PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASJose Ignacio Yanez Etcheberryjgyanez@uc.cl

MAT 2205 - Algebra Abstracta IAyudantıa 1

13 de agosto del 2015

1. Demuestre que las siguientes relaciones R sobre el conjunto A son de equivalencia:

a) A = R y aR b si a2 = b2.

b) A = C y aR b si |a| = |b|.c) A = {(x, y) ∈ Z× Z : y 6= 0} y (a, b)R (c, d) si ad = bc.

De una idea de como se ve la particion de A inducida por R.

2. Sea S un conjunto finito con n elementos. Demuestre que existen 2n2−n relaciones reflexivas sobre S y que

existen 2n(n+1)

2 relaciones simetricas. ¿Cuantas relaciones reflexivas y simetricas hay en S? Si esta interesado,investigue el numero de relaciones transitivas posibles en un conjuntos finito.

3. Sean R y S relaciones sobre un conjunto A. Definimos la relacion R ◦ S sobre A de la siguiente manera:

a (R ◦ S) b⇐⇒ ∃c ∈ A : aR c ∧ cR b.

Dadas R y S relaciones de equivalencias sobre A, demuestre que R ◦ S es relacion de equivalencia sobre A siy solo si R ◦ S = S ◦ R. (Hint: Para la transitividad puede serle util probar que R es transitiva si y solo siR ◦R ⊆ R y luego probar que dadas R, S, T relaciones sobre A, entonces (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ).)

4. Da la impresion que la reflexividad de una relacion R puede ser vista como una consecuencia de la simetrıa y latransitividad: si aR b, entonces por simetrıa bR a y por transitividad, como aR b y bR a, entonces aRa. Discutapor que pese a lo dicho anteriormente, es importante exigir a una relacion de equivalencia que sea reflexiva.

5. Demuestre que MCD(a1, . . . , an) = MCD(MCD(a1, . . . , an−1), an). Demuestre que MCD(k · a1, . . . , k · an) =k ·MCD(a1, . . . , an).

6. Sean a, b, c ∈ Z. Demuestre que la ecuacion ax + by = c tiene solucion entera (i.e. x, y ∈ Z) si y solo siMCD(a, b) | c. En particular, esto implica que si a, b son coprimos, entonces dicha solucion siempre tienesolucion entera.

7. El mınimo comun multiplo de los enteros a1, . . . , an (mcm(a1, . . . , an)) es un entero m tal que para todo i ai | my m divide cualquier entero que sea divisible por todos los ai. Demuestre que MCD(a, b) ·mcm(a, b) = ab.