Calculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceno N.
Objetivos a cubrir Codigo : MAT-CDI.10
• Longitud de una curva.• Area de una superficie de revolucion.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Determine la longitud de la grafica de la ecuacion y = x2 en el intervalo[0,
12
].
Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b], viene dada por
s =
∫ b
a
√1 + [f ′ (x)]2 dx
ası, puesto que f ′ (x) = 2x tenemos
s =
∫ 1/2
0
√1 + [2x]2 dx =
∫ 1/2
0
√1 + 4x2 dx
hacemos el cambio trigonometrico
2x = tan t, 2dx = sec2 t dt =⇒ dx =1
2sec2 t dt
de aquı,
si x = 0, entonces tan t = 0 =⇒ t = 0
si x =1
2, entonces tan t = 1 =⇒ t =
π
4
la integral nos queda ∫ 1/2
0
√1 + 4x2 dx =
1
2
∫ π4
0
√1 + tan2 t sec2 t dt =
1
2
∫ π4
0
√sec2 t sec2 t dt =
1
2
∫ π4
0|sec t| sec2 t dt,
como sec t > 0 en el intervalo[0,π
4
], entonces la integral queda
∫ π4
0sec t sec2 t dt, para calcular esta integral, integramos por partes
u = sec t Al derivar−−−−−−−−−−−→ dt = sec t tan t dt
dv = sec2 t dt Al integrar−−−−−−−−−−−−→
v = tan t
y se tiene ∫ π4
0sec t sec2 t dt =
(sec t tan t
∣∣∣∣∣π4
0
−∫ π
4
0sec t tan2 t dt =
(sec t tan t
∣∣∣∣∣π4
0
−∫ π
4
0sec t
(sec2 t− 1
)dt
=
(sec t tan t
∣∣∣∣∣π4
0
−∫ π
4
0sec3 t dt+
∫ π4
0sec t dt
ası
2
∫ π4
0sec t sec2 t dt =
(sec t tan t
∣∣∣∣∣π4
0
+
(ln |sec t+ tan t|
∣∣∣∣∣π4
0
con lo que, ∫ π4
0sec t sec2 t dt =
1
2
(sec t tan t
∣∣∣∣∣π4
0
+1
2
(ln |sec t+ tan t|
∣∣∣∣∣π4
0
,
entonces,
∫ π4
0sec t sec2 t dt =
1
2
(sec(π
4
)tan
(π4
)− sec (0) tan (0)
)+
1
2
(ln∣∣∣sec
(π4
)+ tan
(π4
)∣∣∣− ln |sec (0) + tan (0)|)
y obtenemos ∫ π4
0sec t sec2 t dt =
1
2
2√
2+
1
2ln
∣∣∣∣ 2√
2+ 1
∣∣∣∣− 1
2ln (1) =
√2
2+
1
2ln(√
2 + 1)
1
luego ∫ 1/2
0
√1 + 4x2 dx =
1
2
∫ π4
0sec t sec2 t dt =
1
2
(√2
2+
1
2ln(√
2 + 1))
Finalmente, la longitud de la curva f (x) = x2 en el intervalo
[0,
1
2
]es
s =
√2
4+
1
4ln(√
2 + 1)
F
Ejemplo 2 : Determine la longitud de la grafica de la ecuacion f (x) =∫ x
0
√t+ 3 dt en [0, 1].
Solucion :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b] viene dada por
s =
∫ b
a
√1 + [f ′ (x)]2 dx
ası, puesto que f ′ (x) =
(∫ x
0
√t+ 3 dt
)′=√x+ 3 tenemos
s =
∫ 1
0
√1 +
[√x+ 3
]2dx =
∫ 1
0
√4 + x dx.
Hacemos el cambio de variableu2 = 4 + x; 2u du = dx
de aquı,
si x = 0, entonces u2 = 4 + (0) =⇒ u = 2
si x = 1, entonces u2 = 4 + (1) =⇒ u =√
5
entonces, ∫ 1
0
√4 + x dx =
∫ √5
22u2 du =
(2u3
3
∣∣∣∣√
5
2
=2(√
5)3
3−
2 (2)3
3=
10
3
√5−
16
3
Luego, la longitud de la curva dada por f (x) =
∫ x
0
√t+ 3 dt en [0, 1] es
s =10
3
√5−
16
3.
F
Ejemplo 3 : Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones
r (t) =
x (t) = 4 sen t
y (t) = 4 cos t− 5
en el intervalo [0, π].
Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por
s =
∫ b
a
√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,
comox′ (t) = 4 cos t y y′ (t) = −4 sen t,
entonces
s =
∫ π
0
√[4 cos t]2 + [−4 sen t]2 dt =
∫ π
0
√16 (cos2 t+ sen2 t) dt =
∫ π
0
√16 dt = 4π.
Luego, la longitud de la curva dada en forma parametrica por r (t) = (4 sen t, 4 cos t− 5) en [0, π] es
s = 4π
F
2
Ejemplo 4 : Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones
r (t) =
x (t) = a (t− sen t)
y (t) = a (1− cos t)
en [0, 2π].
Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por
s =
∫ b
a
√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,
comox′ (t) = a (1− cos t) y y′ (t) = a sen t,
entonces
s =
∫ 2π
0
√(a (1− cos t))2 + (a sen t)2 dt
Desarrollando el argumento de la raız cuadrada
[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 = [a (1− cos t)]2 + [a sen t]2 = a2(1− 2 cos t+ cos2 t
)+ a2 sen2 t
= a2(1− 2 cos t+ cos2 t+ sen2 t
)= a2 (2− 2 cos t) = 2a2 (1− cos t)
es conocido que
sen2 (·) =1− cos 2 (·)
2=⇒ 2 sen2 (·) = 1− cos 2 (·)
de aquı,
1− cos t = 1− cos 2
(t
2
)= 2 sen2
(t
2
)por lo tanto, [
x′ (t)]2
+[y′ (t)
]2= 4a2 sen2
(t
2
),
entonces,
s =
∫ 2π
0
√4a2 sen2
(t
2
)dt =
∫ 2π
02a
∣∣∣∣sen
(t
2
)∣∣∣∣ dt = 2a
∫ 2π
0
∣∣∣∣sen
(t
2
)∣∣∣∣ dthacemos el cambio de variable
u =t
2; du =
1
2dt =⇒ 2 du = dt
de aquı,
si t = 0, entonces u =0
2=⇒ u = 0
si t = 2π, entonces u =2π
2=⇒ u = π
con lo que,
s = 2a
∫ π
0|senu| du = 2a
∫ π
0senu du = 2a
(− cosu
∣∣∣∣∣π
0
= −2a
(cos (π)− cos (0)
)= 4a
Luego, la longitud de la curva dada en forma parametrica por r (t) = (a (t− sen t) , a (1− cos t)) en [0, 2π] es
s = 4a
F
Ejemplo 5 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada por y =√x+ 2
en el intervalo [−1, 3] alrededor del eje x
Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor deleje x, viene dada por
S = 2π
∫ b
af (x)
√1 + [f ′ (x)]2 dx,
3
como f ′ (x) =1
2√x+ 2
, se tiene
S = 2π
∫ 3
−1
√x+ 2
√1 +
[1
2√x+ 2
]2dx = 2π
∫ 3
−1
√x+ 2
√1 +
1
4 (x+ 2)dx = 2π
∫ 3
−1
√x+ 2
√4 (x+ 2) + 1
4 (x+ 2)dx
= 2π
∫ 3
−1
√x+ 2
√4 (x+ 2) + 1
2√x+ 2
dx = π
∫ 3
−1
√4x+ 9 dx
hacemos el cambio de variable
u = 4x+ 9; du = 4 dx =⇒du
4= dx
de aquı,
si x = −1, entonces u = 4 (−1) + 9 =⇒ u = 5
si x = 3, entonces u = 4 (3) + 9 =⇒ u = 21
con lo que,
S = π
∫ 21
5
√udu
4=π
4
(2
3u3/2
∣∣∣∣215
=π
6
((21)3/2 − (5)3/2
)=
7π
2
√21−
5π
6
√5
Luego
S =7π
2
√21−
5π
6
√5
F
Ejemplo 6 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada por y = lnx enel intervalo [1, 2] alrededor del eje y
Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor deleje y, viene dada por
S = 2π
∫ b
ax
√1 + [f ′ (x)]2 dx,
como f ′ (x) =1
x, se tiene
S = 2π
∫ 2
1x
√1 +
[1
x
]2dx = 2π
∫ 2
1x
√1 +
1
x2dx = 2π
∫ 2
1
√x2 + 1 dx
Si hacemos el cambio trigonometricox = tan t; dx = sec2 t dt
obtenemos ∫ √x2 + 1 dx =
∫sec3 t dt =
1
2sec t tan t+
1
2ln |sec t+ tan t|+ C =
1
2x√x2 + 1 +
1
2ln∣∣∣√x2 + 1 + x
∣∣∣+ C.
Por lo tanto, ∫ 2
1
√x2 + 1 dx =
(1
2x√x2 + 1 +
1
2ln∣∣∣√x2 + 1 + x
∣∣∣∣∣∣∣21
=
(1
2(2)
√(2)2 + 1 +
1
2ln
∣∣∣∣√(2)2 + 1 + (2)
∣∣∣∣)− (1
2(1)
√(1)2 + 1 +
1
2ln
∣∣∣∣√(1)2 + 1 + (1)
∣∣∣∣)
=√
5 +1
2ln∣∣∣√5 + 2
∣∣∣− 1
2
√2−
1
2ln∣∣∣√2 + 1
∣∣∣ =√
5 +1
2ln
∣∣∣∣∣√
5 + 2√
2 + 1
∣∣∣∣∣−√
2
2
Luego
S = 2π
(√
5 +1
2ln
∣∣∣∣∣√
5 + 2√
2 + 1
∣∣∣∣∣−√
2
2
)F
Ejemplo 7 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva parametrica dada porr (t) =
(t2, t2
)en [−1, 2] alrededor del eje x.
Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva dada en forma parametrica r (t) = (x (t) , y (t)) con a ≤ t ≤ b cuando sehace girar alrededor del eje x, viene dada por
S = 2π
∫ b
ay (t)
√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,
4
comox′ (t) = 2t y y′ (t) = 2t,
entonces
S = 2π
∫ 2
−1t2√
[2t]2 + [2t]2 dt = 2π
∫ 2
−1t2√
4t2 + 4t2 dt = 2π
∫ 2
−1t2√
8t2 dt = 4√
2π
∫ 2
−1t2 |t| dt
= 4√
2π
(−∫ 0
−1t3 dt+
∫ 2
0t3 dt
)= 4√
2π
[(−
(0)4
4+
(−1)4
4
)+
((2)4
4−
(0)4
4
)]= 4√
2π
[1
4+ 4
]= 17
√2π
LuegoS = 17
√2π
F
Ejercicios
1. Determine la longitud de la grafica de la ecuacion y = ex en el intervalo [0, 1].
2. Determine la longitud de la grafica de la ecuacion dada en el intervalo indicado
1. y = x, [−1, 1] 2. y = x3/2 + 4, desde (0, 4) hasta (1, 5) 3. y = 2x+ 1, [0, 3]
4. y = 3x2/3, [1, 8] 5. y =∫ x
1
√u2 − 1 du, 1 ≤ x ≤ 2 6. y = 2
√x+ 1, [0, 3]
7. y =∫ x
π/6
√64 sen2 u cos2 u− 1 du,
π
6≤ x ≤ π
38. 5x = y5/2 + 5y−1/2, [4, 9]
9. x = 4− y2/3, [1, 8]
3. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones
r (t) =
x (t) = a cos t
y (t) = a sen t
en el intervalo [0, 2π].
4. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones
r (t) = (x (t) , y (t)) =(3t2 + 2, 2t3 − 1
)en el intervalo [1, 2].
5. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones
r (t) =
x (t) = t
y (t) = t2 + 1
en el intervalo [0, 1].
6. Considere la region limitada por y = x y y = x2. Determine la longitud del borde de la region.
7. Considere la region limitada por y =√x y y = x2. Determine la longitud del borde de la region.
8. Considere la region limitada por y = |x| y y = 2− x2. Determine la longitud del borde de la region.
5
9. Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada alrededor del eje x
1. y = 6x, 0 ≤ x ≤ 1 2. y =√
25− x2, −2 ≤ x ≤ 3
3. y =x3
3, 1 ≤ x ≤
√7 4. x = t, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1
10. Calcule el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada alrededor del eje y
1. y = 3√x+ 2, 1 ≤ x ≤ 8 2. y = 4− x2, 0 ≤ x ≤ 2
11. Se genera una esfera de radio r al girar la grafica de y =√r2 − x2 alrededor del eje x. Comprobar que
el area de la superficie de la esfera es 4πr.
12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la grafica de
y =13x1/2 − x3/2, 0 ≤ x ≤ 1
3
alrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Calcular el area de la superficie de la bombilla.
Respuestas: Ejercicios
1.√e2 + 1−
√2 + 1 + ln
∣∣∣∣ √2+1√
e2+1+1
∣∣∣∣ ; 2.1. 2√
2; 2.2. 13√
13−827
; 2.3. 3√
5; 2.4. 16√
2− 5√
5; 2.5. 8√
2−25
;
2.6. 2(√
5− 1)
+ ln(√
5+2√2+1
); 2.7. 2; 2.8. 42.367; 2.9. 7.6337; 3. 2πa; 4. 10
√5− 4
√2;
5.√
52
+ 14
ln(√
5 + 2)
; 6.√
2 +√
52
+ 14
ln(√
5 + 2)
; 7.√
5 + 12
ln(√
5 + 2)
; 8.√
5 + 12
ln(√
5 + 2)
+ 2√
2;
9.1. 6π√
37; 9.2. 50π; 9.3. 2489π√
2; 9.4. 2π(
527
√10− 1
54
); 10.1. 2
3π(
14518
√145− 5
9
√10)
;
10.2. 2π(
1712
√17− 1
12
); 11. 4πr; 12. 1
3π(
28135
√3− 64
15
);
Bibliografıa
1. Purcell, E. - Varberg, D: “Calculo con Geometrıa Analıtica”. Novena Edicion. Prentice Hall.
2. Stewart, J.: “Calculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.
Calculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith Briceno
Ultima actualizacon: Enero 2010 e-mail : farith [email protected]
6
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