ELI215CamposElectromagneticosCertamen315deNoviembre20141. Determinelainductanciaporunidaddelargodelcablecoaxialmostradoenlagura. Considerequeno hay desplazamiento de corrientes y que esta circula entre el conductor central y la pantalla exterior.Los radios del conductor central, pantalla interior y pantalla exterior son a, b y c, respectivamente. Lapermeabilidaddetodoslosmedioses0.Respuesta: Si enlascorrespondientesseccionestransversalesseconsiderandensidadesdecorrienteconstantesendirecciones zy z-zsaliendodelplano-setiene:

Ji=Ia2 z r [0, a] ,

Je= I(c2b2) z r [b, c]donde Ies la corriente total que circula por el conductor central y se devuelve por el conductor superior.Lainductanciaporunidaddelargosedeterminacomolarazonentreel enlacedeujototal yestacorriente0ie =_N(r)d(r)total= i +0 +eL =totalIdonde el enlace de ujo total se calcula considerando el aporte de los ujos diferenciales sobre la regionenestudio.Paralaregioninteriorsetienei=_a0d(r) =_a0i(r)Id(r)i(r) =

Ji

Ai(r) =Ia2r2= Ir2a2d(r) = 0H(r)dr = 0i(r)2rdr = 0Ir2a2dri=_a0r2a20Ir2a2dr =0I14r42a4a0=1402IAnalogamenteenlaregionentreconductores:0=_bad(r) =_bai(r)Id(r)i(r) =

Ji

Ai(a) =Ia2a2= Id(r) = 0H(r)dr = 0i(r)2rdr = 0I2rdr0=_ba0I2rdr =0I2ln(r)ba=02I ln_ba_Ademas,enlapantallaconductora:e=_cbd(r) =_cbi(r)Id(r)i(r) =

Ji

Ai(a) +

Je

Ae(r) =Ia2a2I(c2b2)(r2b2) = I_1 r2b2c2b2_d(r) = 0H(r)dr = 0i(r)2rdr = 0I2r_1 r2b2c2b2_dre=_cb0I2r_1 +b2c2b2 r2c2b2_2dr=_cb0I2_1r_c2c2b2_22r_c2c2b2__1c2b2_+r3_1c2b2_2_dr= 0I2_k1 ln(r) r2k1_1c2b2_+r44k21c4_cb=02I_k1 ln_cb_k1 +k2_dondek1=c2c2b2yk2=k21(c4b4)4c4. Porlotanto,lainductanciaporunidaddelongitudes:L =02_14+ ln_ba_+k1 ln_cb_k1 +k2_=02ln_ck1ab(k11)e(1/4k1+k2)_2. Unmotor deinduccionpuedeser modeladodemanerasimplemediantelaconguracioncilndricamostradaenlaguradeladerecha. ba, 0 Enestemodelo, el devanadodel estatorserepresentacomounacapadecorrienteenr=bdevalorKs cos(t+), mientras que la jaula del rotor se simplica a una lamina conductora delgada de espesoryconductividadpuestaenr = a. Laspermeabilidadestantoderotorcomodeestatorseasumeninnitas. Lapermeabilidaddelrestodelasregioneses0. Apartirdelainformacionsuministradaydesupuestosrazonables,determineladensidaddecorrienteinducidaenlalaminaconductora.Respuesta: Considerequelasdensidadesdecorrientesupercialparaestatoryrotorson:

KS= KS cos(t +) az,

KR= KR(, t) azdondeKRmodelalacorrienteinducidaenlalaminadelrotorquesedeseaidenticar.Conestoelcampoelectricoenlalaminasecalculacomo:

E=KR azAhora,siseasumequelacomponenteradialesladominanteenlaecuaciondeFaradaysetiene:_1rEz+Brt_r=a= 0SesabequeenelentrehierroelpotencialescalarmagneticodebesatisfacerlaecuaciondeLaplace,2= 0yqueenlafronteradel dominioladiscontinuidaddel campomagnetico, queesnulotantoenrotorcomoenestator,debeserigualalascapasdecorriente: ar |r=b=

KS, ar |r=a=

KREstas ultimarelacionespuedenserreescritascomo:= bKS cos(t +) ,= aKRDerivandola ultimaexpresionrespectoa22= aKRyevaluandoKRenterminosdelcampomagnetico22= a20Hrt= a202rtLuego,elproblemaaresolversera:2(r, , t) = 0s.t._22+a202rt_r=a= 0r=b+bKS cos(t +) = 0(r, , t) [a, b] [0, 2] [0, )Dada la excitacion sinusoidal, resulta conveniente trabajar en variable compleja utilizando la siguientetransformacionf(r, , t) = {f(r)ej(t+)}dondef(r)eselfasorquecontienelainformacionangularytemporaldelasolucion.Conestoesposiblesuponerunasolucionparaelpotencialdeltipo(r) = Ar +Brdondelasderivadasparcialesconrespectoytson j t jLaformacomplejadelascondicionesdebordeenr = byr = aseraj(b) = bKS B= b2(jKS A)(a) +j0a2r (a) = 0 Aa2(1 ) +B(1 +) = 0donde = j0a.ResolviendoseobtieneA =jKS1 _ab_2_11+_ , B= jKSa2_11+_1 _ab_2_11+_DelaexpresioncomplejaparaKRnalmenteseobtieneKR= ja(a) = KS__1 _11+_1 _ab_2_11+___AplicandotransformacioninversasetieneKR(, t) = |KR| cos(t + +KR)En la gura se muestra el resultado complejo de la corriente inducida en el rotor,tanto en magnitud ycomo en fase. La magnitud se expresa en por unidad de la corriente maxima en el estator. Recuerde quelafasedelascorrientesdelestatores180. Losparametrosutilizadosfuerona = 50 mm,b = 55 mm, = 1 mmy= 5, 8 MS/m.0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 24000.20.40.60.811.2f[Hz]|KR|[pu]0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240020406080f[Hz]

KR[deg]aaac@2014-DocumentogeneradousandoLATEX2