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Matemáticas Financieras 2
Juan Francisco Aldave Rivas
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Amortización
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• Evaluación
80% exámenes parc.
10% tareas10% asistenciaTrabajo final opcional(pto extra)
• Ex. Ordinario 80%
• Ex. Extraordinario 100%
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Tasas de Interés
d n
d e
m
ii
nn
mm
1111)()(
vii
i
i
id
1
1
1
1
1
1d
d i
1 iv
1
1
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Anualidades
Anualidad Vencida Anualidad Adelantada
…
8 n
p p P
1 2 3 4 5 6 7
p p p p p p …
n5 6 n-1
p
0
p p P
1 2 3 4
p p p p
i
v
v
vvva
nnn
j
j
n
)1(
1
)1(
1
d
v
i
i
v
v
vvä
nnnn
j
j
n
)1(
1
)1(
1
)1(1
0
i
i s
n
n1)1(
d
i s
n
n1)1(
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Tema 1. Amortización
El término amortización se deriva del
latín “Ad Mortem” para referirse alproceso gradual de pagar una deuda(llevar a su fin).
Amortizar es la acción de reducir elcapital de una deuda mediante un
proceso gradual, por lo que involucra enel proceso el cálculo y pago de intereses.
Una regla fundamental que se debeconsiderar al calcular los intereses de unaamortización es que el interés debecalcularse siempre sobre el saldo insoluto
del periodo inmediato anterior.
Hay situaciones en que esto no serespeta, por lo que debe tenerse cuidadode adquirir deuda que sea justa.
Para el cálculo del pago de una deuda
mediante un proceso de amortización, es
imprescindible tener presentes los
conceptos ya estudiados de la teoría del
interés y de anualidades.
Se presentan algunas formulas de estostemas en las siguientes láminas:
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Simbología
La simbología que usaremos será la
siguiente:
Bt = Saldo Insoluto en el periodo t
B0 =Saldo insoluto original
L = Préstamo original (B0 = L)It= Intereses pagados en el periodo t
Pt=Monto de amortización del periodo t
R=PMT=Mensualidad
Uno de los principales conceptos para
efectos de calculo de pagos de deuda, esel calculo del saldo insoluto.
Para esto, existen dos métodos, que son
el prospectivo (hacia adelante, o por
medio del VP) y el retrospectivo (hacia
atrás, o por medio del VF)
ik k
k
ik n
PMTsi PV
FV i PV
a PMT
)1( balRet.
k)1,...,at timesmade pay ments()1(
balanceiveRetrospect
* balanceeProspectiv
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Ejercicio
)(2)1(
ivoRetrospect
)(1
)(1
oProspectiv
55
5
1020
5155
sk i L B
aak L
aak B
Método prospectivo
Se amortiza un préstamo pagando 2000
los primeros 10 pagos y 1000 los
siguientes 10 pagos cada seis meses. La
tasa contratada es 10%.
Encontrar B5
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Amortización
Generalmente se acostumbraestructurar un proceso de
amortización mediante una tabla. Esta
tabla, llamada Tabla de Amortización,
ofrece al deudor un detalle
pormenorizado de la composición de
sus pagos, así como de la fecha enque cada uno se debe efectuar.
El siguiente es el esquema general,
mediante fórmulas, en que se basa la
construcción de una tabla deamortización.
Nótese que una vez conociendo lasfórmulas que conforman cada pago y
comprendiendo los conceptos
involucrados, no es necesario construir la
tabla para conocer la información de un
cierto pago en particular.
Bastará para ello aplicar la formula
correspondiente.
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Tabla de Amortización
nn
n
t nt n
t nt nt n
t n
nn
nnn
n
nn
nnn
n
n
aan
vavvia
avavvia
avavvia
avavvia
avavvia
a
nTotal
011n
111-n
11t
112
111
0
SaldoPrincipalInteresPagoPeriodo
11
12
222
2
11
111
21
111
1
1
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Amortización
L = 250,000
Tasa = 12.5%
Plazo= 20 años
Determinar monto del pago
Determinar B6
Determinar I8 (cantidad de intereses
pagados en el periodo 8)
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Amortización
Una vez que nos hemos familiarizado con elcálculo de los distintos elementos
involucrados en la amortización de una
deuda, analicemos de forma estructurada
las diferentes opciones que tenemos para
determinar un proceso de amortización:
Tipos de amortizacion :
-n pagos iguales (level payment)
-n pagos iguales y uno desigual
-pagos iguales de capital (installment loan)
-amortizacion canadiense (conversion
periods)-fondo de amortizacion (sinking funds)
-cuotas incrementadas y decreciente (k)
-cuotas extraordinarias
-capitalizacion de intereses y am. Negativa
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n pagos iguales (level payment)
El método de amortizaciónmediante pagos nivelados (o
iguales) es el más común. Ofrece la
certeza de siempre conocer la
cantidad a pagar, y lo que va
variando en cada pago es la
proporción que se destina al pagode intereses y a la amortización de
la deuda
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Amortización – Ejercicio 1Level Payment
Consider a loan for 30,000 with level
payments to be made at the end of each year
for 5 years at an annual rate of 8%.
Find:
a) The annual payment
b) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2
a)
L=30,000
i=8%
a) PMT= ?
b) Pt ?
c) It ?6936.513,7
9927.3
000,30
9927.3*000,30
08.0
)08.1(
11
000,30
1*000,30
*
5
5
5
PMT
PMT
PMT
i
v PMT
a PMT Li
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Amortización – Ejercicio 1Level Payment
Consider a loan for 30,000 with level
payments to be made at the end of each year
for 5 years at an annual rate of 8%.
Find:
a) The annual payment
b) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2
b)
L=30,000
i=8%
a) PMT= ?
b) P1 ?
c) I2 ?
3062.886,24
3121.3*6936.513,7
08.01*6936.513,7
*
1
1
4
1
41
B
B
v B
a PMT B i
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Amortización – Ejercicio 1Level Payment
Consider a loan for 30,000 with level
payments to be made at the end of each year
for 5 years at an annual rate of 8%.
Find:
a) The annual payment
b) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2
c)
L=30,000
i=8%
a) PMT= ?
b) P1 ?
c) I2 ?
9046.990,1
)7891.522,5(6936.513,7
)(7891.522,5
3062.886,24
5172.363,19
5771.2*6936.513,7
08.0
1
*6936.513,7
*
2
2
212
21
1
2
2
3
2
32
I
I
B B PMT I
B B
B
B
B
v B
a PMT Bi
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Amortización – Ejercicio 2
Level Payment
An annual loan for 10 years has interest rate
6% and level payment 1,000.
Find the amount of principal and interest in
the 6th payment.
L=?
i=6%
PMT= 1,000
P6 ?
I6 ?
0871.360,7
3601.7*000,1
06.0
1*000,1
*
10
%610
L
L
v L
a PMT L
1610
6
665
*
v PMT P
P B B
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Amortización – Ejercicio 2
Level Payment
An annual loan for 10 years has interest rate
6% and level payment 1,000.
Find the amount of principal and interest in
the 6th payment.
L=7,360.0871
i=6%
PMT= 1,000
P6 ?
I6 ?
1056.465,3
4651.3*000,1
06.0
1*000,1
*
66
4
6
%646
665
B
B
v B
a PMT B
P B B
3638.212,4
2124.4*000,1
06.0
1*000,1
*
5
5
5
5
%655
B
B
v B
a PMT B
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Amortización – Ejercicio 2
Level Payment
An annual loan for 10 years has interest rate
6% and level payment 1,000.
Find the amount of principal and interest in
the 6th payment.
L=7,360.0871
i=6%
PMT= 1,000
P6 ?
I6 ?
2582.747
1056.465,33638.212,4
3638.212,4
1056.465,3
6
6
5
6
665
P
P
B
B
P B B
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Amortización – Ejercicio 2
Level Payment
An annual loan for 10 years has interest rate
6% and level payment 1,000.
Find the amount of principal and interest in
the 6th payment.
L=7,360.0871
i=6%
PMT= 1,000
P6 ?
I6 ?
2582.747
7473.0*000,1
*000,1
*000,1
*
6
6
56
16106
16106
P
P
v P
v P
v PMT P
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Amortización – Ejercicio 2
Level Payment
An annual loan for 10 years has interest rate
6% and level payment 1,000.
Find the amount of principal and interest in
the 6th payment.
L=7,360.0871
i=6%
PMT= 1,000
P6 =747.2582
I6 ?
i B I P PMT I
*5666
7418.252
2582.747000,1
66
66
I
I
P PMT I
7418.252
06.0*3638.212,4
*
6
6
56
I
I
i B I
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Amortización – Ejercicio 3
Level Payment
For an 8% level payment loan, the amount of
principal in the second payment is 5,522.79.
Find the amount of principal in the 4th
payment.
L=?
i=8%
PMT= ?
P2 =5,522.79
P4 =?
1* t nt v PMT P
Dado que conocemos de la Tabla de
Amortización que:
79.522,5
*
2
12
2
P
v PMT P n
7823.441,6
1664.1*79.522,5
)08.1(*
)1(**
*
4
4
224
2124
144
P
P
P P
iv PMT P
v PMT P
n
n
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Amortización – Ejercicio 4
Looking Forward and Looking Back
In actuarial notation, for a level payment loan
with periodic payment PMT at a rate i for n
periods, the balance after payment k is
A loan made at an annual rate of 6.5% has 7
remaining payments of 950.
What is the loan balance?
2938.210,5
4845.5*950
* %5.67
B
B
a PMT B
ik k
k
ik n
PMTsi PV
FV i PV
a PMT
)1( balRet.
k)1,...,at timesmade pay ments()1(
balanceiveRetrospect
* balanceeProspectiv
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Amortización – Ejercicio 5
A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal and
interest at 8% convertible quarterly over 6 years.
At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price which
produces a yield rate of 10% convertible quarterly.
Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B
L=10,000
i(4)
=8%n=(6)(4)=24
PMT =?
Interest received by C=?
Interest received by B=?
23
i(4)=8%
… 7 8 9 …
PMT PMT
240
L = 10,000
PMT PMT … PMT PMT PMT …
1 2
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Amortización – Ejercicio 5
A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal and interest at 8% convertible
quarterly over 6 years. At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price which produces a yield
rate of 10% convertible quarterly.Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B
L=10,000
i(4)=8%
n=(6)(4)=24
PMT =?
Interest received by C=?
Interest received by B=?23
i(4)
=8%
… 7 8 9 …
PMT PMT
240
L = 10,000
PMT PMT … PMT PMT PMT …
1 2
%24
%8
4
)4(
i
i
02.0
)02.1(
11
*000,10
24
%224
PMT a PMT
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n pagos iguales y uno desigual
El método de amortización mediante
pagos nivelados y uno desigual tambiéntiende a ser común. Algunas variantes
podrían involucrar más de un pago
desigual. Puede ajustarse a necesidades
del deudor, o a sus flujos de efectivo.
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Amortización – Ejercicio #
Variable Payment Loan
A borrower would like to borrow 30,000 at8% for 5 years, but would like to pay only5,000 for the first two years and then catchup with a higher payment for the final threeyears. What is the payment for the finalthree years?
Find:a) The annual payment for the last 3 years
L=30,000
i=8%
a) PMT= ?
592,24
)2192000,5()400,2000,5(000,30
)000,5()000,5(000,30
)()(
22
102
21212
B
B
i Bi B B
I PMT I PMT L P P L B
4338.542,9
5771.2592,24
*
%83
2
%832
PMT
a B PMT
a PMT B
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pagos iguales de capital
El método de amortización mediante
pagos iguales a capital (installment loan)se refiere a montos de amortización
iguales, lo que implica que ninguno de
los pagos será igual a otro.
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Amortización – Ejercicio #
Installment Loan
You have a 30,000 loan at 8% annually for 30
years. You agree to pay off the principal in
installments of 1,000 per year, and to pay
interest on the outstanding balance each year.
Find:
a) The interest due in the 11th
paymentb) The actual 11th payment
a)
b)L=30,000
i=8%
a) I11
b) PMT11= ?
000,20
10)000,1(000,30
10*
10
10
10
B
B
PMT L B
600,2
000,1600,1
11
11111111
PMT
PMT
P I PMT
600,1
08.0)000,20(
11
11
1011
I
I
i B I
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fondo de amortización
El método del fondo de amortización se
basa en que durante la vida de la deuda,el deudor solamente paga los intereses
generados a la tasa pactada (i), y en
adición se realizan pagos nivelados a una
cuenta llamada fondo de amortización
que gana interés a una tasa (j).
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El objetivo es que el monto en el fondo
sea igual al monto a amortizar al final de
la vida del préstamo.
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Amortización – Ejercicio #
A 100,000 annual payment loan is made for aterm of 10 years at 10% interest. The lender
wants only payments of interest until the endof year 10 when the 100,000 must be repaid.The borrower will make level annual year-endpayments to a sinking fund earning 8%.
Find:
a) The sinking fund deposit SFD
b) The balance in the sinking fund at times 3and 4
a)
b)
L=100,000
i=10%
a) SFD
b) BSF3 y BSF4
9489.902,6
4866.14
000,100
*
%810
10
%81010
SFD
S
BSFD
S SFD B
7332.409,22
)2464.3(9489.902,6
*
3
3
%833
B
B
S SFD B
4608.105,31
)5061.4(9489.902,6
*
4
4
%844
B
B
S SFD B
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cuotas incrementadas y decrecientes
El método de amortización mediante
cuotas incrementadas pagos iguales a
capital (installment loan) se refiere a
montos de amortización iguales, lo
que implica que ninguno de los pagos
será igual a otro.
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Progresión Aritmética
La Progresión Aritmética es una sucesión
donde cada término difiere del anterioren una cantidad fija d.
n-1
a+(n-1)d
n
a a+d a+2d a+3d a+4d a+5d … a+(n-2)d
0 1 2 3 4 5 6
][])1(2[
])1(2[2
121212122
:obtenemosecuacionesambassumandoy2321
1232
:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa
)1(
:comoescribir puedesetérminoésimo-nely
...,3,2,,
:sonaritmética progresiónunadetérminos primeroslos
22 n
nn
n
n
n
n
n
n
aad naS
d nanS
)d](na[ )d](na[ ... )d](na[ )d](na[ S
ad)(ad)(ad)(a... )d)(n(a )d)(n(aS
)d)(n(a )d)(n(a...d)(ad)(ad)(aaS
d naa
d ad ad aa
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33/35
Anualidades Variantes (Progresión Aritmética)
Consideremos el caso de una anualidad que
paga $1 al final del 1er periodo y de ahí enadelante se incrementa en $1 cada periodo.
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Denotaremos este valor presente como A y tendremos entonces que
Si multiplicamos esta ecuación por 1+i y le restamos el término original tendremos
Lo que podemos simplificar para obtener:
nvQn P vQ P vQ P Pv A ])1([)2()( 32
nnnn
nnn
QnvvvvvvQv P iA
Qvn PvvvvvQ P iA
)()1(
)1()(
132
132
i
nvaQ Pa A
i
nvaQ
i
v P A
n
nn
n
n
n
1
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34/35
Progresión Geométrica
La Progresión Geométrica es una sucesión
donde la razón entre un término y elanterior es constante, denominada r.
1r cuando 1
)1(
ó1r cuando 1
)1(
:obtenemosecuación primeraladesegundalarestandoy
:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa
:comoescribir puedesetérminoésimo-nely
,...,,,,
:songeométrica progresiónunadetérminos primeroslos
1232
1232
1
432
r r aS
r
r aS
ar arS S
ar ar ar ...ar ar ar rS
ar ar ...ar ar ar aS
ar a
ar ar ar ar a
n
n
n
n
nnn
nnnn
nnn
nn
n-1
ar(n-1)
n
a ar ar2
ar3
ar4
ar5
… ar(n-2)
0 1 2 3 4 5 6
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Anualidades Variantes (Progresión Geométrica)
Consideremos el caso de una anualidad que
paga $1 al final del 1er periodo y de ahí enadelante se incrementa en un factor (1+g)cada periodo.
Apuntes Matemáticas Financieras II - Act. Juan Francisco Aldave Rivas
Denotaremos este valor presente como A y tendremos entonces que
Si factorizamos el primer sumando obtenemos
13
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