“La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años”
¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?
• Conocer conceptos básicos de algebra:
- Término Algebraico:
Coeficiente Numérico
Factor Literal
Grado
Signo
- Expresión Algebraica
• Operar con expresiones algebraicas
• Clasificar expresiones algebraicas
Contenidos
1. Definiciones
1.1 Término algebraico
1.2 Expresión algebraica
2. Operaciones algebraicas2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos
Semejantes)
1.4 Términos semejantes
1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas
1.1 Término Algebraico
Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”.Coeficiente Grado Numérico 23x5y8
Factor Literal
1. Definiciones
5 + 8 = 13
Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción.
1.2 Expresión algebraica
Ejemplos:
1) 9x7 – 4 5y
2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q
3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2
1.3 Clasificación:
Monomio
Expresión algebraica que consta de un término algebraico.
Ejemplos:
Polinomio
Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.
1) 36x5, 3) 73p4q22) 8ab3,
2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos
algebraicos.
Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7
Ejemplo:
1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.
2m3n4 + 7ab
3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos.
Ejemplo:3x – 2y + 3yx – 4z + 6
Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.
Ejemplo:
- Los términos y son semejantes.
- Los términos y NO son semejantes.
1.4 Términos Semejantes
7m3n 2m3n
3p2 9p5
2. Operaciones algebraicas
2.1 Adición y Sustracción
Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable.
Ejemplo:
mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p
= – 3mn5p
Ejercitemos lo aprendido:
Reducir los términos semejantes:
1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =
2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =
6a ∙ 3ab =
2.2 Multiplicación: El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente
y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales)
Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.
Ejemplo:
• Monomio por monomio:
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo:
• Monomio por polinomio:
18a2b
5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) =
10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.
Ejemplo:
• Polinomio por Polinomio:
(2x + y)(3x + 2y) =
= 6x2 + 7xy + 2y2
6x2 + 4xy + 3xy + 2y2
Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales.
Ejemplo:
(Reduciendo términos semejantes)
¿Cómo se resuelve correctamente?
(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +211.
=x² + 10x + 21
• Producto de binomio con factor común:
Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.
Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c
(3x + 4)∙(3x + 2) =
= 9x2 + 18x + 8
(3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2
Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
(y - 4)∙(y + 2) =
= y2 – 2y - 8
y2 + (-4 + 2)y - 4∙2
2.1 Productos Notables
Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.
• Cuadrado de Binomio:
(I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2
(I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2
Ejemplo:
La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:
(5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2
= 25x2 - 30xy + 9y2
bab
a ab2
2
a b
b
a
a b
a
b
• Suma por su diferencia:
Ejemplo: Aplicando la fórmula...
(a + b)∙(a – b) = a2 – b2
(5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2
= 25x2 – 36y2
• Cubo de binomio:
(I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3
(I - II)3 = I3 – 3*I2*II + 3*I*II2 - II3
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando potencias...
Multiplicando...
(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3
= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3
= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3
(3x – 2y)3 =
• Cuadrado de trinomio:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)
(2x + 3y + 4z)2 = ?
= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.
• Factor común:Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Ejemplo:
2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Al descomponer...
(El factor común es : 2xy)
2.4 Factorización
2xy + 4xy2 – 6x2y =
= 2xy(1 + 2y – 3x)
• Factor común compuesto:Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo.
Ejemplo:
Agrupando...
Factorizando por partes...
Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...
xz + xw + yz + yw =
= (xz + xw) + (yz + yw)
= x(z + w) + y(z + w)
= (z + w)(x + y)
Factorizar:
• Diferencia de cubos:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
• Suma de cubos:
Ejemplo:
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)
• Reconocer productos notables:
Ejemplos:
1)
Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia.
2)
Corresponde a un producto de binomios con un término común..
36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y)
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
(x + 5)(x – 4)
(x + 5)(x – 5)
2.5 DivisiónPara dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.
Ejemplos:
1) Si x2 – 25 0, entoncesFactorizando...
Simplificando...
=x2 + x - 20
x2 - 25
(x – 4)
(x – 5)=
Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:
(x – 4)
(x – 5)
(a + b)
(a – b) 1
a - b= ∙
(a + b)(a – b):
(a + b)(a + b) 1
a - b
2) Si a b y a - b, entonces
Factorizando y simplificando
Dividiendo:
(a + b)2
a2 - b2: 1
a - b=
(a + b)
(a – b)
1
a - b:=
= (a + b)
3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)
• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.
Ejemplo 1:
El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
es: 18x5y3z6
Ejemplo 2:
El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z
es: x4y6z3
x2 + 2x +1x2 + x
• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.
Ejemplo:
Determinar el m.c.m. entre:
y
m.c.m. :
Factorizando... x(x +1) (x +1)2
x(x +1)2
4. Máximo común divisor (M.C.D.) • Entre monomios:
Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.
Ejemplo 1:
El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
es: 3y
Ejemplo 2:
El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2
es: a4b
x2 + 2x +1x2 + x
• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.
Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:
y
M.C.D. :
Factorizando... x(x +1) (x +1)2
(x +1)
Ejercitemos
¿Cómo se resuelve correctamente?
P = 3(Q + 5)
1. “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q
aumentada en 5 años” se puede expresar como
P: edad de mi padre
Q: mi edad
Luego, el enunciado se puede expresar como
Sea:
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