UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: Lic. GARCIA SAEZ, Edwin Carlos
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: ANALISIS MATEMATICO II – TRABAJO N° 01
TEMA : EJERCICIOS APLICATIVOS DE ANTIDERIVADAS
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
TRABAJO N° 01* REALIZAR EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTES ANTIDERIVADAS:
1.-f ( x )=3 x4+6x5+senx
Solución:
f 1g ( x )=35x5+x6−cosx
f 2 ( x )=35x5+x6−cosx +20
f 3 ( x )=35x5+x6−cosx +√7
f 4 ( x )=35x5+ x6−cosx –sen37°
f 5 ( x )=35x5+x6−cosx –ctg180°
2.-f ( x )=e5 x+ax−b x3
Solución:
f 1 ( x )=5e5x+ a2x2−b
4x4
f 2 ( x )=5e5x+ a2x2−b
4x4+25
f 3 ( x )=5e5x+ a2x2−b
4x4 +3√8
f 4 ( x )=5e5x+ a2x2−b
4x4 +3√57
f 5 ( x )=5e5x+ a2x2−b
4x4 +ctg 53 °
3.-f ( x )=−e2 x+cos (5 x )+20 x4
Solución:
f 1 ( x )=−2e2x−sen (5 x )+4 x5
f 2 ( x )=−2e2x−sen (5 x )+4 x5+4
f 3 ( x )=−2e2x−sen (5 x )+4 x5−64
f 4 ( x )=−2e2x−sen (5x )+4 x5+sen15 °
f 5 ( x )=−2e2x−sen (5 x )+4 x5+cos75 °
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: Lic. GARCIA SAEZ, Edwin Carlos
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: ANALISIS MATEMATICO II – TRABAJO N° 02
TEMA : EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
TRABAJO N° 02* REALIZAR EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES INDEFINIDAS:
1.-∫ 3√x dx
Solución:
Aplicamos:
∫ xndx= xn+1
n+1 + c
Luego:∫ 3√X dx==∫ x1 /3dx= x1 /3+1
1/3+1 + c
= x4 /34 /3
+ c
2.-∫ 5
x4dx
Solución:
Aplicamos:
∫ xndx= xn+1
n+1 + c
Luego:∫ 5
x4dx =
=∫5 x−4dx=5∫ x−4dx=5[ x−4+1
−4+1 ]+ c
3x4 /3
4+c……….Rpta
−5x−3
3+ c
3.-∫( y52 ¿−5 y
43−2 y
14−√ y)dy ¿
Solución:
Aplicamos:
∫ y ndx= yn+1
n+1 + c
Luego:∫( y
52 ¿−5 y
43−2 y
14−√ y)dy ¿=
= y 52+152+1
−5 y
43+1
43+1
−2 y
14+1
14+1
−y12+1
12+1
+c
= y 7272
−5 y
73
73
−2 y
54
54
−y32
32
+c
4.-∫ cos (ax)1−sen(ax)
dx
Solución:
Aplicamos: cambio de variable:
Sea: z= 1- sen(ax)dzdx
=0−[sen (ax )]' (ax )'
dzdx
=−acos (ax )
dz = -acos(ax)dx
−dza
= cos (ax )dx
Luego: Reemplazando variables:∫ cos (ax)1−sen(ax)
dx
2 y72
7−15 y
73
7−8 y
54
5−2 y
32
3+c ....Rpta
= ∫−1z . a
dz
¿−1a∫
1zdz
¿−1aln (z)
5.-∫8 x
(2x2+5)4dx
Solución:
Aplicamos: cambio de variable:
Sea:
z= ¿)dzdx
=2.2x2−1+0
dzdx
=4 x
dz=4 x dx
2dz=2.4 x dx
2dz=8 x dx
Luego: Reemplazando variables:∫ 2
(z )4dz
= ∫2 z−4dz
= 2∫ z−4dz
= 2z−4+1
−4+1
= 2z−3
−3
= 2
−3 z3
−1aln [1−sen (ax )]+c ... .Rpta
- 2
3(2 x2+5)3+c ... .Rpta
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FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: Lic. GARCIA SAEZ, Edwin Carlos
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: ANALISIS MATEMATICO II – TRABAJO N° 03
TEMA : EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
TRABAJO N° 03* REALIZAR EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES:
1.-∫(7+X−3 x2)e−x dx
Solución:
= ∫7 e−x dx+∫ x e−x dx−∫3 x2e− xdx
Luego: integrando por partes (la segunda y tercera integral):∫7 e−x dx+∫ x e−x dx−3∫ x2e− xdx
Sea: u=x dv=e−x dx sea: u=x2 dv=e−x dx
dudx
=1 ∫ dv=∫e− xdx dudx
=2 x ∫ dv=∫e− xdx
du=dx v=e− x du=2 xdx v=e− x
Reemplazando las partes:
∫7 e−x dx+∫ x e−x dx−∫3 x2e− xdx
= 7∫e− xdx + [x e−x−∫e− xdx ¿−3 [x2 e−x−∫2 x e−x dx ]
= 7e− x + x e−x−e− x−3 x2 e− x+6∫ x e−x dx
= 6e− x + x e−x−3 x2e− x+6∫ x e− xdx
= 6e− x + x e−x−3 x2e− x+6 [x e−x−∫e− xdx ]+c
= 6e− x + x e−x−3 x2e− x+6 xe− x−6e−x+c
= 7 x e−x−3 x2e− x+c
2.-∫ e−xcos 3x dx
Solución:
Sea: Sea: u=cos3 x dv=e−x dx
dudx
=−sen3 x . (3 x )' ∫ dv=∫e− xdx
x e−x [7−3 x ]+c ... .Rpta
du=−3 sen 3xdx v=e− x
Luego: integrando por partes:∫ e−xcos 3x dx=cos3 x . e−x−∫e− x(−3 senx)dx
∫ e−xcos 3x dx= cos3 x . e−x+3∫ e−x senx dx……………………………………………………………(α )
Luego: Hallando por separado la integral: ∫ e−x senx dx
Sea:
u=senx dv=e−x dx
dudx
=cosx ∫ dv=∫e− xdx
du=cosxdx v=e− x
Luego:
∫ e−x senx dx=senx .e− x−∫e− xcosx dx
∫ e−x senx dx=senx .e− x−[cosx . e− x−∫ e−x (−senx)dx ]
∫ e−x senx dx=senx .e− x−cosx . e−x−∫ e−x senx dx
2∫ e−x senx dx=senx . e−x−cosx . e− x
∫ e−x senx dx= senx . e−x−cosx . e−x
2
Finalmente reemplazando en(α ):
∫ e−xcos 3x dx=¿ cos3 x . e−x+3[ senx . e−x−cosx . e−x
2]
∫ e−xcos 3x dx=¿ cos3 x . e−x+3[ senx . e−x2 ]−3[ cosx . e−x2]
∫ e−xcos 3x dx=3 senx . e− x
2− cosx . e
−x
2
∫ e−xcos 3x dx= e− x
2[3 senx−cosx ]+c ... .Rpta
3.-∫ x3 senx dx
Solución:
Sea: Sea: u=x3 dv=senxdx
dudx
=3 x2 ∫ dv=∫senx dx
du=3 x2dx v=−cosx
∫ x3 senx dx=x3 (−cosx )−∫ (−cosx ) .3x2dx
∫ x3 senx dx=x3 (−cosx )+3∫ x2 cosx dx
Sea: u=x2 dv=cosxdx
dudx
=2 x ∫ dv=∫cosx dx
du=2 xdx v=senx
Reemplazando tenemos:
∫ x3 senx dx=x3 (−cosx )+3 [x2 senx−∫ senx .2x dx ]
∫ x3 senx dx=− x3 cosx+3 x2 senx−6∫ xsenx dx ¿
Sea: u=x dv=senxdx
dudx
=1 ∫ dv=∫senx dx
du=dx v=−cosx
Finalmente Reemplazando tenemos:
∫ x3 senx dx=− x3 cosx+3 x2 senx−6 [ x (−cosx )−∫(−cosx)dx ]
∫ x3 senx dx=− x3 cosx+3 x2 senx+6 xcosx−6∫ cosx dx
∫ x3 senx dx=− x3 cosx+3 x2 senx+6 xcosx−6 senx+c
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: Lic. GARCIA SAEZ, Edwin Carlos
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: ANALISIS MATEMATICO II – TRABAJO N° 04
TEMA : RESOLUCIÓN DEL EXAMEN PARCIAL
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
xcosx (6-x2)+3 senx (x2−2 )+c ... .Rpta
TRABAJO N° 04* REALIZAR EL CÁLCULO DE LAS SIGUIENTES INTEGRALES POR PARTES:
1.-∫ sen2 x√1+2cos2x dx
Solución:
Integrando por cambio de variable:
Sea: u=1+2cos2 x
dudx
=0+2 (−sen2 x ) .(2 x) '
du=−4 sen2 xdx
Luego: Reemplazando las partes:
∫ sen2 x√1+2cos2x dx= ∫(−dz4
)√z
∫ sen2 x√1+2cos2x dx= −14 ∫√ zdz
∫ sen2 x√1+2cos2x dx= −14 ∫ z1/2dz=
−14 ( z
12+1
12+1 )=−1
4 ( z32
32
)=−16
(z32 )+c=
2.-∫ x (1
x2−a2− 1
x2−b2)dx
Solución:
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx= ∫ x
x2−a2dx−∫ x
x2−b2dx
Integrando por cambio de variable: (a, b; son constantes)
Sea: z= x2−a2 Sea: w= x2−b2
dzdx
=2x dwdx
=2 x
dz2
=xdx dw2
=xdx
Luego reemplazando las variables tenemos:
−16
√(1+2cos2 x)3+c ....Rpta
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx=∫ dz
2(z )−∫ dw
2(w)
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx=1
2∫dzz
−12∫
dww
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx=1
2( ln z )−1
2( lnw )+c
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx=1
2[ ( ln z )−(lnw )]+c
Finalmente reemplazando las variables:
∫ x ( 1
x2−a2− 1
x2−b2)dx=1
2[ ln (x2−a2 )−ln(x2−b2)]+c
3.-∫ ex
√2−e2x+3exdx
Solución:
Integrando por cambio de variable:
Sea: z= ex
dzdx
=ex
dz=ex dx
Luego reemplazando la variable tenemos:
∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ dz
√2−z2+3 z
Formando trinomio cuadrado en la raiz:
∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ dz
√2−(z2−3 z+ 94−94 )∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ dz
√2−(z−32 )2
+ 94
∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ dz
√ 174 −(z−32)2
∫ x ( 1x2−a2
− 1x2−b2
)dx=12 [ ln (x2−a2 )
(x2−b2 ) ]+c………... .Rpta
∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ ex dx
√ 174 −(ex−32)2
Haciendo cambio de variable:
Sea: u= (ex−32 )du = ex dx
Luego reemplazando la variable tenemos:
∫ ex
√2−e2x+3exdx=∫ du
√ 174 −u2
Utilizando formula trigonométrica tenemos:
∫ ex
√2−e2x+3exdx=arc sen ( u
√ 174 )+cFinalmente reemplazando la variable:
4.-∫ sen( lnx)dx
Solución:
Integrando por partes:
Sea: u= sen(lnx) dv=dx
dudx
=1xcos (lnx) ∫ dv=∫dx
du=1xcos (lnx)dx v=x
Luego aplicamos integración por partes:
∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x - ∫ x . 1x cos (lnx)dx
∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x - ∫cos (lnx)dx…………………(1)
∫ ex
√2−e2x+3exdx=arc sen ( e
x−32
√ 174 )+c……… ....Rpta
Integrando por partes:
Sea: u= cos (lnx) dv=dx
dudx
=−1xsen(lnx) ∫ dv=∫dx
du=−1xsen (lnx)dx v=x
Luego reemplazando en (1):
∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x - ∫cos (lnx)dx
∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x - ¿
∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x -cos (lnx ) . x−∫ sen ( lnx)dx ¿¿
2∫ sen( lnx)dx=sen (lnx).x -cos (lnx ) . x
∫ sen( lnx)dx=12 ¿.x -cos (lnx ) . x¿
∫ sen( lnx)dx=12 ¿.x -cos (lnx ) . x¿+c……… ....Rpta
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: Lic. GARCIA SAEZ, Edwin Carlos
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: ANALISIS MATEMATICO II – TRABAJO N° 05
TEMA : APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES
FACULTAD: INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
DOCENTE: ING. HUBNER JANAMPA
ALUMNO : Edwin, CHAVEZ ENCISO
ÁREA: MATEMATICA BASICA II
TEMA : DESARROLLO DE EXAMÉN FINAL
CICLO : II
AYACUCHO - 2014
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