Olmos Rizzato, Cecilia

MATEMATICA II – UNIDAD 2

Enunciados:

Actividad 21:

Para la función: ���� = ���� � � ≠ 10� � = 1 �

a) Analice continuidad en x=1, para ello considere las tres condiciones de continuidad. En

caso de ser discontinua indique tipo de discontinuidad.

b) Grafique la función.

c) Calcule el límite de la función cuando la letra tiende a 2.

d) Utilizando la definición formal de límite. Demuestre que el límite de la función existe

cuando x tiende a 1.

Actividad 22:

Para la función: ���� = ������� � � ≠ 50� � = 5 �

a) Analice continuidad en x=5, para ello considere las tres condiciones de continuidad. En

caso de ser discontinua indique tipo de discontinuidad.

b) Grafique la función.

c) Calcule el límite de la función cuando la letra tiende a 2.

d) Utilizando la definición formal de límite. Demuestre que el límite de la función existe

cuando x tiende a 5.

Respuestas:

Actividad 21:

Para la función: ���� = ���� � � ≠ 10� � = 1 �

a) Analice continuidad en x=1, para ello considere las tres condiciones de continuidad. En

caso de ser discontinua indique tipo de discontinuidad.

Evaluación de condiciones:

1- ������ ��� (Existe la función en el punto, esto es: � ∈ ��)

��1� = 0�� ���

Olmos Rizzato, Cecilia

2- lim�→� ���� �� ��� (existe el límite de la función f en el punto a)

El lim�→� ������ ���, lim�→ ��� = lim�→ �������� = lim�→ � + 1 = 2�� ���

3- lim�→� ���� = ���� (el límite de la función f en el punto a coincide con el valor de la función

en a)

lim�→ ��� ≠ ��1� por lo que f es discontinua en x=1

El tipo de Discontinuidad es: evitable o removible:

Sea f una función, f es discontinua en a.

Si el lim�→� ���� �� ��� decimos que a es un punto de discontinuidad evitable o removible.

En el ejercicio deberíamos redefinir ��1� que sea igual a 2 para obtener una función continua en 1,

de la siguiente manera:

���� = "�� − 1� − 1 � � ≠ 1$� � = 1 %

b) Grafique la función.

c) Calcule el límite de la función cuando la letra tiende a 2.

lim�→��� − 1� − 1 = lim�→� �� − 1��� + 1�� − 1 = lim�→�� + 1 = 3

Olmos Rizzato, Cecilia

d) Utilizando la definición formal de límite. Demuestre que el límite de la función existe

cuando x tiende a 1.

Demostración analítica de la función: lim�→

�� − 1� − 1 = 2

Dado un ε, necesito demostrar la existencia de un δ tal que cuando:

0 < |� − )| < * �+�,+)�� |���� − -| < .

Reemplazando: ���� = ��� , L=2 y c=1

Buscamos un δ>0 tal que si 0 < |� − 1| < * podemos estar seguros que:

|���� − -| = /�� − 1� − 1 − 2/ = |� + 1 − 2| = |� − 1| < .

Como |� − 1| < . entonces: |���� − -| = |� − 1| < .

Si exigimos que * ≤ . obtenemos:

|���� − -| = |� − 1| < * ≤ .

Concluimos: dado un ε basta tomar 1 ≤ 2 para que si |3 − 4| < 1 se pueda asegurar que |5�3� − $| < 2

Actividad 22:

Para la función: ���� = ������� � � ≠ 50 � � = 5 �

a) Analice continuidad en x=5, para ello considere las tres condiciones de continuidad. En

caso de ser discontinua indique tipo de discontinuidad.

Evaluación de condiciones:

1- ���� �� ��� (Existe la función en el punto, esto es: � ∈ ��)

��5� = 0 �� ���

2- lim�→� ���� �� ��� (existe el límite de la función f en el punto a)

El lim�→� ������ ���, lim�→�����

�� = lim�→����������

�� = lim�→� � + 5 = 10 �� ���

Olmos Rizzato, Cecilia

3- lim�→� ���� = ���� (el límite de la función f en el punto a coincide con el valor de la función

en a)

lim�→� ������ ≠ ��5� por lo que f es discontinua en x=5

El tipo de Discontinuidad es: evitable o removible:

Sea f una función, f es discontinua en a.

Si el lim�→� ���� �� ��� decimos que a es un punto de discontinuidad evitable o removible.

En el ejercicio deberíamos redefinir ��5� que sea igual a 10 para obtener una función continua en

5, de la siguiente manera:

���� = "�� − 25� − 5 � � ≠ 546� � = 5 %

b) Grafique la función.

c) Calcule el límite de la función cuando la letra tiende a 2.

lim�→� �� − 25� − 5 = lim�→� �� − 5��� + 5�� − 5 = lim�→�� + 5 = 7

d) Utilizando la definición formal de límite. Demuestre que el límite de la función existe

cuando x tiende a 5.

Demostración analítica de la función:

Olmos Rizzato, Cecilia

lim�→� �� − 25� − 5 =10

Dado un ε, necesito demostrar la existencia de un δ tal que cuando:

0 < |� − )| < *�+�,+)��|���� − -| < .

Reemplazando: ���� = ������ , L=10 y c=5

Buscamos un δ>0 tal que si 0 < |� − 5| < *podemos estar seguros que:

|���� − -| = /�� − 25� − 5 − 10/ = |� + 5 − 10| = |� − 5| < .

Como |� − 5| < . entonces: |���� − -| = |� − 5| < .

Si exigimos que * ≤ . obtenemos:

|���� − -| = |� − 5| < * ≤ .

Concluimos: dado un ε basta tomar 1 ≤ 2 para que si |3 − 8| < 1 se pueda asegurar que |5�3� − 46| < 2