Valuación de Opciones ( Modelo Black Scholes)

7/23/2019 Valuacin de Opciones ( Modelo Black Scholes)

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Unidad 2:

VALUACION DE OPCIONES BAJO EL

MODELO DE BLACK - SCHOLES

Profesor: Alejandro Daz Ramos

Escuela de Ingeniera ComercialUniversidad de Atacama


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Modelo Black - Scholes

En el ao 1997, los economistas Robert Merton yMyron Scholes; ganaron el Premio Nobel deEconoma, por sus aportaciones respecto a un

modelo que permita determinar el valor deopciones financieras.

Con este modelo, se introducen el clculo

estocstico, permitiendo que el comportamiento delos precios fuese descrito en lenguaje deprobabilidad.

Finanzas Estratgicas Profesor: Alejandro Daz Ramos


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El modelo B-S permite calcular el valor actual deuna opcin europea, de compra (call) o venta(put), sobre acciones en una fecha futura,

siempre que la accin NO PAGUE DIVIDENDOS.

Donde:

=

= ()



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y

=

ln( ) + + 2

=ln( ) + (

2)

Por lo tanto

=



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N(X)= funcin de probabilidad acumulativa para

una variable normal estandarizada.

S0

= precio spot de la accin.

K = precio de ejercicio.

r = tasa libre de riesgo con capitalizacin

continua.T= tiempo al vencimiento.

= volatilidad del precio de la accin.



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Modelo BlackScholes: Ejemplo

El precio de una opcin seis meses antes del

vencimiento de una opcin es de $42, el precio

de ejercicio de la opcin es de $40, la tasa libre

de riesgo es de 10% anual y la volatilidad es de20%.

Es decir:

= 42; = 40; = 0,1; = 0,2; = 0,5



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=ln(42 40) + 0,1 + 0,2 2 0,5

0,2 0,5= 0,7693

=ln(42 40) + (0,1 0,2 2)0,5

0,2 0,5= 0,6278



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Utilizamos los valores de tabla, para unadistribucin normal.



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Tabla de valores de N(X),

cuando x>=0


Tabla de valores de N(X),

cuando x=


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= 42 0,779 40,,0,7341 = 4,7861

= 40 (,,) 0,2650 42 0,2221 = 0,7543



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Con lo anterior, en el caso del inversionista quetoma una posicin larga en opcin de compra, elprecio de mercado de la accin debera aumentar

en $2,7861 (K=40), para que el inversionistatermine sin prdidas.

Del mismo modo, el precio de la accin debe bajar

en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista quetom una posicin larga en una opcin de ventatermine en equilibrio.



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Con lo anterior, en el caso del inversionista quetoma una posicin larga en opcin de compra, elprecio de mercado de la accin debera aumentar

en $2,7861 (K=40), para que el inversionistatermine sin prdidas.

Del mismo modo, el precio de la accin debe bajar

en $2,7543 (S0 = $42) para que el inversionista quetom una posicin larga en una opcin de ventatermine en equilibrio.



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Modelo BlackScholes (Con

dividendos)

Cuando la empresa paga dividendos, la

valuacin de la opcin se debe ajustar por este

pago.

Fecha ex dividendo: fecha en que se anuncia el

pago de dividendo por accin. En un mercado

eficiente, el precio de la accin deber disminuir

en la misma cantidad del dividendo anunciado.



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dividendos)

Eficiencia de mercado: Grado en que el precio

de la accin incorpora la informacin respecto a

la empresa y sus expectativas.

La eficiencia de mercado se puede presentar en

3 niveles.



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dividendos)

Eficiencia dbil: los precios reflejan la

informacin contenida en los precios pasados.

Ningn inversionista puede obtener excesos

de retorno (sobre la media del mercado)basndose en informacin histrica (anlisis

tcnico).



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dividendos)

Eficiencia semi fuerte: los precios reflejan la

informacin histrica y adems la informacin

pblica relacionada con la empresa (por ej.

Estados financieros o hechos relevantes). Eneste caso ningn inversionista podr obtener

retornos excesivos o anormales, con el uso de

la informacin pblica disponible.



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dividendos)

Eficiencia fuerte: los precios reflejan la

informacin histrica, la informacin pblica

disponible, y adems informacin privada

(privilegiada) respecto al emisor. Ningninversionista puede obtener retornos

anormales con el uso de la informacin

privilegiada.



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dividendos)

El modelo B-S asume que el mercado presenta

una eficiencia semi-fuerte, por lo tanto se

considera que el anuncio de pago de dividendos,

se incorpora al precio de la accin mediante unabaja en el precio de la misma.



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dividendos): ejemplo.

Considere una opcin de compra sobre una accincon fechas ex dividendo en 2 y 5 meses. Se esperaque el dividendo sea de $0,5. El precio actual de la

accin es de $40, el precio de ejercicio es de $40, lavolatilidad del precio de la accin es de 30% anual,la tasa de inters libre de riesgo es de 9% anual, yel tiempo al vencimiento es de 6 meses.

A cunto asciende el precio de la opcin decompra?



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Primero: calculamos el valor presente de los

dividendos.

= 0,5,/ + 0,5,/ = 0,9741

Por lo tanto, el precio de la accin debera

disminuir en $0,9741



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Por lo tanto:= 40 0,9741 = 39,0259 = 40 = 0,09, = 0,3; = 0,5

=

ln(39,0259 40) + 0,09 + 0,3 2 0,5

0,3 0,5 = 0,2017

=ln(39,0259 40) + (0,9 0,3 2)0,5

0,3 0,5= 0,0104



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Por tabla

= 0,2017 =0,5793 + 0,5832

2

= 0,58125

= 0,0104 =0,4960 + 0,4920

2 = 0,494



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Finalmente, valorizamos la posicin larga en una

opcin de compra (call):

=

= 39,0259 0,58125 40,,0,494

= $3,79


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