (B E)
Angel Vilariño 126
Contrato de depósito con opción barrera
• Un depósito paga un tipo de interés igual a la rentabilidad (si es positiva) alcanzada por una acción desde la fecha de contratación del depósito hasta la fecha de vencimiento y siempre que la rentabilidad de la acción, medida desde el inicio, no registre ningún día un valor negativo mayor al 3% en valor absoluto.
• Datos:• Plazo 1 año• Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 5%• Tasa de dividendos 2%• Volatilidad 20%
64
Angel Vilariño 127
Valoración de la opción barrera
Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call NA Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put NA Rendimiento activo 2,00% Up and out call NA Barrera 97 Up and out put NA Rebate 0 Down-Options
Down and in call 6,01016 Down and in put 6,32876 Down and out call 3,21684 Down and out put 0,00132
Angel Vilariño 128
Contrato con opciones barrera
• Un depósito paga un tipo de interés cierto de 3% más la rentabilidad (si es positiva) alcanzada por una acción desde la fecha de contratación del depósito hasta la fecha de vencimiento y siempre que la rentabilidad de la acción, medida desde el inicio, no registre ningún día un un valor positivo mayor que el 20%
• Datos:• Plazo 1 año• Tipo de interés libre de riesgo a 1 año 5%• Tasa de dividendos 2%• Volatilidad 20%
65
Angel Vilariño 129
Valoración opción barrera
Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call 8,095Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 0,231Rendimiento activo 2,00% Up and out call 1,132Barrera 120 Up and out put 6,099Rebate 0 Down-Options
Down and in call NA Down and in put NA Down and out call NA Down and out put NA
Angel Vilariño 130
Compensación (Rebate)
• Una opción barrera puede tener asociado un flujo de
liquidez definido pero contingente que depende del tipo
de opción (out o in)
• En una opción out el comprador de la opción tiene
derecho a recibir la compensación si pierde la opción.
• En una opción in el comprador de la opción tiene
derecho a recibir la compensación si el precio del activo
subyacente no cruza la barrera.
66
Angel Vilariño 131
Depósito con barrera y compensación
• Un depósito a 1 año de plazo se emite con el tipo de interés regido por las condiciones siguientes:– La rentabilidad positiva anual de la acción siempre
que en ningún día la rentabilidad sea superior al 15%– Un 5% si la rentabilidad supera algún día el 15%
desde el inicio de la contratación– Datos:– Tipo de interés libre de riesgo 5%– Volatilidad 20%
Angel Vilariño 132
Valoración opción barrera con compensación
Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 9,227Precio ejercicio 100 Put europea 6,330Tipo de interés 5,00% Up-OptionsVolatilidad 20% Up and in call 11,128Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 2,994Rendimiento activo 2,00% Up and out call 2,926Barrera 115 Up and out put 8,164Rebate 5 Down-Options
Down and in call NA Down and in put NA Down and out call NA Down and out put NA
67
Angel Vilariño 133
Opciones asiáticas media aritmética de precios
• La liquidación de la opción se realiza mediante una media de precios.
• La frecuencia de cómputo se define en el contrato (diaria, semanal, mensual,...)
T TCA M ax(S E, 0 ) PA M ax( E S , 0 )
Angel Vilariño 134
Opción asiática media aritmética de precios de ejercicio
• En esta opción el precio de ejercicio es la media aritmética de los precios.
• También existen las opciones asiáticas media geométrica de precios. Tienen un papel teórico.
T T T TCAE Max(S S,0) PAE Max(S S ,0)
68
Angel Vilariño 135
Opción asiática media aritmética de precios
• Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir en el vencimiento (un año) la diferencia entre la media de los precios de una acción y el precio de ejercicio en el caso de que esta diferencia sea positiva. La media se debe calcular con los precios de cierre de los días 15 de cada mes, una vez transcurrido un mes desde la fecha del contrato. El contrato se inicia el 15/02/06 y finaliza el 15/02/07.Datos: Precio de la acción 12 Euros, Precio de ejercicio 13 euros, Tipo de interés a 1 año 3%, Dividendos 2%, Volatilidad 30%
Angel Vilariño 136
Opciones asiáticas
Input OutputPrecio del activo 12 Resultados de la simulaciónPrecio de ejercicio 13 Call asiática 0,5145tipo de interés 3% Put asiática 1,4236Volatilidad 30,0% Call ejercicio media 0,79Tiempo al vencimiento 1,00 Put ejercicio media 0,73Rendimiento del activo 2,00% Call europea 1,066intervalos 12 Put europea 1,924nº simulaciones 50.000
Resultados analíticosCall europea 1,066Put europea 1,919
69
Angel Vilariño 137
Simulación de Monte Carlo
• Proceso estocástico de los precios• Los parámetros r, q y hay que estimarlos
2t t t t
t t t
2t t
t t
S S exp (r q /2) t t
S 100 r 3% q 2% 25% t 1/12 1,3413
S 100exp (0,03 0,02 0,25 /2)(1/12) 0,25 1/12 1,3413
S 102,135
Angel Vilariño 138
Precios simulados
EPSILON PRECIO100,00
1,3413251 102,1350,9328414 103,6440,8251004 104,9960,8714733 106,443-0,5536913 105,5071,2506393 107,6050,2527781 108,026-0,1901287 107,693-1,1027169 105,8221,4516081 108,270
70
Angel Vilariño 139
Simulación de nueve trayectorias
4
4,2
4,4
4,6
4,8
5
5,2
5,4
5,6
5,8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Angel Vilariño 140
Valoración opción asiática
n
1 i 1 1
i 1
n
2 i 2 2
i 1
n
N i N N
i 1
1Trayectoria 1 S S C Max( S E,0 )
n
1Trayectoria 2 S S C Max( S E,0 )
n
....
1Trayectoria N S S C Max( S E,0 )
n
71
Angel Vilariño 141
Valoración opción asiática
N N
0 i iT Ti 1 i 1
Pr ecio de la opción : Valor actual del valor esperado
Estimación del valor esperado la media
1 1 1 1C C Max(S E,0)
N N(1 z) (1 z)
Angel Vilariño 142
Opciones escalera
• Las opciones escalera son un tipo especial de opciones de trayectoria dependiente, cuya liquidación al vencimiento es ajustada automáticamente, según que el precio del activo subyacente alcance determinados niveles.
• Por ejemplo, en el caso de una opción de compra (call) que tiene establecido un número determinado de niveles, la liquidación al vencimiento asegura, al menos, la diferencia entre el nivel alcanzado y el precio de ejercicio inicial.
72
Angel Vilariño 143
Función de pago opción escalera
• La función de pago de una opción europea call escalera, precio de ejercicio fijo es:
T T i
i
L Max(S E,B E,0)
B valor de la máxima barrera franqueada
Angel Vilariño 144
Opción escalera con un escalón
• Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir la
mayor rentabilidad positiva, de una determinada acción,
entre la obtenida al vencimiento y el 10% siempre que
dicho valor de la rentabilidad lo haya conseguido la
acción durante la vida del contrato.
73
Angel Vilariño 145
Diseño de la cartera para un escalón
• 1.- Compra de una opción europea call con precio de ejercicio E.
• 2.- Venta de una opción put europea con precio de ejercicio E.
• 3.- Compra de una opción barrera put up and out con precio de ejercicio E y barrera L.
• 4.- Compra de una opción europea put con precio de ejercicio L.
• 5.- Venta de una opción barrera put up and out con precio de ejercicio L y barrera L.
Angel Vilariño 146
Trayectorias relevantes
74
Angel Vilariño 147
Liquidación según las trayectorias
Opción A B C D E 1 ST –E ST –E 0 ST –E 0 2 0 0 -( E - ST ) 0 - ( E – ST ) 3 0 0 0 0 E - ST 4 0 L - ST L - ST L - ST L – ST 5 0 0 0 - ( L - ST ) - ( L – ST ) CT ST –E L – E L – E ST –E 0
Angel Vilariño 148
Precio de la opción
• El precio de la opción es igual al precio de la cartera
formada por las posiciones que generan los flujos de
liquidez del contrato
CE C(E) P(E) PUO(E, L) P(L) PUO(L, L)
75
Angel Vilariño 149
Valoración del contrato
• Datos– Precio del activo subyacente 15 euros– Precio de ejercicio 15 euros– Barrera 15+10%x15 = 16,5– Plazo 1 año– Tipo de interés a 1 año 3%– Tasa de dividendos 2%– Volatilidad 28%
Angel Vilariño 150
Opciones de compra y de venta
OPCIONES estándar EUROPEAS Modelo Black-Scholes
CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA1,703 0,558459 0,091679 0,841 6,674 5,776PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA1,557 -0,421740 0,091679 0,699 -7,883 5,776
S E r q sigma T dias15,00 15,00 3,00% 2,00% 28,00% 365
76
Angel Vilariño 151
Opción barrera PUO(15, 16,5)
Inputs OutputsPrecio activo 15 Call europea 1,703Precio ejercicio 15 Put europea 1,557Tipo de interés 3,00% Up-OptionsVolatilidad 28% Up and in call 1,696Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 0,580Rendimiento activo 2,00% Up and out call 0,007Barrera 16,5 Up and out put 0,977Rebate 0 Down-Options
Down and in call NA Down and in put NA Down and out call NA Down and out put NA
Angel Vilariño 152
Opción barrera PUO(16,5; 16,5)
Inputs OutputsPrecio activo 15 Call europea 1,133Precio ejercicio 16,5 Put europea 2,443Tipo de interés 3,00% Up-OptionsVolatilidad 28% Up and in call 1,133Tiempo a vencimiento 1,0000 Up and in put 1,046Rendimiento activo 2,00% Up and out call 0,000Barrera 16,5 Up and out put 1,397Rebate 0 Down-Options
Down and in call NA Down and in put NA Down and out call NA Down and out put NA
77
Angel Vilariño 153
Precio de la opción
CE C(E) P(E) PUO(E,L) P(L) PUO(L,L)
1,703 1,557 0,977 2,443 1,397 2,169
Angel Vilariño 154
Contrato escalera en un fondo de inversión
• Un fondo de inversión garantiza a los participes el 90 % del principal (es decir la inversión inicial) y como mínimo el 10% si el IBEX 35 supera en algún momento dicha rentabilidad desde la fecha de contratación del fondo. En el caso de que en el vencimiento la rentabilidad alcanzada por el IBEX 35 sea superior al 20% el fondo garantiza dicha rentabilidad a los partícipes.
• Plazo 3 años• Tipo de interés cupón cero a tres años 4%• Volatilidad del IBEX 35 22%
78
Angel Vilariño 155
Valoración
CUPON CERO 80,01C(100) 16,727P(100) 11,243PUO(100,110) 5,520P(110) 16,240PUO(110,110) 7,314ESCALERA 19,930BONO+OPCION 99,94
Angel Vilariño 156
Cálculo del delta de la opción escalera
1 1 1
1 2 2 2
Se puede hacer analít icamente dado que
PUI(E, B ) PUI(B , B )CE C(E)
S S S S
PUI(B , B ) PUI(B , B )
S S
79
Angel Vilariño 157
Cálculo del delta de la opción escalera
•
Pero numéricamente puede resultar más sencillo
Se perturba ligeramente el precio del subyacente
y se vuelve a valorar la opción.
Por ejemplo S = 142,1 CE = 4,4918
CE(S+ S) - CE(S) 4,4918 - 4,4158= = =
S 0,1
0,7600
Angel Vilariño 158
Opción escalera con precio de ejercicio flotante
t 1 t 2T T T 1 T 2S B S B
1 2
Un contrato otorga el derecho a :
C Max(S E,(S B ) 1 ,(S B ) 1 ,0)
E B B
81
Angel Vilariño 161
Cartera que replica la opción
• 1.- Compra de una opción call down and out con precio de ejercicio E y barrera B1 .
• 2.- Compra de una opción call down and in con precio de ejercicio B1 y barrera B1 .
• 3.- Venta de una opción call down and in con precio de ejercicio B1 y barrera B2 .
• 4.- Compra de una opción call down and in con precio de ejercicio B2 y barrera B2 .
Angel Vilariño 162
Función de pago
A B C D E F G H I 1 ST - E 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ST - B1 ST - B1 0 ST - B1 ST - B1 0 0 3 0 0 0 0 0 -(ST –B1) -(ST –B1) 0 0 4 0 0 0 0 0 ST- B2 ST- B2 ST- B2 0 CT ST - E 0 ST - B1 ST - B1 0 ST - B2 ST - B2 ST - B2 0
82
Angel Vilariño 163
Opción de compra con prima diferida
TT T S E
Opción de compra que solo paga la prima
si está en dinero en el vencimiento
L Max(S E,0 ) C 1
Opción call estándar opción call digital
Angel Vilariño 164
Función de pago
83
Angel Vilariño 165
Valoración
qT rT rT1 2 2
(q r )T 1
2
El precio en la fecha de contratación debe ser cero
C(E) CD(C,E) 0
Se N(d ) Ee N(d ) Ce N(d ) 0
N(d )C Se E
N(d )
Angel Vilariño 166
Ejemplo prima diferida
• Calcule el importe de la prima diferida en una opción de compra con los datos:
• S = 4000 euros• E = 4100 euros• r = 3%• q = 1%• volatilidad = 30%• T = 90 días
84
Angel Vilariño 167
Solución
2
1
2
2 1
1 2
(q r )T (0,01 0,03)90 / 3651
2
ln(S / E) (r q 0,5 )Td
T
ln(4000 / 4100) (0,03 0,01 0,5 0,3 )90 / 3650,05628
0,3 90 / 365
d d T 0,05628 0,3 90 / 365 0,20268
N(d ) 0,47756 N(d ) 0,41828
N(d ) 0,47756C Se E 4000e
N(d )
4100 4900,41828
Call estándar 203
Angel Vilariño 168
Opción de venta con prima diferida
TT T S E
rT qT rT2 1 2
( q r )T1
2
En una opción de venta con prima dif erida
L M ax( E S , 0 ) P 1
Ee N( d ) Se N( d ) Pe N( d ) 0
Se N( d )P E
N( d )
85
Angel Vilariño 169
Valor de la opción en una fecha cualquiera
• El contrato nace con precio cero pero en una fecha posterior en general no será de precio cero.
• Precio = Precio opción estándar – Precio opción digital
•t tr (T t ) r (T t )q(T t )
t 1t 2 2tS e N(d ) Ee N(d ) Ce N(d ) 0
Angel Vilariño 170
Opción forward start
• En una opción forward start el precio de la opción es
pagado en la fecha actual pero la vida de la opción
comienza en una fecha futura. Se especifica la condición
de que en la fecha de comienzo de la vida de la opción,
el precio de ejercicio es un múltiplo del precio del activo
subyacente.
86
Angel Vilariño 171
Fechas y utilización
• Existen tres fechas de interés:• t, la fecha actual• t1 , la fecha del comienzo de la vida de la
opción• T, la fecha de vencimiento
• Estas opciones se utilizan dentro de las políticas de incentivos salariales para algunos segmentos de empleados o para la alta dirección.
• También para el diseño de fondos y productos estructurados
Angel Vilariño 172
Valoración
11 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
tq(T t ) r (T t )t t 1 2
21 1
1 2 11
r(t t ) r(t t ) q(T t ) r (T t )t t t 1 2
r(t t ) q(T t ) r (T t )t 1 2
SC S e N(d ) Ee N(d ) k
E
ln k ( r q 0 ,5 )(T t )d d T t
T t
1C e E (C ) e E (S ) e N(d ) e N(d )
k
1C e e N(d ) e N(d )
k
1
1 1 1 1
( r q )(t t )t
q(t t ) q(T t ) r (T t )t 1 2
e S
1e S e N(d ) e N(d )
k
87
Angel Vilariño 173
Opción de compra para directivos
• Un directivo recibe 250.000 opciones sobre las acciones de la empresa y las opciones entran en vigor dentro de tres meses desde hoy, y vencen pasados nueve meses desde la fecha de entrada en vigor. El precio de ejercicio se establece mediante la relación S = 0,9 E siendo S el precio de la acción dentro de tres meses.
• El precio de la acción hoy es S = 15 euros, el tipo de interés a 90 días es 3,25% y a un año es 3,45%, la volatilidad es 30%, la tasa de dividendos es 2%.
• Calcule el importe de las opciones recibidas por el directivo.
Angel Vilariño 174
Valoración
1t
1
2
1 2
0,02 (3 /12) 0,02 (9 /12)
S (1 3,45%) 360k 0,90 r 1 3,49%
E (1 3,25% (90 / 360) 270
ln0,90 (3,49% 2% 0,5 0,3 )(9 /12)d 0.23661 d 0,49463
0,3 9 /12
N( 0,23661) 0,40648 N( 0,49463) 0,31043
1C e 15 e 0,40648
0,0349 (9 /12)e 0,31043 0,9614360,9
Importe 250.000 0,961436 240.359 euros
88
Angel Vilariño 175
Opciones cuanto
• Lo que caracteriza a una opción cuanto es que se
denomina en una divisa distinta a la del activo
subyacente. Las funciones de pago de las opciones call y
put de, por ejemplo, un inversor español, con un
subyacente (acciones, índice,…) nominado en dólares
son:
Angel Vilariño 176
Liquidación en el vencimiento
p T
p T
C(euros/ acción)
e (euros/ dólar)Max(S (dólar / acción) E(dólar / acción),0)
P(euros/ acción)
e (euros/ dólar)Max(E(dólar / acción) S (dólar / acción),0)
89
Angel Vilariño 177
Valoración
f S e
f S e
( r r q )T rTp 0 1 2
( r r q )T rTp 0 1 2
2S
f S e
1 2 1 SS
C e S e N(d ) Ee N(d )
P e S e N( d ) Ee N( d )
Sln ( r q )T
E 2d d d TT
Angel Vilariño 178
Opción cuanto
• Opción de compra europea vencimiento dentro de
seis meses sobre una acción en dólares cuyo precio
actual es S = 120 USD, precio de ejercicio E = 118 USD,
el tipo de cambio pactado 0,99 euros/USD. El tipo de
interés del euro es 4% y el tipo de interés del dólar
5,5%. La tasa de dividendos de la acción es 2%, la
volatilidad de la acción es 25%, la volatilidad del tipo de
cambio es 8% y el coeficiente de correlación es 0,45.
90
Angel Vilariño 179
Valoración (Haug)
Fixed exchange rate ( Ep ) 0,99Asset price ( S* ) 120,00Strike price ( X* ) 118,00Time to maturity ( T ) 0,50Domestic rate ( r ) 4,00%Foreign rate ( rf ) 5,50%Dividend yield ( q ) 2,00%Volatility stock ( S* ) 25,00%
Volatility currency ( E ) 8,00%Correlation ( ) 0,45Value 10,0350
Angel Vilariño 180
Opciones americanas
• La característica esencial de las opciones americanas es que pueden ejercitarse en cualquier instante desde la fecha de emisión de la opción hasta la fecha de vencimiento. No existe en general una solución analítica cerrada para la valoración de opciones americanas.
• Supongamos dos opciones, una americana y otra europea, con los mismos parámetros, salvo la característica anterior.
• La opción americana posee un derecho adicional frente a la opción europea: el derecho de ejercicio anticipado, que se reflejará en el precio como una prima de ejercicio anticipado.
91
Angel Vilariño 181
Precio de una opción seudo americana
• La opción seudo americana fue creada por Fischer Black [1975]. No proporciona un precio exacto para la opción call americana, pero está dentro de la modelización de Black-Scholes y es una estimación que utiliza un aparato formal sencillo.
• La valoración requiere las siguientes etapas:• 1. Cálculo de los valores actuales de todos los
dividendos que serán pagados antes de la fecha de vencimiento de la opción.
• 2. Cálculo de un precio ajustado, definido por el precio actual menos el valor actualizado de los dividendos futuros del apartado 1.
Angel Vilariño 182
Precio de una opción seudo americana
• 3. En cada fecha de pago de dividendos, se reduce el precio de ejercicio en el valor actual de todos los dividendos, incluyendo el último dividendo pagado.
• 4. En cada fecha de pago de dividendos, valorar una opción europea call, utilizando el precio ajustado de ejercicio y el de la acción.
• 5. Seleccionar el mayor valor de todos los calculados, como estimación del precio de la opción call americana.
92
Angel Vilariño 183
Valoración seudo americana
0
1 1 1
2 2 2
S 60 euros E 60 euros T 180 días
r 3 ,30% 20%
Pago de dividendos :
t 60 días D 2 euros r 3%
t 150 días D 3 euros r 3 , 20%
Angel Vilariño 184
Valoración
2 1T t t
1)Valor actual de los dividendos
2 3VA(D) 4,95
1 3% (60 / 360) 1 3,20% (150 / 360)
2)Valor ajustado de la acción
S S VA(D) 60 4,95 55,05
3) Corrección del precio de ejercicio
E 60 E 60 3 57 E 60 2 3 /(1 3,32% 90 / 360) 55,
02
93
Angel Vilariño 185
Valoración opción de compra seudo americana
SA
C(55 ,05 ; 60 ; 180 ) 1,589
C(55 ,05 ; 57 ; 150 ) 2,282
C(55 ,05 ; 55 ,02; 60 ) 1,930
C Max(1,589 ; 2,282;1,930 ) 2,282
Angel Vilariño 186
Modelo de Barone-Adesi y Whaley (1987)
2q
2S
C(S,T ) c(S,T ) A S S*S*
C(S,T ) S E S S*
c(S,T ) es el precio de la europea
(b r)T1
2
1 e N d (S*)S* E c(S* .T) S*
q
94
Angel Vilariño 187
Modelo de Barone-Adesi y Whaley (1987)
(b r)T2 1
2
S*A 1 e N d (S* ) b r q
q
2
2
2 2
M(N 1) (N 1) 4
kq2
2b 2rN M
Angel Vilariño 188
Valoración Barone-Adesi Whaley
Opción americana de compra con datos :
S 100 E 100 T 35 días
25% r 3% q 6%
95
Angel Vilariño 189
Calculadora de opciones Haug
Asset price ( S ) 100,00Strike price ( X ) 100,00Time to maturity ( T ) 0,0959Risk-free rate ( r ) 3,00%Cost of carry ( b ) -3,00%Volatility ) 25,00%Barone-Adesi and Whaley 2,95
Angel Vilariño 190
Opciones sobre tipos de interés
• Opciones sobre bonos
• Opciones sobre FRA (cap floor)
• Opciones sobre permutas financieras
96
Angel Vilariño 191
Opciones sobre bonos
• En los mercados organizados se negocian opciones sobre el
futuro del bono
• Se utiliza el modelo de Black (Opción sobre un futuro)
rT1 2
rT2 1
2
1 2 1
C e FN ( d ) EN ( d )
P e EN ( d ) FN ( d )
Fln T
Ed d d TT
Angel Vilariño 192
Opciones sobre tipos de interés a corto plazo
T capT
T
T
cap
CAP : El comprador t iene derecho en T a
N(r (h) r )hL Max ,0
1 r (h)
N nocional , r ( h) t ipo en T al plazo h
r t ipo de ejercicio, h plazo
97
Angel Vilariño 193
Interpretación del contrato
T capcap T
Tcap T
T cap T
La liquidación coincide con un FRA comprado
1 1L N(1 r h)Max ,0
1 r h 1 r ( h)h
1 1E S precio de bonos
1 r h 1 r ( h)h
L N(1 r h)Max(E S ,0 )
Angel Vilariño 194
Valoración del contrato
2 0 T 10
0 T 0 0 00
20 T
1 2 1
Fó rm u la d e B la c k ( O p c ió n p u t s o b re e l f u t u ro )
1P EN ( d ) F N ( d )
1 r (T )T
1F S (1 r (T )T ) (1 r (T )T )
1 r (T h )h
ln ( F / E ) 0 , 5 Td d d T
T
98
Angel Vilariño 195
Opciones sobre tipos de interés a corto plazo
:
( ( )),0
1 ( )
, ( )
,
floor TT
T
T
floor
Floor El comprador tiene derecho en T a
N r r h hL Max
r h
N nocional r h tipo en T al plazo h
r tipo de ejercicio h plazo
Angel Vilariño 196
Interpretación del contrato
1 1(1 ) ,0
1 ( ) 1
1 1
1 1 ( )
(1 ) ( ,0)
T floorT floor
Tfloor T
T floor T
La liquidación coincide con un FRA vendido
L N r h Maxr h h r h
E S precio de bonosr h r h h
L N r h Max S E
99
Angel Vilariño 197
Valoración del contrato
0T 1 20
0T 0 0 00
20T
1 2 1
Fórmula de Black (Opción call sobre el futuro)
1P F N(d ) EN(d )
1 r (T)T
1F S (1 r (T)T) (1 r (T)T)
1 r (T h)h
ln(F /E) 0,5 Td d d T
T
Angel Vilariño 198
Cálculo de la volatilidad
0T 0T
20T 0T
0T 0T
F f
1F lnF ln(1 fh)
1 fh
dF dFdf dfh Var h Var
F 1 fh F 1 fh
h
100
Angel Vilariño 199
Valore un cap y un floor con los siguientes datos:
Nocional 1.000.000 euros;
tipo de interés Euribor a 90 días 4,65%;
tipo de interés Euribor a 180 días 4,70%;
tipo de interés del contrato 5%;
volatilidad anualizada del forward 2,50%.
Angel Vilariño 200
Valoración cap y floor
Nocional corto largo forward contrato1.000.000 90 180 90/180 R contrato
4,65% 4,70% 4,75% 5,00%
F E sigma f sigma F d10,98827 0,98765 2,50% 0,63% 0,20095
d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,19785 0,57963 0,57842 0,42037 0,42158
h Cap Floor90 942,6 1553,2
101
Angel Vilariño 201
En el vencimiento de los contratos anteriores el tipo de interés Euribor a 3 meses es 5,20%.
Calcule la liquidación del cap y del floor.
T Cap
T
N r h r hCap L Max , 0
1 r h
1.000.000 5,20% 5% 0,25Max , 0
1 5,20% 0,25
Angel Vilariño 202
floor Tfloor
T
N r r h hC Max , 0
1 r h h
1.000.000 5% 5,20% 0,25Max , 0 0
1 5,20% 0,25
102
Angel Vilariño 203
Una entidad financiera contrata con una empresa un collar con los datos anteriores a precio cero. El tipo de interés del cap es 5% y el tipo de interés del floor es 4,60%.
Valore el contrato y explique el beneficio que puede conseguir la entidad financiera.
Precio cap (5%) = 942,6
Precio floor (4,50%) = 1050,0
Diferencia = 1050,0 - 942,6 = 107,4
Angel Vilariño 204
Swap diferido. Una permuta financiera que se negocia hoy pero se inicia en una fecha futura (similar a una operación a plazo).
El tipo de interés del swap diferido se obtiene con la misma metodología de valoración que el swap actual.
Opción sobre una permuta financiera (swaption)
V VAFF VAPV 0
103
Angel Vilariño 205
El comprador tiene el derecho a entrar en un swap diferido (comienza en el vencimiento de la opción) pagando el tipo de interés de ejercicio y recibiendo variable.
Ejercitará el derecho si en el vencimiento el tipo de interés del swap cotizado en el mercado es superior al de ejecicio.
El vendedor recibe la prima y tiene la obligación de pagar variable y recibe el fijo de ejercicio (si la opción se ejercita).
Opción de compra de pagador fijo
Angel Vilariño 206
El comprador tiene el derecho a entrar en un swap diferido (comienza en el vencimiento de la opción) pagando el tipo de interés variable y recibiendo el tipo de interés de ejercicio.
Ejercitará el derecho si en el vencimiento el tipo de interés del swap cotizado en el mercado es inferior al de ejecicio.
El vendedor recibe la prima y tiene la obligación de actuar como contraparte (pagar variable y recibir fijo) si el comprador ejercita la opción.
Opción de venta de pagador variable
104
Angel Vilariño 207
N: nocional del contrato. Bj: precio del bono cupón cero de nocional unitario al plazo tjtj-tj-1 : período de interés.S : tasa de interés del swap diferido.E: tasa de interés de ejercicio.
Precio de la opción de compra de pagador fijo
k
j j j 1 1 2j 1
C N B t t SN d EN d
2
1 2 1
Sln TE 2d d d T
T
σ: volatilidad de ΔS/ST: plazo de la opción.
Angel Vilariño 208
N: nocional del contrato. Bj: precio del bono cupón cero de nocional unitario al plazo tjtj-tj-1 : período de interés.S : tasa de interés del swap diferido.E: tasa de interés de ejercicio.
Precio de la opción de venta de pagador variable
k
j j j 1 1 2j 1
P N B t t SN d EN d
2
1 2 1
Sln TE 2d d d T
T
σ: volatilidad de ΔS/ST: plazo de la opción.
105
Angel Vilariño 209
Swap diferido
N S Valor1.000.000 4,37% 0
CC Bj f FV VAFV FF VAFF1 4,00% 0,961538 4,000%2 4,10% 0,922781 4,200% 42.001 38.758 43.703 40.3283 4,20% 0,883887 4,400% 44.003 38.894 43.703 38.6284 4,25% 0,846634 4,400% 44.001 37.253 43.703 37.0005 4,30% 0,810174 4,500% 45.002 36.460 43.703 35.407
Angel Vilariño 210
Opciones sobre swap diferido
N S E SIGMA T d1 d210,000,000 4.37% 4.37030% 4% 1 0.0200 -0.0200
Suma N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) Compra Venta3.463476 0.50796936 0.49201265 0.49203064 0.50798735 24152 24153
106
Angel Vilariño 211
Opciones con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes
Son opciones en las que el precio de ejercicio se estableceen una divisa X y el precio del activo subyacente estánominado en otra divisa Y. La liquidación de la call y la putse realizan con las fórmulas siguientes:
T T T
T T T
C N Max(e S E,0)
P N Max(E e S ,0)
Angel Vilariño 212
Opciones con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes
N nocional Te tipo de cambio en la fecha de vencimiento en unidades
de la divisa X por una unidad de la divisa Y
TS precio del activo subyacente en el vencimiento en
unidades de la divisa Y E precio de ejercicio en unidades de la divisa X
107
Angel Vilariño 213
Liquidación de una opción de venta con subyacente y precio de ejercicio en divisas diferentes
A compra a B una opción de compra cuyo precio de ejercicio es E 20 euros sobre una acción nominada en libras esterlinas. El nocional es N 20.000 acciones y el vencimiento dentro de 180 días. A paga a B 29.632 euros en concepto de prima. En el vencimiento el precio de la acción es TS 40 libras esterlinas y el tipo de cambio queda establecido en Te 0,67 euros/£ B abona al comprador A la siguiente liquidación, L 20.000 Max(0,67 40 20,0) 136.000 euros
Angel Vilariño 214
Opción lookback
Las opciones lookback tienen la propiedad de que la función
de pago depende del valor máximo o mínimo alcanzado por
el precio del activo subyacente durante la vida de la opción.
En el gráfico 1, 0T es la fecha de inicio del contrato, 0 es la
fecha actual y Tes la fecha de vencimiento del contrato.
108
Angel Vilariño 215
Gráfico 1
Angel Vilariño 216
Máximos y mínimos
Definimos los siguientes máximos y mínimos:
0
0T t 0M M a x ( S / t T , 0 )
0
0T t 0m M in ( S / t T , 0 )
0 0
0 0T TM y m son respectivamente el máximo y el mínimo del
precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0T , 0 T
0 tM M a x ( S / t 0 , T ) T0 tm M in ( S / t 0 , T )
T T0 0M y m son respectivamente el máximo y el mínimo del
precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0 , T
0 0
T 0 TT T 0M M a x ( M , M )
0 0
T 0 TT T 0m M in ( m , m )
0 0
T TT TM y m son respectivamente el máximo y el mínimo del
precio del activo subyacente en el intervalo temporal 0T , T
109
Angel Vilariño 217
Opciones lookback estándar
Call: En la fecha del vencimiento la función de pagos es la
diferencia entre el precio del activo subyacente y el mínimo
0
TTm :
0
TT T TC S m
La liquidación puede ser cero si 0
TT TS m
Put: En la fecha del vencimiento la función de pagos es la
diferencia entre el máximo 0
TTM y el precio del activo
subyacente 0
TT T TP M S
La liquidación puede ser cero si 0
TT TS M
Angel Vilariño 218
Opción lookback estándar
Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir delvendedor la diferencia entre el precio de una determinadaacción en el vencimiento del contrato y el valor mínimo quealcance el precio de la acción durante la vida del contrato.El nocional del contrato es N = 4.000 acciones. Elcomprador abona 20.089 euros al vendedor en concepto de prima. En el vencimiento el precio de la acción es
TS 32 euros y el valor mínimo alcanzado por el precio de
la acción es 0
TTm 28 euros . El vendedor abona al
comprador el importe de:
L 4.000 (32 28) 16.000 euros
110
Angel Vilariño 219
Ejemplo valoración lookback estándar
Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 12,905Precio ejercicio 95 Put europea 6,294Tipo de interés 6,00% Lookbacks estándarVolatilidad 25,00% Call 18,871Tiempo 1,0 Put 19,642Rendimiento activo 4,00% Lookbacks ExtremosMinimo actual 95 Call 26,254Máximo actual 102 Put 12,260
Angel Vilariño 220
Opciones lokback sobre extremos
En este caso se define un precio de ejercicio E y las
funciones de pago de las opciones lookback sobre
extremos, call y put, respectivamente son:
0
0
TT T
TT T
C Max(M E,0)
P Max(E m ,0)
111
Angel Vilariño 221
Ejemplo Opción lookback sobre extremos
Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir ladiferencia entre el precio de ejercicio E 42 euros y el valor mínimo del precio de la acción durante la vida delcontrato y siempre que esa diferencia se positiva. El nocional es N = 8.000 acciones. El comprador abona62.258 euros en concepto de prima. En el vencimiento secalcula el mínimo del precio de la acción durante la vida delcontrato
0
TTm 36 por lo que el vendedor paga al
comprador: L 8.000 Max(42 36,0) 48.000 euros
Angel Vilariño 222
Ejemplo Lookback sobre extremos
Inputs OutputsPrecio activo 100 Call europea 12,905Precio ejercicio 95 Put europea 6,294Tipo de interés 6,00% Lookbacks estándarVolatilidad 25,00% Call 18,871Tiempo 1,0 Put 19,642Rendimiento activo 4,00% Lookbacks ExtremosMinimo actual 95 Call 26,254Máximo actual 102 Put 12,260
112
Angel Vilariño 223
Opciones lookback con riesgo limitado(opciones barrera)
Las funciones de pago de las opciones call y put son
respectivamente
TT0
T T M MC M ax( S E , 0 ) 1
TT0
T T , m mP M ax( E S 0 ) 1
La opción de compra se liquida como una opción de compra
estándar pero sometida a la restricción de que el valor
máximo del precio de la acción no supera un nivel prefijado
M . La opción de venta se liquida como una opción de venta
estándar pero sometida a la restricción de que el valor
mínimo no sea inferior a un nivel prefijado m.
Angel Vilariño 224
Ejemplo Opción lookback con riesgo limitado
Un contrato establece que el comprador tiene el derecho arecibir la diferencia entre el precio del activo subyacente(una acción) y el precio de ejercicio, E 25 euros , siempre que está diferencia sea positiva y además siempre que elmáximo de los precios de la acción durante la vida delcontrato no supere el valor m 32 euros . El nocional del contrato es N 3.500 acciones. El comprador abona al vendedor 10.234 euros en concepto de prima. En elvencimiento el precio del activo subyacente es
TS 30 euros pero el máximo alcanzado por el precio de la
opción es 0
TTM 32,8 euros por lo que el vendedor no
debe abonar nada al comprador.
113
Angel Vilariño 225
Opciones parcialmente lookback
Las funciones de pago de las opciones call y put,
parcialmente lookback, se definen respectivamente
mediante,
0
TT T TC Max(S m ,0) 1
0
TT T TP Max( M S ,0) 0 1
De este modo las liquidaciones serán siempre inferiores a
las de las opciones lookback estándar.
Angel Vilariño 226
Ejemplo Opción parcialmente lookback
Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir delvendedor la diferencia entre 0,9 veces el máximo alcanzadopor el precio de la acción en la vida del contrato y el preciode la acción siempre que esa diferencia sea positiva. Elnominal del contrato es N 4.500 acciones . El comprador abona 12.000 euros al comprador en concepto de prima.En el vencimiento TS 25 euros y el máximo alcanzado por
el precio de la acción es 0
TTM 32 euros . El vendedor abona
al comprador L 4.500 Max(0,9 32 25,0)
4.500Max(28,8 25,0) 17.100 euros
114
Angel Vilariño 227
Opciones a elegir
En las opciones a elegir el comprador tiene el derecho de
elegir en una fecha futura, antes del vencimiento del
contrato, si la opción comprada es call o put.
En el inicio se fija el precio de ejercicio.
Angel Vilariño 228
Ejemplo Opciones a elegir
A compra a B una opción, que vence dentro de dos meses,
con la condición de poder elegir entre call o put dentro de
un mes. El precio de ejercicio es E 22 euros y el nocional
es N 22.000 acciones . El comprador abona 29.234 euros
al vendedor en concepto de prima. Transcurrido el mes el
comprador elige put. En el vencimiento el precio de la
acción es E 23,62 euros en cuyo caso el vendedor no
debe pagar nada al comprador.
115
Angel Vilariño 229
Valoración de la opción a elegir
En la fecha t en la que se elige el contrato vale
t t tV Max(C ,P )
Por la paridad put-call
q(T t) r(T t)t t tP S e C Ee
r(T t) q(T t)t t t t
r(T t) q(T t)t t
q(T t) (r q)(T t)t t
V Max(C , C Ee S e )
C Max(0,Ee S e )
C e Max(0, E S )
Angel Vilariño 230
Valoración de la opción a elegir
Es una opción call con vencimiento en T y
(r q)(T t)e opciones put con vencimiento en t y
precio de ejercicio r(T t)E Ee
q(T t) (r q)(T t)0 0 0V C (E,T) e P (Ee ,t)
116
Angel Vilariño 231
Valoración de la opción a elegir
t T
0
t T
r t f(T t) r T
T t
(r q )(T t) ( 4,22% 2,5%) 185 / 365
S 25 euros E 25 euros t 90 días T 275 días
r 4% r 4,15% q 2,5% 23%
Tipo de int erés forward e e e
r T r t 4,15% 275 / 365 4% 90 / 365r f 4,22%
T t (275 90)/ 365
E Ee 25 e 24,78
3
Angel Vilariño 232
Opción call C(25, 275)
Call Delta Gamma Theta Rho Lambda2,094 0,55385 0,077417 1,421 8,854 8,385
Put Delta Gamma Theta Rho Lambda1,791 -0,42749 0,077417 1,029 -9,401 8,385
S E r q s T días T años25,0 25 4,15% 2,50% 23,0% 275 0,7534d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) N'(d1)
0,16209 -0,03755 0,5644 0,4850 0,4356 0,5150 0,39374
117
Angel Vilariño 233
Opción put P(24,783;90)
Call Delta Gamma Theta Rho Lambda1,284 0,56237 0,136968 2,424 3,150 4,855
Put Delta Gamma Theta Rho Lambda0,978 -0,43148 0,136968 2,063 -2,901 4,855
S E r q s T días T años25,0 24,783 4,00% 2,50% 23,0% 90 0,2466d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2) N'(d1)
0,16582 0,05161 0,5659 0,5206 0,4341 0,4794 0,39349
Angel Vilariño 234
Precio de la opción a elegir
q(T t) (r q)(T t)0 0 0
2,5% 185/365
V C (E,T) e P (Ee ,t)
2,094 e 0,978 3,060 euros
118
Angel Vilariño 235
Opciones sobre máximos y mínimos
Existen opciones que se definen sobre varios subyacentes,
acciones, índices, divisas o cualquier otro activo, y cuya
función de pago en el vencimiento depende de la relación
entre los precios de dichos activos.
Angel Vilariño 236
Opciones sobre máximos y mínimos
Un fondo de inversión garantizado o un producto
estructurado que tiene vinculado el rendimiento en el
vencimiento a la mejor rentabilidad conseguida por un
índice entre una cesta de varios (dos o más). La posible
existencia de una relación de correlación entre los
rendimientos de los activos es una pieza clave en la
valoración de estos instrumentos financieros.
119
Angel Vilariño 237
Opción de compra sobre lo mejor de dos activos y liquidez
El propietario de esta opción tiene el derecho a recibir en el
vencimiento
T 1T 2TC Max(S ,S ,E )
Siendo 1TS el precio del activo 1 en el vencimiento T, 2TS
el precio del activo 2 en el vencimiento T y E el importe de
la liquidez que está fijada en la fecha de realización del
contrato.
Angel Vilariño 238
Ejemplo de opción sobre lo mejor de dos activos y liquidez
Datos: 10 20
1 2 1
2 12
S 22 euros S 24 euros E 23 euros
T 1año r 4% q 2% q 1% 25%
27% 0,7
120
Angel Vilariño 239
Valoración opción sobre dos activos y liquidez
Input OutputPrimer activo Exchange call 1,25Precio activo 22 Exchange put 2,45Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 25,475Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 3,376Precio activo 23 Put sobre el máximo de dos act 1,4573Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 21,1777Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 1,2991Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 3,0791
Precio Ejercicio 23Tipo libre de riesgo 4,00%
Angel Vilariño 240
Ejemplo de opción sobre lo mejor de dos activos y liquidez
10 20
1 2 1
2 12
S 100 euros S 100 euros E 100 euros
T 1año r 4% q 2% q 1% 25%
27% 0,7
121
Angel Vilariño 241
Valoración opción dos activos y liquidez
Input OutputPrimer activo Exchange call 7,45Precio activo 100 Exchange put 8,44Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 112,078Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 15,999Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 5,6211Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 86,5494Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 6,6586Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 12,1693
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
Angel Vilariño 242
Correlación alta negativa
10 20
1 2 1
2 12
S 100 euros S 100 euros E 100 euros
T 1año r 4% q 2% q 1% 25%
27% 0,90
122
Angel Vilariño 243
Correlación alta negativa
Input OutputPrimer activo Exchange call 19,22Precio activo 100 Exchange put 20,20Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 118,534Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 22,455Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 0,3097Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 81,2381Correlación -0,9000 Call sobre el mínimo de dos act 0,2019Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 17,4807
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
Angel Vilariño 244
Opción sobre el máximo de dos activos
En este caso vamos a suponer que se trata de la opción
anterior pero existe un precio de ejercicio cuyo importe es
E.
La función de pagos en el vencimiento es
T 1T 2T 1T 2TC Max 0,Max(S ,S ) E Max(S ,S ,E) E
123
Angel Vilariño 245
Datos
10 20
1 2 1
2 12
S 100 euros S 100 euros E 100 euros
T 1año r 4% q 2% q 1% 25%
27% 0,7
Angel Vilariño 246
Valoración opción call sobre el máximo de dos activos
Input OutputPrimer activo Exchange call 7,45Precio activo 100 Exchange put 8,44Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 112,078Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 15,999Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 5,6211Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 86,5494Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 6,6586Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 12,1693
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
124
Angel Vilariño 247
Opción de compra sobre el mejor de dos activos
Una opción de compra sobre el mejor de dos activos es un
caso especial de la opción de compra sobre lo mejor de dos
activos y liquidez. Hacemos E = 0
T 1T 2TC Max(S ,S ,0)
Angel Vilariño 248
Opción de venta sobre el máximo de dos activos
La función de pago es T 1T 2TP Max 0,E Max(S ,S )
125
Angel Vilariño 249
Datos
10 20
1 2 1
2 12
S 100 euros S 100 euros E 100 euros
T 1año r 4% q 2% q 1% 25%
27% 0,7
Angel Vilariño 250
Valoración opción put sobre el máximo de dos activos
Input OutputPrimer activo Exchange call 7,45Precio activo 100 Exchange put 8,44Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 112,078Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 15,999Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 5,6211Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 86,5494Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 6,6586Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 12,1693
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
126
Angel Vilariño 251
Opción de compra sobre el mínimo de dos activos
Esta opción tiene la siguiente función de pago
T 1T 2TC Max 0,Min(S ,S ) E
Angel Vilariño 252
Valoración opción call sobre el mínimo
Input OutputPrimer activo Exchange call 7,45Precio activo 100 Exchange put 8,44Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 112,078Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 15,999Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 5,6211Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 86,5494Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 6,6586Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 12,1693
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
127
Angel Vilariño 253
Opción de compra sobre el mínimo de dos activos
Es una opción de compra que se define mediante la
siguiente función de pago,
T 1T 2T 1T 2TC Min(S ,S ) Max 0,Min(S ,S ) 0
Luego es un caso particular de la opción estudiada en el
apartado anterior cuando E=0.
Angel Vilariño 254
Opción de venta sobre el mínimo de dos activos
La función de pago es,
T 1T 2TP Max 0,E Min(S ,S )
128
Angel Vilariño 255
Valoración put sobre el mínimo de dos activos
Input OutputPrimer activo Exchange call 7,45Precio activo 100 Exchange put 8,44Volatilidad 25,00% Opciones sobre el máximoRendimiento activo 2,00% Opcion sobre dos activos y cash 112,078Segundo activo Call sobre el máximo de dos act 15,999Precio activo 100 Put sobre el máximo de dos act 5,6211Volatilidad 27,00% Opciones sobre el minimoRendimiento activo 1,00% Opcion sobre dos activos y cash 86,5494Correlación 0,7000 Call sobre el mínimo de dos act 6,6586Tiempo 1 Put sobre el mínimo de dos act 12,1693
Precio Ejercicio 100Tipo libre de riesgo 4,00%
Angel Vilariño 256
Ejemplo Opciones sobre máximos y mínimos
En este ejemplo vamos a mostrar los diferentes valores de
las liquidaciones según el tipo de opción.
Suponemos que en el vencimiento se verifica
1T 2TS 48.000 euros S 44.000 euros y E está dado
E 40.000 euros
129
Angel Vilariño 257
Ejemplo Opciones sobre máximos y mínimos
i) Opción de compra sobre lo mejor de dos activos y liquidez
T 1T 2TC Max(S ,S ,E) Max(48.000,44.000,40.000) 48.000
ii) Opción sobre el máximo de dos activos
T 1T 2TC Max 0,Max(S ,S ) E
Max(0,Max(48.000,44.000) 40.000) 8.000
Angel Vilariño 258
Ejemplo Opciones sobre máximos y mínimos
iii) Opción de compra sobre el mejor de dos activos
T 1T 2TC Max(S ,S ,0 )
Max( 48.000, 44.000,0 ) 48.000
iv) Opción de venta sobre el máximo de dos activos
T 1T 2TP Max 0, E Max(S ,S )
M ax(0, 40.000 Max( 48.000, 44.000 )) 0
130
Angel Vilariño 259
Ejemplo Opciones sobre máximos y mínimos
v) Opción de compra sobre el mínimo de dos activos
T 1T 2 TC M a x 0 , M in( S , S ) E
M a x ( 0 , M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 ) 4 0 .0 0 0 ) 4 .0 0 0
vi) Opción de compra sobre el peor de dos activos
T 1T 2 TC M in( S , S ) M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 ) 4 4 .0 0 0 vii) Opción de venta sobre el mínimo de dos activos
T 1T 2 TP M a x 0 , E M in( S , S )
M a x ( 0 , 4 0 .0 0 0 M in( 4 8 .0 0 0 , 4 4 .0 0 0 )) 0
Angel Vilariño 260
Opciones sobre opciones
Son opciones que tiene como activo subyacente otraopción. Existen por lo tanto cuatro posibilidades: i) Call sobre Call T TC Max(CS E,0 ) ; TCS precio de la opción call subyacente ii) Put sobre Call T TP Max( E CS ,0 ) ; TCS precio de la opción call subyacente iii) Call sobre Put T TC Max(PS E,0 ) ; TPS precio de la opción put subyacente iv) Put sobre Put T TP Max( E PS ,0 ) ; TPS precio de la opción put subyacente
131
Angel Vilariño 261
Opciones sobre opciones
Existen dos precios de ejercicio y dos fechas de ejercicio.
Por ejemplo, una call sobre una call. En la primera fecha de
ejercicio T1 el comprador paga el primer precio de ejercicio
E1 y recibe una opción call. Este activo le da el derecho a
comprar el activo subyacente a un precio E2 en la fecha T2 .
Como en cualquier otra opción de compra el comprador
ejercitará en T1 si el precio de la opción subyacente es
mayor que el precio de ejercicio E1 También puede
liquidarse en efectivo.
Angel Vilariño 262
Opción de compra sobre opción de venta (callsobre put)
Un contrato otorga al comprador el derecho a recibir en elvencimiento, dentro de tres meses, la diferencia entre elprecio de una opción de venta, negociada en un mercadoorganizado, sobre un determinado activo subyacente, y elprecio de ejercicio fijado en E 2,50 euros . El nocional es N 15.000 opciones de venta . El comprador abona 6.317 euros al vendedor en concepto de prima. En el vencimientoel precio de la opción de venta subyacente es
TP 3,58 euros . El vendedor abona al comprador el siguiente importe:
L 150.000 M ax( 3,58 2,5; 0 )
156.000 euros
132
Angel Vilariño 263
Ejemplo opciones sobre opciones
Input para la opción subyacente OutputPrecio del activo 500 Precio crítico activo opciones sobre call 582,9732Precio Ejercicio 500 Precio de call sobre call 11,15Tipo libre de riesgo 6,00% Precio de put sobre call 50,18Volatilidad 25,00% Precio crítico activo opciones sobre put 393,0188Tiempo 1,0000 Precio de call sobre put 2,18Rendimiento activo 2,00% Precio de put sobre put 60,43
Input para la opción compuesta Otros resultadosTiempo 0,5000 Call europea 58,01Precio Ejercicio 100 Put europea 38,80
Angel Vilariño 264
Medidas de sensibilidad
133
Angel Vilariño 265
Griegas
• Parámetros de sensibilidad de los precios de las opciones
• Sirven para diseño de coberturas
• Para construcción de sintéticas
• Para la medición de riesgos
• Se obtienen calculando las derivadas parciales de los
precios de las opciones respecto a la variable
considerada
Angel Vilariño 266
Delta
Delta es la tasa de cambio del precio de la opción respecto al cambio del precio del activo subyacente
Es aproximadamente igual el cociente entre la variación del precio de la opción y una pequeña variación del precio del activo subyacente
f fS S
134
Angel Vilariño 267
Deltas de call y put estándar europeas
• Delta call
• Delta put
qTcall 1 calle N(d ) 0 1
qTput 1 pute N( d ) 1 0
Angel Vilariño 268
Gamma de opciones call y put estándar europeas
Gamma es aproximadamente el cociente entre la
variación de delta y una pequeña variación del precio
del activo subyacente
2
2
fS S S
135
Angel Vilariño 269
Gamma
• Gamma call y put
q T 1N ( d )
eS T
Angel Vilariño 270
Lambda
Lambda es el cociente entre la variación del precio de la
opción y una pequeña variación de la volatilidad de la
rentabilidad del activo subyacente
f f
136
Angel Vilariño 271
Theta
Theta es aproximadamente el cociente entre la variación
del precio de la opción y una pequeña variación del
tiempo
f fT T
Angel Vilariño 272
Rho
Rho es aproximadamente el cociente entre la variación
del precio de la opción y una pequeña variación de la
tasa de interés
f fr r
137
Angel Vilariño 273
Efecto de las variables sobre el precio de la opción europea estándar
+-q
-+r
++s
--T
-+S
pc
Angel Vilariño 274
Cobertura delta neutra
• Una opción europea sobre una acción está definida por los siguientes parámetros
• Precio del activo subyacente S = 6000• Precio de ejercicio E = 6000• Plazo T = 90 días• Tipo de interés libre de riesgo r = 10%• Tasa de dividendos q = 2%• Volatilidad 25%• Calcule para N = 50.000 acciones una cobertura delta
neutra. Al día siguiente la acción cotiza a 5965. Explique el resultado de la cobertura y que reajuste de cartera hay que realizar.
138
Angel Vilariño 275
Delta = - 0,41053 Put = 237,984
Call Delta Gamma Theta Rho Lambda354,604 0,58455 0,00052 830,254 777,381 1154,228
Put Delta Gamma Theta Rho Lambda237,984 -0,41053 0,00052 364,278 -666,038 1154,228
S E r q s T días6000 6000,00 10,0% 2,0% 25% 90d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)
0,22097 0,09683 0,58744 0,53857 0,41256 0,46143
Angel Vilariño 276
Cobertura delta-neutra
Cálculo del número de put
V HS NP
V H S N P H S N S 0
(H N ) S 0 H N 0 N H/
139
Angel Vilariño 277
Cálculos
H N50.000 121.794
H S N C L300.000.000 28.985.074 -28.985.074
H S N C L298.250.000 30.654.400 -28.993.125-1.750.000 1.669.326 -8.051
Angel Vilariño 278
Delta = 0,42948 Put = 251,689
Call Delta Gamma Theta Rho Lambda332,203 0,56565 0,00053 827,337 741,728 1152,129
Put Delta Gamma Theta Rho Lambda251,689 -0,42948 0,00053 360,510 -686,044 1152,129
S E r q T días5965 6000,00 10,0% 2,0% 25% 89
d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,17235 0,04890 0,56842 0,51950 0,43158 0,48050
140
Angel Vilariño 279
Efecto tiempo
El paso del tiempo hace caer el precio de la put
T 364,278 ( 1/365) 0,998
N T 121.794 ( 0,998) 121.553
Angel Vilariño 280
Reajuste
• Cálculo del número de opciones con el nuevo delta
• 121.794 – 116.420 = 5.374• Vende 5374 put y reduce la liquidez tomada
H 50.000
N 116.4200,42948
141
Angel Vilariño 281
Opciones sintéticas
• Call larga• Diseñamos la posición opuesta a una call corta, porque
lo que neutraliza a una call corta es una call larga.• Hallamos la cartera de acciones y liquidez que con una
call corta es delta neutra
Angel Vilariño 282
Call larga
• Posición larga en acciones y corta en liquidez
V HS NC N 0 V H S N C 0
V H S N S 0 H N 0 H N
N 0 0 H 0
142
Angel Vilariño 283
Ejemplo
• H = 150 opciones S = 2000 E = 1950• T = 180 días r = 8% q = 2%• Call = 187,912 Delta = 0,63574• H= -N x0,63574 = 95• Coste = 95 x 2000 = 190.000• Préstamo tomado L = 190.000• Call larga = 95 acciones y préstamo
Angel Vilariño 284
Día siguiente
• S = 2025 Call = 203,637 Delta = 0,66137
Variación precio opción:
• 150 x (203,637- 187,912) = 2.358,75
• Variación cartera opción sintética:
• Acciones: 95 x (2025 – 2000) = 2.375
• Variación posición liquidez: 190.000x8%x(1/360)= 42,22
• Variación opción sintética: 2.375-42,2=2.332,8
143
Angel Vilariño 285
Opciones sintéticas: Equivalencias
• Opción de compra comprada = mS – B
• Opción de compra vendida = -mS + B
• Opción de venta comprada = -mS + B
• Opción de venta vendida = mS – B
Angel Vilariño 286
Cobertura delta-gamma
• Una cartera está formada por una opción de compra vendida sobre 1000 acciones con precio de ejercicio E1 = 5000
• Diseñe una cobertura delta-gamma con otra opción de compra de precio de ejercicio E2 = 5100 y con el activo subyacente.
• Datos: S = 5100, r = 3% q = 1% T = 90 días Sigma 25 %
144
Angel Vilariño 287
Solución
• Cartera
1 1 2 2
1 1 2 2
V N C N C HS
V N C N C H S
1 1 2 2
1 1 2 2
N N H 0
N N 0
1 1 2 2C S C S
Angel Vilariño 288
Datos de C1
CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA315,78 0,60159 0,0006075 545,650 678,656 973,994
PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA191,49 -0,39595 0,0006075 447,630 -545,134 973,994
S E r q Sigma T días5100 5000 3,0% 1% 25% 90
d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,26131 0,13717 0,60307 0,55455 0,39693 0,44545
145
Angel Vilariño 289
Datos de C2
CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA263,89 0,53921 0,0006253 555,353 613,006 1002,615
PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA238,86 -0,45833 0,0006253 454,355 -635,260 1002,615
S E r q Sigma T días5100 5100 3,0% 1% 25% 90
d1 d2 N(d1) N(d2) N(-d1) N(-d2)0,10180 -0,02235 0,54054 0,49109 0,45946 0,50891
Angel Vilariño 290
Solución
Sistema de ecuaciones
1 1 2 2
1 1 2 2
N N H 0
N N 0
2
2
1000 0,60159 N 0,53921 H 0
1000 0,0006075 N 0,0006253 0
146
Angel Vilariño 291
Solución
C1 Delta 1 Gamma1315,78 0,60159 0,0006075
C2 Delta 2 Gamma2263,89 0,53921 0,0006253
N1 N2 H-1000 971 78
Angel Vilariño 292
Día siguiente S=5200Variación del precio de mercado de la
cartera
• Día 0
0V 1000 315,78 971 263,89 78 5100 652.991
0V 315.777 256.354 396.637 652.991
147
Angel Vilariño 293
Día siguiente
N1 N2 H L V-1000 971 78
315,78 263,89 5100-315.777 256.354 397.800 -654.154 -315.777
377,44 319,36 5200-377.439 310.245 405.600 -654.208 -315.802-61.662 53.891 7.800 -55 -25
Angel Vilariño 294
Derivados
de crédito
148
Angel Vilariño 295
Permuta de incumplimiento de crédito (Credit default swaps)
• El credit default swaps (CDS) es un instrumento diseñado para aislar el riesgo de crédito (riesgo definido mediante un determinado evento de crédito).
• Una parte del contrato, el comprador de protección, paga a la otra parte, el vendedor de protección, una prima (fee, spread)
• Si se produce un evento de crédito el vendedor de protección está obligado a pagar el importe de la pérdida al comprador de protección.
Angel Vilariño 296
Credit default swap
Comprador Vendedor
Emisor
149
Angel Vilariño 297
Transferencia del riesgo
• El comprador de protección ha transferido al vendedor de protección el riesgo de crédito definido mediante los eventos de crédito (por ejemplo quiebra, incumplimiento de pago de intereses, principal,…) pero no el riesgo derivado de los cambios de spread (sin default) o de los cambios de los tipos de interés libre de riesgo.
• El comprador de protección asume un nuevo riesgo de crédito: el de contraparte originado en el vendedor de protección.
Angel Vilariño 298
Liquidación
Liquidación en el caso de realización del evento de crédito:Liquidación en efectivo: a) Nocional menos valor de mercado del activo de referenciab) Precio inicial menos precio finalLiquidación física:Intercambio del nocional por el activo de referencia.
150
Angel Vilariño 299
Liquidación
• Otras formas:
Precio inicial (nocional o mercado) menos valor después del impago fijando tasa de recuperación a priori. Este credit default swap se denomina digital.Si el activo de referencia es un préstamo se podría utilizar un bono del mismo emisor para la valoración después del impago.En los contratos realizados predomina la liquidación física.
Angel Vilariño 300
Elementos clave del contrato
• Entidad de referencia• Activos de referencia• Definición de los eventos de crédito• Nocional, Vencimiento, Divisa• Prima (fee, spread)• Método de liquidación
Agente de valoración. Fecha de valoraciónFecha de entrega del activo
151
Angel Vilariño 301
Características frecuentes
• Nocionales entre 5 y 100 millones de USD/EUR• Media 10 millones• Vencimientos hasta 10 años• Liquidez plazo 5 años• Divisas: USD/EUR• Fecha valor: D + 3• Entidades de referencia: Corporaciones EEUU, Europa y
Gobiernos.
Angel Vilariño 302
Prima CDS
Precio de la protección.Los modelos de valoración determinan el spread con la condición de que el valor inicial del CDS sea nulo (como en un swap)
Cuando se produce el evento impago el pago del spread se detiene, pero se paga la parte devengada hasta la fecha de liquidación del contrato.
La cotización del CDS se hace en puntos básicos sobre el nocional del CDS.
152
Angel Vilariño 303
Prima CDS
Los pagos se realizan a intervalos regulares.
Trimestrales o semestrales
El pago se realiza al final del intervalo temporal.
Se suele utilizar las convenciones de los swaps, por
ejemplo ACT/360
168 pb, trimestral (días exactos 92), Nocional = 10 millones USD
168 9210.000.000 42.933, 33 USD
10.000 360
Angel Vilariño 304
Pago de prima al comienzo
• Cuando la entidad de referencia es de bajo rating la prima exigida por el dealer se divide en dos partes:– Una cantidad pagada en la fecha de la transacción
(up-front) por el comprador de protección.– Una prima pagada periódicamente (trimestral o
semestral)• La suma de las dos componentes es equivalente a la
prima del CDS calculada convencionalmente
153
Angel Vilariño 305
Motivación, Utilización
• El riesgo de crédito puede individualizarse y gestionarse
• No existe transferencia de la propiedad del activo
• Flexibilidad respecto a modular contrapartes, plazos, eventos de crédito.
• Se mantiene la relación con el acreditado
• Posibilidad de tomar posiciones cortas en riesgo de crédito (comprador de protección no tiene el activo)
• Posibilidades de gestión de la cartera de créditos por concentración, riesgos seleccionados y regulación
Angel Vilariño 306
Ejemplo CDS
• Un inversor tiene una posición larga en un bono emitido
por la Compañía ABC. El bono cotiza con un spread de
200 pb. y el plazo residual del bono es 10 años. El
inversor quiere cubrir el riesgo de crédito a un plazo de
tres años y entra, como comprador, en un credit default
swap con las características siguientes:
154
Angel Vilariño 307
Ejemplo CDS
• Comprador de protección: Inversor• Vendedor de protección: Dealer• Vencimiento: tres años• Entidad de referencia: Compañía ABC• Bono de referencia: Bono emitido por la Compañía ABC,
plazo 10 años, cupón 8,50%. Nocional = 10 MM euros• Evento de crédito: Quiebra, Incumplimiento mayor que
un mínimo establecido y reestructuración.
Angel Vilariño 308
Ejemplo CDS
• Pago en caso de evento de crédito: – Nominal x (100% - Valor de mercado activo)
• Prima CDS: 1,25% anual• Periodicidad pago de la prima: Trimestral• Dato= TIR bono sin riesgo i = 7%
155
Angel Vilariño 309
Precio del bono y nocional del contrato
2 10
8,5 8,5 108,5B(0) ... 96,79
1 7% 2% (1 7% 2%) (1 7% 2%)
Nocional Efectivo 10.000.000 96,79% 9.679.000
125 90Pago periódico 9.679.000 30.246,88
10.000 360
Angel Vilariño 310
Flujos CDS
• El valor de los bonos es 3.500.000
Comprador Vendedor 1 T -30.246,88 + 30.246,88 2 T -30.246,88 + 30.246,88 3 T -30.246,88 + 30.246,88
evento 9.679.000 3.500.000
156
Angel Vilariño 311
Permuta del rendimiento total
• El concepto central de una permuta de rendimiento total (total return swaps) es la replicación de todos los rendimientos de un activo.
• El inversor asume todos los riesgos del activo (básicamente riesgo de mercado y riesgo de crédito)
• La mayoría de estos contratos tienen como activo subyacente un bono negociado en un mercado secundario.
Angel Vilariño 312
Permuta del rendimiento total
• El inversor intercambia un pago variable más o menos un margen a cambio de todos los rendimientos.
• El pago variable es habitualmente LIBOR sobre el nocional del contrato.
• El hecho de tener derecho a todos los rendimientos totales implica que el inversor puede tener rendimientos negativos, cuando el precio del activo subyacente baja.
157
Angel Vilariño 313
Permuta de rendimiento total
• La rentabilidad final del inversor va a depender de los
intereses recibidos, de los cambios de precio del activo,
del LIBOR pagado, de la prima pactada y, en su caso, de
la liquidación realizada en caso de default del emisor del
bono subyacente.
Angel Vilariño 314
Permuta del rendimiento total (Total return swaps)
A paga a B en fechas
• el cupón de un bono emitido por C
• el cambio de precio del bono desde el último pago si es positivo, es decir
• El valor de recuperación del bono (si entra en default)
iT 1,2,...,N
i i 1C(T ) C(T )
158
Angel Vilariño 315
Ejemplo Permuta del rendimiento total
• Fecha valor: 3 días hábiles desde la transacción.
• Fecha de vencimiento: La primera de las siguientes fechas:
– Un año desde la fecha valor
– Fecha de realización de un evento de crédito
– Fecha de realización de un evento de crédito de Pagador o Receptor.
Angel Vilariño 316
Ejemplo Permuta del rendimiento total
• Precio inicial: 94%
• Precio actual: El precio de oferta del activo subyacente expresado como porcentaje calculado por el Agente de Cálculo de acuerdo con el Método de Cálculo a las 11h. (hora de Nueva York) 3 días hábiles antes de la Liquidación Final.
• Rendimiento total pagado: Todos los cupones del activo subyacente recibidos por el Pagador.
159
Angel Vilariño 317
Ejemplo Permuta del rendimiento total
• Fecha de pago del Rendimiento total: Dos días hábiles después de que los cupones son recibidos.
• Tipo variable pagado por el receptor: LIBOR tres meses más margen calculado sobre el Nocional Principal inicial. LIBOR es el cotizado por BBA 2 días antes del comienzo de liquidación de un período de intereses.
• Margen: 0,50% anual
• Liquidación final: En la fecha de vencimiento el Receptor según haya elegido en la fecha inicial:
Angel Vilariño 318
• 1. Liquidación en efectivo calculada como:((Precio actual-Precio inicial)/Precio inicial)*NocionalPrincipal inicialSegún el signo así es el sentido de la liquidación
• 2. Liquidación física: Entrega del activo de referencia por el pagador a cambio del importe inicial del activo.
160
Angel Vilariño 319
Ejemplo Permuta del rendimiento total
• Eventos de crédito: Quiebra, Incumplimiento, reestructuración afectando al activo de referencia o a la Corporación ABC.
• Colateral (opcional): 10% del Nocional Principal inicial en liquidez o en títulos del gobierno de EEUU. El colateral puede ser ajustado según cambio de valor del activo subyacente.
• Agente de cálculo: Dealer
Angel Vilariño 320
Ejemplo Permuta del rendimiento total
• Método de cálculo: – Por un panel de dealers (entre 4 y 6) que cotizan
precios del activo de referencia para calcular en base a ellos un precio medio.
– Mediante la utilización de un servicio de difusión de precios (Bloomberg, Reuters, Telerate,…)
– El Método de cálculo se debe elegir en la fecha de entrada en la transacción.
161
Angel Vilariño 321
Racionalidad de la transacción
• El contrato facilita a un inversor entrar en los rendimientos (y riesgo) de un activo (activo subyacente) sin la adquisición del activo y por lo tanto sin el desembolso del precio inicial del activo.
• El receptor entra en los riesgos del activo realizando una compra sintética.
• El pagador puede estar cubriendo el riesgo de crédito o puede tomar una posición corta sobre el activo en el caso de no tenerlo en propiedad.
Angel Vilariño 322
Riesgos del receptor
• Riesgo de default: está expuesto a los eventos de crédito definidos en el contrato que afectan al activo subyacente y al emisor del activo subyacente. También soporta el riesgo de contraparte del pagador.
• Riesgo de spread de crédito: El cambio de precio del bono está vinculado a los cambios en el spread cotizado sobre el tipo de interés libre de riesgo.
• Riesgo de interés libre de riesgo: También influye sobre el precio del bono.
162
Angel Vilariño 323
Ventajas de la Permuta del rendimiento total
• El receptor está largo en el activo de referencia sin necesidad de realizar la inversión en el bono. Existe apalancamiento.
• El pagador consigue la cobertura del activo de referencia si es propietaria del activo.
• La separación entre la transacción y la propiedad del activo o los derechos de un contrato de préstamo.
• La separación entre el vencimiento del activo de referencia y el vencimiento de la transacción.
Angel Vilariño 324
Ventajas de la Permuta de rendimiento total
• Si el pagador no tiene el activo de referencia entonces
ha creado una posición corta sobre el activo. Hay que
tener en cuenta que la creación de posiciones cortas es
prácticamente imposible acudiendo al préstamo de
valores.
• Ventajas potenciales por coste de financiación dado que
el principal no hay que financiarlo.
163
Angel Vilariño 325
Usuarios
• Bancos: Bancos con rating bajo y altos costes de financiación pueden encontrar ventajoso entrar en la permuta del rendimiento total, al igual que inversores en las mismas condiciones.
• Hedge funds utilizan ampliamente estas estructuras para apalancarse y acceder a activos con riesgo de crédito salvando las dificultades de escasa liquidez (poco importe negociado) de algunos activos cotizados.
Angel Vilariño 326
Modelo de valoración
•
n
s ii 1
n
ci 1
Se va lo ra ca d a " p a ta " d e l con tra to
P a ta d e l sp re a d (p re m iu m le g) :
V s G(0, i)Q (0, i)
P a ta d e la com p e n sa c ión (c om p e n sa tio n le g) :
V (1 R ) G(0, i) (Q (0, i 1) Q (0, i) )
164
Angel Vilariño 327
Determinación del spread
s c
n
i 1C D S n
ii 1
n
i i 1 ii 1
C D S n
i i ii 1
E q u i l ib r io : V V
G (0 , i) (Q (0 , i 1) Q (0 , i) )
s (1 R )
G (0 , i)Q ( 0 , i)
G ( 0 , T ) (Q (0 , T ) Q (0 , T ) )
s (1 R )
G (0 , T )Q (0 , T )
Angel Vilariño 328
Prima de un CDS
• Contrato a tres años de plazo
• Nocional N = 5 millones de euros
• Pagos trimestrales
• Tasa de recuperación estimada R = 50%
• Probabilidades de supervivencia y tipos de interés cupón
cero en la tabla siguiente:
165
Angel Vilariño 329
Datos
01/04/2006 z G(0,Ti) i Q(0,Ti)01/07/2006 3,15% 0,992298 91 0,99378701/10/2006 3,20% 0,984332 92 0,98754401/01/2007 3,24% 0,976262 92 0,98134101/04/2007 3,29% 0,968148 90 0,97531001/07/2007 3,32% 0,960018 91 0,96925001/10/2007 3,38% 0,951317 92 0,96316101/01/2008 3,42% 0,942740 92 0,95711101/04/2008 3,45% 0,934326 91 0,95116401/07/2008 3,47% 0,926056 91 0,94525401/10/2008 3,48% 0,917905 92 0,93931701/01/2009 3,50% 0,909540 92 0,93341601/04/2009 3,51% 0,901596 90 0,927680
Angel Vilariño 330
Cálculos
01/04/2006 Q(0,Ti) Q(i-1)-Q(i) d(i)*G(i)*Q(i) G(i)(Q(i-1)-Q(i))01/07/2006 0,993787 0,006213 0,24927 0,00616601/10/2006 0,987544 0,006243 0,24842 0,00614501/01/2007 0,981341 0,006203 0,24483 0,00605601/04/2007 0,975310 0,006031 0,23606 0,00583901/07/2007 0,969250 0,006060 0,23521 0,00581801/10/2007 0,963161 0,006088 0,23416 0,00579201/01/2008 0,957111 0,006050 0,23059 0,00570401/04/2008 0,951164 0,005947 0,22464 0,00555601/07/2008 0,945254 0,005910 0,22127 0,00547301/10/2008 0,939317 0,005938 0,22034 0,00545001/01/2009 0,933416 0,005900 0,21696 0,00536701/04/2009 0,927680 0,005736 0,20910 0,005172
2,77086 0,06854spread 1,24%
166
Angel Vilariño 331
Determinación del spread del CDS
n
ii 1
n
i 1
n
i 1n
ii 1
G(0,i) Q(0,i) 2,77086
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,06854
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))0,06854
s (1 R) (1 0,5) 1,24% 124pb2,77086
G(0,i) Q(0,i)
Angel Vilariño 332
Sensibilidad de la prima (spread del CDS)
• El spread es función de los tipos de interés libre de
riesgo, de las probabilidades de supervivencia y de la
tasa de recuperación.
• A) Sensibilidad a cambios en los tipos de interés cupón
cero
• B) Sensibilidad a cambios en las probabilidades de
supervivencia
• C) Sensibilidad a cambios en la tasa de recuperación
167
Angel Vilariño 333
Cambios en los tipos de interés cupón cero Incremento 1%
01/04/2006 z G(0,Ti) i Q(0,Ti)01/07/2006 4,15% 0,989914 91 0,99378701/10/2006 4,20% 0,979584 92 0,98754401/01/2007 4,24% 0,969198 92 0,98134101/04/2007 4,29% 0,958865 90 0,97531001/07/2007 4,32% 0,948534 91 0,96925001/10/2007 4,38% 0,937667 92 0,96316101/01/2008 4,42% 0,926967 92 0,95711101/04/2008 4,45% 0,916498 91 0,95116401/07/2008 4,47% 0,906212 91 0,94525401/10/2008 4,48% 0,896064 92 0,93931701/01/2009 4,50% 0,885752 92 0,93341601/04/2009 4,51% 0,875939 90 0,927680
Angel Vilariño 334
Nuevos cálculos iz 1%
01/04/2006 Q(0,Ti) Q(i-1)-Q(i) d(i)*G(i)*Q(i) G(i)(Q(i-1)-Q(i))01/07/2006 0,993787 0,006213 0,24867 0,00615101/10/2006 0,987544 0,006243 0,24722 0,00611501/01/2007 0,981341 0,006203 0,24306 0,00601201/04/2007 0,975310 0,006031 0,23380 0,00578301/07/2007 0,969250 0,006060 0,23240 0,00574801/10/2007 0,963161 0,006088 0,23080 0,00570901/01/2008 0,957111 0,006050 0,22673 0,00560801/04/2008 0,951164 0,005947 0,22036 0,00545001/07/2008 0,945254 0,005910 0,21653 0,00535601/10/2008 0,939317 0,005938 0,21510 0,00532101/01/2009 0,933416 0,005900 0,21129 0,00522601/04/2009 0,927680 0,005736 0,20315 0,005025
2,72910 0,06750spread 1,24%
168
Angel Vilariño 335
Cambios en los tipos de interés cupón cero
n
ii 1
n
i 1
n
i 1n
ii 1
G(0,i) Q(0,i) 2,72910
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,06750
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))2,72910
s (1 R) (1 0,5) 1,24% 124pb0,06750
G(0,i) Q(0,i)
Angel Vilariño 336
Cambio de las probabilidades de supervivencia 1%
0,90000
0,91000
0,92000
0,93000
0,94000
0,95000
0,96000
0,97000
0,98000
0,99000
1,00000
Inicial Final
169
Angel Vilariño 337
Nuevo spread
01/04/2006 Q(0,Ti) Q(i-1)-Q(i) d(i)*G(i)*Q(i) G(i)(Q(i-1)-Q(i))01/07/2006 0,991312 0,008688 0,24865 0,00862101/10/2006 0,982605 0,008707 0,24718 0,00857001/01/2007 0,973975 0,008630 0,24300 0,00842501/04/2007 0,965605 0,008369 0,23371 0,00810301/07/2007 0,957216 0,008389 0,23229 0,00805401/10/2007 0,948809 0,008407 0,23067 0,00799801/01/2008 0,940475 0,008334 0,22658 0,00785601/04/2008 0,932304 0,008171 0,22019 0,00763401/07/2008 0,924204 0,008100 0,21634 0,00750101/10/2008 0,916087 0,008117 0,21489 0,00745101/01/2009 0,908041 0,008046 0,21106 0,00731801/04/2009 0,900238 0,007803 0,20291 0,007035
2,72748 0,09457spread 1,73%
Angel Vilariño 338
Cambio de las probabilidades de supervivencia 1%
n
ii 1
n
i 1
n
i 1n
ii 1
G(0,i) Q(0,i) 2,72748
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i)) 0,09457
G(0,i)(Q(0,i 1) Q(0,i))2,72748
s (1 R) (1 0,5) 1,73% 173pb0,09457
G(0,i) Q(0,i)
s 173 124 49 pb (1 R) Q 0,5 1% 50 pb
170
Angel Vilariño 339
Cambio de la tasa de recuperaciónR = 60% antes R = 50%
n
ii 1
n
i 1
n
i 1n
ii 1
G(0, i) Q(0, i) 2,77086
G(0, i)(Q(0, i 1) Q(0, i)) 0,06854
G(0, i)(Q(0, i 1) Q(0, i))0,06854
s (1 R) (1 0,6) 0,99% 99 pb2,77086
G(0, i) Q(0, i)
s 124s R 0,10 25 pb 99 124
1 R 1 0,5
Angel Vilariño 340
Valoración del CDS en una fecha cualquiera
n
mercado contrato ii 1
En una fecha posterior el valor del contrato se obtiene
mediante el " cierre teórico" (marked to market)con el spread de mercado
para un CDS con las mismas características
VR (s s )N G(0,i)Q(0,i)
para el compra
dor y para el vendedor
171
Angel Vilariño 341
Ejemplo
• Un CDS se ha contratado con un spread de 52 puntos básicos. Un año después el CDS al plazo de 2 años se cotiza en el mercado con un spread de 67 pb. Mediante las probabilidades de supervivencia obtenidas en la nueva fecha y los precios de los bonos cupón cero se calcula el valor de la pata del spread. El nocional del contrato es N = 5 millones de euros
8
ii 1
G(0,i)Q(0,i) 198,544726
Angel Vilariño 342
Valor razonable del contrato
n
m ercado contrato ii 1
VR (s s )N G(0, i) Q (0, i)
(0,65% 0,52%) 5.000.000 198,544726
1.485.041 euros
(com prador) y (vendedor de protecc ión)
172
Angel Vilariño 343
Credit Linked Notes
• El contrato CLN es un Credit Default Swap (CDS) empotrado
en un bono con riesgo.
• Una entidad tiene una posición larga sobre un activo con
riesgo de crédito. Emite unos bonos cuyo riesgo está vinculado
a dicho activo. La entidad paga los intereses siempre que no se
produzca el evento de default del activo subyacente y en el
vencimiento el principal de los bonos.
Angel Vilariño 344
CLN
Compradorde
protección
Entidad dereferencia
Inversores
Liquidez inicial
Intereses
100
100-R
173
Angel Vilariño 345
Credit Linked Notes
• En el caso de default se liquida como un CDS, es decir
nominal menos valor de la referencia dado el default,
mediante entrega de títulos emitidos por la entidad de
referencia o mediante un importe equivalente al valor de los
títulos (es lo habitual)
• En este caso la entidad emisora de los bonos ha eliminado
el riesgo de contraparte del vendedor de protección que
ahora tiene dos riesgos: el de la entidad de referencia y el
riesgo de crédito del emisor.
Angel Vilariño 346
• La remuneración de los bonos (CLN) debe
reflejar este doble riesgo. El cupón del bono
debe incluir la comisión del CDS y el coste de
financiación del emisor.
• Los bonos del CLN pueden emitirse por la
entidad o por un vehículo de propósito especial.
En este caso la liquidez generada por la emisión
se invierte en títulos de la mejor calidad.
Credit Linked Notes
174
Angel Vilariño 347
First to default swaps
• Se define una cartera de instrumentos de deuda. En total m nombres.
• El evento de crédito es el primer incumplimiento de cualquiera de los m nombres.
• Los nocionales son iguales y sea N el importe nocional común.
• El comprador de protección paga al vendedor de protección el importe del spread pactado aplicado al nocional hasta que termine el contrato sin default o hasta que se produce el evento de crédito (primer incumplimiento)
• Si se produce el evento de crédito el vendedor de protección paga al comprador el nocional N y recibe del comprador los bonos de la referencia que ha incumplido.
Angel Vilariño 348
Ejemplo First to Default (FtD)
• JP Morgan vende protección sobre cinco referencias:
Allied Domecq Plc.,Ford Motor Credit, Delphi Corp.,
Lehman Brothers Holdings Inc. y ThyssenKrupp AG, con
un spread de 362 pb por año, sobre 10 millones de
euros.
• El comprador de protección paga trimestral 10 x 3,62%
x 0,25
175
Angel Vilariño 349
Ejemplo First to Default (FtD)
• Si ocurre un evento de crédito (por ejemplo Delphi) el
vendedor de protección paga al comprador 10 millones
de euros y recibe bonos de Delphi con un importe
nominal de 10 millones de euros. El contrato termina.• Supongamos que la suma de los spreads de los cinco
CDS es 600 pb ¿Cómo se explica la diferencia entre 600 pb y los 362 pb?
• La diferencia depende de la “estructura de correlación”estimada entre los cinco nombres.
Angel Vilariño 350
Collateralised Debt Obligations(CDO)
• Cartera subyacente bonos o préstamos con riesgo, emitidos por los nombres Ci con nocionales N1, N2, ..., NI
• La cartera se transfiere a un vehículo especialmente creado para gestionar la emisión (no siempre)
• El Vehículo emite bonos con diferentes calificaciones de riesgoTramo senior nocional KS
Tramo intermedios (mezzanine), nocionales KM1 KM2
...KMJ
Equity nocional KE
176
Angel Vilariño 351
CDO
• Las primeras pérdidas van contra el tramo equity. Hasta que las pérdidas no superan a KE los otros tramos están protegidos
• Las pérdidas acumuladas que excedan a KE afectan a los tramos intermedios
• El tramo senior solo se puede ver afectado si las pérdidas superan a todos los tramos intermedios.
Angel Vilariño 352
Estructura básica
Bono 1Bono 2
….….
Bono n
TIR = 8,5%
N = 100
Tramo 1 TIR=35%Pérdidas 5%N = 5
Tramo 2 TIR=15%5%<Pérdidas< 15%N = 10
Tramo 3 TIR = 7,5%15%<Pérdidas<25%N = 10
Tramo 4 TIR = 6%Pérdidas > 25%N = 75
1º
2º
3º
4º
177
Angel Vilariño 353
Estructuras típicas
CDS100 100
80
15
5
BonosTesoro
LIBOR+ 10 pb
LIBOR + 125 pb
SPV
Angel Vilariño 354
Valoración de un CDO
• 100 nombres
• Tasa de recuperación igual para todos, R = 60%
• Probabilidades de incumplimiento iguales
• Tramos [0%, 4%], [4%, 8%], [8%, 12%], [12%, 100%],
• Horizonte cinco años
• Modelo unifactorial para generar los incumplimientos
• Coeficiente de correlación 0,2
• Simulación de Monte Carlo
178
Angel Vilariño 355
Probabilidades de incumplimiento
PD5,82%
11,31%16,47%21,34%25,92%
Angel Vilariño 356
Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 60%)
B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 2.303 440 0 0,10 2.121 776 13 0,20 1.961 828 27 0,30 1.817 872 40 0,40 1.683 897 53 0,50 1.552 913 65
179
Angel Vilariño 357
Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 40%)
B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 3.370 2.158 29 0,10 3.768 1.746 67 0,20 3.357 1.663 91 0,30 2.857 1.579 111 0,40 2.425 1.492 133 0,50 2.062 1.403 153
Angel Vilariño 358
Spread (puntos básicos) de los tramos según correlación (R = 60%) Y = t de Student
(3gl)
B BBB AAACORR 4,00 4,00 88,00 0,00 2.303 440 0 0,10 2.254 912 32 0,20 2.124 1.007 53 0,30 1.974 1.068 71 0,40 1.761 1.060 86 0,50 1.593 1.049 101
180
Angel Vilariño 359
Riesgos de los derivados
Angel Vilariño 360
Riesgos de los derivados
• Riesgos similares a cualquier otro instrumento financiero• Riesgo de mercado: Pérdidas por cambios adversos de
los precios, cuando el instrumento se negocia en mercados líquidos.
• Riesgo de crédito (contraparte): Pérdidas por la realización de eventos de crédito (quiebra, incumplimiento, reestructuración, cambio de rating a la baja, movimientos alcistas del spread)
181
Angel Vilariño 361
Riesgos de los derivados
• Riesgo de liquidez: Pérdidas por la imposibilidad de la apertura o cierre de posiciones sin un cambio relevante en los precios. Contracción de la oferta o la demanda.
• Riesgos operacionales: Pérdidas por fallos de los sistemas, personas, procesos y por causas externas.– Riesgo de modelo (muy importantes en los derivados)– Riesgos jurídicos (definición de eventos, liquidaciones,
entrega de subyacentes)
Angel Vilariño 362
Riesgo de mercado
• El precio de un instrumento derivado se puede expresar mediante una función del precio del activo subyacente (el modelo de valoración) o de un factor (cuando es función de una tasa de interés o de una tasa de cambio)
• La variación del precio del contrato es función de la variación del precio del activo subyacente o del factor subyacente.
• Los mismos métodos aplicables al cálculo del riesgo de mercado de los subyacentes se aplican a los derivados.
182
Angel Vilariño 363
Riesgo de mercado
• Las metodologías utilizadas son:– Simulación histórica– Valor en riesgo normal– Valor en riesgo normal condicional– Valores extremos– Simulación de Monte Carlo
Angel Vilariño 364
Convexidad y riesgo de mercado
El problema de la convexidad: Un instrumento financiero se dice que es convexo si la relación entre el precio del instrumento y un factor de riesgo no es lineal. Estrictamente todos los instrumentos son convexos y en la práctica lo que importa es el grado de convexidad.
En los modelos paramétricos cuando la convexidad es pequeña se utiliza la aproximación delta y cuando es grande la aproximación delta-gamma
183
Angel Vilariño 365
Convexidad
• Instrumentos poco convexos– Bonos (sin cláusulas opcionales)– Contratos a plazos (FRA, compra-venta a plazo de
bonos, acciones y divisas)– Permutas financieras
• Instrumentos muy convexos– Opciones– Bonos con cláusulas opcionales
Angel Vilariño 366
Aproximación delta
f S
Suponemos f f(S)
f precio del derivado,S precio del subyacente
f ff S f S
S S
Volatilidad
184
Angel Vilariño 367
Riesgo de mercado
derivado subyacente
subyacente S/S
derivado S/S
Riesgomercado derivado Riesgo de mercado subyacente
VaR(95%) VaR(95%)
VaR(95%) S 1,645 ˆ
VaR(95%) S 1,645 ˆ
Angel Vilariño 368
Ejemplo VaR opción de compra
S
C
S C
S 100 1.50% C 10 0.67ˆ
VaR(95%) S 1.645 100 1.645 1.50% 2.47ˆ
VaR(95%) VaR(95%) 0.67 2.47 1.65
VaR(95%) /S 2.47% VaR(95%) /C 16.5%
185
Angel Vilariño 369
Aproximación delta-gamma
22
2
Una aproximación de segundo orden es
1 ff S ( S)
2 S
es la medida de la convexidad
Angel Vilariño 370
Aproximación delta-gamma
• Cálculo de la variación del precio de una opción de
compra cuando el precio varia tres veces la volatilidad
transcurren tres días
• A) Cálculo exacto mediante el modelo de valoración B-S
• B) Cálculo mediante la aproximación delta.
• C) Cálculo mediante la aproximación delta-gamma
186
Angel Vilariño 371
Delta y gamma de la opción de compra
CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA7,95 0,5793 0,022273 8,960 24,650 27,46008PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA5,99 -0,4207 0,022273 5,038 -23,702 27,46008S E r q sigma T dias
100,00 100 4,00% 0,00% 25,00% 180d1 d2 N(d1) N(d2) 20 N(-d2)
0,20014 0,02458 0,57931 0,50980 0,42069 0,49020
Angel Vilariño 372
Nuevo precio opción de compra
CALL DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA5,34 0,4633 0,023819 8,265 19,075 26,50236PUT DELTA GAMMA THETA RHO LAMBDA8,38 -0,5367 0,023819 4,343 -29,277 26,50236
S E r q sigma T dias95,00 100 4,00% 0,00% 25,00% 180
d1 d2 N(d1) N(d2) 20 N(-d2)-0,09203 -0,26759 0,46334 0,39451 0,53666 0,60549
187
Angel Vilariño 373
Cálculo de la variación
1 0
2 2
C C(95) C (100) 5.34 7.95 2.61
C S 0.5793 ( 5) 2.90
1C S ( S) 2.90 0.5 0.022273 ( 5) 2.62
2
Angel Vilariño 374
Componentes del riesgo de crédito
Evento incumplimiento (default)
Probabilidad de incumplimiento (PD)Exposición. Importe máximo sujeto a riesgo en la fecha
de impago. Pérdida dado el incumplimiento (LGD). Porcentaje de
la exposición que finalmente se pierdeTasa de recuperación. Proporción de la exposición que
se recupera en forma de liquidez después del impago.R = 1-LGD
188
Angel Vilariño 375
Parámetros fundamentales riesgo de crédito
• Variable incumplimiento D
T
1 T PD
0 T 1 PDIncumplimiento D
fecha de incumplimiento
Angel Vilariño 376
Pérdida esperada por riesgo de crédito
• Modelo más o menos complejo según las hipótesis
T
T
T
L D EX LG D
PE E ( L ) E D EX LG D
Con independencia
PE E ( L ) E 1 E EX E ( LG D )
189
Angel Vilariño 377
Pérdida esperada
TE D 0 (1 PD) 1 PD PD
PE E L PD EX LGD
Angel Vilariño 378
Obtención de PD
• La obtención de las PD no es tarea fácil:
• 1) Obtención a partir de datos de mercado– Modelos tipo Merton (valor de la empresa)– Precios de bonos (spreads)
• 2) Obtención a partir de ratings– Ratings de agencias; Matrices de transición– Modelos internos (calibración de modelos de credit
scoring)
190
Angel Vilariño 379
Riesgo de crédito de un FRA (1)
Una entidad financiera contrata un FRA (6/12) con una
empresa (la entidad vende FRA). Los tipos de interés a
seis y doce meses son 2,50% y 2,70% respectivamente.
El tipo de interés del contrato es 4%.
Valor razonable del contrato considerando el riesgo de
crédito.
Angel Vilariño 380
Riesgo de crédito de un FRA (2)
Datos:
Empresa BB (PD = 1,12%; LGD = 50%)
Entidad AA (PD = 0,05% ; LGD = 50%)
Volatilidad forward 1,58%
191
Angel Vilariño 381
Riesgo de crédito FRA (3)
RC LRVR VR PE
Valor razonable conriesgo
Valor razonable sin riesgo Pérdida esperada
Angel Vilariño 382
El FRA como una permuta financiera
• Para el vendedor el FRA equivale a una permuta de
intereses en la que recibe fijo y paga variable.
• Si la contraparte incumple pierde la posición que tenia
en el contrato que equivale a una opción sobre el tipo de
interés con precio de ejercicio el tipo de interés fijo (es
un floor)
192
Angel Vilariño 383
Riesgo de crédito FRA (4)
BB BB
Pérdida esperada
PD Floor LGD
Floor Exposición Coste de reposición
Angel Vilariño 384
Riesgo de crédito teniendo en cuenta las dos contrapartes
RC LR
LR BB BB AA AA
AA AA
VR VR PE PE
VR PD Floor LGD PD Cap LGD
PD Cap LGD 0,05% 4.532 0,5 1,1
193
Angel Vilariño 385
Riesgo de crédito de una permuta financiera
Planteamiento similar al anterior
Se sustituye el floor o el cap por la opción
sobre el swap diferido
Angel Vilariño 386
Riesgo de crédito permuta financiera para una de las contrapartes
ni
RC LR CC
i 1
iCC
VR VR PD Opción sobre el swap diferidoen i LGD
PD Probabilidad de incumplimiento condicional
en la fecha i de la calificación crediticia CC
194
Angel Vilariño 387
Riesgos operacionales
• Control de calidad de los modelos utilizados y especialmente cuando se trata de nuevos instrumentos derivados.
• Control de calidad de los métodos utilizados para la estimación de los parámetros (volatilidades, correlaciones, probabilidades de incumplimiento, tasas de recuperación)
• Sistemas de registro de las operaciones
Angel Vilariño 388
Riesgos operacionales
• Registro de carteras de negociación y no de las operaciones individuales.
• Sistemas de recálculo y revaluación de las posiciones.
• Control interno de las posiciones, control de los límites y de las pérdidas latentes y realizadas.
• Definición de políticas, objetivos, límites, procedimientos para la autorización de nuevos instrumentos, contrapartes autorizadas.
195
Angel Vilariño 389
LOS RIESGOS
DE LOS DERIVADOS
Angel Vilariño 390
Riesgos de los derivados
• Los derivados soportan, los mismos riesgos que
los restantes instrumentos financieros y en
particular que sus subyacentes. Sin embargo
existen aspectos específicos de los derivados
que exigen una atención especial, tanto por los
gestores como por los supervisores.
196
Angel Vilariño 391
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• Para la valoración de los derivados es en muchos casos necesaria la estimación de uno o
varios inputs no observables (volatilidades,
correlaciones, tasas de interés cupón cero,…) y al no existir un único método de estimación
pueden resultar distintas valoraciones no coincidentes.
Angel Vilariño 392
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• Para la mayoría de riesgos que la entidad debe
gestionar el punto de partida es la valoración
del instrumento derivado por lo que las
debilidades en el terreno de la valoración se
trasladan al campo de la identificación,
medición, gestión y control de los riesgos.
197
Angel Vilariño 393
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• La medición del riesgo de crédito de cualquier
instrumento es una cuestión compleja, pero lo
es más en el caso de los derivados por la
naturaleza de la exposición crediticia futura,
difícil de evaluar, dado que se trata del valor del
derivado en un horizonte futuro.
Angel Vilariño 394
Exposición desconocida
• En el caso de los derivados la exposición es desconocida
dado que depende del comportamiento del activo o
activos subyacentes en la fecha de vencimiento del
contrato o también a lo largo de la la vida del derivado
para aquellos en los que la liquidación depende de la
trayectoria.
198
Angel Vilariño 395
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
Muchos derivados se negocian en mercados
OTC, en los que la liquidez no está asegurada.
La medición de los riesgos de mercado debe
tener muy en cuenta el factor de la liquidez
para no incurrir en la infravaloración de los
riesgos.
Angel Vilariño 396
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• Los riesgos operacionales son también específicamente importantes en el caso de los
derivados. Existen riesgos legales vinculados a
la interpretación y cumplimiento de los contratos, riesgos de registro y contabilización
de las operaciones y riesgos de los modelos, tanto de valoración como de medición de los
riesgos, por citar los más importantes.
199
Angel Vilariño 397
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• Según la utilización que realice una entidad de los
derivados así serán más importantes unos riesgos que
otros, y a su vez así serán los requerimientos necesarios
que debe cumplir la entidad, para la correcta gestión de
los riesgos. Es por eso muy importante que los
supervisores identifiquen con la mayor precisión que tipo
de utilización de los derivados realiza la entidad.
Angel Vilariño 398
Aspectos específicos de los riesgos de los derivados
• Es muy diferente el caso de los creadores de mercado asumiendo la función de emisores y dando liquidez al mercado, del de los intermediarios con posiciones cerradas ganando en la actividad el margen de intermediación o los riesgos soportados por usuarios finales que buscan coberturas o que toman posiciones de negociación.
200
Angel Vilariño 399
Evaluación inicial
• Para el mejor desarrollo de la actividad supervisora es
imprescindible determinar la naturaleza de las
actividades de derivados de la entidad. Para ello, una
primera etapa consiste en obtener de la dirección las
estrategias de la entidad, sus objetivos y sus planes con
respecto a derivados y también determinar cuales son
las personas clave y los responsables de la edición de la
información.
Angel Vilariño 400
• Debe analizarse el tipo y la complejidad de los
instrumentos de derivados ofrecidos y si la
entidad es activa o sólo realiza selectivamente
operaciones de mercado. Otro aspecto relevante
es si la entidad desarrolla sus propios productos.
201
Angel Vilariño 401
Tipología de las operaciones y riesgos específicos
• El supervisor debe identificar con precisión las posiciones
especulativas, de cobertura o de intermediación a partir
de la información suministrada por las entidades. Las
primeras son obviamente las que soportan mayor nivel
de riesgo de mercado pero no deben olvidarse los
riesgos específicos que soportan las operaciones de
cobertura y las de intermediación.
Angel Vilariño 402
Operaciones de negociación
• Las operaciones especulativas deben estar registradas como tales en el sistema de información de la entidad. Debe conocerse con total transparencia los datos básicos: autorización explícita del órgano competente, instrumentos financieros negociados y mercados en los que se toman esas posiciones, estrategias de especulación, volúmenes, contrapartes, medición del riesgo (mercado, contraparte, liquidez), límites vigentes para estas operaciones, resultados obtenidos y sistemas de información para estas operaciones.
202
Angel Vilariño 403
Operaciones de cobertura y documentación
• En el caso de las operaciones de cobertura los datos básicos son: autorización de la cobertura en el órgano competente según el sistema de delegaciones que tenga establecido la entidad, objetivos de la cobertura, naturaleza del instrumento cubierto, plazo de la cobertura, detalle de los instrumentos de cobertura, análisis del modo en el que se consigue la cobertura, resultados parciales antes del vencimiento de la cobertura, eficacia de las coberturas realizadas.
Angel Vilariño 404
Riesgo de mercado
• El examen supervisor debe realizarse mediante una
multiplicidad de análisis, ajustados a la complejidad de la
entidad y a los sistemas de riesgo que maneja. La
valoración de los sistemas de gestión de riesgo y los
sistemas de control puede ser realizado teniendo en
consideración el tipo de riesgo, el tipo de instrumento y
de la función o actividad de cada unidad de negocio.
203
Angel Vilariño 405
Requisitos
• El supervisor debe estar familiarizado con el tipo de
negocios de la entidad financiera, la estructura de
gestión global del riesgo, los modelos de riesgo y los
sistemas de información y control. Los supervisores
deben valorar los supuestos o hipótesis tanto cualitativas
como cuantitativas implícitas en el sistema de gestión de
riesgo y la eficacia de la entidad en el control de los
riesgos.
Angel Vilariño 406
Requisitos
• También deben evaluarse los sistemas de computación,
los sistemas de información de gestión y cualquier otra
forma de comunicación, comprobando si son adecuados
y se realizan con la precisión que corresponde a nivel de
actividad de la entidad financiera supervisada.
204
Angel Vilariño 407
Solvencia del área de control interno
• Compruebe la solvencia de la función de control
del riesgo. Para ello es necesario evaluar la
credibilidad que dentro de la entidad tiene el
área de control del riesgo.
Angel Vilariño 408
Rentabilidad del negocio y uso de los derivados
• Determine que proceso de gestión se utiliza para evaluar
la rentabilidad del negocio. Determine si este proceso
incluye medidas del rendimiento ajustadas al riesgo.
• Relación entre el riesgo asumido y los resultados
obtenidos.
205
Angel Vilariño 409
Información sobre VaR
• Obtenga los informes diarios de exposición al riesgo para el periodo de muestra deseado. Seleccione periodos de tiempo que evidencien niveles de ingresos atípicos o significativa volatilidad del precio. Evalúe las tendencias en las posiciones de riesgo a lo largo del tiempo. Discuta el nivel de las posiciones intradía con la dirección de negocio. Este análisis debe llevarse a cabo tanto de forma consolidada como por producto, moneda o cartera.
Angel Vilariño 410
• A la luz de las estrategias aprobadas, los límites de
riesgo, la cualificación de las contrapartes, las
condiciones de mercado y los ingresos obtenidos,
evalúe: Las posiciones de riesgo de un día para otro e
intradía y compárelas con los límites. Evalúe los límites
utilizados, a la vez que los volúmenes y las causas, en su
caso, por los que se han excedido esos límites.
206
Angel Vilariño 411
• Determine que los modelos de precios usados
para las actividades de derivados y su capacidad
son apropiadas para la naturaleza y volúmenes
conducidos por el negocio. Determine quién
desarrolló y mantiene el sistema de valoración y
medición de los riesgos.
Angel Vilariño 412
Agregación de los riesgos
• Determine si los sistemas de la entidad pueden agregar
la exposición al riesgo de precio de todos los productos,
mesas, sucursales y globalmente. Si el método considera
las características de los instrumentos fundamentales.
• Determine si el sistema de medición y control actúa en
tiempo real.
207
Angel Vilariño 413
Riesgo de contraparte
• El riesgo de contraparte (riesgo del crédito) está
presente en todos los contratos de instrumentos
derivados en los que exista la contingencia de recibir
futuros flujos de liquidez de la contraparte. No existe,
obviamente, riesgo de contraparte en el caso de
opciones vendidas, salvo si se trata de opciones
negociadas con el pago de la prima diferido.
Angel Vilariño 414
Riesgo de contraparte
• La gestión del riesgo de contraparte de los derivados comparte muchos aspectos
metodológicos con la gestión tradicional del
riesgo de crédito, pero existen algunos aspectos específicos muy relevante: en particular el
cálculo de la exposición de crédito.
208
Angel Vilariño 415
Entorno de control prudencial
• Un entorno de control prudencial adecuado debe incluir los siguientes elementos:
– Políticas y procedimientos escritos sobre el riesgo de contraparte.
– Metodologías escritas sobre la medición del riesgo de contraparte.
– Procesos y metodologías bien definidos para el establecimiento de límites por riesgo de contraparte.
Angel Vilariño 416
Normas y procedimientos
– Normas y procedimientos para la aprobación
de las operaciones de forma similar a lo que
se realiza en el ámbito del riesgo tradicional.
– Normas y procedimientos para el seguimiento
del riesgo de contraparte de los derivados.
209
Angel Vilariño 417
Riesgo de concentración
– Seguimiento del riesgo de concentración del riesgo de contraparte de los instrumentos derivados. Este punto es especialmente relevante dado que frecuentemente existe un alto grado de concentración entre las entidades que se ofrecen para hacer contraparte de los derivados negociados en los mercados OTC. Esta situación afecta tanto a la negociación de los derivados individuales como en el caso de las notas estructuradas que son emitidas por un relativamente reducido número de entidades.
Angel Vilariño 418
Metodologías para la medición del riesgo de contraparte
• Metodologías bien establecidas para la medición del
riesgo de contraparte. Entre estas metodologías deberá
incluirse los sistemas de calificación crediticia.
• Sistemas de información elaborados para uso de la Alta
Dirección que periódicamente permitan conocer la
evolución y magnitud del riesgo de contraparte.
210
Angel Vilariño 419
Sistemas de control interno
• Sistemas de control interno para la verificación
del cumplimiento de las normas y
procedimientos sobre la gestión, medición e
información del riesgo de contraparte.
Angel Vilariño 420
Pruebas de tensión
• Los métodos estadísticos utilizados en las medidas cotidianas de riesgo se basan en las condiciones de mercado más probables. Sin embargo los gestores deben realizar periódicamente simulaciones para analizar el comportamiento de sus carteras bajo condiciones excepcionales. La estructura para estas pruebas de tensión debe detallarse de forma muy precisa en las políticas de riesgo y debe formar parte de las metodologías para la medición de los riesgos.
211
Angel Vilariño 421
Modelización de los eventos extremos
• En el estado actual del arte de la modelización de los riesgos existen los riesgos no cuantificables, tales como los riesgos operacionales y legales, las contracciones de los mercados por pérdida de liquidez y las situaciones de incumplimiento masivo. En esos casos, y otros similares, deben diseñarse, en base a juicios que tener en cuenta las experiencias históricas, escenarios para no sólo cuantificar las posibles pérdidas si no especialmente establecer los planes de contingencia y de qué manera las posiciones podrían ser liquidadas o cubiertas.
Angel Vilariño 422
Resumen de los requisitos que tienen que cumplir las pruebas de tensión
• Las pruebas de tensión (stress testing) deben llevarse a cabo regularmente. La frecuencia del stress testing debe corresponder a las características de los riesgos de las entidades financieras. Por ejemplo, en aquellas entidades que gestionan carteras que son rebalanceadas a menudo, la prueba de tensión debe realizarse de acuerdo con esa frecuencia.
212
Angel Vilariño 423
Resultados y políticas
• Los procedimientos y responsabilidades relativas a las decisiones sobre cuando tienen que realizarse, así como la selección de los escenarios, debe estar a disposición en el manual de la dirección de los riesgos de mercado, el cual debe definir que resultados del análisis considera la política del banco como una situación alarmante, y a partir de que resultados debe realizar un plan de emergencia, así como las medidas que tomará la entidad financiera para limitar su exposición al riesgo.
Angel Vilariño 424
Rapidez de ejecución
• Los bancos y otras entidades financieras deben ser
capaces de llevar a cabo las pruebas de tensión sin
largas demoras. La información debe estar rápidamente
disponible para poder reducir posiciones ante los
cambios en la situación del mercado o ante resultados
de la prueba de tensión en los que los niveles de riesgo
no son tolerables.
213
Angel Vilariño 425
Información de los resultados de las pruebas de tensión
• Los resultados del stress testing han de ser
comunicados a la Dirección que son los que
deben decidir la exposición al riesgo de la
entidad financiera.
• Un sistema de retroalimentación adecuado debe
permitir a los responsables realizar mejoras y
modificaciones.
Angel Vilariño 426
Selección de escenarios
• Los escenarios deben describir movimientos extraordinarios del mercado, a la vez que deben ser plausibles. Si no cumplen esta doble condición los responsables en la toma de decisiones pueden no dar la importancia suficiente a los resultados del stress test y no actuar consecuentemente.
214
Angel Vilariño 427
Verosimilitud y carácter extraordinario
• Estos dos requisitos, plausibilidad y naturaleza
extraordinaria, están en conflicto, por lo que se
propone considerar escenarios con distintos
grados de movimientos extremos.
Angel Vilariño 428
Escenarios históricos
• Las entidades financieras deben considerar los escenarios históricos, y posteriormente analizar su peor escenario particular. La selección de los escenarios históricos se basa en la hipótesis sobre que crisis futuras se asemejan a crisis pasadas. Pero considerar solo estos datos no es suficiente, la búsqueda del peor escenario incluye casos que no han ocurrido, pero que pueden ser posibles. Cada entidad decidirá si esta búsqueda la hace a través de métodos sistemáticos o subjetivos.
215
Angel Vilariño 429
Perfil de riesgo
• La selección de los escenarios debe ser consistente con
el perfil de riesgo de la entidad financiera. De acuerdo
con sus estructuras, las carteras de las entidades
financieras tienen distintos riesgos y deben ser el eje
principal sobre el que gire la selección de los escenarios
ya sea a través de métodos sistemáticos o subjetivos.
Angel Vilariño 430
Vulnerabilidad a eventos extremos y contagios
• Las entidades deben determinar su vulnerabilidad ante colapsos importantes que no sean capturados mediante los modelos VaR, considerando escenarios que violen las hipótesis de estos modelos.
• La identificación de los escenarios, y en especial la búsqueda subjetiva del peor escenario, debe incumbir al mayor número posible de departamentos y a los distintos niveles jerárquicos.
216
Angel Vilariño 431
Agregación de riesgos
• En las pruebas de tensión (stress test) deben ser considerados cambios simultáneos en las distintas categorías del riesgo, ya que así se pueden revelar riesgos que de otra manera pudieran permanecer ocultos.
• Además ha de tenerse en cuenta aspectos relativos a posibles crisis de liquidez y de crédito.
Angel Vilariño 432
Revaluación de las carteras
• La prueba de tensión de las carteras que contengan opciones u otros productos cuyo valor no sea una función lineal debe realizarse mediante la reevaluación completa de la cartera. La aproximación lineal mediante el uso de las sensibilidades no es suficiente, ya que por definición miden el valor de la cartera ante pequeñas variaciones en algún factor de riesgo, por tanto, para variaciones grandes de los distintos factores la aproximación lineal del valor de la cartera mediante el uso de las sensibilidades pierde valor.
217
Angel Vilariño 433
Limitaciones de las pruebas de tensión
• El stress testing puede parecer una técnica sencilla, sin embargo, en la práctica, no es ni tan sencilla, ni tan transparente. Se basan en multitud de elecciones, como por ejemplo, los factores de estrés, sus combinaciones, la escala de valores a considerar, y el período de tiempo a analizar.
Angel Vilariño 434
Precisión de los modelos que miden el riesgo de mercado
Kupiec (1995), desarrolló una metodología de contraste en
los siguientes términos:
Tenemos una serie de datos históricos, formada por los
datos diarios del VaR de una cartera, calculado con un
nivel de confianza determinado. A partir de una fecha
inicial podemos observar, cada día, si las pérdidas de la
cartera han superado al VaR de ese día.
218
Angel Vilariño 435
Excesos
Este suceso lo llamamos “exceso”. Sea T una variable
aleatoria que es el número de días hasta que se produce el
primer exceso y sea p la probabilidad de que un día
cualquiera se produzca el suceso anterior. Bajo la
hipótesis de que las medidas diarias de VaR son
independientes, los resultados corresponden a una
secuencia de sucesos independientes tipo Bernoulli. La
probabilidad de que el primer exceso se produzca en un
período de H días viene dada por
H 1P r o b T H p (1 p )
Angel Vilariño 436
Contraste del modelo
El contraste del modelo equivale a contrastar la hipótesis
nula de que la probabilidad del exceso es igual a la
probabilidad con la que se ha construido el VaR. Kupiec
diseñó dos tests, el primero utiliza el tiempo hasta el
primer exceso y el segundo la frecuencia de excesos en un
período dado de días.
219
Angel Vilariño 437
Test del tiempo hasta que se produce el primer exceso
Para mostrar cómo trabaja este test utilizamos la
siguiente notación:
H es el tiempo hasta que se produce un exceso
p es la verdadera probabilidad cubierta por el VaR
*p es la probabilidad especificada para el cálculo del
VaR realizado, es decir 100 menos el nivel de confianza
elegido
p̂ es el estimador máximo verosímil de p, que está dado
por p̂ 1 / H
Angel Vilariño 438
Estadístico RV
Para contrastar la hipótesis nula *p p se utiliza la razón
de verosimilitud que está dada por
* * H 1 * * H 1
H 1 H 1p (1 p ) p (1 p )
RV 2ln 2lnˆ ˆp(1 p) 1 11
H H
Bajo la hipótesis nula RV se distribuye como una chi
cuadrado con 1 grado de libertad.
220
Angel Vilariño 439
Estadístico RV
Por ejemplo, supongamos que se ha calculado el VaR con
un nivel de confianza 99% por lo que *p 0.01 . Se observa
que el primer exceso ocurre a los 200 días. El estadístico
RV toma el valor
199
1990.01(1 0.01)
RV 2 ln 0.6191 11
200 200
Angel Vilariño 440
Valor crítico
El valor crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de
libertad, con un nivel de significación del 5% es 3,841, por
lo que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, se acepta
que la probabilidad con la que se calcula el VaR no difiere
de la probabilidad con la que se producen las pérdidas
extremas de la cartera.
221
Angel Vilariño 441
Aceptación y rechazo
En el Cuadro se tienen las regiones de aceptación y
rechazo de la hipótesis nula, según los valores de la
probabilidad *p . Llamando abreviadamente THPE al
tiempo hasta el primer exceso tenemos
Angel Vilariño 442
Valotes críticos
Cuadro Valores críticos para THPE
Probabilidad *p Zona de no rechazo 5%
0.005 11 H 879 0.010 6 H 439 0.015 4 H 292 0.020 3 H 219 0.025 2 H 175 0.050 H 87
222
Angel Vilariño 443
Test de la frecuencia de excesos
Un segundo test se desarrolla teniendo en cuenta el
número de excesos que han ocurrido durante un
determinado intervalo temporal.
Sea:
*p la probabilidad con la que se ha generado el VaR
n el número de días de la muestra
x el número de excesos que se han observado en los n
días
Angel Vilariño 444
Estadístico del test
El test de la hipótesis nula *p p es nuevamente la razón
de verosimilitud
* n x * x
n x x(1 p ) (p )
RV 2lnx x1n n
Bajo la hipótesis nula, RV se distribuye como una chi-
cuadrado con 1 grado de libertad.
223
Angel Vilariño 445
Ejemplo
Por ejemplo, si *p 0.01 y en una muestra de n = 510 días
observamos x = 20 excesos, el estadístico RV toma el valor
490 20
490 20(1 0.01) 0.01
RV 2 ln 25.30420 201510 510
Angel Vilariño 446
Rechazo de la hipótesis nula
En este caso se rechaza la hipótesis nula ya que el valor
crítico de una chi-cuadrado con 1 grado de libertad y nivel
de significación del 5% es 3,841. Como podemos observar
en la construcción del estadístico sería necesario un valor
de *p más alto para situar a RV dentro de la zona de
aceptación. Esto significa que el VaR está infravalorado ya
que existe una probabilidad mayor de la estimada de que
las pérdidas sobrepasen al VaR calculado.
224
Angel Vilariño 447
Aceptación y rechazo
En el Cuadro se muestran las regiones de aceptación y
rechazo de la hipótesis nula, según los valores de la
probabilidad *p y de la muestra n. Llamando
abreviadamente FE a la frecuencia de excesos tenemos
Angel Vilariño 448
Valores críticos
Cuadro Valores críticos de FE
Probabilidad *p
Zona de no rechazo, n
=255
Zona de no rechazo, n=510
Zona de no rechazo, n=1000
0.010 x<7 1<x<11 4<x<17 0.025 2<x<12 6<x<21 15<x<36 0.050 6<x<21 16<x<36 37<x<65
1
Talleres de Derivados y Productos Estructurados
Ángel Vilariño
1. Una entidad financiera emite una nota estructurada con los siguientes datos: Vencimiento: tres años Divisa: dólar de EEUU Subyacente: Índice Standard&Poor’s 500 Factor de participación: FP = 55% Precio de emisión: 100% del nominal Amortización: TA
TNRF NRI
A N N FP Max ,0NRI
NRI: Nivel de referencia inicial es el Índice Standard&Poor’s 500 en la fecha de la emisión. NRF: Nivel de referencia final es el Índice Standard&Poor’s 500 en la fecha del vencimiento. Fecha de la emisión; 14/11/2003 Fecha del vencimiento: 14/11/2006
a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja de la nota.
b) Valoración con los siguientes datos: Tipo de interés cupón cero libre de riesgo a tres años de plazo z 4,15% , volatilidad 22% , tasa de dividendos q 1,7%
2. Una nota estructurada cupón cero se emite a la par, con vencimiento al tercer año. En el vencimiento la amortización se realiza mediante la expresión:
T 0T
0
S SA N 100% min 25%;Max 0%,
S
TS es el valor del activo subyacente en el vencimiento
0S es el valor del activo subyacente en la fecha de emisión de la nota.
a) Identifique los instrumentos que generan los flujos de liquidez de la nota. b) Obtenga el valor razonable de la nota sin considerar el riesgo de contraparte
Información disponible: r = 5%, q = 3%, 20% T = 3 años
3. Una entidad financiera emite una nota estructurada al plazo de un año con las siguientes características:
2
- Paga el nominal de la nota en el vencimiento - Un único pago de intereses en el vencimiento. El importe de los intereses es
igual a N i siendo N el nominal de la nota e i el tipo de interés que está vinculado al comportamiento del precio de la acción emitida por la empresa XXX. Si la rentabilidad anual es negativa el tipo de interés es cero. Si la rentabilidad está situada entre el 0% y el 4% el tipo de interés coincide con la rentabilidad de la acción. Si la rentabilidad está situada entre el 4% y el 8%, el tipo de interés es 4%. Si la rentabilidad está situada entre el 8% y el 12%, el tipo de interés es la rentabilidad obtenida menos 4% y por último si la rentabilidad es mayor que el 12% el tipo de interés es 8%
a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja del
depósito. b) Valore el contrato suponiendo que el tipo de interés libre de riesgo es r 5% , la
tasa de dividendos de la acción es q 3% y estima la volatilidad en 23%
4. Absolute Buffer Certificate on Dow Jones EuroStoxx 50 Index Precio de emisión: 1.000 USD por certificado Fecha de emisión: 31 de mayo de 2005 Fecha de vencimiento: 31 de mayo de 2008 Subyacente: Dow Jones EuroStoxx 50 Index Precio Inicial (PI): el valor del Dow Jones EuroStoxx 50 Index el 31 de mayo de 2005 Precio Final (PF): el valor del Dow Jones EuroStoxx 50 Index el 31 de mayo de 2008 Precio Barrera Alta (PBA): 100% del Precio Inicial Precio Barrera Baja (PBB): 75% del Precio Inicial Participación Alta (PA); 100% Participación Baja (PB): 100% Divisa de liquidación: dólares EEUU Intereses: 0 Liquidación en el vencimiento: 1) Si en el vencimiento el Precio Final está por encima del Precio Barrera Alta
TPF
L 1000 PAPI
2) Si en el vencimiento el Precio Final está por debajo del Precio Barrera Alta y por encima del Precio Barrera Baja
TPB (PBA PF )
L 1000 100%PI
3) Si en el vencimiento el precio final está por debajo del Precio Barrera Baja
TPF
L 1000PI
a) Identifique los instrumentos financieros que generan los flujos de caja del
certificado b) Valoración (sin considerar el riesgo de crédito) suponiendo que el tipo de
interés cupón ero libre de riesgo es z 4% , la volatilidad 20% , la tasa de dividendos q 3%
3
5. Una entidad financiera ofrece a sus clientes un certificado de depósito a un año de plazo. El tipo de interés depende de la evolución del precio de una acción. Si en el vencimiento el precio de la acción no supera el precio de la fecha de suscripción del depósito, el tipo de interés aplicado al depósito es cero. Si la rentabilidad de la acción se sitúa entre 0 y 6% el tipo de interés será la rentabilidad alcanzada. Por último si la rentabilidad supera el 6% el tipo de interés será el 6%. Estos intereses se calculan mediante interés simple.
a) Diseñe la cartera de activos que genera dichos rendimientos. b) Calcule el valor del depósito mediante un modelo de valoración. El tipo de
interés continuo a un año es el 3,92%, la estimación de la tasa de dividendos de la acción es 2,47% y la estimación de la volatilidad es 30%.
c) ¿Qué riesgos soporta la entidad financiera? d) ¿Qué gestión debe realizar la entidad financiera para obtener un margen cierto y
cuánto es el importe del margen?
6. Una entidad financiera emite una nota estructurada que paga un tipo de interés muy superior al de mercado si el precio de una determinada acción sube y en el caso de que el precio de la acción caiga no paga intereses y amortiza la nota entregando al inversor el valor de mercado de un número x de acciones tal que en la fecha de la emisión el nominal de la nota es igual a x multiplicado por el precio de la acción. a) Diseñe la cartera de activos que genera los flujos de liquidez del depósito. b) Calcule el valor razonable de la nota estructurada mediante un modelo de valoración c) Calcule el tipo de interés ofertado para los siguientes datos: Plazo del depósito: 180 días Tipo de interés Euribor a seis meses r = 2,40% Volatilidad de la acción 25% Tasa de dividendos q = 0 Margen cierto deseado por la entidad financiera 150 puntos básicos. 0Nominal N 10.000 USD S 50 USD
7. Un certificado de depósito a 1 año de plazo se emite con el tipo de interés regido por las condiciones siguientes: El tipo de interés es igual a la rentabilidad positiva anual de una determinada acción siempre que ningún día la rentabilidad sea superior al 15% y un 3% si la rentabilidad supera algún día el 15% desde el inicio de la contratación. Intereses calculados mediante capitalización simple. Datos: Tipo de interés continuo libre de riesgo 6 %, tasa de dividendos 2%, Volatilidad 20%
a) Analice la estructura de este instrumento financiero b) Obtenga el valor razonable del contrato utilizando modelos de valoración.
8. Certificado de depósito con intereses vinculados al tipo de cambio del peso colombiano con el dólar. Un certificado de depósito a plazo de 365 días se quiere comercializar vinculando el tipo de interés al comportamiento del tipo de cambio del peso colombiano con el dólar. Si en el vencimiento el peso se ha apreciado o permanece igual, el tipo de interés es cero. Si en el vencimiento el peso se ha depreciado el tipo de interés simple es 10%. a) Diseñe la cartera de activos que genera los flujos de liquidez del depósito.
4
b) Calcule el valor razonable del certificado del depósito mediante un modelo de valoración. Tipo de cambio actual S = 2300 pesos/USD Tipo de interés continuo del peso a 365 días 7% (base, 365), tipo de interés continuo del dólar a 365 días 5% (base 365) y volatilidad del tipo de cambio 9% c) Faltando 90 días para el vencimiento del certificado de depósito se dispone de la información siguiente: tipo de cambio del peso colombiano S = 2350 pesos/USD, tipo de interés continuo a 90 días 7,5%, tipo de interés continuo del dólar a 90 días 5,50% y volatilidad del tipo de cambio 8,5%. Estime el valor razonable del depósito. d) En el vencimiento el tipo de cambio es S = 2290 pesos/USD. Obtenga el valor razonable del certificado de depósito. e) Contabilice el certificado de depósito en los libros de la entidad financiera emisora del depósito.
9. Obligaciones necesariamente convertibles en acciones. Una entidad AAA emite el 1 de julio de 20X7 obligaciones con las siguientes características: - Nominal: 3.000 millones de euros. (Emitidas a la par) - Valor nominal de la obligación: 1.000 euros. - Interés nominal: 4,5% (Se paga por años vencidos) - Vencimiento: 4 años - Al vencimiento de las obligaciones, resulta obligatoria la conversión de las mismas en acciones de la entidad A, siendo el precio de conversión 25 euros /acción y el ratio de conversión de 40 acciones ordinarias por obligación. - Tipo de interés al vencimiento (TIR) de los bonos emitidos al mismo plazo de cuatro años sin cláusula de conversión: 5,5%. - Precio actual de la acción: 23,5 euros - Estimación de la tasa de dividendos (q): 2,6% - Tipo de interés libre de riesgo: 5% a) Calcule el valor razonable en la fecha de emisión.
10. Una entidad emite una nota estructurada con las siguientes condiciones: Plazo: 3 años Intereses: cero Amortización de la nota: el valor de la amortización, TA , en la fecha de vencimiento viene dada por la expresión
0
T0
S SA Max N,N N
S
N es el nominal de la nota, S es el valor medio del precio de referencia calculado con 36 observaciones tomadas el 17 de cada mes desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento. Fecha de emisión: 17/04/20X5, Fecha de vencimiento: 17/04/20X8. Primera observación para el cálculo de la media: 17/05/20X5. Precio de referencia: Valor de cierre del índice Nasdaq 100.
0S es el precio de referencia en la fecha de emisión de la nota.
5
Valore la nota estructurada con la siguiente información: z 5% q 4% 35%
11. Enumere los diferentes motivos por los que un banco puede estar interesado en la negociación de un credit default swap en la posición de comprador de protección.
12. Enumere los diferentes motivos por los que un banco puede estar interesado en la negociación de un credit default swap en la posición de vendedor de protección.
13. Identifique todos los riesgos, bajo un punto de vista amplio, que asume el comprador de protección en un contrato credit default swap.
14. Identifique todos los riesgos, bajo un punto de vista amplio, que asume el vendedor de protección en un contrato credit default swap.
15. Un credit default swap a un plazo de cinco años se ha negociado con la prima de 60 puntos básicos pagados cada semestre. El principal es 300 millones de euros y se liquida en efectivo. Un evento de crédito ocurre después de tres años y cuatro meses de la fecha de negociación del contrato. El agente de cálculo estima que el precio del bono más barato para la entrega es el 45% del principal. Calcule los flujos de caja que el comprador de protección paga al vendedor de protección y los flujos de caja que cobra del vendedor de protección.
16. Un banco negocia un credit default swap para cubrir el riesgo de una posición larga en bonos corporativos emitidos por la empresa ABC. ¿Qué impacto tiene la posición en el credit default swap sobre la cuenta de pérdidas y ganancias? ¿Qué impacto tiene la posición en el credit default swap sobre los recursos propios regulatorios exigidos al banco? Conteste según la normativa bancaria de su país.
17. ¿Cómo puede de forma eficaz cubrir el riesgo de contraparte un comprador de protección en un contrato credit default swap?
18. Un banco A de EEUU (comprador de protección) negocia con un banco B de Francia (vendedor de protección) un CDS con una prima de 300 puntos básicos sobre bonos emitidos por una empresa holandesa en euros que A tiene en cartera. El banco B (comprador de protección) negocia con un banco C (vendedor de protección) un CDS con una prima de 200 puntos básicos sobre los mismos bonos. Suponga que se produce el evento de crédito y la liquidación se realiza en los dos casos con entrega de bonos. Identifique los riesgos de A, de
6
B y de C antes del evento de crédito. Analice los resultados para A, B y C después del evento de crédito suponiendo que los contratos se liquidan correctamente.
19. Explique los incentivos que tiene un inversor para entrar en una permuta del rendimiento total (Total return swap) como vendedor de protección.
20. Un banco entra en un contrato total return swap sobre un bono que paga un cupón del 5% con periodicidad semestral. En el contrato la empresa entra como vendedora de protección pagando LIBOR seis meses. Explique la diferencia con un contrato de permuta de intereses (swap) en la que la empresa recibe un tipo fijo del 5% y paga Libor seis meses.
21. Identifique los riesgos que asume el vendedor de protección en un contrato Total return swap.
22. Explique los incentivos de un inversor para entrar en un credit linked notes.
23. Obtenga la probabilidad de supervivencia riesgo neutral al plazo de un año de un emisor que tiene en el mercado un bono cupón cero cuyo precio es el 90% de su valor nominal. El tipo de interés cupón cero a 1 año es z = 7%. Suponga las siguientes hipótesis para la tasa de recuperación a) R = 0 b) R = 30% c) R = 70%
24. La curva de los tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana (5%). Se negocia un credit default swap, plazo tres años, con pagos semestrales. Se conocen los precios de los bonos cupón cero a los plazos relevantes. a) Determinar las probabilidades de supervivencia riesgo neutrales con la hipótesis de que la tasa de recuperación es R = 35% b) Determine la prima del crédito default swap mediante un modelo de valoración.
25. El 13/04/2008 existen bonos cupón cero cotizados de un emisor ABC a los plazos y con los precios recogidos en la Tabla. También se conocen los tipos de interés cupón cero z . Tabla
13/04/2008 B(0,i) z
15/06/2009 93,551% 5,05%21/12/2010 85,664% 5,12%02/06/2011 83,418% 5,15%
7
a) Obtenga las probabilidades de supervivencia riesgo neutrales a los plazos indicados, suponiendo que la tasa de recuperación es nula.
b) Obtenga las probabilidades de incumplimiento riesgo neutrales
26. Un banco contrata un credit default swap tomando la posición de vendedor de protección. El spread negociado es s = 250 puntos básicos, el nocional del contrato es N = 10 millones de euros, el plazo T = 2 años, los pagos trimestrales. Para la valoración del contrato el banco utiliza el modelo
n n
i
i 1 i 1
i
V s G(0,i )Q(0,i ) (1 R) G(0,i ) Q(0,i 1) Q(0,i )
y supone que Q(0,i ) e
a) Obtenga el valor de suponiendo que en la fecha de contratación el
valor del contrato es cero. Suponga R = 40% b) Un año después del inicio del contrato el spread de mercado es s = 175
pb. Obtenga el valor razonable del contrato utilizando el modelo de valoración del banco.
Datos: En la fecha inicial se supone que la curva de tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana y z = 4%. En la fecha posterior se supone que la curva de tipos de interés cupón cero libre de riesgo es plana y z = 5%.
27. Obtenga la prima de un digital default swap, pagos anuales, al plazo de cinco años, que paga el nominal del contrato en caso de default, con los datos siguientes: la curva de tipos de interés cupón cero es plana z = 4%. Un bono a seis años del emisor de referencia con cupón c = 5%, amortización a la par, cotiza con un spread s = 159 puntos básicos. La tasa de recuperación estimada es R = 45%.
Anexos
1. Capítulo 1, Una breve historia de los derivados
2. Capítulo 4, Riesgos de los instrumentos derivados.
3. El modelo canónico de valoración de opciones: Black‐
Scholes
4. Solución de la ecuación en derivadas parciales del modelo
de Black‐Scholes
5. Bibliografía seleccionada de instrumentos derivados
1
Capítulo 1 Una breve historia de los derivados1
1. Los orígenes. El comercio y el riesgo son inseparables. Desde los orígenes de la humanidad los comerciantes han tratado de aliviar y, en lo posible, eliminar, el riesgo imputable a cada estrategia para asegurarse la estabilidad en los suministros o en los precios. En los primeros tiempos, el negocio de los derivados se equiparó con las apuestas y por ello, en muchas ocasiones, estuvo condenado e incluso prohibido por considerarlo negocios puramente especulativos. Para que los derivados surjan como objeto de negociación es necesario que los activos subyacentes sean fácilmente negociables, que estén disponibles en cantidades suficientes y sujetos a variaciones en el precio. Estas variaciones (volatilidad) crean oportunidades que, por supuesto, atraen a los especuladores y arbitrajistas pero también permiten, a quienes lo deseen, cubrirse frente algún riesgo. Sin una volatilidad suficiente y un mercado líquido para los activos subyacentes es muy improbable que se hubiera iniciado la negociación de los instrumentos derivados. Aun cuando el crecimiento de los derivados se intensificó durante las décadas de 1980 y 1990 la historia registra la existencia de este tipo de contratos desde el siglo XII, con el inicio del uso de la letra de cambio y de ciertos contratos que prometían la entrega futura de mercancías al comprador. Entre 1537 y 1539 bajo el gobierno del emperador Carlos V en los Países Bajos se puso en marcha un marco legislativo que proporcionó un relevante apoyo a las transacciones financieras y comerciales en ese país. La concentración del comercio en las ciudades de Amberes y Ámsterdam dio lugar a la aparición, durante la última parte del siglo XVI, de distintos colectivos de comerciantes que negociaban precios futuros (el caso de la
1 Vilariño, A. et al (2008) , Derivados, Valor razonable, riesgos y contabilidad. Teoría y casos prácticos, Prentice Hall.
2
pimienta portuguesa y el cobre húngaro están registrados). La negociación de contratos en Ámsterdam estaba más orientada al grano y a los arenques. El caso de los contratos sobre arenques y el aceite de ballena estaban ligados a la variabilidad de las capturas de pesca y al considerable capital que se necesitaba para equipar los barcos, lo que incentivaba la creación de mecanismos de gestión del riesgo2. El comercio marítimo proporcionaba a los holandeses fletes y seguros que favorecieron las inversiones y las operaciones comerciales. El comercio con oriente dio lugar a la creación de la Compañía Holandesa de las Indias Orientales que en 1612 decretó que sus acciones solo podían liquidarse en la Bolsa de Ámsterdam. Esta medida originó la creación de un mercado de capitales en el que el riesgo y la especulación empezaron a jugar un papel cada vez mayor. A mediados del siglo XVI José de la Vega, hijo de un converso cordobés, describe, en un brillante castellano, un funcionamiento muy regular del mercado de acciones, futuros y opciones en la Bolsa de Ámsterdam3. Sus descripciones ya distinguen los horarios de contratación, los corros, las operaciones “al contado”, “a plazo”, “en firme” y las operaciones “con prima”. La negociación de los contratos a plazo y las opciones adquirieron un poderoso impulso con la creación en 1621 de la Compañía de las Indias Occidentales. Esta compañía recibió el monopolio para el comercio con África y Latinoamérica y simultáneamente el trabajo de tratar de conquistar las colonias españolas y portuguesas. Llevó dos años conseguir el suficiente capital para equipar el primer barco y durante ese periodo hay evidencias de operaciones de opciones sobre las acciones de esta compañía. 2. El siglo XVII. La especulación holandesa. Entre 1636 y 1637 hizo presa en Holanda lo que se ha venido a denominar la Tulipanmanía. Hasta esa fecha, el mercado de tulipanes era de carácter estacional realizado sobre unos bulbos que se plantaban al comienzo de la primavera y que una vez brotados al comienzo del verano se vendían para ser distribuidas las plantas. La hermosura y rareza de las flores, así como la aparición cada año de un elevado número de variedades nuevas de tulipanes, estimuló la imaginación popular y su valoración no tardó en 2 Gelderblom O. y Jonker J. “Amsterdam, cuna de los actuales futuros y opciones, 1550‐1659” En “Los Orígenes de las Finanzas” Ed. Empresa Global. Madrid 2005. 3 De la Vega, J. “Confusión de Confusiones”. Ed. Bolsa de Madrid. Madrid 1986.
3
iniciar un tradicional proceso de especulación. Cuando la demanda de bulbos de tulipanes empujó los precios al alza, los contratos de opciones comenzaron a sustituir a los contratos a plazo. Durante el año 1635 el mercado de tulipanes se había transformado desde un mercado estacional sobre algunos bulbos en particular, a una rueda de contratos de futuros y opciones con vencimientos anuales realizados sobre grandes cantidades de bulbos, clasificados por variedades y peso. El sistema se colapsó a finales de 1636 y la burbuja especulativa explotó en febrero de 1637. La falta de una organización del mercado y la dificultad para interpretar los contratos contribuyeron a empeorar la crisis. Finalmente la Corte de Holanda calificó los contratos como apuestas según el derecho romano absteniéndose de proteger a los vendedores que pretendían forzar el cumplimiento de sus contratos de ventas de bulbos de tulipán. Todavía hoy la fascinación que producen los tulipanes continúa estimulando la imaginación popular. En agosto de 2004 se creó un fondo de inversión en Holanda para financiar el desarrollo de nuevas variedades de bulbos para el comercio a plazo, los directores del fondo pidieron en septiembre de ese año una investigación policial por intento de fraude de las contrapartes4. 3. El siglo XVIII. El primer mercado organizado de futuros El primer mercado organizado de futuros se abrió en Japón a principios del siglo XVIII. La principal mercancía distribuida a lo largo de Japón en aquella época era el arroz. Este producto agrícola sufría, a menudo, fluctuaciones de precios dependiendo de una buena o mala cosecha cada año. Los comerciantes de Dojima, ciudad cercana a Osaka, diseñaron en 1730 un sistema moderno y estable de mercado a futuro, el primero en el mundo, denominado “cho‐ai‐mai” (mercado del arroz a plazo). El mercado de futuros consistía en fijar de antemano el valor del arroz para garantizar el precio a los agricultores. Este mecanismo contribuyó al suministro estable de alimentos, posibilitando la alimentación de gran cantidad de personas y favoreciendo así el crecimiento de la población japonesa. 4. El siglo XIX. Los mercados regulados en EE.UU. Al igual que en Japón, los productos agrícolas fueron los grandes impulsores del desarrollo de los mercados de futuros en EE.UU. Los
4 Het Financieele Dagblad, 1.09. 2004.
4
granjeros tradicionalmente llevaban sus cosechas al mercado una vez al año creándose en esos momentos un exceso de oferta que provocaba unos precios extremadamente bajos. En otros momentos del año, la escasez de productos provocaba en las áreas urbanas unos precios muy altos. Estas situaciones se complicaban aun mas por el hecho de que las posibilidades de almacenamiento de los productos agrícolas en las ciudades eran inadecuadas, así como porque el transporte desde las áreas rurales era difícil. A principios de 1800, aparecen los primeros contratos a plazo que trataban de cubrir el riesgo causado por la volatilidad del mercado de productos agrícolas como el maíz, el trigo y la soja. El más importante de los mercados agrícolas en los EE.UU. se aprobó en Chicago mediante una ley especial del estado de Illinois en 1859 (Chicago Board Trade) si bien existía una asociación privada que funcionaba informalmente desde 1848. Hoy en día ofrece contratos de futuros para muchos activos subyacentes, entre ellos, avena, soja, trigo, plata, bonos del Tesoro, letras del Tesoro, etc. En 1973, el Chicago Board Trade abrió un nuevo mercado, el Chicago Board Options Exchage, con el objetivo específico de negociar opciones sobre acciones cotizadas. El Chicago Exchange fue fundado en 1874 proporcionando un mercado para la mantequilla, huevos, carne y otros productos agrícolas perecederos. En 1898, los negociantes de mantequilla y huevos se retiraron de este mercado para formar el Butter and Egg Board que en 1919 cambio de nombre por Chicago Mercantil Exchange que desde el inicio ofreció contratos de futuros entre otros panceta de cerdo, vacuno vivo, porcino vivo, y desde 1982 el S&P 500 Stock Index. En 1972 se creo una división dentro del Chicago Mercantil Exchage denominada Internacional Monetary Market para negociar contratos de futuros sobre divisas, oro y sobre bonos del Tesoro. Los mercados de futuros del algodón y del café se autorizaron en Nueva York en 1870 y 1885 respectivamente. Ya en los años 1970, se fundaron otros mercados de futuros y opciones en los EE.UU. El American Stock Exchange, y el Philadelphia Stock Exchange comenzaron a negociar opciones en 1975 y el Pacific Stock Exchange en 1976. En los años 1980 se desarrollaron los mercados sobre opciones en divisas, sobre índices bursátiles y opciones sobre contratos de futuros.
5
5. El siglo XX. 5.1. El mundo académico: La hora de las matemáticas A lo largo de la historia muchas personas y entidades han negociado con derivados (i.e. opciones y futuros) pero desconocemos las bases en que se apoyaban para negociar el precio de los contratos. ¿Cómo valoraban el precio de las opciones sobre los bulbos de tulipán, del arroz o del maíz?; ¿Cómo estimaban qué importe extra sobre el precio de contado hoy había que pagar para garantizarse un precio mañana?. Lo más probable es que aquellos primeros comerciantes ignoraran una vez negociadas los cambios de valor de las opciones adquiridas o emitidas porque la clave del valor está en el “precio de la incertidumbre”, un concepto más comprensible en nuestros días que en los años de la tulipanmanía. El primer esfuerzo conocido para utilizar la racionalidad matemática, en lugar de la intuición, para valorar opciones fue realizado por Louis Bachelier en 1900, al defender en la Sorbona su tesis doctoral en ciencias matemáticas, titulada “Théorie de la speculation”, dedicada al célebre matemático y físico Poincaré, miembro del tribunal. Bachelier definió como objetivo de su tesis resolver el problema de la determinación de la ley de probabilidad de los precios de los bonos, consistente con el mercado, en un instante dado. Una vez definida esa ley, Bachelier obtuvo los precios de diversas opciones sobre los bonos emitidos por el gobierno de Francia y negociados en la Bolsa de París. Bachelier supuso que los precios verificaban la propiedad de que su variación sigue una distribución normal de incrementos independientes y de varianza proporcional al incremento del tiempo, lo que posteriormente se denominó, en el lenguaje del cálculo estocástico, movimiento browniano aritmético. Una implicación de su hipótesis es la posibilidad de que existan precios negativos, contingencia de la que Bachelier fue consciente, pero que no abordó con una hipótesis alternativa. Bachelier, en la modelización de la densidad de probabilidad llegó a una ecuación en derivadas parciales, la ecuación del calor, formalmente igual a la que Einstein encontró, en 1905, en su famoso estudio del movimiento browniano que abrió una nueva rama de la física y las matemáticas. El movimiento de las partículas de polen en el agua fue objeto de atención por el botánico inglés Robert Brown, que en 1828 describió el irregular
6
comportamiento que observaba, e intentó una explicación basada en “propiedades vitales” de las pequeñas partículas de polen. Einstein5 construyó un modelo físico‐matemático para explicar el fenómeno y contribuyó de forma decisiva a la hipótesis atomista de la materia. Las hipótesis básicas del modelo eran que el desplazamiento de las partículas entre dos instantes de tiempo era independiente de la posición anterior y que la ley de probabilidad que rige el movimiento de la partícula solo depende de la distancia temporal entre los dos instantes de tiempo, es decir las mismas hipótesis que el modelo de Bachelier. La resolución de la ecuación en derivadas parciales que sigue la función de densidad de probabilidad conduce a una ley normal. La fundamentación matemática del movimiento browniano fue realizada por Wiener6, de ahí la denominación alternativa de procesos Wiener, y posteriormente el matemático japonés Ito7 sentó las bases de las operaciones fundamentales del cálculo, diferenciación e integración, de los procesos brownianos. El denominado cálculo de Ito hoy es parte esencial de los libros y artículos de finanzas dedicados a la valoración de instrumentos financieros. En los años 50 se dio una nueva ola investigadora sobre la valoración de opciones y sobre los modelos de comportamiento de los precios de los activos financieros. En estos trabajos se hizo uso de los avances matemáticos en teoría de probabilidad y cálculo estocástico y de la aportación original de Bachelier redescubierta por Samuelson debido a una indicación recibida de Savage. En los trabajos de Samuelson8, Osborne9 y Alexander10 se abandonó la hipótesis de Bachelier sobre la variación de los precios y se sustituyó por la hipótesis de lognormalidad de los precios, lo que implica que es la variación relativa, y no la absoluta, la que sigue una distribución normal. Este cambio impide que los precios sean negativos y se ha convertido en la hipótesis canónica que actualmente se aplica en la mayoría de los modelos de valoración de opciones.
5 Einstein, A. (1905): “On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular‐Kinetic Theory of Heat”, Annalen der Physik 17 y Einstein, A. (1906): “On the Theory of Brownian Motion” Annalen der Physik 19. 6 Wiener, N. (1923): “Differential‐Space”, Journal Mathematics Physics, 2, 131‐174. 7 Ito, K. (1951): On Stochastic Differential Equations, Memoir, American Mathematical Society, vol 4. 8 Samuelson (1955): “Brownian Motion in the Stock Market”, mimeo. 9 Osborne (1959): “Brownian Motion in the Stock Market”, Operations Research, 7, 145‐173. 10 Alexander (1961): “Price Movements in Speculative Markets: Trends or Random Walks”, Industrial Management Review, 2, 7‐26.
7
Este cambio de hipótesis permitió traducir los resultados de Bachelier al nuevo contexto de lognormalidad con los trabajos de Kruizenga11, Sprenkle12 y Samuelson13. Sin embargo todavía no se había conseguido un modelo de valoración generalmente aceptado por los operadores del mercado. Fueron Black y Scholes14, por un lado, y Merton15, por otro, aunque en contacto en la fase previa a la publicación de sus respectivos artículos, los que añadieron un elemento esencial en el modelo de valoración de opciones: la condición de que una cartera compuesta por opciones y acciones en proporción tal que su variación no depende de la variación del precio del activo subyacente debe de tener el mismo rendimiento que el activo libre de riesgo. Esta condición es esencial para la valoración de las opciones, y permite eliminar la dificultad de estimar la denominada deriva del movimiento browniano que hipotéticamente rige el comportamiento del precio del activo subyacente. El modelo de Black y Scholes se convirtió rápidamente en el modelo canónico para la valoración de opciones estándar (vanilla) al ganar el favor de los operadores del mercado. El modelo aparentemente complejo, en su formulación y resolución, tiene la gran virtud de que esencialmente solo depende, como incógnita, de una variable no observable, la volatilidad de los precios del activo subyacente, lo que reduce el cálculo del precio a la estimación de la volatilidad y la negociación de los precios a una negociación de volatilidades. Los trabajos de Black, Scholes y Merton son mucho más que la solución al problema de la valoración de un determinado tipo de opciones, porque han creado una metodología de valoración de instrumentos contingentes (derivados y subyacentes). La mayoría de las denominadas opciones exóticas, que son todas aquellas que se diferencian en algún aspecto de las vanilla, se valoran bajo las mismas hipótesis del modelo de Black‐Scholes. Si en algunos casos, como las opciones asiáticas media aritmética de precios, no existe solución cerrada para la determinación del precio o es muy trabajoso obtenerla, se recurre a las técnicas de Monte Carlo para
11 Kruizenga (1956): “Put and Call Options: A Theoretical and Market Análisis”, Ph. D. Dissertation, M.I.T. 12 Sprenkle (1961): “Warrants Prices as Indicators of Expectations and Preferentes”, Yale Economic Essays, 1, 178‐231. 13 Samuelson, P.A. (1965): “Rational Theory of Warrant Pricing”, Industrial Management Review 14 Black, F. y Scholes, M (1973): “ The Theory of options and corporate liabilities”, Journal of Poltical Economy, mayo‐junio. 15 Merton, R.C. (1973) “Theory of rational option princing”, Bell Journal of Economics and Management Science, 4, primavera.
8
hallarla, pero las hipótesis de la variable o variables aleatorias, en caso de varios subyacentes, y la condición riesgo neutral, son las mismas que las del modelo canónico de Black‐ Scholes. Es cierto que han surgido ampliaciones como la inclusión de la hipótesis de volatilidad estocástica o la existencia de saltos en los movimientos de los precios de los activos subyacentes, pero a medida que el modelo intenta ser más “sofisticado” o “realista” más dificultades existen para la estimación robusta de los nuevos parámetros que se añaden al modelo original. Cox, Ross y Rubinstein16 construyeron un modelo en tiempo discreto, basado en árboles binomiales, que desde un punto de vista didáctico abarata de forma significativa los costes de aprendizaje, y tiene una gran aplicación práctica. De este modo los métodos numéricos para valorar opciones y forward exóticos se han incorporado a las metodologías de valoración por su gran flexibilidad y sencillez. Finalmente Harrison y Kreps17 y Harrison y Pliska18 demostraron en sendos trabajos la vinculación entre la metodología de valoración de opciones desarrollada por Black, Scholes y Merton y la teoría matemática de martingalas, proporcionando un enfoque operativo de una gran fertilidad. En la década de los 90 el centro de gravedad de la investigación sobre los derivados se desplazó a los instrumentos vinculados a los tipos de interés, y a partir de mediados de los 90, hasta la actualidad, a los derivados de crédito. En 1977 Vasicek19 publicó un trabajo pionero sobre la estructura temporal de los tipos de interés basándose en el modelo de Uhlenbeck y Ornstein20 que trata de una generalización del movimiento browniano analizado por Einstein. La innovación central del modelo de Vasicek es la introducción de los procesos de tipos de interés con “reversión a la media”, es decir con un comportamiento diferente al modelo de las acciones utilizado por Black, Scholes y Merton. Es conveniente señalar que el tipo de interés protagonista del modelo de Vasicek, y de casi todos los modelos posteriores es un tipo de interés no observable, el tipo de interés instantáneo en tiempo continuo. 16 Cox, J.C., Ross, S.A. y Rubinstein, M. (1979): “Option Pricing: A Simplified Approach”, Journal of Financial Economics, 7, September, 229‐263. 17 Harrison, J.M. y Kreps, D.M. (1979): “Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets”, Journal Economic Theory, 20, 381‐408. 18 Harrison, J.M. y Pliska (1981): “Martingales and stochastic integrals in the theory of continous trading”, Stochastic processes and their Applications, 11, 215‐260. 19 Vasicek, A.O. (1977): “An equilibrium characterisation of the term structure”, Journal of Financial Economics, 5, 177‐188. 20 Uhlenbeck, G.E. y Ornstein, L.S. (1930): “On the theory of the brownian motion”, Physical Review, Vol. 36, September, 1.
9
Cox, Ingersoll y Ross21 generalizaron el modelo de Vasicek introduciendo una volatilidad variable proporcional a la raíz cuadrada del tipo de interés, con lo que se resolvía la inconsistencia de posibles tipos de interés negativos en el modelo de Vasicek. A partir de estos trabajos cobró un nuevo impulso tanto la valoración de bonos como la valoración de opciones sobre bonos. Jamshidian22 halló en 1989 el precio de opciones sobre bonos cuando los tipos de interés se comportan según el modelo de Vasicek. Sin embargo los modelos no terminaban de ser satisfactorios dada la rigidez establecida sobre el comportamiento del tipo de interés. Surgieron modelos más flexibles, como los de Hull y White23, que utilizan la información suministrada por la curva de contado de los tipos de interés y el de Black, Derman y Toy24. Estos modelos se implementan mediante árboles binomiales o trinomiales y tienen la ventaja de la flexibilidad y la dificultad de la estimación o calibración de los parámetros que rigen el comportamiento estocástico de los tipos de interés futuros. Heath, Jarrow y Morton25 focalizan su atención en los tipos de interés forward instantáneos con lo que crean un modelo que es ampliamente utilizado en la valoración de instrumentos financieros vinculados a tipos de interés. A finales de los 90, entraron en escena los denominados modelos de mercado que eligen como variable del modelo los tipos de interés observables en el mercado, los tipos de interés LIBOR, frente a las anteriores aproximaciones centradas en variables no observables, los tipos de interés contado instantáneos y los tipos de interés forward instantáneos. En esta aproximación se utiliza la hipótesis de que los tipos de interés siguen una distribución lognormal, lo que permite obtener expresiones analíticas sencillas para los derivados. Una ventaja es que se simplifican las tareas de calibración de los modelos. Miltersen, Sandmann y Sondermann26 obtuvieron fórmulas para las opciones sobre bonos cupón cero, y para caps y floors. La amplia variedad de modelos existentes, de los que hemos citado solo una muestra representativa, centrándonos en
21 Cox, J., Ingersoll, J. y Ross, S. (1985): “A theory of the term structure of interest rates”, Econometrica, 53, 385‐408. 22 Jamshidian, F. (1989): “An exact bond option formula”, Journal of Finance, 44, nº 1, March, 205‐209. 23 Hull, J.C. y White, A. (1990): “Pricing interest rate derivative securities”, Review Financial Studies, 3, 573‐592. 24 Black, F., Derman, E. y Toy W. (1990): “A one‐factor model of interest rate and its application to treasury bond options”, Financial Analyst Journal, 46, January‐February, 33‐39 25 Heath, D., Jarrow, R. y Morton, A. (1992): “Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation”, Econometrica, 60, 77‐105. 26 Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D. (1997): “Closd‐form solutions for term‐structure derivatives with log‐normal interest rates”, Journal of Finance, 52, 409‐430.
10
los que han supuesto algún tipo de innovación relevante, prueba las dificultades de modelización del subyacente: la estructura temporal de los tipos de interés. No existe una metodología hegemónica como ocurre en el caso de las acciones, las divisas, los futuros e incluso las mercancías. 5.2. Derivados sobre la energía Los derivados sobre la energía agrupan a un conjunto de contratos muy heterogéneo y con distintos niveles de dificultad desde el punto de vista de la valoración. Los instrumentos negociados son formalmente los mismos que en el caso de activos financieros, es decir, forward, futuros, swaps y opciones, pero bajo esta apariencia de semejanza está debajo las dificultades de modelización de los precios de los subyacentes. Estos son esencialmente petróleo, gas natural, carbón y los derivados físicos y químicos de estos productos. Los mercados organizados son muy recientes y destacan en electricidad el mercado nórdico Nord Pool, y el Nymex en Nueva York. En cuanto a las dificultades destaca la electricidad, por sus características de bien no almacenable y también porque los flujos de liquidez asociados a las plantas de generación de energía eléctrica son muy complejos dado que se determinan mediante modelos de programación dinámica sujetos a restricciones de tipo operativo y medioambiental. Una característica común de los precios de los productos energéticos es su elevada volatilidad. En términos de orden de magnitud podemos situar la volatilidad de las divisas en un rango 10%‐20%, la volatilidad de los tipos de interés LIBOR en un rango similar, los índices bursátiles en un rango 15%‐25%, el NASDAQ en un rango 30%‐50%, mientras que la volatilidad de los precios del gas natural se puede situar entre 50%‐100%, y la electricidad27 100%‐500%. Además los precios de los productos energéticos, y especialmente la electricidad, muestran picos intradía de gran magnitud, comportamientos estacionales, reversión a la media, volatilidad claramente no constante y correlaciones entre precios cambiantes. 5.3. Derivados de crédito En la década de los noventa surgieron con gran vigor los derivados de crédito. Ya existían instrumentos que de forma limitada tenían la finalidad de mitigar o cubrir el riesgo de crédito, pero su utilización estaba
27 Mercados de Estados Unidos.
11
confinada a operaciones específicas. La historia de los derivados corre en paralelo con la historia de los riesgos y tanto la crisis asiática como la reforma de los criterios de Basilea pusieron en un primer plano la gestión del riesgo de crédito. La caída de la Bolsa de Nueva York en octubre de1987 representó un enorme incentivo para la investigación de los riesgos de mercado y la aparición de RiskMetrics fue la respuesta de la industria, con una amplia repercusión posterior en las metodologías y la regulación. Con la crisis asiática le llegó la hora al riesgo de crédito planteándose muchos interrogantes sobre los sistemas de medición y de gestión utilizados por las entidades y los reguladores. El término derivados de crédito se aplica a una amplia gama de instrumentos que de forma resumida se definen como instrumentos derivados que son idóneos para transferir, cubrir y gestionar el riesgo de crédito y que tienen sus flujos de caja asociados a determinados eventos característicos del riesgo de crédito. Dado que el riesgo de crédito se manifiesta en una multiplicidad de formas no es posible definir una única variable subyacente o un único evento. Una tipología que cubre de forma bastante completa los eventos de crédito más relevantes sobre los que se puede definir un contrato es: quiebra, suspensión de pagos, moratoria unilateral de la deuda, incumplimientos de obligaciones contractuales de pago superiores en el tiempo y en importe a determinados niveles establecidos, reestructuración unilateral de la deuda, caída del rating otorgado por una agencia de calificación, pérdidas de una cartera de instrumentos de deuda por encima de un determinado importe o porcentaje prefijado, pérdidas de una cartera de instrumentos de deuda situadas en un rango determinado, primer, segundo o enésimo incumplimiento en una cartera de instrumentos de deuda, y cambios en el spread de crédito. Ahora bien la definición contractual de lo que se entiende por un evento de crédito es negociable entre las partes por lo que puede incluir eventos no contemplados en los párrafos anteriores. Los derivados de crédito más negociados son las permutas de incumplimiento (credit default swap), después siguen a distancia otros como los primer incumplimiento (first to default), las permutas de rendimiento total (total return swaps) y otros. La valoración de los derivados crediticios está todavía en un estadio básico de desarrollo, debido a que no existe un modelo teórico lo suficientemente robusto que, a diferencia de los modelos para valorar derivados financieros, permita obtener su valor razonable y que dicho
12
valor sea aceptado como la mejor estimación de su precio por los participantes en el mercado. Esto no quiere decir que no haya modelos de valoración, sino que los modelos existentes pueden ofrecer un amplio rango de posibles estimaciones de precios para un mismo producto. Los elementos y factores que influyen en la dificultad para la valoración de los derivados de crédito son: la modelización del riesgo de crédito de los subyacentes que se utilizan en los derivados de crédito es hoy objeto de amplios debates, y los modelos disponibles se mueven, generalmente, entre una alta complejidad matemática28, y grandes dificultades tanto a la hora de estimar ciertos parámetros esenciales, como cuando se pretenden contrastar con la evidencia empírica. Sin duda, desde hace algunos años se ha generado un intenso esfuerzo de investigación, pero la complejidad del problema no permite todavía disponer de modelos generalmente aceptados. Existen al menos tres fenómenos, cuyo comportamiento influye sobre el precio de un derivado de crédito. En primer lugar, es necesario disponer de un modelo probabilístico de los eventos de crédito, o, dicho de otra forma, de la estructura temporal de las probabilidades de incumplimiento (default). En segundo lugar se necesita disponer de las tasas de recuperación dado el impago. Esta variable no ha sido objeto de tanta atención teórica como la primera, aunque existe últimamente una mayor sensibilización hacia el tema. Sin duda la opacidad es mayor en esa fase del proceso, lo que quizás haya influido en ese olvido; sin embargo, se trata de un parámetro esencial en cualquier modelo. El problema está en la capacidad actual para capturar el comportamiento de la eficacia de las recuperaciones mediante los procesos estocásticos utilizados habitualmente. La tercera variable es la estructura de dependencia entre los incumplimientos y entre los incumplimientos y las tasas de recuperación. Adicionalmente en algunos contratos también es relevante la estructura temporal de los tipos de interés y por ese motivo es necesario introducir alguna hipótesis sobre la misma. Pero aún en el caso de un derivado de crédito puro, tal hipótesis es necesaria, dada las interdependencias que pueden existir entre la estructura temporal de las probabilidades de incumplimiento, las tasas de recuperación y el comportamiento temporal de los tipos de interés.
28 Schönbucher, P.J. (2003): Credit derivatives pricing models, Wiley.
13
Un último factor que es preciso resaltar es la dificultad de estimación de los parámetros de los modelos o, dicho de otra forma, la gran variabilidad que pueden presentar los precios obtenidos mediante un determinado modelo debido a la amplitud de los intervalos de confianza de los parámetros estimados, producto de la escasa y no homogénea información muestral. 5.4. Los Derivados: control y comprensión. La quiebra de BARINGS Los derivados exponen a las entidades y personas que negocian con ellos a distintos tipos de riesgos financieros: mercado, crédito, operativos, etc. Las pérdidas, y en algún caso el colapso, de algunas entidades al utilizar derivados han estado motivadas en la mayor parte de las ocasiones por una falta de comprensión de los riesgos que conllevaban su contratación así como a la debilidad, cuando no ausencia, de unos adecuados controles y procedimientos internos. Aun cuando parece obvio, ningún consejo de administración debería autorizar la operativa con productos financieros cuyos riesgos no sean sobradamente comprendidos por todos los administradores y que además no dispongan de medios para controlar y evaluar todas las transacciones pendientes por empleados no involucrados en la gestión diaria. Lamentablemente no son pocos los casos de crisis empresariales que se han producido a partir de la utilización masiva del uso de derivados desde el inicio de los años 1990. Desde la famosa disputa en 1994 entre Procter & Gamble y Bankers Trust respecto de distintas opciones exóticas sobre tipos de interés negociadas entre ambos, inadecuadamente comprendidas por Procter & Gamble, hasta el colapso del banco inglés Barings es significativo que sea el desconocimiento de los máximos responsables y las debilidades de control los verdaderos causantes de las dificultades surgidas por negociar con derivados. Barings era el banco más antiguo de Inglaterra que tenía entre sus clientes a la Reina y a las más importantes compañías industriales británicas29. El duque de Richelieu, primer ministro de Luis XVIII, llegó a comentar que "Existen 6 grandes potencias en Europa: Inglaterra, Francia, Austria, Prusia, Rusia y los Hermanos Barings". El banco fue creado en el año 1762 por los hermanos Barings, de origen holandés, orientado inicialmente a la
29 Kuprianov, A. “Derivatives debacles: Case Studies of large losses in derivatives markets”. Federal Reserve Bank of Richmond. Economic Quartey, volume 81, sept 1995.
14
financiación del negocio de la lana pero muy rápidamente se diversificó hacia otros sectores relacionados con el comercio internacional. La historia del banco fue una sucesión de éxitos profesionales y su patrimonio inmobiliario llegó a ser una de las más importantes de Gran Bretaña. En 1803 lideró la financiación a los EE.UU. para comprar el estado de Lousiana y también ayudó a Gran Bretaña en sus guerras contra Napoleón, unas operaciones que movieron al gobierno inglés a otorgar cinco títulos nobiliarios a la familia Barings. Barings siempre había disfrutado como banco de una reputación conservadora. En 1890, debido a pérdidas millonarias en su cartera de préstamos, fue rescatado por un consorcio de bancos liderados por el Banco de Inglaterra. Un esfuerzo similar se intento a comienzos de 1995 cuando empezaron a conocerse las dificultades por las que atravesaba el banco y todavía eran dos hermanos Barings (Nicola y Peter) quienes dirigían la fundación Barings que era el principal accionista del, en esos momentos, sexto banco de negocios inglés. En 1989 Barings contrató para la oficina de Londres a Nicholas William Lesson, que previamente había trabajado como empleado de bajo nivel en una oficina de Coutts & Company, uno de los bancos de la Reina, y en la sucursal londinense de Morgan Stanley como asistente de un operador, un empleo modesto pero rico en enseñanzas acerca del mundo de las finanzas. En 1992, Barings envió a Lesson a Singapur para colaborar en la creación de una oficina de control de la sucursal en esa ciudad, que tenia pocos empleados. Lesson también se hizo cargo de transacciones de bajo margen diseñadas para obtener ganancias de las pequeñas diferencias de precios entre los contratos de futuros del índice Nikkei 225 que se negociaban tanto en Singapur como en Osaka. Estas operaciones de arbitraje no requerían mucha experiencia ni suponían mucho riesgo, otros bancos de negocios las hacían desde hacia tiempo, y no parecía necesario supervisar de cerca a Lesson, y Barings no lo hizo. Un pequeño error cometido por una empleada del departamento (vendió futuros cuando la instrucción era comprar) generó una pérdida de 30.000 dólares y Lesson intentó cubrirla apostando en el mercado de futuros. Dio resultado, y como nadie en Barings cuestionó la razón por la que había hecho estas transacciones, comenzó a especular más a menudo. Desafortunadamente no era un operador bueno, y cuanto mas se alejaba de la estrategia de arbitraje de bajo riesgo más dinero perdía. Con el
15
tiempo, las estrategias se tornaron más agresivas, realizando operaciones “a la medida” (OTC) e incluso emitiendo opciones que apostaban a que el mercado japonés se movería en un rango bajo. También perdió en estas apuestas. Lesson, gracias a un sistema de control deficiente, ocultó las pérdidas registrándolas en una cuenta especial creada en julio de 1992 (cuenta número 88888) que no estaba controlada por el resto del sistema contable de Barings. Junto a esta deficiencia, Lesson podía controlar tanto la ejecución como el registro de las operaciones debido a que sus supervisores lo habían habilitado para actuar como operador y además como jefe de control de la sucursal. Hacia finales de 1994 las pérdidas ocultadas ascendían a 285 millones de dólares, sin embargo los informes financieros indicaban que la oficina de control de Singapur había ganado 30 millones de dólares en 1994, cerca del 20 por ciento de las ganancias totales de Barings. Las operaciones de Lesson habían crecido de muy pocos contratos en sus inicios a casi la mitad del mercado de futuros Nikkei de Singapur, que suponían miles de millones de dólares en apuestas. Los administradores de Barings en Londres no sabían exactamente cómo Lesson, que tenía 28 años, les hacia ganar tanto dinero pero la recompensa en forma de bonus que le aprobaron fue de 680 mil dólares, mas de tres veces la del año anterior. A finales de 1994, Lesson había emitido decenas de miles de opciones de compra y venta sobre acciones japonesas (37.925 opciones de compra y 32.967 opciones de venta), apostando a que la volatilidad del mercado japonés no variaría mucho. Si los mercados permanecían tranquilos, las opciones no se ejecutarían y las primas cobradas permitirían a Lesson salir del precipicio. El 17 de enero de 1995 la ciudad de Kobe, situada a 500 kilómetros al oeste de Tokio, se vio afectada por un terremoto de una magnitud de 7,2 en el que perecieron 6.394 personas. Los daños se calcularon en 99.000 millones de dólares y el índice Nikei cayó más de 1.500 puntos. Cuando las posiciones en opciones de la oficina de Singapur empezaron a perder valor, Lesson dobló las apuestas en el mercado de futuros apostando a que las acciones subirían después del terremoto (compró cerca de 61.000 contratos de futuros sobre el Nikkei) . En esos momentos las posiciones de la sucursal de Singapur eran de 7.000 millones de dólares a la subida de las acciones y 22 millones de dólares por la bajada. Si las apuestas se movían un poco a su favor podría salir de la
16
situación. Cuando las acciones japonesas volvieron a caer, Lesson dio por terminadas las apuestas. El 23 de febrero de 1995, los administradores de Barings se sorprendieron al descubrir que la oficina de Singapur había perdido 1.400 millones de dólares, mas que los 660 millones de dólares a que ascendía el patrimonio del banco. Irónicamente, ese mismo día los ejecutivos de Barings fueron informados de sus bonus (680 mil $ para Lesson y 1,5 millones de $ para el presidente Peter Barings). Más sorprendente era aun que, sólo dos días antes, habían recibido un informe del VAR (Valor en riesgo. Se trata de una técnica estadística para estimar la máxima pérdida esperada de una cartera en un horizonte temporal pequeño) correspondiente al departamento de Lesson en Singapur. El informe indicaba que el VAR de la cartera de Lesson era “cero”; es decir, todas las posiciones largas de Lesson parecían estar compensadas con posiciones cortas, como, por otra parte, era lógico esperar de una operativa de arbitraje de bajo riesgo. Hasta el 6 de febrero de 1995, nadie se preguntó en Barings como eran posibles unos resultados tan brillantes con operaciones de arbitraje de bajo riesgo, mientras los resultados informados fueron ganancias y elevadas. El control interno diseñado por Barings había fracasado por completo. El 6 de marzo de 1995, el banco fue adquirido por Internacional Nederlanden Group (ING) por una libra esterlina aunque tuvo que añadir 660 millones de libras para capitalizar el banco. Poco tiempo después, la dimisión de Peter Baring acabó con 233 años de vida de un banco familiar. Algunos meses después, los nuevos administradores del banco declararon que, algunas de las personas que ocupaban puestos claves dentro de Barings, que debían ejercer un control estricto sobre los ejecutivos del banco, no tenían ni idea de los fundamentos del negocio. Lesson y su mujer abandonaron Singapur el 23 de febrero de 1995 y se instalaron en un hotel en Kuala Lumpur desde donde envió un fax a la sede social de Barings en Londres: “My sincery apologies for the predicament I have left you in. It was neither my intention nor aim for this happen”. Lesson fue detenido en el aeropuerto de Frankfort (Alemania) y extraditado a Singapur en noviembre del mismo año. En Singapur, Lesson fue declarado culpable por fraude y condenado a 6 años y medio de prisión. Lesson rehusó colaborar con las autoridades supervisoras inglesas, a menos que lo extraditaran a Gran Bretaña.
17
6. El siglo XXI.
6.1. Los Derivados sobre la energía: ENRON Enron fue presentada en numerosas ocasiones como el tipo de compañía de grandes innovaciones financieras, ejemplo de la eficiencia de las empresas de los EE.UU., modelo de la denominada Nueva Economía a finales de la pasada centuria. Por eso su quiebra sorprendió a muchos reguladores, economistas, contables, asesores de inversiones, periodistas, etc., que habían creído en la autopromoción que de ella hacían sus ejecutivos. Enron había sido un participante menor en el negocio de los gasoductos hasta que percibió el gran potencial del mercado de derivados basado en las fluctuaciones de los precios al por mayor de la energía. Los derivados energéticos son contratos de opciones utilizados para protegerse del riesgo de fluctuaciones en los precios de electricidad, gas natural y demás precios de energía. Enron se convirtió en el mayor negociante de derivados de electricidad y gas, especialmente en el mercado no bursátil30. El negocio de Enron de producción de petróleo y gas natural era mínimo, por el contrario el negocio con derivados a largo plazo sobre gas y electricidad eran la base de los resultados contables registrados por la compañía. Enron creó dos sitios en Internet (EnronOnline y Enron Energy Services) que eran las plataformas desde la que sus clientes podían negociar casi cualquier producto, pero esencialmente contratos de gas y electricidad. La compañía utilizaba la plataforma para conectar a compradores y vendedores, como una Bolsa de valores, en las que Enron actuaba de contraparte de cada transacción. Al igual que muchos negocios de la compañía, Enrononline funcionaba al margen de la regulación financiera de los EE.UU. Se consideraba exenta de cumplir las normas debido a que todas sus transacciones eran consideradas “contratos bilaterales” entre dos partes que negociaban en el sitio de Enron, y tales contratos derivados estaban desregulados. Esta operativa permitió a Enron registrar unas relevantes ganancias que permitan ocultar las perdidas en otros de sus negocios.
30 Partnoy, F. “Codicia Contagiosa”. Ed. El Ateneo. Buenos Aires 2003.
18
En esencia, las ganancias en la operativa con derivados sobre la energía procedían de su valoración. El método clave era generar curvas de futuro sobre los precios del gas o la electricidad. Por ejemplo, un operador de derivados del gas podía comprometerse a comprar gas para su entrega a las pocas semanas, meses, o incluso años. La tasa a la que un operador podía adquirir gas en un año es la tasa futura a un año, y con la que podía comprar dentro de diez años, es la tasa futura a diez años. La curva futura para un contrato específico de gas natural es simplemente una curva en la que aparecen todas las tasas futuras de todos los vencimientos. Las curvas futuras son cruciales para valorar cualquier derivado, porque permiten valorar en el momento presente un contrato con vencimiento en el futuro, de la misma manera que el tipo de interés sirve para valorar al día de hoy el dinero que se recibirá en el futuro. Como toda entidad que se dedica al negocio con derivados, Enron poseía un sistema para valorar sus derivados sobre el gas y la electricidad que utilizaba curvas a futuro para calcular el valor razonable del derivado. En algunos mercados las curvas a futuro son fáciles de obtener (v.g. curva cupón cero sobre el tipo de interés libre de riesgo) pero en otros mercados, o para determinados plazos, son fácilmente susceptibles de manipular. Para el caso de los contratos de gas, la curva a futuro a corto plazo está disponible para todo el mundo en la Bolsa de Nueva York. Cualquiera que quiera comprobar si una transacción se ha valorado correctamente, solo tiene que consultar un diario económico. Por el contrario, los contratos de gas y electricidad con periodos superiores a cinco años solo se negociaban en el mercado extrabursátil de Enron. Los modelos matemáticos diseñados para estimar estas curvas eran fácilmente manipulables, dado el tipo de hipótesis discrecionales con las que se construían y la necesidad de estimar numerosos parámetros, además de que los auditores de la compañía no los revisaron con mucho cuidado. Los auditores tomaron por buenos los datos suministrados por los modelos por lo que no podían descubrir como los operadores moviendo muy poco las curvas (tres centavos por día en muchos casos) generaban un impacto sobre las ganancias de hasta 20 millones de dólares. Enron conocía muy bien el papel de esos nuevos instrumentos en el mercado desregulado de la energía. Pero la empresa logró esconder a los inversores y reguladores su mala administración. Contabilizaba el valor total de sus transacciones como ingresos. Mientras los operadores de
19
bolsa sólo contabilizan el margen de los contratos de derivados como resultados, no el valor total de la transacción, Enron registraba todos por su valor razonable, a pesar de las dudas que su estimación presentaba. 6.2. Los derivados de crédito: Las titulizaciones de préstamos hipotecarios. Una novedad relevante a finales del siglo XX fue la creación de los fondos de titulización: reagrupar activos financieros con el fin de reasignar riesgos y obtener calificaciones crediticias más altas. Los fondos de titulización permiten a los bancos y a grandes entidades obtener liquidez vendiendo su exposición a hipotecas inmobiliarias, tarjetas de crédito y otros activos financieros y derechos de cobro (recibos por cobrar, etc.). Hasta aquellas fechas las empresas realizaban estas operaciones mediante operaciones de factoring, a través de las cuales vendían sus cuentas a cobrar, o derechos de cobro de diversa índole, a compañías especializadas (denominadas factor). Así pues, las titulizaciones son una versión moderna del factoraje. Animados por las altas calificaciones crediticias otorgadas por las agencias de rating a los bonos de titulización, los inversores comenzaron a comprar bonos que les permitan asumir los riesgos asociados con cuentas a cobrar adeudadas a los bancos y otras compañías. Una de las innovaciones mas significativas del negocio de la titulización fueron las Bonos con Colateral (Colateral Debt Obligation, o CDO por sus siglas en inglés). Las CDO incorporan varios tipos de derivados de crédito que transfieren el riesgo de crédito de las entidades originadoras de los derechos de cobro a los inversores en los bonos CDO. Mediante estas operaciones, un banco transfiere a una entidad especifica (v.g. un fondo de titulización) una cartera de activos de su propiedad (hipotecas, tarjetas de crédito, etc.). La entidad específica procede a emitir títulos respaldados por los activos transferidos y a dividir los títulos en porciones con distinto riesgo de crédito las cuales son compradas por los inversores. En un CDO sencillo las porciones se agrupan en tres clases: senior, intermedia y equity. La clase senior tiene un rendimiento superior a los bonos del tesoro, pongamos, un 0,5% más, a continuación la clase intermedia, con un rendimiento de quizás un 2% superior a los bonos del tesoro y la clase equity se paga en última instancia después del pago completo de las clases anteriores con un rendimiento no específico pero que puede ser alto (si los prestatarios de los activos transferidos pagan) o cero (si los prestatarios de los activos transferidos incumplen). Las calificaciones crediticias de los
20
bonos “agregaban valor” a los activos transferidos, al permitir a los inversores comprar sólo una parte de ellos, cosa que de otra forma no podría haber hecho. En EE.UU. el éxito de estas estructuras relajó las políticas de concesión de créditos y animó a algunas entidades financieras a transferir los préstamos más arriesgados de entre los hipotecarios (subprime) buena parte de ellos formalizados a interés variable. La baja percepción del riesgo de crédito transferido junto con los altos rendimientos ofrecidos animaron a inversores dentro y fuera de los EE.UU. (hedge fund, fondos europeos y japoneses entre ellos) a adquirir los CDO cuya valoración es muy incierta (también para las entidades más sofisticadas) y cuya liquidez es muy sensible a los cambios en el entorno económico. La subida de tipos de interés iniciada por la Reserva Federal de los EE.UU. (informalmente FED) en 2005 hizo aumentar las cuotas de intereses de los préstamos subprime referenciados a tipos interbancarios, y con ellas los incumplimientos, lo que unido a una caída en el precio de los activos reales que servían de garantía acentuó la percepción del riesgo. En la primavera de 2007 algunas entidades de crédito especializadas en préstamos subprime anunciaban dificultades para encontrar financiación adecuada y tras la quiebra de alguna de ellas los mercados interbancarios reflejaron fuertes turbulencias, con un fuerte tensionamiento de los tipos de interés y dificultades de algunas entidades para financiarse. El 15 de junio, la agencia de calificación Moody´s rebajaba la calificación de 131 fondos garantizados por préstamos subprime y anunciaba la revisión de 250 bonos de cara a una posible rebaja. El proceso de reajuste a la baja de las calificaciones crediticias del resto de agencias de calificación continuó a lo largo del verano. La liquidez de los mercados se evaporó con rapidez, suscitando dudas sobre los supuestos subyacentes en las valoraciones basadas en modelos. Conforme aumentaba el nerviosismo sobre las necesidades de financiación de los bancos, comenzó a propagarse por los mercados monetarios a corto plazo una creciente demanda de liquidez ocasionando subidas de los tipos de interés interbancarios a un día. En este entorno, el 9 de agosto tanto el Banco Central Europeo como la FED realizaron inyecciones de liquidez, a muy corto plazo, que continuaron en semanas posteriores. No obstante, ante los persistentes temores sobre la situación de liquidez a más largo plazo, la volatilidad de los tipos de interés de los mercados interbancarios permaneció anormalmente elevada hasta finales de agosto.
21
Conforme se acentuaban las turbulencias en los mercados interbancarios se registró un brusco descenso de los rendimientos de los títulos emitidos por los estados de los países industriales ante las ventas generalizadas y el abandono de los activos de riesgo por parte de los inversionistas. Mientras tanto, el abandono de los activos de riesgo se propagó a otras categorías de activos, incluidos los mercados de renta variable, testigos de pérdidas generalizadas entre la segunda quincena de julio y la misma de septiembre. A mediados de agosto, el índice Standard&Poor 500 había perdido un 8% respecto de su nivel de mayo y el Eurostoxx alrededor del 7%. Estas pérdidas anularon gran parte de las ganancias acumuladas por las bolsas estadounidenses y europeas desde comienzos de año, al tiempo que situaban los índices japoneses muy por debajo de sus niveles al cierre de 2006. Las acciones de los sectores bancario e inmobilario se vieron especialmente afectadas por las noticias adversas procedentes del mercado de la vivienda. No obstante, las caídas de los mercados bursátiles tuvieron lugar en un entorno de sólidos beneficios empresariales y con una situación macroeconómica relativamente favorable. En la fecha en que este libro se edita no existe un diagnóstico preciso de la magnitud del deterioro de las carteras hipotecarias subyacentes ni de la magnitud de la exposición al riesgo que se ha diseminado entre los inversores a través de los bonos de titulización. 7. Una Observación final La historia de los derivados también es la historia de los millones de contratos negociados que no han generado ningún sobresalto especial, salvo las normales pérdidas y ganancias obtenidas por las contrapartes o el cumplimiento de su función de instrumento de cobertura. Los acontecimientos reseñados pueden tener una cierta similitud con los accidentes de aviación, que cuando ocurren son enormes catástrofes pero que no invalidan los millones de vuelos sin incidencias. Quizás hay una diferencia importante en esta analogía y es que la aeronáutica es una técnica asentada en firmes leyes físicas y en refinados métodos experimentales, mientras que los derivados no tienen ese fundamento científico de tal modo que el denominado riesgo del modelo es muy relevante. Los modelos de valoración y medición del riesgo de los contratos derivados se construyen sobre hipótesis que en ocasiones dejan fuera elementos esenciales de la realidad, la liquidez por ejemplo, y por otra parte los modelos son muy sensibles a la estimación de parámetros
22
para los que, en muchos casos, falta la mínima información requerida. Pero la analogía comparte el hecho de que los problemas de control, seguridad, y “mantenimiento” son muy relevantes en la explicación de las catástrofes aeronáuticas y financieras.
1
Capítulo 4 Riesgos de los instrumentos financieros derivados1
1. Tipología de los riesgos de los instrumentos derivados Uno de los aspectos principales de la gestión de los instrumentos financieros derivados es la gestión de sus riesgos. Las pérdidas con derivados que han protagonizado en el pasado algunas entidades generalmente han estado asociadas a algunos de los siguientes hechos: desconocimiento o comprensión inadecuada de los riesgos de estos instrumentos por los administradores, ausencia de límites para la determinación de las exposiciones admisibles y toma de riesgos excesiva, debilidades en el conocimiento de las propiedades financieras de estos instrumentos, conocimiento parcial de los riesgos que soportan y ausencia o debilidad del control interno, lo que incluye la no delimitación e independencia de la función de control o la falta de poder real. Los riesgos más importantes a los que se enfrenta una entidad en la actividad de instrumentos financieros derivados son: a) Estratégico b) Mercado c) Liquidez d) Crédito e) Operacional f) Reputacional Los derivados soportan, por lo tanto, los mismos riesgos que los restantes instrumentos financieros (préstamos, cuentas a cobrar, depósitos, acciones, etc,) y en particular que sus subyacentes. Sin embargo existen aspectos específicos de los derivados que exigen una atención especial, tanto por los administradores, gestores, auditores y supervisores. Estos aspectos específicos se pueden resumir en los siguientes apartados:
1 Vilariño et al. (2008)
2
a) La valoración de los derivados presenta cierto nivel de complejidad, como se ha puesto de manifiesto en el capítulo 3. Para la mayoría de riesgos que la entidad debe gestionar el punto de partida es la valoración del instrumento derivado, por lo que las debilidades en el terreno de la valoración se trasladan al campo de la identificación, medición, gestión y control de los riesgos. b) La medición del riesgo de crédito de cualquier instrumento es una cuestión compleja, pero lo es más en el caso de los derivados por la naturaleza de la exposición crediticia futura, difícil de evaluar, dado que se trata del valor del derivado en un horizonte futuro. c) Muchos derivados se negocian en mercados no organizados (OTC) en los que la liquidez no está asegurada. La medición de los riesgos de mercado debe tener muy en cuenta el factor de la liquidez para no incurrir en la infravaloración de los riesgos. d) Los riesgos operacionales son también específicamente importantes en el caso de los derivados. De entre ellos los riesgos legales vinculados a la interpretación y cumplimiento de los contratos, los riesgos de registro y contabilización de las operaciones y los riesgos de los modelos, tanto de valoración como de medición de los riesgos, por citar los más importantes. e) Según la utilización que realice una entidad de los derivados así serán más importantes unos riesgos que otros, y a su vez así serán los requerimientos necesarios que debe cumplir la entidad, para la correcta gestión de los riesgos. Por ello es muy importante que los auditores y supervisores identifiquen con la mayor precisión que tipo de utilización de los derivados realiza la entidad. Es muy diferente el caso de las entidades creadoras de mercado asumiendo la función de emisores y dando liquidez al mercado, del de los intermediarios con posiciones cerradas ganando en la actividad el margen de intermediación o los riesgos soportados por usuarios finales que buscan coberturas o que toman posiciones de negociación. 1.1. Riesgo estratégico El riesgo estratégico consiste en la desviación negativa que puede darse entre los beneficios esperados de la puesta en práctica de una determinada estrategia y los resultados obtenidos. Los riesgos estratégicos
3
maduran en un medio plazo dado que los resultados no son inmediatos y cualquier estrategia digna de ese nombre necesita un determinado tiempo para implementarse y que puedan observar resultados. La operativa de derivados debe responder a una estrategia de negocio que plantea la obtención de unos determinados objetivos. Desde un punto de vista amplio pueden referirse a beneficios según las diferentes modalidades de utilización, cuota de mercado, base de clientes, diseño de productos, desarrollo de sistemas, etc. 1.2. Riesgo de mercado Los derivados soportan riesgos de mercado en el sentido de que su precio puede cambiar con un efecto adverso sobre el valor del instrumento. Los factores de riesgo que influyen sobre el valor razonable, sea el precio de mercado o el obtenido por un modelo de valoración, son muy diversos y dependen básicamente de la naturaleza de cada contrato. En los derivados sobre tipos de interés los principales factores de riesgos son los tipos de interés cupón cero, los tipos de interés de las referencias utilizadas en el contrato, las correlaciones entre los diferentes tipos de interés, pero también los desplazamientos de las curvas de tipos y los cambios de la pendiente de la curva. En los derivados sobre acciones y divisas los principales factores de riesgo de mercado son los precios de los subyacentes y las correlaciones entre subyacentes. En el caso de las opciones también son factores de riesgo los tipos de interés y los cambios en la volatilidad del subyacente. 1.3. Riesgo de liquidez El riesgo de liquidez es el riesgo de pérdidas debidas a: a) la imposibilidad de cumplir una obligación de pago por la dificultad para obtener la liquidez para reponer márgenes y garantías o, b) la imposibilidad de tomar una posición en derivados por la ausencia de mercado o por cambios muy grandes en los precios. El riesgo de liquidez está presente tanto en los mercados organizados como en los mercados OTC pero la intensidad y modalidad es diferente. En
4
los mercados organizados es más acuciante la necesidad de disponer de liquidez para reponer márgenes y entregar garantías, mientras que las tensiones y dificultades para abrir y cerrar posiciones es más frecuente en los mercados OTC. Se denomina “riesgo de liquidez de fondeo” el riesgo originado por las dificultades de financiación y “riesgo de liquidez de mercado” el riesgo originado por las dificultades para comprar y vender derivados en las condiciones habituales de precios e incluso la situación en la que los mercados se vacían de contrapartes. Los gestores deben analizar, evaluar, limitar y controlar estos dos riesgos de liquidez. Las entidades que son creadoras de mercado en mercados OTC suelen gestionar mediante coberturas dinámicas sus posiciones por lo que requieren un acceso constante a los mercados de los subyacentes y a los mercados de financiación. En este caso los riesgos de liquidez son muy altos y exigen una vigilancia muy activa. El riesgo de liquidez de mercado puede originarse por algún cambio relevante de las expectativas de los participantes en el mercado o porque los instrumentos cuya transacción se quiere realizar son exóticos y cuentan con una oferta y demanda limitada. En el caso de instrumentos estándar también puede darse el riesgo de liquidez cuando los participantes desconfían fuertemente de la calidad crediticia de las contrapartes o cuando algún incidente (v.g. incumplimiento de una liquidación, pérdidas elevadas de algún participante del mercado, etc.) ha puesto en evidencia debilidades estructurales del mercado o de las contrapartes. La evaluación de la calidad crediticia de cada entidad realizada por el mercado es un factor de primer orden para el riesgo de liquidez de la entidad. Algunos mercados OTC dependen de unas pocas contrapartes que son los que proporcionan liquidez. Basta que alguna de ellas modifique su percepción del riesgo para que el mercado sufra un evento de liquidez. Es importante para los administradores, gestores, auditores y supervisores analizar la concentración del mercado para evaluar el impacto que tal concentración puede tener en la liquidez del mercado. También el riesgo de liquidez puede manifestarse para un agente que tenga una gran cuota de mercado e intente realizar una operación de gran tamaño. En ese caso los precios son elásticos al tamaño de la operativa y los movimientos de precios afectan al resto de los miembros del mercado.
5
En los mercados organizados la exigencia de garantías (márgenes) y la reposición de márgenes es una actividad que genera riesgo de liquidez. Frente al factor positivo de atenuación e incluso en la práctica eliminación del riesgo de contraparte por la aportación de garantías, existe el riesgo de que la entidad no sea capaz de hallar la financiación necesaria o la encuentre con un coste superior al previsto. Si un participante en el mercado demanda fondos por encima de sus niveles habituales puede ser penalizado por el mercado. Las entidades deben planificar cuidadosamente las necesidades adicionales de fondos por su actividad en mercados organizados y en que medida cuentan con las capacidades adicionales de financiación a las que se pueden enfrentar, y la disponibilidad de activos líquidos para la aportación de garantías. También existen límites a la profundidad de las operaciones en los mercados organizados por lo que los gestores deben evaluar los máximos importes que sería posible negociar sin cambio apreciable en los precios ya que la liquidez en cualquier mercado es siempre limitada. También es relevante, para el riesgo de liquidez en los mercados organizados, la escala temporal de vencimientos ya que a medida que son más distantes de la fecha actual la liquidez disminuye. Son índices útiles para evaluar la liquidez del mercado el volumen de contratación en cada fecha de vencimiento y el denominado interés abierto (open interest) 1.4. Riesgo de crédito El riesgo de crédito en los instrumentos derivados es la pérdida que puede producirse por incumplimiento de la contraparte. Es muy importante la distinción del riesgo de crédito soportado en instrumentos negociados en mercados organizados del riesgo de crédito soportado en instrumentos negociados en mercados OTC. En el primer caso, suponiendo que se cumplen los requerimientos de garantías y que éstas están adecuadamente calculadas, el riesgo de contraparte se supone marginal. En el segundo caso, mercados OTC, el riesgo de crédito es relevante, aunque pueden adoptarse convenios de aportación de garantías y de compensación de pérdidas. En el caso de la aportación de garantías ha de verificarse su eficacia legal y financiera.
6
En el riesgo de crédito hay que distinguir entre la “pérdida esperada” y la “pérdida inesperada” o “pérdida extrema”. La pérdida esperada es relevante para la valoración de los instrumentos financieros derivados. Los modelos de valoración mostrados en el Capítulo 3 no contemplan el riesgo de crédito por lo que algún ajuste es necesario si se quiere tener en cuenta la contingencia de la pérdida por incumplimiento. Existen modelos para el cálculo de la “pérdida esperada” que son específicos del instrumento financiero evaluado, pero estos modelos pueden resultar muy complejos para muchos usuarios. En los casos de instrumentos forward, incluidos las permutas de intereses (swaps), con contrapartes de similar calificación crediticia la estimación de la pérdida esperada puede resultar de “pequeño” valor en términos relativos, por lo que su no inclusión no es muy grave. En estos instrumentos la pérdida esperada depende de las probabilidades de incumplimiento de cada contraparte, de la exposición y de la pérdida dado el incumplimiento de cada contraparte. En las opciones en general el riesgo de contraparte solo lo soporta el comprador de la opción, aunque existe la excepción de las opciones con el pago de la prima diferido. La evaluación de la “pérdida inesperada” por riesgo de crédito presenta una elevada dificultad y complejidad derivadas de los requerimientos de información para estimar con fiabilidad dicha pérdida. La regulación sobre bancos, aseguradores y otras entidades similares, ha optado por transformar las posiciones en derivados en el equivalente a una posición de crédito, denominada “exposición crediticia” y exigir el capital regulatorio sobre dicha exposición calculada con reglas establecidas. La “exposición crediticia” se calcula mediante la suma de dos conceptos, el costo de reposición o exposición crediticia actual y la exposición potencial futura. El costo de reposición, CR, se mide mediante CR = Max (Valor razonable, 0) y la exposición potencial futura, EPF, se define mediante el producto de valor nominal o nocional del contrato y un factor específico para cada instrumento derivado y la vida residual del contrato, es decir, EPF = f x N, valor residual. La concentración de los riesgos de contraparte debe ser especialmente vigilada y una forma de vigilancia consiste en el cálculo de una curva de concentración que permita saber el porcentaje de exposición crediticia que supone la contraparte mayor, la siguiente, y así sucesivamente.
7
Una modalidad de riesgo de contraparte que es muy relevante es el riesgo de liquidación, es decir, cuando el instrumento derivado ha llegado a la fecha de vencimiento y es conocido el importe de la liquidación pero la entrega del efectivo o de los activos se realiza en una fecha posterior. En este caso aunque el plazo remanente es cero existe un riesgo abierto que exige una adecuada gestión. En este caso la exposición es igual al importe de la liquidación. La determinación de límites para las operaciones con derivados no solo debe plantearse por las contingencias de las variaciones de los precios sino también por el riesgo de contraparte y el riesgo de concentración. Los límites deben establecerse antes del comienzo de la operativa, y las decisiones deben estar adecuadamente documentadas. Se debe aplicar el principio de que cuánto más imprecisa sea la medición del riesgo más conservador debe ser el criterio para establecer los límites. 1.5. Riesgos operacionales El abanico de riesgos operacionales es muy amplio pero vamos a referirnos únicamente a los que, a nuestro juicio, son especialmente relevantes en el caso de los derivados. i) Sistema de registro. El diseño del sistema de registro de las operaciones con derivados es una pieza clave en el ámbito del riesgo operacional. El desfase temporal entre el momento en el que se realiza una operación y el momento en el que se registra en los diferentes sistemas de la entidad es una fuente de riesgo operacional. Desde las situaciones más extremas en las que las operaciones “no llegan” al área de control interno hasta las situaciones casi óptimas en las que el registro es simultáneo para todas las áreas con responsabilidades sobre la operativa de derivados (áreas de negocio, riesgos, control interno, auditoria, contabilidad,…). Es muy relevante que el sistema de registro sea capaz de seguir la evolución de la operación a lo largo del tiempo y mantener sin agregar operaciones que tienen sentido individualmente como, por ejemplo, las estrategias de negociación o las operaciones de cobertura. También es necesario el desarrollo de una contabilidad interna para el seguimiento de los resultados de las operaciones de negociación, la medición y el control de los riesgos y el cumplimiento de los límites.
8
ii) Riesgo de modelo Tanto en el campo de la valoración de los derivados como en la medición de los riesgos, y en particular el de mercado, es práctica habitual la utilización intensiva de modelos. El riesgo operacional se genera por la discrepancia entre los resultados que proporcionan los modelos y los comportamientos observados. Esta diferencia puede estar originada por errores en las hipótesis que gobiernan los precios y/o en errores en la estimación de los parámetros de los modelos. Los modelos de valoración de opciones aceptan de forma casi universal que los precios siguen una distribución lognormal. Esta hipótesis es razonable en muchas ocasiones pero fracasa en los casos de turbulencias y crisis financieras en los que los movimientos reales de los precios son sumamente improbables respecto a la distribución de probabilidad lognormal. Estas rupturas, respecto al comportamiento previsto, hacen entrar en crisis tanto los modelos de valoración como los modelos de medición del riesgo de mercado. iii) Sistema de límites Los límites son reglas operativas de enorme trascendencia. Deben fijarse con la máxima implicación de los administradores y son, deben ser, leyes internas de obligado cumplimiento. Por eso su determinación es un proceso complejo que incluye elementos técnicos relacionados con los modelos de medición de riesgo, decisiones estratégicas sobre el grado de exposición que se supone aceptable y una componente negociadora interna para buscar el máximo consenso entre las partes implicadas (fundamentalmente áreas de negocio y áreas de control). Los riesgos operacionales se refieren a eventos que se derivan desde la ausencia de límites, errores en su determinación por defecto o por exceso, incumplimientos, deficiencias en el control interno del seguimiento del cumplimiento, falta de firmeza en la corrección de los incumplimientos, continua renegociación interna de los límites y falta de precisión en la definición de los límites. iv) Sistema de información de gestión Las funciones asociadas a la gestión de los derivados, desde un enfoque amplio de gestión, son las actividades de identificación de los factores de riesgo, la medición de los riesgos, la contabilización, el control interno, la
9
medición de la rentabilidad, la realización y el análisis de las coberturas y la realización de los planes de negocio. Todas estas funciones necesitan sistemas de información específicos según la naturaleza de cada función y según las necesidades de cada usuario de información. Los riesgos operacionales aparecen cuando existen errores, retrasos, lagunas en los diferentes sistemas de información, o cuando los informes no son utilizados adecuadamente o son realizados de forma burocrática y rutinaria. También existe el riesgo de la falta de unicidad de la información, es decir distintos centros elaborando información con datos diferentes sobre un mismo fenómeno. v) Riesgos legales El riesgo legal es una de las componentes importantes de los riesgos operacionales. En el contexto de los derivados es especialmente relevante en las transacciones de las entidades con los clientes. Hay numerosas experiencias de conflictos legales en la interpretación de los contratos cuando la liquidación es desfavorable para los clientes. También en las transacciones en los mercados mayoristas se han generado conflictos de interpretación, como por ejemplo en el segmento de los derivados de crédito, donde los contratos son complejos por la naturaleza de los eventos de crédito. Un caso conocido es el de Nomura que realizaba operaciones de negociación sobre obligaciones convertibles emitidas por Railtrack y había contratado un CDS con Credit Suisse First Boston (CSFB) para cubrirse del riesgo de crédito. En 2001 la sociedad Railtrack fue intervenida por problemas financieros. Se produjo el evento de crédito. Nomura quiso entregar a CSFB obligaciones convertibles pero el vendedor de protección no las aceptó y Nomura vendió las convertibles para comprar obligaciones de Railtrack con cupón fijo y sin opción de conversión. Esto supuso a Nomura un quebranto de 1,2 millones de libras esterlinas. Nomura llevó el caso a los tribunales (Alta Corte de Londres) y la sentencia le resultó favorable. Otros casos de riesgo legal están situados en la interpretación fiscal de los beneficios obtenidos mediante la utilización de opciones como remuneraciones a los empleados (stock options) vi) Debilidades en la capacitación de las personas relacionadas con los derivados
10
Una fuente de riesgo operacional está en los errores que se pueden originar por deficiencias en la formación y capacitación de las personas que llevan a cabo las tareas de registro, operativa de mercado, comercialización, valoración, medición de riesgos y contabilización de los derivados. La no adecuada comprensión de los instrumentos, los contratos, los modelos de valoración y riesgo son una fuente importante de riesgo operacional. También de forma más primaria el riesgo operacional está originado por la ignorancia o minusvaloración de los riesgos a los que está expuesta la entidad en el manejo de los derivados vii) Riesgos operacionales específicos de los mercados organizados Los mercados organizados ofrecen como ventaja la minimización del riesgo de contraparte, pero entre los riesgos operacionales específicos de estos mercados cabe señalar los posibles errores en la determinación de las garantías, el cumplimiento de los requerimientos de márgenes y los fallos en los sistemas de contratación y liquidación. 1.6. Riesgo reputacional En general todas las actividades económicas se sustentan en un determinado grado de confianza entre los clientes y los proveedores. En el caso de las actividades financieras este factor es especialmente relevante. La actividad realizada por un banco tanto con operaciones propias como con operaciones con clientes es generadora de riesgo reputacional. En particular la comercialización de productos estructurados que prometen a los clientes rentabilidades por encima de los tipos de interés de mercado pero con riesgo de mercado es una fuente de riesgo operacional. Si los eventos desfavorables se realizan la rentabilidad obtenida por los clientes puede ser muy inferior a la esperada e incluso negativa, es decir con un valor de la liquidación menor que la inversión inicial realizada. Estos resultados entre clientes poco informados y formados pueden generar opiniones negativas contra la entidad que dañan su reputación comercial. También las pérdidas sufridas por un banco en el manejo de los derivados, tanto por riesgo de mercado o por riesgo operacional, pueden minar la confianza de auditores, supervisores, analistas e inversores.
1
El modelo canónico de valoración de opciones: Black‐Scholes
Un contrato de opción de compra (call) sobre una acción que no paga dividendos
durante el tiempo de vida del contrato, otorga al comprador el derecho, pero no la
obligación, a comprar la acción a un precio E establecido en el contrato, denominado
precio de ejercicio, en la fecha de vencimiento del contrato. Un contrato de opción de
venta (put) sobre una acción que no paga dividendos durante el tiempo de vida del
contrato, otorga al comprador el derecho, pero no la obligación, a vender la acción a
un precio E establecido en el contrato, denominado precio de ejercicio, en la fecha de
vencimiento del contrato.
Estas opciones se denominan estándar o “vanilla” porque existen otros muchos tipos
de opciones diferentes a las anteriores, denominadas exóticas, que establecen
derechos diferentes para el comprador de los que definen las opciones estándar. En
cuanto a la fecha de ejercicio del derecho existen las opciones americanas en las que el
derecho se puede ejercitar por el comprador cualquier día hábil durante la vida de la
opción, y las opciones bermudas en las que el derecho se puede ejercitar en un
pequeño número de fechas situadas entre la fecha de emisión del contrato y la fecha
de vencimiento (también es fecha de ejercicio)
En las opciones estándar europeas la liquidación en el vencimiento, que también es el
valor de la opción en dicha fecha, se puede representar así:
Opción de compra: C(T ) Max S(T ) E ,0
Opción de venta P(T ) Max E S(T ),0
Una relación importante entre los precios de las opciones de compra y de venta se
expresa en la denominada paridad put‐call. Supongamos la existencia de dos carteras,
la primera A está formada por una acción, que suponemos no paga dividendos y una
opción de venta estándar europea y la segunda cartera B está formada por una opción
de compra estándar europea, con el mismo precio de ejercicio y vencimiento que la
2
opción de venta, y liquidez cuyo importe es el precio de ejercicio actualizado, es decir,
r(T t )Ee El valor de las carteras en el vencimiento es el mismo.
A
r(T t ) r(T t )B
V (T ) S(T ) P(T ) S(T ) max(E S(T ),0)
V (T ) C(T ) Ee e C(T ) E Max(S(T ) E ,0) E
A B
A B
Si S(T ) E V (T ) S(T ) V (T ) S(T ) E E S(T )
Si S(T ) E V (T ) S(T ) E S(T ) E V (T ) E
Las carteras deben tener el mismo valor en la fecha actual r(T t )S(t ) P(t ) C(t ) Ee
Esta ecuación es la paridad put‐call. En el caso de que los precios de mercado no la
cumplan es posible realizar arbitraje. Si la acción distribuye dividendos, denominando
q a la tasa de dividendos sobre el precio de mercado de la acción, la ecuación de la
paridad put‐call es
q(T t ) r(T t )S(t )e P(t ) C(t ) Ee
El modelo de Black‐Scholes parte de las siguientes hipótesis:
1. No existen costes de información, impuestos ni costes de transacción
2. Las transacciones se realizan de forma continua
3. Es posible adoptar posiciones largas y cortas sin restricciones de cuantía
grande o pequeña (los activos son infinitamente divisibles)
4. Es posible prestar y tomar sin limitación, al tipo de interés del activo libre de
riesgo
5. Las opciones son de tipo estándar europeas y no distribuyen dividendos en
el período de vida de la opción
6. Una cartera que no tenga riesgo obtiene el rendimiento del activo libre de
riesgo (no hay posibilidades de arbitraje)
7. El precio de la acción S verifica la ecuación diferencial estocástica
3
dS(t )
dt dW(t )S(t )
(1)
siendo y parámetros constantes, t el tiempo y dW un proceso Wiener o
movimiento browniano estándar, es decir, dW se distribuye según una variable
aleatoria normal de media cero y varianza dt
dW ~ N(0,dt ) (2)
Obsérvese que de (1) tomando esperanzas dS
E dtS
(3)
El parámetro es la esperanza de la variación relativa instantánea del precio.
Calculando la varianza en (1) 2dSVar dt
S
(4)
El parámetro 2 es la varianza de la variación relativa instantánea del precio por
unidad de tiempo.
Para calcular el precio de la opción, que es el objetivo del modelo, Black y Scholes
construyen una cartera de m acciones y de n opciones de compra. Los precios
unitarios son S y C .
La estrategia consiste en obtener las condiciones para formar una cartera sin riesgo de
acciones y opciones, y obligar a que dicha cartera, en un contexto de eficiencia
(imposibilidad de arbitraje), tenga la misma rentabilidad que el activo libre de riesgo.
El valor de la cartera es, V mC nS
El diferencial del valor de la cartera es dV mdS ndC (5)
4
El precio de la opción se supone función de S y de t, C C(S ,t ) (6)
Aplicando a la anterior el lema de Ito tenemos, 2S t SS
1dC C dS C dt C dS
2
y teniendo en cuenta (1) dS Sdt Sdz se obtiene 2 2 2dS S dt
2 2S t S
1dC SC C S dt SC dW
2
El diferencial del valor de la cartera queda,
2 2S t SS S
1dV m Sdt SdW n SC C C S dt SC dW
2
(7)
En cada instante la variación infinitesimal de la cartera tiene dos componentes. La
primera determinista es la parte del segundo miembro de la ecuación anterior que está
multiplicada por dt. La segunda aleatoria es la parte restante que está multiplicada por
dW .
2 2S t SS S
1dV m S n SC nC n C S dt (m S n SC )dW
2
Se impone la condición de que la variación del valor de la cartera carezca de riesgo
mediante la anulación del coeficiente de dB
Sm S n SC 0 Sm nC 0 (8)
Esta última ecuación expresa la relación que debe existir entre las cantidades m y n de
acciones y opciones para que la cartera carezca de riesgo. Es una condición que se debe
verificar en cada instante y como en general la derivada parcial SC dependerá al menos
de S y de t , es una condición dinámica que exigirá cambios en las cantidades de
acciones y opciones para conseguir el objetivo de una cartera sin riesgo. Sin pérdida de
5
generalidad podemos obligar a que n 1 , es decir, la posición de opciones es corta
(opción de compra vendida) y con una única opción, de donde Sm C (9)
Sustituyendo los anteriores resultados en V y en dV se obtiene,
SV C S C (10) 2 2t SS
1dV C C S dt
2
(11)
Por otra parte la cartera obtenida, libre de riesgo, debe rendir lo mismo que el activo
libre de riesgo. Como r es el tipo de interés se tiene que,
dV Vrdt (12)
Llevando (10) y (11) a (12) tenemos 2 2SS S t
1S C rSC C rC 0
2 (13)
Una ecuación en derivadas parciales (EDP) que debe verificar el precio de la opción C .
Para la integración de la ecuación tenemos las siguientes condiciones de contorno.
T TT
T
S E si S EC(S ,T )
0 si S E
(14)
1
Solución de la ecuación en derivadas parciales del modelo de Black‐
Scholes
La ecuación en derivadas parciales que rige el precio de la opción de compra sobre una
acción que no paga dividendos es:
2 2SS S t
1C S rSC C rC 0
2
con las condiciones de contorno: C(0,t ) 0 C(S(T ),T ) Max(S(T ) E ,0)
Para resolver la ecuación se efectúa el cambio de variable siguiente:
r T tC S ,t e f x,z
donde las nuevas variables x, z están definidas del modo siguiente:
2 2
2
2 Sx r ln r T t
2 E 2
22
2
2z r T t
2
Para simplificar la notación, hacemos:
2
M r2
2
2M Sx ln M T t
E
2
2
2Mz T t
El precio de la opción se puede escribir en función de las variables x, z
2
2
rz
r T t 2MC e f x,z e f x,z
Las derivadas parciales de C respecto a S y a t en función de las nuevas variables
2
C C x C z
t x t z t
2 2
2 2
x 2M z 2M
t t
2
2
C 2M C C
t x z
C C x C z
S x S z S
2
x 2M 1 z0
S S S
2
C C 2M 1
S x S
2 2
2 2 2 2 2
C C x 2M C 2M 1
S xS x S S
2
2 2 2 2 2
C 2M 2M C 2M
xx S S S
22 2
2 2 2 2 2
C 2M C C 2M
xS S x S
Sustituyendo las derivadas parciales en la ecuación 2 2SS S t
1C S +rSC C rC
20
se obtiene una nueva ecuación en derivadas parciales respecto a las variables x, z
22 2 2
2 2 2 2
S 2M C C 2M
2 xS x S
2
2 2
C 2M 2M C CrS rC 0
x x zS
Cálculo de las derivadas 2
2
C C C, ,
x z x
2
2
rz
2MC e f x,z
2
2
rz
2MC f
ex x
2
2
r2 2z2M
2 2
C fe
x x
2 2 2
2 2 2
r r r2 2z z z2M 2M 2M
2 2
C r f r fe f x,z e C e
z z z2M 2M
2 2
2 2
r r22 2 2z z2M 2M
2 2 2 2
S 2M f f 2Me e
2 xS x S
2 2
2 2
r r2z z2M 2M
2 2
f 2M 2M frSe e
x xS
2
2
r2 2 z2M
2 2
2M r fC e rC 0
x2M
Agrupando los términos según las derivadas parciales 2
2
f f f
x zx
queda:
2 2
2 2
r r2 2 2 2 2 2z z2M 2M
4 2 2 2 2
S 4M f S 2M fe e
2 2 xS x S
2 2
2 2
r r2z z2M 2M
2 2
rS2M f 2M fe e
x xS
2
2
r2 2 2 z2M
2 2 2
2M r 2M fC e rC 0
z2M
3
Simplificando queda:
2 2 2
2 2 2
r r r2 2z z z2M 2M 2M
2 2 2
2M f f 2Mr fe Me e
x xx
2 2
2 2
r r2 2z z2M 2M
2 2
2M f 2M fe e 0
x x
El coeficiente de f
x
es:
2
2
r2 z2M
2 2
2Mr 2MM e
El término 2
2 2
2Mr 2MM
es nulo.
22 2 2
2 2
2r 2r r r
2 2 2
2 2
2 2
2r 2r 1 r
2 2
2
2 2
2r 2rr 1 1 0
2
La ecuación en derivadas parciales se reduce a:
2
2
r2 2z2M
2 2
2M f fe 0
zx
2
2
f f
zx
Con las condiciones de contorno:
2T
2
S2t T x r ln
2 E
z 0
Si TSS E ln 0E
2x2T 2M
T
S xln S E e
E 2M
f x, z vale cuando t T Tf x,0 C S,T Max S E,0
Si 2x
2MTS E f x ,0 E e E
Si TS E f x,0 0
Solución de la ecuación del calor
La ecuación en derivadas parciales 2
2
f f
zx
con la condición de contorno
f x,0 g x tiene la solución (Godunov, 1978)
4
2x u
4zg u1
f x,z e du2 z
denominada integral de Poisson de la ecuación del calor.
Como para x 0 g x 0 la integral se simplifica:
22u
x u2M
4z
o
E e 1f x,z e du
2 z
Sea 2
L2M
22x u
ln x u4z
4z
o o
E e Ef x,z e du e du
2 z 2
f x,z A B
2x uln 4z
o
e eEA du
2 t
2x u
4z
o
E eB du
2 z
Cálculo de B
Se realiza el cambio de variable x u v
2 z 2
2 zdu dv du dv
2 z 2 2
2 2x u v
4z 2
222
1
vvv22
o v
2 zE e EB dv e dv
2 z 2 2
Los límites de la integral son: 1
x 2 xu 0 v
2 z 2z 2u v
2v
2x
2z
EB e dv
2
Por las propiedades de la función de distribución de la normal estándar se tiene que:
2vh2
1N h e dv
2
2v
2
h
11 N h e dv
2
xB E 1 N
2z
Y como 1 N h N h x
B EN2z
Resolviendo para las variables originales:
5
2 2
222
2
x 1 2 S= r ln r T t
2 E 22z2
2 r T t2
2S
ln r T tE 2
T t
que se denomina 2d 2B EN(d )
Cálculo de A
2x u
ln 4z
o
e eEA du
2 z
2x uln
4z
o
E 1e du
2 z
Se realiza el cambio de variable: 2 2
2
z zy x x
Mr
2
2 22
2
x u x uln u
4z 4z2 r
2
2
2
y x
zr
2
2 22
2
x u x uuln
4z 4z2 r
2
2 2y x u x u 2 y x u x u
2z 4z 4z 4z
2 2 2 22yu 2xu x u 2xu 2yu x u
4z 4z
Por otra parte, se verifica que:
22 2 2 2 2 2 2 2y x u y y x u y 2uy 2uy x u
luego se puede escribir:
222 2x u
ln y x u y4z
2x uln
4z
o
E 1A e du
2 z
22 2 u yy x
4z 4z
o
E 1e e du
2 z
Se realiza el cambio de variable: u y w du dw
2 z 2 2 z 2
2 2u y w
4z 2
2 2 2
2
1
y x ww4z 2
w
2 z dwE 1A e e
2 z 2
2 2 2
2
1
y x ww4z 2
w
Ee e dw 2
2
6
2 22
2
1
y xww
4z 2
w
1Ee e dw
2
Si u 0 1
y 2 yw
2 z 2z
2u w
2 2 2 22y x y xw4z 4z2
y
2z
1 yA Ee e dw Ee N
2 2z
El valor de y
2z es:
2
2
2
2
zx
rzy x2
2z 2z 2z2 r
2
Se ha obtenido anteriormente que:
2
2
Sln r T t
E 2xd
2z T t
22
2
2 2
2r T t
2zT t
2 r 2 r2 2
Denominamos 1 2
yd d T t
2z
2
1
Sln r T t
E 2d T t
T t
2 2
2S Sln r T t T t ln r T t
E 2 E 2
T t T t
También es necesario calcular 2 2y x
4z
2
2 2 22
2
y x z1x x
4z 4zr
2
2 4 22 2
2 22
z1 2xzx x
4zrr 22
4 2
2 22
z x1
42 rr
22
7
22 2 2 4
2 22
y x 1 2r T t
4z 4 2r
2
2 2
22
2
2 Sr ln r T t
2 E 2
2 r2
2 2T t S
ln r T t2 E 2
S
ln r T tE
S
ln r T t r T tE1 1A E e N d e SN d
S Sln r T t ln r T tE EE e E e e
S
lnE
SE e E S
E
La expresión del precio de la opción es:
r T t r T tC S , t e f x , z e A B
r T t r T t r T t r T te1 2 1 2e A B e e SN d EN d SN(d ) E N(d )
2
1
Sln r T t
E 2d
T t
2
2
Sln r T t
E 2d
T t
Se ha obtenido la fórmula de Black‐Scholes para valorar una opción estándar europea
sobre una acción que no paga dividendos.
Angel Vilariño, Bibliografía Derivados 1
Bibliografía seleccionada de Instrumentos Derivados
Bluhm, C. y Overberck, L. (2007): Structured Credit Portfolio Analysis,
Baskets&CDO, Chapman&Hall.
Brigo, D. y Mercurio, F. (2001), Interest Rate Models, Theory and Practice,
Springer.
Das, S. (2005): Credit Derivatives, CDO&Structured Credit Products, Wiley.
Haug E. G. (2006), The Complete Guide to Option Pricing Formulas, McGraw‐Hill.
2ª edición.
Hull, J. (2002), Introducción a los Mercados de Futuros y Opciones, Prentice Hall.
Hull, J. (2006), Options, Futures and other derivatives.6ª ed. Prentice‐Hall.
Jarrow, R. (2002), Modeling Fixed‐Income Securities and Interest Rate Options,
Stanford University Press.
Kolb, R.W. (1997), Futures, Options, & Swaps. Blackwell.
Neftci, S. (1996), Mathematics of Financial Derivatives. Academic Press.
O’Kane, D. (2008): Modelling single‐name and multi‐name Credit Derivatives,
Wiley.
O’Kane, D. y Turnbull, S. (2003): “Valuation of Credit Default Swaps”, Lehman
Brothers, Fixed Income Quantitative Credit Research, April.
Vilariño A. Pérez, J. García, F. (2008), Derivados. Valor razonable, riesgos y
contabilidad. Teoría y casos prácticos, Prentice Hall.
Zhang, P. G. (1998), Exotic Options, A Guide to Second Generation Options, World
Scientific.
Top Related