INSTITUTO TECNOLOGICO DE CANCUN
INGENIERIA CIVIL
CALCULO DIFERENCIAL
LMITES Y CONTINUIDAD
ROMN ALEJANDRO SOTO MORA
11530498
DOCENTE: ING. JAVIER PACHECO HIPOLITO
FECHA DE ENTREGA: 17 DE OCTUBRE DE 2011
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INDICE
INTRODUCCION LIMITE LIMITE DE UNA SUCESION LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL CALCULO DE LMITES PROPIEDADES DE LOS LMITES LIMITES LATERALES LIMITES INFINITOS Y AL INFINITO ASNTOTAS FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO TIPOS DE DISCONTINUIDADES ANEXO BIBLIOGRAFIA
III IV 5 6 9 12 14 15 17
20 23 26 33
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INTRODUCCION
El concepto de lmite forma parte de la educacin en la totalidad de las escuelas de ingeniera. Es la puerta de entrada al anlisis diferencial e integral, y, desde siempre, su enseanza no deja de preocupar a profesores que ven cmo fracasan sus intentos para que nosotros los alumnos comprendamos su significado, y cmo esta enseanza, en muchas ocasiones, se acaba reduciendo a un conjunto de clculos que tienen poco sentido. Bsicamente la pregunta es sta: Qu le pasa a la funcin cuando se acerca a alguna constante ? Existen variaciones
de este tema, pero la idea bsica es la misma en muchas circunstancias. En este texto analizaremos diferentes conceptos de lmite, estudiando ejemplos, graficas y tablas. Su objetivo es ensear a los alumnos que, como yo, estn empezando sus estudios superiores; a los ingenieros, profesores e investigadores no les enseara nada.
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LIMITEEl concepto de lmite es primordial para muchos problemas en la ingeniera. Bsicamente, la pregunta es sta: Qu le pasa a la funcin cuando x se
acerca a alguna constante c? Existen muchas variaciones, diferentes versiones con cada autor, pero la idea bsica es la misma en muchas circunstancias. Una situacin que conduce al concepto de lmite segn Purcell (2007): Podemos determinar reas de rectngulos y tringulos por medio de formulas de geometra; pero, qu hay de regiones con fronteras curvas, como un circulo? Arqumedes tuvo esta idea hace ms de 2000 aos. Imaginemos polgono
regulares inscritos en un crculo, como se muestra en la figura 1.
Figura 1
Arqumedes determino el rea de un polgono regular con n lados, y tomando el polgono cada vez con ms lados fue capaz de aproximar el rea de un crculo a cualquier nivel de precisin. En otras palabras, el rea del circulo es el lmite de las reas de los polgonos inscritos cuando n (el numero de lados del polgono) aumenta tanto como se quiera.
Como se dijo anteriormente, sta es una situacin que conduce al concepto de lmite. Existen muchos y se estudiaran a lo largo del texto. Iniciaremos con una explicacin intuitiva de lmites
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LIMITE DE UNA SUCESIONAyres (1998) sostiene que si se sitan sobre una escala numrica los puntos correspondientes a los trminos de la sucesin
1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5,, 2-1/n,
(1)
Se observa que se van aproximando al punto 2 de manera que existen puntos de la sucesin cuya distancia a 2 es menor que cualquier cantidad dada por pequea que sea. Por ejemplo, el punto 2 001/1 001 y todos los siguientes distan de 2 una cantidad menor que 1/10 000 000, y as sucesivamente. Estas condiciones se expresan diciendo que el lmite de
la sucesin es 2.Si x es una variable cuyo campo de variacin es la sucesin (1) se dice que x se
aproxima al lmite 2, o bien que x tiende a 2, y se representa por
La sucesin (1) no contiene a su lmite 2. Sin embargo, la sucesin
1, , 1, , 1, 5/6, 1,
(2)
en la que todos los trminos impares son iguales a 1, tiene por limite 1. Por tanto, una sucesin puede o no contener a su propio limite. Sin embargo, como veremos ms adelante decir que implica
, esto es, se
sobreentender que cualquier sucesin dada no contiene a su lmite como termino.
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LIMITE DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL
Segn Purcell (2007), esto significa que cuando x est cerca pero diferente de c, entonces est cerca de L.
Ejemplo:
Determine
Cuando
est cerca de 3,
est cerca de 4 3 - 5 = 7. Escribimos
Otra definicin la podemos encontrar con (Leithold, 1992): Sea una funcin definida en todo nmero de algn intervalo abierto I que
contenga a a, excepto, posiblemente, en el nmero a mismo. El lmite de cuando tiende a , y se escribe
En otras palabras, la definicin de (Leithold, 1992) establece que los valores tienden a un lmite de la diferencia entre tomando conforme y tiende a un numero si el valor absoluto
se puede hacer tan pequeo como se quiera, pero no igual a .
suficientemente cercano a
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Definicin del lmite de una funcin segn (Stewart & Watson, 2007): Se escribe
Y se dice el lmite de , cuando tiende a , es igual a se aproximen de manera suficientemente
si es posible hacer que los valores de arbitraria a (tan cerca de
como se quiera) al tomar
prxima a , pero no igual a . En trminos generales, esto dice que los valores de al nmero cuando se aproximan ms y ms (desde
se acerca cada vez ms al nmero
cualquier lado de ) pero Observemos la frase pero hallar el lmite de hecho, incluso importa es cmo
. en la definicin de limite. Esto significa que al
cuando
tiende a , nunca se considera
. De
no necesita estar definida cuando est definida cerca de .
. Lo nico que
En la figura 2 se muestran las graficas de tres funciones. Hay que observar que en el inciso c), caso, sin no est definida, y en el inciso b), importar lo que sucede . Pero en cada en ,
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Figura 2
Veamos un ejemplo propuesto por (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006): Ejemplo (1) Supongamos que se nos pide dibujar la grafica de la funcin dada por:
Para todos los valores distintos de
, es posible emplear las tcnicas , no est claro
usuales de representacin de curvas. Sin embargo, en
qu esperar. Para obtener una idea del comportamiento de la grafica de cerca de , se pueden usar dos conjuntos de valores de , uno que se
aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, como ilustra la tabla en el anexo del ejercicio 1
Al representar la funcin, parece que la grafica de
es una parbola con un
hueco en el punto (1,3), como muestra la grafica en el anexo. A pesar de que no puede ser igual a 1, podemos acercarnos arbitrariamente a 1 y, se acerca arbitrariamente a 3. En notacin de lmites,
como resultado, se escribe
Esto se lee el lmite de tiende a 1 es 3
cuando
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Este ejemplo nos conduce a una descripcin informal de lmite: Si se acerca arbitrariamente a un nmero cuando tiende a por
cualquiera de los dos lados, entonces el lmite de es . Esto se
, cuando
tiende a , escribe
CALCULO DE LMITESHasta ahora hemos estado viendo definiciones de diferentes autores de lo que es un lmite. A partir de ahora empezaremos a estudiar las diferentes maneras de calcular los lmites, que son:
1.- Procedimiento numrico: 2.- Procedimiento grfico:
Construyendo una tabla de valores Dibujando una grafica, a mano o con software matemtico
3.- Procedimiento analtico:
Utilizando lgebra o Clculo
Los primeros dos procedimientos nos producen un valor aproximado del lmite. El tercero nos da el valor exacto, ya que se utilizan lgebra y clculo. Para comprender cada uno de los procedimientos estudiaremos ejemplos de varios autores de cada uno, con sus respectivas graficas y tablas en el anexo.
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PROCEDIMIENTO NUMRICO (CONSTRUYENDO TABLA DE VALORES)Ejemplo (2) (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006)(p. 56) Evaluar la funcin resultado para en varios puntos cerca de estimar el y usar el lmite
Solucin: La tabla mostrada en el anexo recoge los valores de valores de cerca de 0. para diversos
A partir de los datos de la tabla, se puede estimar que el lmite es 2, resultado que se ve confirmado por la grafica de (mostrada en el anexo).
Ejemplo (3) (Purcell, 2007)(p. 57) Encontrar Solucin: Ningn truco algebraico simplificar nuestra tarea; ciertamente, no podemos cancelar las . Utilizando la tabla de valores en el anexo de este ejercicio nos ayuda a tener una idea del lmite. La conclusin, aunque poco firme, es que
Este ejercicio se resolver mas adelante con el procedimiento analtico.
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PROCEDIMIENTO ANALTICOEjemplo (4) (Purcell, 2007)(p. 57) Encuentre
Solucin: En este problema podemos observar que definida en no est
. Para tener una idea de lo que est sucediendo cuando
se aproxima a 3, podramos emplear una calculadora para evaluar la expresin dada; por ejemplo, en 3.1, 3.01, 3.001, etctera. Pero es mucho mejor utilizar un poco de lgebra para simplificar el problema.
La cancelacin de
en el segundo paso es valida ya que la definicin .
de limite ignora el comportamiento en
Ejemplo (5) (Leithold, El Clculo, 1998)(p. 42) Encontrar Solucin:
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ALGUNOS LIMITES BASICOSAlgunos limites bsicos (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006): Sean b, c nmeros reales y n un entero positivo. Entonces: 1.2.3.-
Evaluacin de los lmites bsicos: a).=3 b).c).-
PROPIEDADES DE LOS LMITESAnteriormente vimos que el lmite de valor de en cuando tiende a no depende del . En
. Puede ocurrir, no obstante, que este lmite sea
estos casos, se puede evaluar el lmite por sustitucin directa. Esto es, Sustituir por
Las funciones con este comportamiento se dicen continuas en . Ms adelante examinaremos este comportamiento. Por ahora estudiaremos las
propiedades y las comprobaremos por medio de ejemplos. (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006, p.65) Sean numeros reales siguientes lmites: un numero entero positivo y funciones con los
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Entonces: 1.- Multiplo escalar: 2.- Suma o diferencia: 3.- Producto: 4.- Cociente: 5.- Potencias:
En breves palabras, segn (Granville, 1980, p. 17): El lmite de una suma algebraica, de un producto, de un cociente y de una funcion a la sima potencia es igual, respectivamente, a la suma
algebraica, al producto y al cociente de los limites respectivos y al limite a la potencia, con tal de que en el caso del cociente, el lmite del divisor no sea cero.
DEMOSTRACIN DE ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES Ejemplo (6) Obtener = = = =19 + Propiedad 2 Propiedad 1 Ejemplo 5 Simplificar
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LIMITES LATERALES Ayres, 1998 nos da su definicion de limites laterales y los llama limites por la derecha y limites por la izquierda: Cuando segn la sucesion (1), cada trmino es siempre menor que , y se representa segn la sucesion (2), cada 2. Se expresa diciendo que
2. Se expresa diciendo que por termino . Analogamente, cuando es siempre mayor que
y se representa por existencia del y la del implica la del
. Es evidente que la
, y que ambos son iguales. Sin
embargo, la existencia del lmite por la derecha (izquierda) no implica necesariamente la existencia del lmite por la izquierda (derecha). Ejemplo (7) (Ayres, 1998, p. 10) Sea la funcion Si . en , . Si existe y
es un nmero cualquiera del intervalo abierto . Considerese ahora que , y si
es igual a izquierda,
tiende a 3 por la
tiende a 3 por la derecha, es un numero .
no existe, puesto que para imaginario. Por tanto, no existe Analogamente, existen ni ni
existe y es igual a 0; sin embargo, no .
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LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITOEmpezaremos analizando el comportamiento de una funcion con limite al infinito. Segn (Stewart & Watson, 2007): Sea una funcion definida en algun intervalo . Entonces,
indica que los valores de si
se pueden hacer arbitrariamente cercanos a
toma valores suficientemente grandes.
Veamos un ejemplo: Ejemplo (8) (Stewart & Watson, 2007, p. 909) Se investigara el comportamiento de la funcion definida por:
cuando
toma valores grandes. En la tabla incluida en el anexo se dan los
valores de esta funcion correctos hasta seis decimales, y la grafica, anexada de igual manera, de Cuando ha sido trazada.
toma valores cada vez mas grandes, se ve que los valores de
se aproximan a 1. De hecho, al parecer se puede hacer que los valores de se aproximen a 1 tanto como se quiera al tomar
suficientemente grande. Esta situacion se expresa en simbolos como
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LIMITE AL INFINITO NEGATIVOSegn (Ayres, 1998): si a partir de un determinado trmino, ste y todos los que le siguen, son menores que cualquier nmero negativo dado, por pequeo que ste sea. Por ejemplo, en la sucesin
Ejemplo (9) Usar mtodos numricos y grficos para determinar Solucin: De la grafica de la funcin exponencial natural de valores correspondiente, se puede observar que =0 en la grafica y tabla
LIMITES INFINITOSDefinicin de lmites infinitos (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006): Sea una funcin definida en todo nmero real de un intervalo abierto que
contiene a , salvo, posiblemente, en el propio . La expresin
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significa que para todo
>0 existe un
tal que
siempre que
(ver figura 3). Anlogamente, la expresin
significa que para todo
existe un
tal que
siempre que
. Para definir el limite infinito por la izquierda, basta sustituir por derecha, basta sustituir . Y para definir el limite infinito por la por .
Hay que tomar en cuenta que el smbolo de igualdad en la expresin no significa que el lmite exista. Bien al contrario, nos indica la razn de su no existencia: el comportamiento no acotado de x tiende a c. cuando
ASINTOTASLas asntotas son rectas a las cuales la funcin se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asntotas:
1.- Asntotas horizontales 2.- Asntotas verticales 3.- Asntotas oblicuas
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ASINTOTAS HORIZONTALES
Ejemplo (10) Calcular las asntotas horizontales de la funcin
La grafica de este ejercicio se puede apreciar en el anexo.
ASINTOTAS VERTICALES
Consideramos que el resultado del lmite es por cero.
si tenemos un nmero real partido
son los puntos que no pertenecen al dominio de la funcin (en las funciones racionales).
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Ejemplo (11) Calcular las asntotas verticales de la funcin:
ASINTOTAS OBLICUAS
Solo hallaremos las asntotas oblicuas cuando no haya asntotas horizontales. Ejemplo (12) Calcular las asntotas oblicuas de la funcin:
Calculamos
:
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FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALOCONTINUIDAD DE UNA FUNCION (Vitutor, 2010) Una idea intuitiva de funcin continua se tiene al considerar que su grafica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lpiz de la hoja de papel. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Se dice que una funcin es continua en un punto si y solo si se
cumplen las tres condiciones siguientes: 1.- Que el punto tenga imagen
2.- Que exista el lmite de la funcin en el punto
.
3.- Que la imagen del punto coincida con el lmite de la funcin en el punto.
Otra definicin la podemos encontrar con (Purcell, 2007): Sea definida en un intervalo abierto que contiene a . Decimos que si es
continua en
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Ejemplo (13) (Vitutor, 2010) Estudiar la continuidad de
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CONTINUIDAD EN UN INTERVALOHasta el momento hemos estudiado continuidad en un punto. Ahora, deseamos analizar la continuidad en un intervalo. (Purcell, 2007) La continuidad en un intervalo tiene que significar continuidad en cada punto de ese intervalo. Esto es exactamente lo que significa para un intervalo abierto. Cuando consideramos un intervalo cerrado Podra ser que , nos enfrentamos a un problema. , as que
incluso no este definida a la izquierda de
hablando estrictamente, problema diciendo que de y si
no existe. Elegimos dar la vuelta a este es continua en y si es continua en cada punto .
Resumimos esto en una definicin formal por (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006) Se dice que una funcin es continua en el intervalo cerrado y si es
continua en el intervalo abierto y
La funcin es continua por la derecha en (vase la figura 3)
y continua por la izquierda en
Figura 3
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DISCONTINUIDAD
Si alguna de las tres condiciones de continuidad no se cumple, la funcin es discontinua en
TIPOS DE DISCONTINUIDAD (Ayres, 1998)1.- Discontinuidad evitable a) b) No existe imagen La imagen no coincide con el lmite.
2.- Discontinuidad inevitable a) b) De salto finito De salto infinito
3.- Discontinuidad esencial
DISCONTINUIDAD EVITABLEUna discontinuidad es evitable en un punto finito. Nos encontraremos con dos tipos de discontinuidad evitable: a) b) La funcin no est definida en La imagen no coincide con el lmite. si existe y ste es
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DISCONTINUIDAD INEVITABLEUna discontinuidad es inevitable si existen los lmites laterales en distintos. , pero son
SALTO (Vitutor, 2010) Es la diferencia en valor absoluto de los lmites laterales.
Segn el tipo de salto nos encontraremos con dos tipos de discontinuidad inevitable: a) La diferencia entre los lmites laterales es un nmero real.
b) La diferencia entre los limites laterales es infinito
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DISCONTINUIDAD ESENCIAL (Vitutor, 2010)Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los lmites laterales en
En derecha.
hay una discontinuidad esencial porque no tiene lmite por la
En izquierda.
hay una discontinuidad esencial porque no tiene lmite por la
Estudiar ambos casos con las graficas incluidas en el anexo.
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EJEMPLO (1)
aSD
tiende a 1 por la izquierda
aSD
tiende a 1 por la derecha
0.75 2.313
0.9 2.710
0.99 2.970
0.999 2.997
1 ?
1.01 3.003
1.01 3.030
1.1 3.310
1.25 3.813
aSD
tiende a 3
aSD
tiende a 1
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EJEMPLO (2)
tiende a 0 por la izquierda
tiende a 0 por la derecha
-0.01
-0.001
-0.0001
0
0.0001
0.001
0.01
1.9950
1.9995
1.9999
?
2.0001
2.0005
2.0050
tiende a 2
tiende a 2
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EJEMPLO (3)
1.0 0.1 0.01
0.84147 0.99833 0.99998
0
0
-0.01 -0.1 -1
0.99998 0.99833 0.84147
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EJEMPLO (8)
0 1 2
-1.000000 0.0000000 0.600000 0.800000 0.882353 0.923077 0.980198 0.999200 0.999800 0.999998
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EJEMPLO (9)
0 -1 -2 -3 -5 -8 -10
1.00000 0.36788 0.13534 0.04979 0.00674 0.00034 0.00005
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EJEMPLO (10) Y (11)
Asntotas horizontales y verticales 1
EJEMPLO (12)
Asntota oblicua 1
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TIPOS DE DISCONTINUIDADES EVITABLE
INEVITABLE
Salto finito 1
Salto infinito 1
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BIBLIOGRAFIA Trabajos citadosAyres, F. (1998). Calculo. Schaum. Granville. (1980). Clculo Diferencial e Integral. Limusa. Larson, E., Hostetler, P., & Edwards, H. (2006). Clculo Y Geometria Analitica. McGraw Hill. Leithold. (1992). Calculo Con Geometra Analtica. Harla. Leithold. (1998). El Clculo. Oxford University Press - Harla Mxico S.A. de C.V. Purcell. (2007). Clculo. Pearson Educacin. Stewart, J., & Watson, S. (2007). Preclculo. Vitutor. (2010). Recuperado el 2011, de http://www.vitutor.com/fun/3/b_1.html
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