Universidad Abierta y a Distancia de México
Cálculo integralUnidad 3. Métodos de integración
Julio César Hernández Cruz al115033872012, Desarrollo de software
Actividad 7. Resolución de integrales
1. Evalúa las siguientes integrales.
∫1
x3−8dx
x3−8=(x−2)( x2+2 x+4)1
( x−2)(x2+2 x+4)=
Ax−2
+Bx+C
x2+2 x+4=A( x2+2 x+4)+(Bx+C)( x−2)=Ax2+A2 x+A4+Bx2−B2 x+Cx−C2
=(A+B) x2+(A2−B2+C )x+(A4−C2)
A +B =0 A=−BA2 −B2 +C =0 C=B2−A2=B2+B2=B4
A4 −C2 =1 −B4−(B4)2=1 B=−112
A=112
C=−412
x2+2 x+4= x2+2 x+4−3+3=x2+2 x+1+3=( x+1)2+3
∫ 1x3−8
dx=112
∫ 1x−2
dx−112
∫ x( x+1)2+3
dx−412
∫ 1( x+1)2+3
dx
∫ x( x+1)2+3
dx=∫ x+1−1( x+1)2+3
dx
=112ln∣x−2∣−
112
∫ x+1(x+1)2+3
dx+112
∫ 1(x+1)2+3
dx−412
⋅1√3tan−1( x+1√3 )
=112ln∣x−2∣−
112
⋅12ln∣(x+1)2+3∣+ 1
12⋅1
√3tan−1( x+1√3 )− 4
12⋅1
√3tan−1( x+1√3 )
=112ln∣x−2∣−
124ln∣(x+1)2+3∣− 3
12⋅312
tan−1( x+1√3 )=112ln∣x−2∣−
124ln∣x2+2 x+4∣−√ 3
12tan−1( x+1√3 )+c
(1)
∫ 1+ex
1−exdx
∫ 1+e x
1−e xdx=∫ 1+e
x+e x−ex
1−exdx=∫ 1−e
x+2e x
1−e xdx=∫ dx+2∫ ex
1−exdx
u=1−e x du=−ex
=x−2 ln(1−e x)+c
(2)
∫ ln (1+ x2)dx
u=ln (1+ x2) dv=dx
du=1
1+ x22 x v=x
∫ ln (1+ x2)dx=ln(1+x2) x−∫ x2 x
1+x2dx=x ln(1+x2)−2∫
x2
1+ x2dx
x2
1+x2=x2+1−1
1+ x2=1−
1
1+x2
=x ln (1+ x2)−2 x+2tan−1(x )+c
(3)
∫ sin(√ax )dx
√ax=√a √ x u=√ax du=√a2√x
∫sin(√ax)dx=∫sin (√ax) √a2√ x
⋅2√ x √a(√a)
2 dx=2
(√a)2∫√a √ x sin (√a√ x ) √a
2√ xdx
2a∫√a√ x sin(√a √ x) √a
2√xdx=
2a∫u sin (u)du
s=u s '=du t '=sinu t=−cosu
∫ u sin u du=−ucosu+∫cos udu=−ucos u+sin u
=2a
(−√ ax cos(√ax )+sin(√ax))+c
(4)
∫(cosh x+sec x )dx
cosh ( x)=e x+e−x
2 ∫ sec x dx=ln∣sec x+ tan x∣ ∫eax=1aeax
∫(cosh x+sec x )dx=∫ ex+e−x
2dx+∫ sec x dx=∫ 1
2e x+∫ 1
2e−x+∫ sec x dx
=12e x−
12e−x+ ln∣sec x+tan x∣+c
(5)
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