Calculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith J. Briceno N.

Objetivos a cubrir Codigo : MAT-CDI.10

• Longitud de una curva.• Area de una superficie de revolucion.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1 : Determine la longitud de la grafica de la ecuacion y = x2 en el intervalo[0,

12

].

Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b], viene dada por

s =

∫ b

a

√1 + [f ′ (x)]2 dx

ası, puesto que f ′ (x) = 2x tenemos

s =

∫ 1/2

0

√1 + [2x]2 dx =

∫ 1/2

0

√1 + 4x2 dx

hacemos el cambio trigonometrico

2x = tan t, 2dx = sec2 t dt =⇒ dx =1

2sec2 t dt

de aquı,

si x = 0, entonces tan t = 0 =⇒ t = 0

si x =1

2, entonces tan t = 1 =⇒ t =

π

4

la integral nos queda ∫ 1/2

0

√1 + 4x2 dx =

1

2

∫ π4

0

√1 + tan2 t sec2 t dt =

1

2

∫ π4

0

√sec2 t sec2 t dt =

1

2

∫ π4

0|sec t| sec2 t dt,

como sec t > 0 en el intervalo[0,π

4

], entonces la integral queda

∫ π4

0sec t sec2 t dt, para calcular esta integral, integramos por partes

u = sec t Al derivar−−−−−−−−−−−→ dt = sec t tan t dt

dv = sec2 t dt Al integrar−−−−−−−−−−−−→

v = tan t

y se tiene ∫ π4

0sec t sec2 t dt =

(sec t tan t

∣∣∣∣∣π4

0

−∫ π

4

0sec t tan2 t dt =

(sec t tan t

∣∣∣∣∣π4

0

−∫ π

4

0sec t

(sec2 t− 1

)dt

=

(sec t tan t

∣∣∣∣∣π4

0

−∫ π

4

0sec3 t dt+

∫ π4

0sec t dt

ası

2

∫ π4

0sec t sec2 t dt =

(sec t tan t

∣∣∣∣∣π4

0

+

(ln |sec t+ tan t|

∣∣∣∣∣π4

0

con lo que, ∫ π4

0sec t sec2 t dt =

1

2

(sec t tan t

∣∣∣∣∣π4

0

+1

2

(ln |sec t+ tan t|

∣∣∣∣∣π4

0

,

entonces,

∫ π4

0sec t sec2 t dt =

1

2

(sec(π

4

)tan

(π4

)− sec (0) tan (0)

)+

1

2

(ln∣∣∣sec

(π4

)+ tan

(π4

)∣∣∣− ln |sec (0) + tan (0)|)

y obtenemos ∫ π4

0sec t sec2 t dt =

1

2

2√

2+

1

2ln

∣∣∣∣ 2√

2+ 1

∣∣∣∣− 1

2ln (1) =

√2

2+

1

2ln(√

2 + 1)

1

luego ∫ 1/2

0

√1 + 4x2 dx =

1

2

∫ π4

0sec t sec2 t dt =

1

2

(√2

2+

1

2ln(√

2 + 1))

Finalmente, la longitud de la curva f (x) = x2 en el intervalo

[0,

1

2

]es

s =

√2

4+

1

4ln(√

2 + 1)

F

Ejemplo 2 : Determine la longitud de la grafica de la ecuacion f (x) =∫ x

0

√t+ 3 dt en [0, 1].

Solucion :Tenemos que la longitud de una curva de la forma y = f (x) en un intervalo [a, b] viene dada por

s =

∫ b

a

√1 + [f ′ (x)]2 dx

ası, puesto que f ′ (x) =

(∫ x

0

√t+ 3 dt

)′=√x+ 3 tenemos

s =

∫ 1

0

√1 +

[√x+ 3

]2dx =

∫ 1

0

√4 + x dx.

Hacemos el cambio de variableu2 = 4 + x; 2u du = dx

de aquı,

si x = 0, entonces u2 = 4 + (0) =⇒ u = 2

si x = 1, entonces u2 = 4 + (1) =⇒ u =√

5

entonces, ∫ 1

0

√4 + x dx =

∫ √5

22u2 du =

(2u3

3

∣∣∣∣√

5

2

=2(√

5)3

3−

2 (2)3

3=

10

3

√5−

16

3

Luego, la longitud de la curva dada por f (x) =

∫ x

0

√t+ 3 dt en [0, 1] es

s =10

3

√5−

16

3.

F

Ejemplo 3 : Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones

r (t) =

x (t) = 4 sen t

y (t) = 4 cos t− 5

en el intervalo [0, π].

Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por

s =

∫ b

a

√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,

comox′ (t) = 4 cos t y y′ (t) = −4 sen t,

entonces

s =

∫ π

0

√[4 cos t]2 + [−4 sen t]2 dt =

∫ π

0

√16 (cos2 t+ sen2 t) dt =

∫ π

0

√16 dt = 4π.

Luego, la longitud de la curva dada en forma parametrica por r (t) = (4 sen t, 4 cos t− 5) en [0, π] es

s = 4π

F

2

Ejemplo 4 : Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones

r (t) =

x (t) = a (t− sen t)

y (t) = a (1− cos t)

en [0, 2π].

Solucion : Tenemos que la longitud de una curva de la forma r (t) = (x (t) , y (t)) en un intervalo [a, b] viene dada por

s =

∫ b

a

√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,

comox′ (t) = a (1− cos t) y y′ (t) = a sen t,

entonces

s =

∫ 2π

0

√(a (1− cos t))2 + (a sen t)2 dt

Desarrollando el argumento de la raız cuadrada

[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 = [a (1− cos t)]2 + [a sen t]2 = a2(1− 2 cos t+ cos2 t

)+ a2 sen2 t

= a2(1− 2 cos t+ cos2 t+ sen2 t

)= a2 (2− 2 cos t) = 2a2 (1− cos t)

es conocido que

sen2 (·) =1− cos 2 (·)

2=⇒ 2 sen2 (·) = 1− cos 2 (·)

de aquı,

1− cos t = 1− cos 2

(t

2

)= 2 sen2

(t

2

)por lo tanto, [

x′ (t)]2

+[y′ (t)

]2= 4a2 sen2

(t

2

),

entonces,

s =

∫ 2π

0

√4a2 sen2

(t

2

)dt =

∫ 2π

02a

∣∣∣∣sen

(t

2

)∣∣∣∣ dt = 2a

∫ 2π

0

∣∣∣∣sen

(t

2

)∣∣∣∣ dthacemos el cambio de variable

u =t

2; du =

1

2dt =⇒ 2 du = dt

de aquı,

si t = 0, entonces u =0

2=⇒ u = 0

si t = 2π, entonces u =2π

2=⇒ u = π

con lo que,

s = 2a

∫ π

0|senu| du = 2a

∫ π

0senu du = 2a

(− cosu

∣∣∣∣∣π

0

= −2a

(cos (π)− cos (0)

)= 4a

Luego, la longitud de la curva dada en forma parametrica por r (t) = (a (t− sen t) , a (1− cos t)) en [0, 2π] es

s = 4a

F

Ejemplo 5 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada por y =√x+ 2

en el intervalo [−1, 3] alrededor del eje x

Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor deleje x, viene dada por

S = 2π

∫ b

af (x)

√1 + [f ′ (x)]2 dx,

3

como f ′ (x) =1

2√x+ 2

, se tiene

S = 2π

∫ 3

−1

√x+ 2

√1 +

[1

2√x+ 2

]2dx = 2π

∫ 3

−1

√x+ 2

√1 +

1

4 (x+ 2)dx = 2π

∫ 3

−1

√x+ 2

√4 (x+ 2) + 1

4 (x+ 2)dx

= 2π

∫ 3

−1

√x+ 2

√4 (x+ 2) + 1

2√x+ 2

dx = π

∫ 3

−1

√4x+ 9 dx

hacemos el cambio de variable

u = 4x+ 9; du = 4 dx =⇒du

4= dx

de aquı,

si x = −1, entonces u = 4 (−1) + 9 =⇒ u = 5

si x = 3, entonces u = 4 (3) + 9 =⇒ u = 21

con lo que,

S = π

∫ 21

5

√udu

4=π

4

(2

3u3/2

∣∣∣∣215

=π

6

((21)3/2 − (5)3/2

)=

7π

2

√21−

5π

6

√5

Luego

S =7π

2

√21−

5π

6

√5

F

Ejemplo 6 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada por y = lnx enel intervalo [1, 2] alrededor del eje y

Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva de la forma y = f (x) con a ≤ x ≤ b cuando se hace girar alrededor deleje y, viene dada por

S = 2π

∫ b

ax

√1 + [f ′ (x)]2 dx,

como f ′ (x) =1

x, se tiene

S = 2π

∫ 2

1x

√1 +

[1

x

]2dx = 2π

∫ 2

1x

√1 +

1

x2dx = 2π

∫ 2

1

√x2 + 1 dx

Si hacemos el cambio trigonometricox = tan t; dx = sec2 t dt

obtenemos ∫ √x2 + 1 dx =

∫sec3 t dt =

1

2sec t tan t+

1

2ln |sec t+ tan t|+ C =

1

2x√x2 + 1 +

1

2ln∣∣∣√x2 + 1 + x

∣∣∣+ C.

Por lo tanto, ∫ 2

1

√x2 + 1 dx =

(1

2x√x2 + 1 +

1

2ln∣∣∣√x2 + 1 + x

∣∣∣∣∣∣∣21

=

(1

2(2)

√(2)2 + 1 +

1

2ln

∣∣∣∣√(2)2 + 1 + (2)

∣∣∣∣)− (1

2(1)

√(1)2 + 1 +

1

2ln

∣∣∣∣√(1)2 + 1 + (1)

∣∣∣∣)

=√

5 +1

2ln∣∣∣√5 + 2

∣∣∣− 1

2

√2−

1

2ln∣∣∣√2 + 1

∣∣∣ =√

5 +1

2ln

∣∣∣∣∣√

5 + 2√

2 + 1

∣∣∣∣∣−√

2

2

Luego

S = 2π

(√

5 +1

2ln

∣∣∣∣∣√

5 + 2√

2 + 1

∣∣∣∣∣−√

2

2

)F

Ejemplo 7 : Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva parametrica dada porr (t) =

(t2, t2

)en [−1, 2] alrededor del eje x.

Solucion : Tenemos que el area de la superficie de una curva dada en forma parametrica r (t) = (x (t) , y (t)) con a ≤ t ≤ b cuando sehace girar alrededor del eje x, viene dada por

S = 2π

∫ b

ay (t)

√[x′ (t)]2 + [y′ (t)]2 dt,

4

comox′ (t) = 2t y y′ (t) = 2t,

entonces

S = 2π

∫ 2

−1t2√

[2t]2 + [2t]2 dt = 2π

∫ 2

−1t2√

4t2 + 4t2 dt = 2π

∫ 2

−1t2√

8t2 dt = 4√

2π

∫ 2

−1t2 |t| dt

= 4√

2π

(−∫ 0

−1t3 dt+

∫ 2

0t3 dt

)= 4√

2π

[(−

(0)4

4+

(−1)4

4

)+

((2)4

4−

(0)4

4

)]= 4√

2π

[1

4+ 4

]= 17

√2π

LuegoS = 17

√2π

F

Ejercicios

1. Determine la longitud de la grafica de la ecuacion y = ex en el intervalo [0, 1].

2. Determine la longitud de la grafica de la ecuacion dada en el intervalo indicado

1. y = x, [−1, 1] 2. y = x3/2 + 4, desde (0, 4) hasta (1, 5) 3. y = 2x+ 1, [0, 3]

4. y = 3x2/3, [1, 8] 5. y =∫ x

1

√u2 − 1 du, 1 ≤ x ≤ 2 6. y = 2

√x+ 1, [0, 3]

7. y =∫ x

π/6

√64 sen2 u cos2 u− 1 du,

π

6≤ x ≤ π

38. 5x = y5/2 + 5y−1/2, [4, 9]

9. x = 4− y2/3, [1, 8]

3. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones

r (t) =

x (t) = a cos t

y (t) = a sen t

en el intervalo [0, 2π].

4. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones

r (t) = (x (t) , y (t)) =(3t2 + 2, 2t3 − 1

)en el intervalo [1, 2].

5. Determine la longitud de la grafica de la curva r dada en forma parametrica por las ecuaciones

r (t) =

x (t) = t

y (t) = t2 + 1

en el intervalo [0, 1].

6. Considere la region limitada por y = x y y = x2. Determine la longitud del borde de la region.

7. Considere la region limitada por y =√x y y = x2. Determine la longitud del borde de la region.

8. Considere la region limitada por y = |x| y y = 2− x2. Determine la longitud del borde de la region.

5

9. Encuentre el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada alrededor del eje x

1. y = 6x, 0 ≤ x ≤ 1 2. y =√

25− x2, −2 ≤ x ≤ 3

3. y =x3

3, 1 ≤ x ≤

√7 4. x = t, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1

10. Calcule el area de la superficie de revolucion generada al girar la curva dada alrededor del eje y

1. y = 3√x+ 2, 1 ≤ x ≤ 8 2. y = 4− x2, 0 ≤ x ≤ 2

11. Se genera una esfera de radio r al girar la grafica de y =√r2 − x2 alrededor del eje x. Comprobar que

el area de la superficie de la esfera es 4πr.

12. Se obtiene la forma de una bombilla ornamental al girar la grafica de

y =13x1/2 − x3/2, 0 ≤ x ≤ 1

3

alrededor del eje x, donde x e y se miden en pies. Calcular el area de la superficie de la bombilla.

Respuestas: Ejercicios

1.√e2 + 1−

√2 + 1 + ln

∣∣∣∣ √2+1√

e2+1+1

∣∣∣∣ ; 2.1. 2√

2; 2.2. 13√

13−827

; 2.3. 3√

5; 2.4. 16√

2− 5√

5; 2.5. 8√

2−25

;

2.6. 2(√

5− 1)

+ ln(√

5+2√2+1

); 2.7. 2; 2.8. 42.367; 2.9. 7.6337; 3. 2πa; 4. 10

√5− 4

√2;

5.√

52

+ 14

ln(√

5 + 2)

; 6.√

2 +√

52

+ 14

ln(√

5 + 2)

; 7.√

5 + 12

ln(√

5 + 2)

; 8.√

5 + 12

ln(√

5 + 2)

+ 2√

2;

9.1. 6π√

37; 9.2. 50π; 9.3. 2489π√

2; 9.4. 2π(

527

√10− 1

54

); 10.1. 2

3π(

14518

√145− 5

9

√10)

;

10.2. 2π(

1712

√17− 1

12

); 11. 4πr; 12. 1

3π(

28135

√3− 64

15

);

Bibliografıa

1. Purcell, E. - Varberg, D: “Calculo con Geometrıa Analıtica”. Novena Edicion. Prentice Hall.

2. Stewart, J.: “Calculo”. Grupo Editorial Iberoamericano.

Calculo Diferencial e Integral - Longitud de una curva. Prof. Farith Briceno

Ultima actualizacon: Enero 2010 e-mail : farith 72@hotmail.com

6