Universidad de Los AndesFacultad de Ingeniera Civil20 de Marzo de 2012

Clase Auxiliar #2 ING2111:EDOs Primer Orden, Ecuaciones Homogeneas

Profesor: Erwin Topp P.Auxiliar: Gianfranco Liberona H.

P1. Un tanque de forma de un cono circular recto de altura H0 y radio R esta dispuesto verticalmente y llenode agua. El tanque tiene un pequeno orificio circular en el fondo de diametro 2. Se abre el orificio y ellquido cae libremente.

(a) Encuentre la ecuacion diferencial que describe el modelo.

(b) Resuelva la ecuacion diferencial que encontro en la parte anterior.

(c) Sabiendo que h(t0) = h(0) = H0, encontrar el valor de la constante de integracion. Encuentre ademasel tiempo en el cual el tanque estara vaco.

Indicacion: Para plantear el modelamiento de este problema puede ser de utilidad la Ley de Torricelli:La velocidad de cada del agua es v =

2gh(t), donde h(t) es la altura de esta al interior del recipiente

P2. Resuelva las siguientes EDOs de primer orden usando factor integrante:

(a) xy + y = 2x.(b) y(x2 + 9) + xy = 0.(c) y + y = 11+e2x .

(d) x3y xy = e1/x.(e) y cos(x) + 1cos(x)y = 0.

(f) y + y cos(x) = sen(x) cos(x).

P3. Resuelva las siguientes EDOs homogeneas, usando el cambio de variables y = zx e imponiendo lascondiciones iniciales segun corresponda:

(a) y = yt(ln(y)ln(t)+1) , y(1) = e.

(b) xy =x2 y2 + y, y(1/2) = 0.

(c) xy = x cos(y/x) + y, y(1) = 0.

P4. (a) Muestre que la ecuacion diferencial

y = f(ax+ by + c), a, b, c R,se puede reducir a una EDO de variables separables. Para ello, plantee un cambio de variablesconveniente y llege a la estructura normal de una EDO como la buscada.

(b) Utilizando el concepto anterior, resuelva

y epixey = pi.

P5. (a) Muestre que la ecuacion diferencial:

y =y

tf(ty),

se puede reducir a una EDO de variables separables. Para ello, proceda como en la pregunta anterior.

(b) Aplique lo anterior para resolver la ecuacion:

y = y(ty + 1)t(1 + ty + t2y2)

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