Ayudantia 1
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´ OLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICAS Jos´ e Ignacio Y´ a˜ nez Etcheberry [email protected] MAT 2205 - ´ Algebra Abstracta I Ayudant´ ıa 1 13 de agosto del 2015 1. Demuestre que las siguientes relaciones R sobre el conjunto A son de equivalencia: a) A = R y aRb si a 2 = b 2 . b) A = C y aRb si |a| = |b|. c) A = {(x, y) ∈ Z × Z : y 6=0} y(a, b) R (c, d) si ad = bc. D´ e una idea de como se ve la partici´ on de A inducida por R. 2. Sea S un conjunto finito con n elementos. Demuestre que existen 2 n 2 -n relaciones reflexivas sobre S y que existen 2 n(n+1) 2 relaciones sim´ etricas. ¿Cu´ antas relaciones reflexivas y sim´ etricas hay en S? Si est´ a interesado, investigue el n´ umero de relaciones transitivas posibles en un conjuntos finito. 3. Sean R y S relaciones sobre un conjunto A. Definimos la relaci´ on R ◦ S sobre A de la siguiente manera: a (R ◦ S) b ⇐⇒ ∃c ∈ A : aRc ∧ c R b. Dadas R y S relaciones de equivalencias sobre A, demuestre que R ◦ S es relaci´ on de equivalencia sobre A si y s´ olo si R ◦ S = S ◦ R. (Hint: Para la transitividad puede serle ´ util probar que R es transitiva si y s´ olo si R ◦ R ⊆ R y luego probar que dadas R, S, T relaciones sobre A, entonces (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ).) 4. Da la impresi´ on que la reflexividad de una relaci´ on R puede ser vista como una consecuencia de la simetr´ ıa y la transitividad: si aRb, entonces por simetr´ ıa bRa y por transitividad, como aRb y bRa, entonces aRa. Discuta por qu´ e pese a lo dicho anteriormente, es importante exigir a una relaci´ on de equivalencia que sea reflexiva. 5. Demuestre que MCD(a 1 ,...,a n ) = MCD(MCD(a 1 ,...,a n-1 ),a n ). Demuestre que MCD(k · a 1 ,...,k · a n )= k · MCD(a 1 ,...,a n ). 6. Sean a, b, c ∈ Z. Demuestre que la ecuaci´ on ax + by = c tiene soluci´ on entera (i.e. x, y ∈ Z) si y s´ olo si MCD(a, b) | c. En particular, esto implica que si a, b son coprimos, entonces dicha soluci´ on siempre tiene soluci´ on entera. 7. El m´ ınimo com´ un multiplo de los enteros a 1 ,...,a n (mcm(a 1 ,...,a n )) es un entero m tal que para todo ia i | m y m divide cualquier entero que sea divisible por todos los a i . Demuestre que MCD(a, b) · mcm(a, b)= ab.
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ejercicios de alg abstracta (introduccion)
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASJose Ignacio Yanez [email protected]
MAT 2205 - Algebra Abstracta IAyudantıa 1
13 de agosto del 2015
1. Demuestre que las siguientes relaciones R sobre el conjunto A son de equivalencia:
a) A = R y aR b si a2 = b2.
b) A = C y aR b si |a| = |b|.c) A = {(x, y) ∈ Z× Z : y 6= 0} y (a, b)R (c, d) si ad = bc.
De una idea de como se ve la particion de A inducida por R.
2. Sea S un conjunto finito con n elementos. Demuestre que existen 2n2−n relaciones reflexivas sobre S y que
existen 2n(n+1)
2 relaciones simetricas. ¿Cuantas relaciones reflexivas y simetricas hay en S? Si esta interesado,investigue el numero de relaciones transitivas posibles en un conjuntos finito.
3. Sean R y S relaciones sobre un conjunto A. Definimos la relacion R ◦ S sobre A de la siguiente manera:
a (R ◦ S) b⇐⇒ ∃c ∈ A : aR c ∧ cR b.
Dadas R y S relaciones de equivalencias sobre A, demuestre que R ◦ S es relacion de equivalencia sobre A siy solo si R ◦ S = S ◦ R. (Hint: Para la transitividad puede serle util probar que R es transitiva si y solo siR ◦R ⊆ R y luego probar que dadas R, S, T relaciones sobre A, entonces (R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T ).)
4. Da la impresion que la reflexividad de una relacion R puede ser vista como una consecuencia de la simetrıa y latransitividad: si aR b, entonces por simetrıa bR a y por transitividad, como aR b y bR a, entonces aRa. Discutapor que pese a lo dicho anteriormente, es importante exigir a una relacion de equivalencia que sea reflexiva.
5. Demuestre que MCD(a1, . . . , an) = MCD(MCD(a1, . . . , an−1), an). Demuestre que MCD(k · a1, . . . , k · an) =k ·MCD(a1, . . . , an).
6. Sean a, b, c ∈ Z. Demuestre que la ecuacion ax + by = c tiene solucion entera (i.e. x, y ∈ Z) si y solo siMCD(a, b) | c. En particular, esto implica que si a, b son coprimos, entonces dicha solucion siempre tienesolucion entera.
7. El mınimo comun multiplo de los enteros a1, . . . , an (mcm(a1, . . . , an)) es un entero m tal que para todo i ai | my m divide cualquier entero que sea divisible por todos los ai. Demuestre que MCD(a, b) ·mcm(a, b) = ab.
