8/19/2019 Aplicaciones de la integral a las Ciencias Sociales y Económicas
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Aplicaciones de la integral a las
Ciencias Sociales y Económicas
Germán Ricardo Urbina ForeroMatemático.
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Temas
1. Introducción
2. Aplicaciones a la economía
2.1 De marginalidad a totalidad
2.2 Inversión – Formación de Capital
2.3 Valor actual de un flujo de dinero
2.4 Superávit del consumidor
3. Otras Aplicaciones
4. Un juego en MATLAB.
Temas
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1. Introducción
• La matemática es útil en otros campos, si las vemoscomo una herramienta para modelar fenómenos o
situaciones presentes en la realidad.
• En las ciencias sociales tales como la Economía, la
Sociología, la Demografía, entre otras, se hacenecesario el uso de la matemática para interpretar y
explicar resultados o para predecir sucesos.
• Las ciencias sociales, y en especial la Economía, no
escapan al concepto de razón de cambio, luegoentonces, como es de esperar, tampoco escapan del
proceso de integración.
• Dada la función c’(x) (Costo o Ingreso marginal), es
posible hallar la función c(x) (costes o ingreso total).
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• 2.1 De marginalidad a totalidad
2. Aplicaciones a la Economía
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• EJEMPLO 1: En la fabricación de un producto, el coste marginal deproducir x unidades es de c´(x)=3x+4. Si los costes fijos son 40, hallarla función de costes totales c(x).
SOLUCIÓN:
2.1 De marginalidad a totalidad
4042
3
tanto,loPor.)0(entonces,40,C(0):C.I
4
2
3
)43(
TotalCostoDefinición )(')(
2
1
1
2
x x
c(x)
cc
c x x
c(x)
dx x
dx xc xc
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2.1 De marginalidad a totalidad
• EJEMPLO 2 (Derive): Dada la función de costo marginal del ejemplo 1, y usando Derive, hallartodas las funciones c(x) y dibuje algunas de sus gráficas en el plano xy. Grafique la función que
cumple con la C.I. del ejemplo 1.
SOLUCIÓN:
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2.1 De marginalidad a totalidad
EJEMPLO 3: Dada la función de Ingreso Marginal I’(Q)=28Q-e0.3Q halle lafunción de ingreso Total I(Q). ¿Qué condición inicial debemos introducirpara definir la constante de integración? SOLUCIÓN:
3
10
3
1014)(queAsi
.03
10-I(0)entoncesluego,0)0(hacemostantolo por
,constantelahallarDebemos.3
1014
IntegralProp. 28
)28(
TotalIngresoDef. )(')(
302
1
11
302
3.0
30
Q.
Q.
Q
Q.
e-QQ I
c I
cce-Q I(Q)
dQeQdQ
dQQ-e
dQQ I Q I
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2. Aplicaciones a la Economía
• 2.2 Inversión – Formación de Capital
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2.2 Inversión – Formación de Capital
• Formación de
capital Aumentar un
stock de capital dadoK(t).
• dK/dt := Tasa de
Formación de capital
• dK/dt = I(t): Tasa de flujode inversión neta en t
dK dt dt dK
dt t I t K )()(
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2.2 Inversión – Formación de Capital
EJEMPLO 4: Suponga que la tasa de inversión se describe por lafunción I(t)=12t1/3 y que el capital inicial es de 25 (en millones de US)
(a) Hallar la trayectoria temporal de stock de capital(b) Hallar la cantidad de capital acumulado durante los periodos [0,1]SOLUCIÓN:
(a)
(b) US)demillones(en9)25()259()0()1()(
259K(t)entonces,,25)0(Como
9
3
4
1212t
Definición )()(
1
0
3
4
13
4
1
3
4
3
1
K K dt t I
t K
ct ct
dt K(t)
dt t I t K
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2.2 Inversión – Formación de Capital
EJEMPLO 5 (MATLAB): Solucione el ejemplo 4 en MATLAB y grafique la trayectoria temporaldel stock de capital K(t)
SOLUCIÓN:
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2. Aplicaciones a la Economía
• 2.3 Valor actual de un flujo de dinero
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2.3 Valor Actual de un flujo de dinero
• Suponga que tiene una serie de ingresos de dinerodesde el instante t=0 hasta t=T, a la tasa de f(t) dólarespor año en t, con un interés compuesto continuamentea la tasa r (anual). ¿Cómo calcular el valor actual de
ese flujo de dinero?.
s)instanteel(en)(VD
T)tiempo(al )(VFD
0)tiempo(al )(VAD
)(
0
)(
0
T
s
st r
T t T r
T rt
dt et f
dt et f
dt et f
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2.3 Valor Actual de un flujo de dinero
EJEMPLO 6:(a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante derenta de a dólares anuales en los próximos T años, a una tasa deinterés continua del r anual
(b) Cuál es el limite del VAD cuando T ∞
SOLUCIÓN:
r
ae
r
aVAD
er
aVAD
er
adue
r
a
r
dueadt ea
-rT uT t u
t -rdt du-rt u
dt eadt ea
dt et f
at f
rT
rT
rT
u
rT
urT u
T rt
T rt rt
T
T rt
)1(limlim(b)
)1(
queasi,entonces,siy,0
entonces,,0siy,quetienese,Haciendo
)(VAD
Dado )((a)
TT
00
00
00
0
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2.3 Valor Actual de un flujo de dinero
EJEMPLO 7 (Derive):
(a) Hallar el Valor Actual Descontado (VAD) de una línea constante de renta de 500 dólares anuales en lospróximos 15 años, a una tasa de interés continuo del r = 6% anual
SOLUCIÓN:
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2. Aplicaciones a la Economía
• 2.4 Superávit o Excedente delconsumidor
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2.4 Superávit del consumidor
• Dada la función de demanda p(x)
(precio que se impone para vender x
unidades de un artículo).
• Entre más artículos vendidos, se exige
que bajen los precios. (Curva de
demanda decreciente)
• Sea X:= Cantidad actual disponibles
del articulo, luego P = p(X):= Precio
actual de venta.
• Cantidad ahorrada: (ahorro por
unidad)(numero de unidades)=[p(xi)-
P]∆x
X
n
i
i
[p(x)-P]dxSC
n x P x p
0
1
tieneseentonces,,Si.])([
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2.4 Superávit del consumidor
EJEMPLO 8: Se da una curva de demanda por p(x)=450/(x+8). Halle elsuperávit de consumidor cuando el precio de venta es de 10 (enmillones de pesos)
SOLUCIÓN:
pesos)de(millones 25.407
370)]8ln()45[ln(450108)ln(x450
108
450
108
450
SCDef.
37108X
450
entonces,10,esventade precioelComo
X.devalorelhallarDebemos
37
0
37
0
37
0
37
0
37
0
0
SC
x
dxdx x
dx x
[p(x)-P]dxSC
X
X
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3. Otras Aplicaciones
• A sociología:EJEMPLO 9: A las 8 horas de la mañana surge un rumor en una ciudad que se propaga a un
ritmo de e3t/2+500 personas/hora. Sabiendo que t representa el número de horastranscurridas desde la aparición del rumor, calcula el número de personas que lo habránoído entre las 9 y las 12 horas de la mañana.
SOLUCION:
personas1766500(3))e-(e3
2P(t)
500[t]e3
2
)500(eP(t)tanto,loPor
4.t12m,lasay1t9am,lasA0.testeseaam,8lasainiciórumorelComo
2
3
6
4
1
4
1
2
3
4
1
2
3
t
t
dt
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3. Otras Aplicaciones
• Probabilidad para las C.S.
b
adx x f b) X P(a
X
f(x)
)(
sii,continuaaleatoriavariable ladead probabiliddedensidaddefunciónunallamase
R,sobredefinida,scon valorefunciónUna:Def
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3. Otras Aplicaciones
EJEMPLO 10: El número de minutos que una entrega de mercancía se adelanta o
se atrasa en llegar a destino, es una v.a.c. cuya f.d.p. es
parteotraen0
6,x6- para )36(288
1)(
2 x x f
Cuyos valores negativos indica que la entrega llego adelantada, y positivosque llega atrasada. Encuentre la probabilidad de una de estas entregasllegue en cualquier tiempo entre 1 y 3 minutos adelantada.
SOLUCION
432
95
336
288
1
)36(288
1)()13(
1
3
31
3
1
3
21
3
x
x
dx xdx x f X P
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4. Un juego hecho en MATLAB
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_2/juego.m
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