Nmeros Complejos

Un nmero complejo es un nmero de la forma (representacin

binmica) donde x , y son nmeros reales e 1 (unidad imaginaria) . En un

nmero complejo el trmino x es llamado la parte real (Re e y la parte

imaginaria (Im . Cuando x=0 el nmero se denomina imaginario puro.

Dos nmeros complejos son iguales si yb d .

Representacin grafica de un nmero complejo:

Donde

[ ]

*

i

*si el conjugado de

.

Entonces podemos escribir e l nmero complejo como:

Z ZZ Z es Z x iy ; Z ( x iy)( x iy ) ;

Z ( x ix

Z Z cos i Z sen

. Cons

y i

iderando el teo

yx i y ; i ; Z x y

rema de EulerZ e cZ cos i s oen s

= = = +

= + = = +

= +

= +

=

2 2 2 2 2 21

i

,

entonces,el compejo Z se escri

i

be como: ( forma exponencialZ Z e )

sen

=

+

Notacin en el dominio del tiempo para el estudio de circuitos de corriente (voltaje)

alterna.

Una seal de corriente (voltaje) senoidal (cosenoidal), es:

Nota: La fase inicial tambin se puede presentar en grados sexagesimales, pero si se

desea evaluar v(t) o i(t), el ngulo de fase inicial debe presentarse en radianes.

Ejemplos:

( ) ( )( ) ( )

v(t) . sen t [V ] v(t) . sen t [V ]

i(t) . cos t [A] i(t) . cos t [A]

= + = +

= + = +

5 0 300 5 0 300 603

1 1 200 1 1 200 454

pi

pi

En la mayora de los casos, el desfase que cuenta es el desfase dentro de un

mismo perodo (una sinusoide es idntica a ella misma desplazada de un nmero

entero de longitudes de onda o de perodos). Podemos sumar o restar 2 a tantas

veces como sea necesario para obtener un desfase inferior a 2. Aun as nos queda

una ambigedad: una seal en avance de fase de 350 es idntica a una seal con 10

de retardo. Podemos, arbitrariamente, sumar o restar 2 suplementarios a para

que el desfase resultante est comprendido entre y +. Decidimos, de la misma

manera arbitraria, que los desfases negativos corresponden a un retardo de fase y los

desfases positivos a un avance de fase. Pero no olvidemos que ese retardo o avance

convencional no corresponde necesariamente a la realidad fsica.

( ) ( )

( ) ( )

Forma sinusoidal:

Forma cosenoidal:

v

v (t ) V sen t [V ] ; i (t

(t ) V cos t [V ] ; i (t ) I cos t [A]

) I sen t [A]

= + = +

= + = +1 01 1

2 02 2 2 02 2

1 01 1

Donde :

: Voltajes mximos ; :Corrientes mximas ;

: frecuen [ra

V , V I , I

d / scia angular (pulsacin) en ;

, , y fases iniciales

]

[raen d ]

01 02 01 02

1 2 1 2

En la figura se muestra, el desfase de dos seales de la misma frecuencia, donde [s] es el perodo temporal de la seal.

En la figura siguiente, las curvas estn representadas en funcin del tiempo. El

tiempo, en abscisa, aumenta hacia la derecha: el pasado est a la izquierda y el futuro

a la derecha. La curva negra pasa por su cresta un poco antes que la curva roja. Es

decir, la curva roja est en retardo con respecto a la negra, o la curva negra adelanta a

la curva roja.

Ejemplo:

( ) ( )Si : ,

Re alicemos (tomamos como referencia la corrient

voltaje y corriente en fa

e)

si

s

se.

corriente adelanta al voltaje.

corriente atrasa al volta

v(t ) V cos t [V ] i(t ) I

je.

cos t [A]

i

si

= + = +

=

=

>