Nmeros Complejos
Un nmero complejo es un nmero de la forma (representacin
binmica) donde x , y son nmeros reales e 1 (unidad imaginaria) . En un
nmero complejo el trmino x es llamado la parte real (Re e y la parte
imaginaria (Im . Cuando x=0 el nmero se denomina imaginario puro.
Dos nmeros complejos son iguales si yb d .
Representacin grafica de un nmero complejo:
Donde
[ ]
*
i
*si el conjugado de
.
Entonces podemos escribir e l nmero complejo como:
Z ZZ Z es Z x iy ; Z ( x iy)( x iy ) ;
Z ( x ix
Z Z cos i Z sen
. Cons
y i
iderando el teo
yx i y ; i ; Z x y
rema de EulerZ e cZ cos i s oen s
= = = +
= + = = +
= +
= +
=
2 2 2 2 2 21
i
,
entonces,el compejo Z se escri
i
be como: ( forma exponencialZ Z e )
sen
=
+
Notacin en el dominio del tiempo para el estudio de circuitos de corriente (voltaje)
alterna.
Una seal de corriente (voltaje) senoidal (cosenoidal), es:
Nota: La fase inicial tambin se puede presentar en grados sexagesimales, pero si se
desea evaluar v(t) o i(t), el ngulo de fase inicial debe presentarse en radianes.
Ejemplos:
( ) ( )( ) ( )
v(t) . sen t [V ] v(t) . sen t [V ]
i(t) . cos t [A] i(t) . cos t [A]
= + = +
= + = +
5 0 300 5 0 300 603
1 1 200 1 1 200 454
pi
pi
En la mayora de los casos, el desfase que cuenta es el desfase dentro de un
mismo perodo (una sinusoide es idntica a ella misma desplazada de un nmero
entero de longitudes de onda o de perodos). Podemos sumar o restar 2 a tantas
veces como sea necesario para obtener un desfase inferior a 2. Aun as nos queda
una ambigedad: una seal en avance de fase de 350 es idntica a una seal con 10
de retardo. Podemos, arbitrariamente, sumar o restar 2 suplementarios a para
que el desfase resultante est comprendido entre y +. Decidimos, de la misma
manera arbitraria, que los desfases negativos corresponden a un retardo de fase y los
desfases positivos a un avance de fase. Pero no olvidemos que ese retardo o avance
convencional no corresponde necesariamente a la realidad fsica.
( ) ( )
( ) ( )
Forma sinusoidal:
Forma cosenoidal:
v
v (t ) V sen t [V ] ; i (t
(t ) V cos t [V ] ; i (t ) I cos t [A]
) I sen t [A]
= + = +
= + = +1 01 1
2 02 2 2 02 2
1 01 1
Donde :
: Voltajes mximos ; :Corrientes mximas ;
: frecuen [ra
V , V I , I
d / scia angular (pulsacin) en ;
, , y fases iniciales
]
[raen d ]
01 02 01 02
1 2 1 2
En la figura se muestra, el desfase de dos seales de la misma frecuencia, donde [s] es el perodo temporal de la seal.
En la figura siguiente, las curvas estn representadas en funcin del tiempo. El
tiempo, en abscisa, aumenta hacia la derecha: el pasado est a la izquierda y el futuro
a la derecha. La curva negra pasa por su cresta un poco antes que la curva roja. Es
decir, la curva roja est en retardo con respecto a la negra, o la curva negra adelanta a
la curva roja.
Ejemplo:
( ) ( )Si : ,
Re alicemos (tomamos como referencia la corrient
voltaje y corriente en fa
e)
si
s
se.
corriente adelanta al voltaje.
corriente atrasa al volta
v(t ) V cos t [V ] i(t ) I
je.
cos t [A]
i
si
= + = +
=
=
>
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