CALCULO
DIFERENCIAL
CONTENIDO
1. Límites de funciones y continuidad
2. Derivación de funciones y aplicaciones
1. Límites de funciones y continuidad
El cálculo diferencial es un área de las matemáticas, específicamente del cálculo
infinitesimal que permite modelar situaciones o fenómenos de la vida real que
implican variaciones o movimientos, hallando la derivada de una magnitud
respecto de otra de la que es función.
Y para llegar a concepto de derivación, primero debemos entender el concepto de
límite.
1.1 Definición del límite de una función
Se escribe:
Y se lee: “El límite de f(x), cuando x se aproxima a a, es igual a L
Ejemplo:
Sea la función definida por
Determinemos el comportamiento de la función para valores de x próximos a 2,
pero no iguales a 2:
Observamos que cuando nos aproximamos a 2, tanto por la derecha(2+) como por
la izquierda(2 -), la función f(x) se acerca a 4. Es decir, el límite de la función
f(x) =x2 – x +2 cuando x se aproxima a 2 es 4, y se escribe:
Ejercicio 1: Estimar el valor del siguiente limite haciendo tabla de valores.
Comprobar el resultado con una grafica
Ahora, preguntémonos: ¿Los límites siempre existen?
La respuesta es No necesariamente. Es posible que un límite no exista, y esto
ocurre cuando la función no se aproxima a un número finito.
Como ejemplo tenemos:
a) Determinar
Observamos que cuando x se acerca a 0, la expresión 1/x2 se hace cada
vez más grande sin aproximarse a un número finito, de hecho tiende a
infinito. Con ello se dice que su límite no existe.
Analicemos ahora la siguiente función:
Observemos que cuando t se aproxima a cero por la izquierda, H(t) se
aproxima a cero. Y cuando t se aproxima a cero por la derecha, H(t) se
aproxima a 1. Como estos valores son diferentes, se dice que el límite
bilateral no existe.
Es decir:
Ejercicio 2: Sea f la función definida por
Graficar la función y según su gráfica, hallar:
VIDEO LIMITES LATERALES:
https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk
1.2 Calculo de límites de forma algebraica
Ahora se usaran métodos algebraicos mediante uso de leyes y propiedades
para calcular los límites de las funciones, a diferencia del apartado anterior
que se hacía por aproximación numérica y gráficamente.
Ejemplos: Calcula el valor de los siguientes límites, aplicando las leyes
anteriores
a)
Solución:
b)
Solución:
De los dos ejemplos anteriores podemos concluir que si f es polinomial o una
función racional y a está en el dominio de f, entonces:
Es decir, calculamos el límite por simple sustitución directa del número al que
tiende x.
Casos especiales:
a) Calculo del límite por cancelación de factor común
Determinar el siguiente limite
Observemos que no podemos calcular este límite por sustitución directa por
que en ese valor la función no está definida, teniendo en cuenta que el
denominador se hace cero. Además el numerador también es cero,
dándonos una forma indeterminada 0/0.
Entonces, factorizando el denominador como una diferencia de cuadrados y
cancelando el factor común arriba y abajo, tenemos:
b) Calculo de limite por racionalización
Determinar el siguiente límite
Si aplicamos sustitución directa, nos encontramos con que el denominador
se hace cero. En este caso racionalizaremos el numerador:
c) Calculo de límite de una función definida por tramos
Determinar si existe el siguiente limite
Donde
Para x > 4 tenemos que:
Entonces
Para x < 4 tenemos que:
Entonces
Como los limites izquierdo y derecho son iguales, entonces concluimos que
este límite si existe y es igual a cero
VIDEO LIMITE CON RACIONALIZACION Y FACTORIZACION:
https://www.youtube.com/watch?v=Z5_GyMKJTVk
1.3 Continuidad de funciones
La continuidad de una función se puede entender de forma sencilla,
como que dicha función no tiene saltos o huecos.
La siguiente grafica muestra condición de discontinuidad(no
continuidad) en x=c
A continuación se presentan los tres criterios que debe cumplir una
función para que la misma sea continua en un punto x = c:
Es importante resaltar que si se incumple en al menos unos de estos
criterios, la función se vuelve discontinua.
Ahora, si una función es continua en cada punto de un intervalo abierto
(a,b), se dice que es continua en dicho intervalo
Ejemplos: Analizar la continuidad de cada una de las siguientes
funciones
a)
Si graficamos esta función, nos encontramos que el dominio de la
misma lo constituyen todos los números reales excepto x=0. Por lo
que se concluye que es discontinua en x=0
b)
Esta es una función por tramos, cuya grafica es:
Si consideramos los tres criterios de continuidad en x=0, tenemos
que:
1. h(0) = 1, es decir, está definido.
2. Límite de h(x) cuando x tiende a cero es igual a 1(limite por la
izquierda y por la derecha son iguales), es decir existe.
3. El valor del criterio 1 y el criterio 2 es el mismo.
Como cumple con los tres criterios, decimos que la función h(x)
es continua en x = 0
VIDEO CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
https://www.youtube.com/watch?v=lBNB7mPC8YU
EJERCICIOS DE LA PRIMERA UNIDAD
1. Estime el valor del límite haciendo tabla de valores y comprueba con la
gráfica, en:
a) b) c)
2. Para la función que se muestra en la grafica a continuación, exprese el
valor de la cantidad dada si existe y si no existe explique por qué.
3. Suponga que
Con esta información, encuentre el valor del límite dado y si no existe
explique por qué.
a) b) c)
4. Evalúe el límite si existe:
a) b) c)
d) e) f)
++++++++++++++++++++++++++++++
g) h) i)
j)
5. En los siguientes ejercicios, grafique la función y determine el limite indicado
con ayuda de las propiedades respectivas de limites laterales. Si el limite no
existe, diga por qué?
6. En los ejercicios siguientes hacer la gráfica de cada función y por medio de los
criterios de continuidad en un punto, determinar cuáles son continuas y
cuáles discontinuas.
7. En la siguiente funcion, determinar los valores de c y k, que hagan que dicha
funcion sea continua en todo numero. Dibuje la grafica de la funcion
resultante
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