1
Anticipacion de Turbulencia en MercadosLatinoamericanos: La Crisis Mexicana de 1994
Rosales, L.F.Φ† Posadas, A.† Quiroz, R.†
Mayo de 2006
Φ Centro de Investigacion de la Universidad del Pacıfico (CIUP).
† Centro Internacional de la Papa (CIP).
Contenidos 2
Contenidos
1 Motivacion 3
2 Fractales en la Naturaleza 11
3 Multifractales en la Naturaleza 32
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 44
5 Conclusiones 56
1 Motivacion 3
1 Motivacion
1 Motivacion 4
Una pregunta vieja,
¿ Se Puede Predecir una Crisis
Financiera?
1 Motivacion 5
Respuestas (tambien viejas),
• Pregunta complicada.
• De eso ya se ha escrito bastante.
• Depende del tipo de crisis.
• Analisis tecnico insuficiente. El cualitativo es mejor.
1 Motivacion 6
Entonces no pensemos (por un momento) en finanzas.
Pensemos mejor en como se previenen las crisis en otros ambitos. Por
ejemplo, los paros cardıacos.
Figura 1: Pulsoxımetro. En Cardiologıa el ritmo cardıaco es uno de los principales
indicadores de la salud del paciente.
1 Motivacion 7
• En anos recientes el analisis multifractal del ritmo cardıaco ha
brindado nueva evidencia para la deteccion de fallas cardıacas. Lin,
D.C., y Hughson, R.L. (2001), Fischer, R., Akay, M., Castiglioni, P.,
y Di Rienzo, M. (2003), Ching, E.S., Lin, D.C., y Zhang, C. (2004).
• Estos estudios concluyen que pacientes con fallas cardıacas
presentan un ritmo cardıaco mas regular que una persona saludable,
y que son ellos los que tienen una mayor probabilidad de sufrir un
ataque cardıacos.
1 Motivacion 8
Pero este incremento en la regularidad previo a algun tipo de
comportamiento caotico, no se observa solo en medicina.
1 Motivacion 9
Entonces pensemos en otro ejemplo en el que una calma anomala
anteceda el caos.
Figura 2: Playas Tailandesas. Foto tomada en el ano 2003.
Es un hecho conocido que las olas mas grandes son precedidas por
periodos extranamente calmos, y que en tanto mas se prolongue la
calma, la ola que vendra sera mas fuerte.
1 Motivacion 10
Volvamos, ahora sı, a pensar en finanzas.
• Es un hecho, tambien documentado, que antes del desenlace de una
crisis financiera en un mercado determinado, se manifiesta una
regularidad inusual en el proceso de retornos de su ındice general.
• En estos periodos es posible encontrar correlaciones entre la serie y
su pasado, i.e. el mercado se vuelve ineficiente.
En este documento se aplican tecnicas de analisis multifractal
para identificar la calma anomala en ındices bursatiles, y se
construye un indicador de alerta que anteceda las crisis.
2 Fractales en la Naturaleza 11
2 Fractales en la Naturaleza
2 Fractales en la Naturaleza 12
Pero antes, ¿Que es un fractal?
Definicion 2.1 (Fractal) “A fractal is a shape made of parts
similar to the whole in some way.”.
Mandelbrot(1986)
• Esta caracterıstica se denomina autosimilaridad.
• Ejemplos de fractales determinısticos : el conjunto de
Mandelbrot, el triangulo de Sierpinski, o la curva de
triadica de Kotch.
2 Fractales en la Naturaleza 13
Ejemplo 2.1 (Curva Triadica de Kotch)
Figura 3: Curva de Kotch. La curva es invariante en traslaciones y dilataciones. La
primera figura muestra el conjunto generador (iteraciın 1), y la segunda la iteracion 2.
2 Fractales en la Naturaleza 14
Pero mas alla que una curiosidad matematica, no es difıcil
encontrarse con alguno de manera cotidiana.
Figura 4: Fractales en la Naturaleza. El primer grafico muestra un Chou Romanesco,
y el segundo un arbol ordinario.
2 Fractales en la Naturaleza 15
De hecho una de las primeras aplicaciones de la geometrıa
fractal consistio en medir la longitud de las costas.
Figura 5: Ilha da Trauira. Costa Noreste de Brasil.
2 Fractales en la Naturaleza 16
Pero ¿Como?
• Aprovechando su propiedad fundamental: la
autosimilaridad , i.e. invarianza en traslaciones y
dilataciones.
• De manera mas formal, si la costa es fractal, y es cubierta
por una malla imaginaria formada por cuadrados de lado
δ, se debe cumplir que
L(δ) ∼ aδ1−D (1)
donde L(δ) es la longitud de la costa, a ∈ R, y D es su
dimension fractal box-counting .
2 Fractales en la Naturaleza 17
• Es decir, la longitud depende positivamente de δ, pues
una mayor resolucion (menor δ) permite capturar mas
irregularidades.
En terminos mas familiares, si se toma ln a (1), se obtiene la
relacion
ln L(δ) = ln a + (1−D) ln δ + ε (2)
que permite obtener D mediante una regresion ordinaria.
2 Fractales en la Naturaleza 18
De manera mas formal, la dimension de Hausdorff-Besicovitch
(D) de un conjunto de puntos S es la dimension crıtica para
la que la medida Md cambia de 0 a ∞:
Md =∑
δd = N(δ)δd. (3)
Donde d es tal que la medida no es 0 ni ∞ cuando δ → 0.
Ademas es facil de computar regresionando N(δ) contra δ en
N(δ) ∼ 1
δD(4)
y seleccionando el rango de escalamiento fractal [δ0, δ1] como
en
2 Fractales en la Naturaleza 19
Figura 6: Escalamiento de la Medida (L(δ)) en funcion de δ.
2 Fractales en la Naturaleza 20
Un fractal modela adecuadamente algunos fenomenos
naturales , pero ¿ se puede hablar de autosimilaridad en un
proceso estocastico?
Sı. Pero en este caso, se habla de autoafinidad. Y se verifica
por la estabilidad de la ley de probabilidad en traslaciones y en
dilataciones.
2 Fractales en la Naturaleza 21
Recordemos a un viejo conocido.
Ejemplo 2.2 (Camino Muestral de un mBo)
Figura 7: Movimiento Browniano Ordinario. Desde la tesis de Bachelier (1901) se
convirtio en un modelo popular para describir la trayectoria de los precios.
2 Fractales en la Naturaleza 22
donde la autoafinidad se garantiza porque un en mBo se
cumplen las siguientes proposiciones :
Proposicion 2.1 (Invarianza en Traslaciones mBo) Sea
B(t) un mBo, para cualquier secuencia {0 < t1 < . . . < tn} ∈ R y conjuntos
borelianos {A1, . . . , An} ⊂ R, se cumple que
P {B(t1) ∈ A1, . . . , B(tn) ∈ An} (5)
=
ZA1
. . .
ZAn
p(t1, 0, x1)p(t2 − t1, x1, x2)
. . . p(tn − tn−1, xn−1, xn),
donde
p(t, x, y) =1√2πt
exp(− (x− y)2
2t) (6)
esta definido para cualquier x, y ∈ R y t > 0.
2 Fractales en la Naturaleza 23
Proposicion 2.2 (Invarianza en Dilataciones mBo) Sea
B(t) un mBo, para todo c > 0 se cumple que
V (t) =1
cB(c2t) (7)
es tambien un mBo.
2 Fractales en la Naturaleza 24
De manera analoga, la generalizacion del mBo, o movimiento
Browniano fraccional, es tambien un proceso fractal y se
cumple que:
Proposicion 2.3 (Invarianza en Dilataciones mBf) Sea
BH(t) un mBf, para todo c > 0 se cumple que
VH(t) =1
cBH(c
1H t) (8)
es tambien un mBf, y H es denominado exponente de Hurst.
la cual es igual que la proposicion anterior cuando H = 12.
2 Fractales en la Naturaleza 25
Ejemplo 2.3 (Camino Muestral de un mBf)
Figura 8: Movimientos Brownianos Fraccionales. Se muestran 3 caminos muestrales
con diferentes exponentes de Hurst.
2 Fractales en la Naturaleza 26
• Es facil ver que las senales mas irregulares estan asociadas
a un exponente de Hurst menor .
• Es facil intuir que existe una relacion inversa entre D y H
. De manera mas formal, por la ecuacion de Voss se sabe
que
D = 2−H (9)
2 Fractales en la Naturaleza 27
Muy bien, pero estos viejos (y no tan viejos) conocidos, ¿
funcionan bien?
No tanto : el mBo implica procesos Gaussianos en retorno
que no capturan la naturaleza de las series financieras (colas
anchas, conglomerados de volatilidad, etc.), y los mBf
generan arbitrage c.s. en la version fraccional del modelo
Black-Scholes.
Pero, ¿por que no pasa esto?
2 Fractales en la Naturaleza 28
Recordemos la definicion de Mandelbrot (1986), y veamos.
Figura 9: Modelo Monofractal. Arriba se muestra el retorno del IGBVL. Abajo un
proceso Gaussiano asociado al retorno del IGBVL.
2 Fractales en la Naturaleza 29
De hecho, en la ecuacion (8) no se cumple que el exponente
de H (y en consecuencia D) sea estable. Si no que es funcion
de tiempo.
2 Fractales en la Naturaleza 30
Figura 10: Computo Local del Exponente de Hurst para el IGBVL.
2 Fractales en la Naturaleza 31
• El modelo fractal fracasa.
• Es preciso buscar un modelo que considere mas de un
nucleo generador ,que considere multiples exponentes de
Hurst y multiples dimensiones fractales asociadas a ellos.
• Ese modelo es el multifractal .
3 Multifractales en la Naturaleza 32
3 Multifractales en la Naturaleza
3 Multifractales en la Naturaleza 33
Caracterısticas basicas de un multifractal:
• El exponente de Hurst es inestable .
• Permite multiples nucleos generadores .
• Es un proceso multiafin .
• Se analiza la senal y sus momentos estadısticos (q).
3 Multifractales en la Naturaleza 34
Figura 11: Paisaje Multifractal Generado Artificialmente. La autoafinidad es local.
3 Multifractales en la Naturaleza 35
Pues bien, ahora calculemos la medida multifractal como en
(3) para dimensiones box-counting :
Md(q, δ) =
NT∑i=1
P qi δd = N(q, δ)δd. (10)
Donde d es tal que la medida no es 0 ni ∞ cuando δ → 0, ¶i
es la masa o probabilidad de ubicarse en la i-esima celda, y
q ∈ R es el momento estadıstico, i.e. si q = 2 es la varianza,
si q = 3 es la curtosis.
Donde la probabilidad de ubicarse en una celda δ es
Pi(δ) =Ni(δ)
NT
, (11)
3 Multifractales en la Naturaleza 36
y escala con la anomalıa
Pi(δ) ∼ δαi (12)
que, analogamente a lo que ocurre en (4), cumple con
N(α) ∼ δ−f(α) (13)
Muy bien, pero... en realidad esa cosa ¿que hace? .
3 Multifractales en la Naturaleza 37
Calcula una dimension fractal para
cada momento estadısitico.
3 Multifractales en la Naturaleza 38
Figura 12: Momentos Estadısticos del Retorno del IGBVL.
3 Multifractales en la Naturaleza 39
• Esa familia de dimensiones se grafica mediante el espectro
multifractal .
• Donde a cada dimension se le asocia un tipo de singularidad .
• Y el tipo de singularidad es medido por exponentes de Holder (α) .
3 Multifractales en la Naturaleza 40
De manera mas formal, los exponente de Holder (α) se calculan
localmente mediante
Definicion 3.1 (Exponentes de Holder Punto a Punto) El
exponente de Holder punto a punto de una funcion f(x) es el supremo
de los exponentes de Lipschitz αL de x tales que:
|f(x)− Pn(x− x0)| < C|x− x0|αL (14)
donde C es una constante y Pn es un polinomio de grado n. Siendo
αL(x) = sup{αL : f(x) ∈ CαLx } (15)
3 Multifractales en la Naturaleza 41
De hecho, siguiendo Chhabra (1989) se puede encontrar una solucion
cerrada para el espectro multifractal en funcion de los exponentes de
Holder mediante:
f(α(q)) = qα(q)− τ(q) (16)
con
α(q) =dτ(q)dq
, (17)
siendo
τ(q) = (q − 1)Dq (18)
y para
Dq = limδ→0
1q − 1
ln∑N(δ)
i=1 (δ)ln δ
(19)
3 Multifractales en la Naturaleza 42
Y para senales financieras , esto se ve mas o menos ası...
3 Multifractales en la Naturaleza 43
0.99 1 1.01 1.02
0.89
0.9
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1 1.05 1.1
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
MERVAL SEIBOVESPA SE
IGBVL SE
Figura 13: Espectros Multifractales de los retornos del MERVAL, IBOVESPA e IG-
BVL
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 44
4 Indicador de Crisis y Resultados
Empıricos
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 45
Objetivo : encontrar un patron que anteceda la crisis.
Metodo (Parte 1): Seleccion del Lıder.
• Realizar el computo de espectros multifractales localmente , i.e.
hacer rolling windows de 1000 observaciones y calcular los espectros
para incrementos de una observacion.
• Recoger estadısticos de los espectros (media, varianza, mınimo,
maximo, etc.)
• Seleccionar un estadıstico lıder que anteceda la crisis.
• Desarrollar un criterio de deteccion para el estadıstico lıder.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 46
Primero, hagamos una inspeccion preliminar de los datos.
Tabla 1: Inspeccion de los Datos
Indice Periodo Pre-crisis Periodo de Crisis
MERVAL 10/19/89 - 04/06/94 04/07/94 - 03/31/00
IBOVESPA 01/02/89 - 07/05/93 07/06/93 - 08/02/99
IGBVL 01/30/87 - 06/27/91 06/28/91 - 07/01/97
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 47
E identifiquemos los periodos de Crisis
Tabla 2: Dıas Importantes de la Crisis
Dates Data Points
Indice Contagio– Climax Tequila–Contagio–Climax
MERVAL 12/21/94–01/10/95 178 – 179 – 192
IBOVESPA 12/21/94–01/10/95 363 – 364 – 377
IGBVL 01/09/95–01/10/95 864 – 878 – 879
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 48
0 250 500 750 1000 1250 15000.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Min HMax HInf H
Tequila Effect
Figura 14: Trayectorias Multifractales en MERVAL.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 49
200 400 600 800 1000 1200 14000.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5Min HMax HInf H
Tequila Effect
Figura 15: Trayectorias Multifractales en IBOVESPA.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 50
200 400 600 800 1000 1200 1400
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Max HMin HInf H
Tequila Effect
Figura 16: Trayectorias Multifractales en IGBVL.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 51
Metodo (Parte 2): Construccion del Indicador.
• Se modela el indicador seleccionado con una media movil .
• Se estima el error del modelo.
• Se colocan bandas al error.
• Se dice que viene una crisis si se da un cruzamiento hacia arriba
(con o sin movimiento pendular).
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 52
200 400 600 800 1000 1200 1400−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15Min HSup BandInf Band
15 46 104 179 192−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14Min HSup BandInf Band
A
B
C
D
E
Figura 17: Indicador de Crisis en MERVAL.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 53
200 377 600 800 1000 1200 1400−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1Min HSup BandInf Bamd
270 302 364 377−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08Min HSup BandInf Bamd
A
B
C
D
Figura 18: Indicador de Crisis en IBOVESPA.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 54
200 400 600 800 1000 1200 1400−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Min HSup BandInf Band
636 720 864 879−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1Min HSup BandInf Band
A
BBD
E
Figura 19: Indicador de Crisis en IGBVL.
4 Indicador de Crisis y Resultados Empıricos 55
Veamos algunos resultados
Tabla 3: CSI Empirical Results
Index Crossing Date Crossing Point
MERVAL 09/05/94 104
IBOVESPA 09/20/94 302
IGBVL 01/03/95 874
5 Conclusiones 56
5 Conclusiones
5 Conclusiones 57
• Existe un patron aparente en la trayectoria de exponente de Holder
mınimos en MERVAL, IBOVESPA, e IGBVL.
• Esos patrones aparecen como saltos hacia arriba aproximadamente
60 dıas antes de que ocurriera la crisis mexicana.
• Estos cambios se pueden capturar mediante el indicador de alerta
CSI.
• Los saltos hacia arriba implican un incremento extrano en la
regularidad del proceso (como con las olas) que antecede el caos.
• La validacion del metodo esta condicionada a la experimentacion
con un mayor numero de paıses y con otras crisis.
Referencias 58
Referencias
[1] A. Arneodo, E. Bacry, and J.Muzy: Random Cascades of Wavelet Dyadic Trees.
Journal of Mathematical Physics. Vol. 39. N. 8, 1998.
[2] S. Droztz, J.Kawapien, P. Oswiecimka, y R. Rak: Investigating Multi-fractality of
Stock Market Fluctuations Using Wavelet and Detrending Fluctuation Methods.
Acta Physica Polonica B. Vol. 36, N. 8, 2005.
[3] J. Feder: Fractals. Plenum Press, NY, 1998.
[4] J. Hausdorff, Y. Ashkenazy, C. Peng, P. Ivanov, H. Stanley, A. Goldberger: When
Human Walking Becomes Random Walking: Fractal Analysis and Modeling of
Gait Rhythm Fluctuations. Physica A 302, 2001.
[5] V. Lapenna, J. Makris, V. Saltas, L. Telesca, y F. Vallianatos: Monofractal and
Multi-fractal Analysis in Short-Term Time Dynamics of ULF Geomagnetic Field
Measured in Crete, Greece. Bulletin of the Geological Society of Greece. Vol.
XXXVI, 2004.
[6] S. Lovejoy, D. Schertzer: Multi-fractal Fluctuations in Finance. Int. J. Theor.
Appl. Fin., Vol. 3, N. 3, 2002.
Referencias 59
[7] B. Mandelbrot: Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration
and Risk. Springer-Verlag, 1997.
[8] B. Mandelbrot: Forecast of Future Prices, Unibiased Markets, and Martingale
Models. Journal of Business, Vol. 39, pp. 242-255. 1966.
[9] C. Parodi: Globalizacion y Crisis Financieras Internacionales. Universidad del
Pacıfico, Centro de Investigacion, 2003.
[10] R. Riedi: Multi-fractal Processes. In. P. Doukhan, G. Oppenheim, y M. Taqqu:
Theory and Applications of Long-Range Dependence, pp. 625-716. Birkhauser,
2003.
[11] A. Shiryaev: Essentials of Stochastic Finance: Facts, Models, Theory. Advanced
Series on Statistical Science & Applied Probability, 3, 1999.
[12] R. Yalamova et al.: Multifractal Spectral Analysis of the 1987 Stock Market
Crash. Ken State University, Department of Finance, 2004.
Top Related