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INDICE

ContenidoINDICE ............................................................................................................................. 1

INTRODUCCION ............................................................................................................ 2

RESUMEN ....................................................................................................................... 3

CONTENIDO ................................................................................................................... 8

1 METODO DE RUNGE KUTTA ............................................................................. 8

1.1 Mtodo de RUNGE-KUTTA ............................................................................. 8

1.2 PRIMER METODO DE RUNGE KUTTA ..................................................... 11

1.3 SEGUNDO METODO DE RUNGE KUTTA ................................................ 12

1.4 EXTENSION DEL METODO DE RUNGE KUTTA .................................... 13

1.5 EJEMPLOS RESUELTOS .............................................................................. 14

1.5.1 RUNGEKUTTA PARA SEGUNDO ORDEN, MTODO PUNTOMEDIO. .................................................................................................................. 14

1.5.2 RUNGEKUTTA PARA TERCER ORDEN. ........................................ 17

2 APLICACIONES A LA INGENIERIA CIVIL ..................................................... 20

2.1 APLICACIN DEL METODOD DE RUNGE KUTTA (TRANSITO DE

AVENIDAS)- HIDROLOGIA ................................................................................... 213 PROGRAMA EN MATLAB DEL METODO DE RUNGE KUTTA ................... 27

3.1 SOLUCION DEL EJERCICIO PLANTEADO EN EL PROGRAMA ........... 31

4 CONCLUSIONES .................................................................................................. 34

5 RECOMENDACIONES ........................................................................................ 35


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INTRODUCCIONDentro de la Ingeniera y otras ciencias hay diversos problemas que se formulan en

trminos de ecuaciones diferenciales .Por ejemplo ,trayectorias balsticas ,estudio de

redes elctricas , deformacin de vigas, estabilidad de aviones, teora de vibraciones y

otras aplicaciones de aqu la importancia de su solucin

En el presente trabajo nos enfocaremos en la SOLUCION DE ECUACIONES

DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN-Mtodo de Runge kutta del curso de

Mtodos Numricos, que va dirigido primeramente al docente del curso y a los

colegas estudiantes que llevan el curso ya mencionado, nuestro propsito es

desarrollar el tema de una forma breve y entendible claro est utilizando la

terminologa necesaria en este captulo, de igual manera se presenta algunos de

problemas con el procedimiento completo ,ordenado y de fcil entendimiento

.Tambin se presenta una aplicacin a la INGENIERIA CIVIL de este mtodo y

finalmente un programa en MATLAB.

Los Alumnos


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RESUMEN

Cuando se desarrolla el mtodo de Euler para resolver la ecuacin diferencial deprimer orden

Y' = f(X, Y) (1)

Con la condicin inicial

Y(X0) = Y0 (2)

Consiste en aplicar repetidamente la frmula de recurrencia

Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n= 1, 2, 3, ... (3)

Para determinar la solucin de la ecuacin diferencial en X = X1, X2, X3, ...

Sustituyendo la funcin f(X,Y)dada en (1), en (3), se tiene que

Yn+1 = Yn + h Y'n (4)

Expresin que indica que el mtodo de Euler consiste grficamente, en ir de un valor

Ynconocido de la solucin de la ecuacin diferencial (1) en un punto, al siguiente pormedio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la

solucin conocida, como se muestra en la siguiente figura.


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De este planteamiento grfico puede verse que una mejor aproximacin a la solucin

de la ecuacin diferencial se obtendra si en vez de ir por la tangente T1 paradeterminar la solucin en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante conpendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos

coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1)en donde Xn+1y Yn+1pueden estimarse conel procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente grfica:

Con lo anterior se obtendra un mtodo mejorado de Euler con error del orden dedefinido por la expresin

(5)

en donde f(Xn+1, Yn+1)es el valor de la funcin f(X, Y)para:

X = Xn+1

Y = Yn + h f(Xn, Yn)

Observando las expresiones para resolver la ecuacin diferencial, puede decirse queambas consisten en aplicar la frmula de recurrencia

(6)

en donde

(7)


5/35

En el mtodo de Eulery

(8)

En lo que

Y' = f(X, Y) (9)

En el mtodo de Euler Mejorado.

Como se ve, estos mtodos tienen los siguientes puntos en comn:

1.

son mtodos de un paso; para determinar yn+1 se necesita conocer

nicamente los valores de xny yndel punto anterior.

2.

no requieren evaluar ninguna derivada, sino nicamente valores de la funcinf(x, y).

Estas caractersticas dan origen a una gran variedad de mtodos conocidos como de

runge-kutta la diferencia entre ellos cosiste en la forma como se define la funcin

que aparece en la expresin (6).

La ventaja de los mtodos de Runge-Kuttacon respecto al uso de la serie de Taylor,que es tambin un mtodo de un paso, est expresado en el punto (2) anterior; es

decir, los mtodos de Runge-Kutta requieren slo de la funcin f(X, Y)y de ningunaderivada, mientras que la serie de Taylor s requiere de la evaluacin de derivadas.Esto hace que, en la prctica, la aplicacin de los mtodos de Runge-Kutta sean ms

simples que el uso de la serie de Taylor.

Un mtodo de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la literatura sobremtodos numricos se le llama simplemente el Mtodo de Runge-Kutta, se dar aconocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuacin de recurrencia (6) en donde la

funcin est dada por la expresin:

(10)

En el cual


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(11)

La ecuacin (10) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro pendientes, k1, k2,k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se procedi con laspendientes de las tangentes T1y T2que dieron lugar a (5).


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OBJETIVOS

Objetivo General

Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales lineales de primer orden a travsdel mtodo de Runge-Kutta.

Objetivos Especficos

Conocer ventajas y desventajas del mtodo.

Comparar el mtodo de Runge-Kutta con la solucin de la ecuacin resueltapor mtodos de integracin.

Identificar la exactitud del mtodo.


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CONTENIDO

1 METODO DE RUNGE KUTTA

El mtodo de Runge-Kutta es un mtodo genrico de resolucin

numrica de ecuaciones diferenciales.

El mtodo de Runge-Kutta no es slo un nico mtodo, sino una

importante familia de mtodos iterativos, tanto implcitos como

explcitos, para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales

ordinarias (E.D.Os); estas tcnicas fueron desarrolladas alrededor de

1900 por los matemticos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin

Wilhelm Kutta.

1.1 Mtodo de RUNGE-KUTTA

El mtodo de Runge Kutta es un mtodo numrico de resolucin de

ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del mtodo de

Euler. El mtodo de Euler se puede considerar como un mtodo deRunge Kutta de primer orden, el de Heun, es un mtodo de Runge Kutta

de orden dos.

Los mtodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de

una serie de Taylor sin requerir el clculo de derivadas superiores. Existen

muchas variaciones, pero todas se pueden denotar en la forma

generalizada de la ecuacin

yi+ 1= yi+ F(xi,yi,h)h

Donde F(xi,yi,h) se conoce como la funcin incremento la cual puede

interpretarse como una pendiente representativa en el intervalo. La

funcin incremento se escribe en forma general como:

F = a1k1 + a2k2 +.+ ankn


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Donde las a son constantes y las k son:

k1= f(xi,yi)

k2= f(xi+ p1h,yi+ q11k1h)

k3= f(xi+ p2h,yi+ q21k1h+ q22k2h)

kn= f(xi+ pnh,yi+ q2n-1k1h+ qn-1,2k2h+ . + qn-1,n-1kn-1h)

Donde las p y q son constantes.

Como cada kes una evaluacin funcional, esta recurrencia hace que

los mtodos Runge-Kutta sean eficientes para la programacin. Existen

varios tipos de mtodos Runge-Kuttaal emplear diferentes nmeros de

trminos en la funcin incremento como la especificada por n.

n= 1, es el mtodo de Euler. Una vez se elige n, se evalan las a,py qal

igualar la funcin incremento a los trminos en la serie de expansin de

Taylor. La versin de segundo orden para la ecuacin en su forma

generalizada es:

Donde:

Los valores de a1, a2, p1 y q11 son evaluados al igualar el trmino de

segundo orden de la ecuacin dada con la expansin de la serie de

Taylor.

Desarrollando tres ecuaciones para evaluar las cuatro incgnitas:
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?a_2+q_{11}+=+{1+\over+2}http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?a_1+p_2+=+{1+\over+2}http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?a_1+++a_2+=+1http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f(x_i+++p_1+h,q_{11}+k_1+h)+\cr}+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?y_{i+++1}+=+y_i+++(a_1+k_1+++a_2+k_2+)h


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Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incgnitas se tiene que

suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especific un valor

para a2, se puede resolver de manera simultnea el sistema de

ecuaciones obtenido:

Como se puede elegir un nmero infinito de valores para a2, hay un

nmero infinito de mtodos Runge-Kuttade segundo orden.

a2= 1/2: Mtodo de Heuncon un solo corrector, donde:

a2= 1 : Mtodo del punto medio.

a2= 2/3: Mtodo de Ralston.

Siguiendo el mismo razonamiento para n = 3, o sea, Runge-Kutta de

tercer orden, el resultado son seis ecuaciones con ocho incgnitas, por

lo tanto se deben suponer dos valores con antelacin para poder

desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versin ampliamente usada

es:

ste es el ms popular de los mtodos Runge-Kuttade cuarto orden:
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{y_{i+++1}+=+y_i+++\left(+{{{k_1+++2k_2+++2k_3+++k_4+}+\over+6}}+\right)h+\cr+k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f\left(+{x_i+++{h+\over+2},y_i+++k_1+{h+\over+2}}+\right)+\cr+k_3+=+f\left(+{x_i+++{h+\over+2},y_i+++k_2+{h+\over+2}}+\right)+\cr+k_4+=+f\left(+{x_i+++h,y_i+++k_3+h}+\right)+\cr}http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{y_{i+++1}+=+y_i+++\left(+{{{k_1+++4k_2+++k_3+}+\over+6}}+\right)h+\cr+k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f\left(+{x_i+++{h+\over+2},y_i+++k_1+{h+\over+2}}+\right)+\cr+k_3+=+f(x_i+++h,y_i+-+k_1+h+++2k_2+h)+\cr}+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{y_{i+++1}+=+y_i+++\left(+{{{k_1+}+\over+3}+++{{2k_2+}+\over+3}}+\right)h+\cr+k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f\left(+{x_i+++{{3h}+\over+4},y_i+++3k_1+{h+\over+4}}+\right)+\cr}+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{y_{i+++1}+=+y_i+++k_2+h+\cr+k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f\left(+{x_i+++{h+\over+2},y_i+++k_1+{h+\over+2}}+\right)+\cr}http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{y_{i+++1}+=+y_i+++\left(+{{{k_1+}+\over+2}+++{{k_2+}+\over+2}}+\right)h\cr+k_1+=+f(x_i+,y_i+)+\cr+k_2+=+f(x_i+++h,y_i+++k_1+h)+\cr}+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?{a_1+=+1+-+a_2+\cr+p_1+=+q_{11}+=+{1+\over+{2a_2+}}+\cr}+


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1.2 PRIMER METODO DE RUNGE KUTTASea dado el punto , es nuestro inters aproximar en

dentro de la ecuacin diferencial ordinaria

Con tal propsito determinemos un punto intermedio de

modo tal que reemplazando en las expresiones correspondientes,

tendremos que el predictor y corrector en dicho punto intermedio se

escribir:

Por lo cual, en el punto deseado su predictor y corrector ser:

Simplificaremos el proceso de clculo, determinando algunos

coeficientes adecuados, as:

Como podemos verificar, reemplazando de acuerdo a las condiciones

supuestas


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De esta manera a partir de en es posible ubicar

en mediante el primer mtodo de RUNGE KUTTA, por medio

de la determinacin de los coeficientes de K del modo siguiente

1.3 SEGUNDO METODO DE RUNGE KUTTAEn forma similar, se deduce un segundo mtodo en funcin al siguiente

sistema:


13/35

1.4 EXTENSION DEL METODO DE RUNGE KUTTA

Para ecuaciones diferenciales de segundo orden, como

Suele simplificarse su clculo efectuando el siguiente cambio de

variable:

De este modo, el sistema queda entonces reducido a:

Determinndose los coeficientes siguientes:


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1.5 EJEMPLOS RESUELTOS

1.5.1 RUNGE KUTTA PARA SEGUNDO ORDEN, MTODO PUNTO MEDIO.Resuelva el siguiente problema de valor inicial en el intervalo de x=0 a

x=1.

yyxdx

dy2.12

Donde:y(0)=1

h = 0.25

Solucin

hkyy 2i1i

)yf(xi,k i1

h)k2

1y,h

2

1f(x=k 1ii2

Primera iteracin

1),(0f)y,f(xk 001


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)1(2.1)0)(1( 21k 2.11k

hxfk2

1( 02 , )

2

110 hky

)25.0(210(2 fk , ))25.0)(2.1(

211

)85.0,125.0(2 fk

)85.0(2.1)125.0(85.0 22k 006718.12k

25.0)006718.1(11y 748320.01y

Segunda iteracin

hxx 01

25.001x 25.01x

0.748320),(0.25f)y,f(xk 111

)748320.0(2.1)25.0)(748320.0( 21k 851432.01k

)25.0(2

125.0(2 fk , ))25.0)(851432.0(

2

1748320.0

)641891.0,375.0(2 fk

)641891.0(2.1)375.0(641891.0 22k 680003.02k

25.0)680003.0(748320.02y 578319.02y

Tercera iteracin

hxx 12

25.025.02x 5.02x

319)(0.5,0.578f)y,f(xk 221

)578319.0(2.1)5.0)(578319.0( 21k 549403.01k

hxfk2

1( 22 , )

2

112 hky


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)25.0(2

15.0(2 fk , ))25.0)(549403.0(

2

1578319.0

)509643.0,625.0(2 fk

)509643.0(2.1)625.0(509643.0 22k

4125.02k

25.0)4125.0(578319.03y 4752.03y

Cuarta iteracin

hxx 23

25.05.03x

52)(0.75,0.47f)y,f(xk 331

)4752.0(2.1)75.0)(4752.0( 21k 3029.01k

hxfk2

1( 32 , )

2

113 hky

)25.0(2

175.0(2 fk , ))25.0)(3029.0(

2

14752.0

)4373.0,875.0(2 fk

)4373.0(2.1)875.0(4373.0 2

2k 1900.02k

25.0)1900.0(4752.04y 4277.04y

hxx 34

25.075.04x

14x

Vectores solucin

X 0 0.25 0.5 0.75 1y 1 0.7483 0.5783 0.4752 0.4277

75.03x


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1.5.2 RUNGE KUTTA PARA TERCER ORDEN.Se resuelve el mismo problema anterior pero esta vez mediante el usodel mtodo Runge kutta de tercer grado, de valor inicial, en el intervalode x=0 a x=1.

yyxdx

dy2.12

Donde:y(0)=1h = 0.25

Solucin.

En el mtodo de Runge kutta de tercer orden se utilizan las siguientesformulas:

)hkk4(k6

1yy 321i1i

)yf(xi,k i1

h)k2

1y,h

2

1f(x=k 1ii2

h)k2hky,hf(xk 21ii3

Primera iteracin

)1(2.1)0)(1( 21k

2.11k

hxfk2

1( 02 , )

2

110 hky

)25.0(210(2 fk , ))25.0)(2.1(211

)85.0,125.0(2 fk

)85.0(2.1)125.0(85.0 22k 0067.12k

h)k2hky,hf(xk 21oo3 ))25.0)(0067.1(2)25.0)(2.1()1(),25.0(0(3 fk

)7966.0,25.0(3 fk

)7966.0(2.1)25.0(7966.0 23k

1),(0f)y,f(xk 001


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9062.03k

)hkk4(k6

1yy 32101

7445.01y

Segunda iteracin

hxx 01

25.001x 25.01x

0.7445),(0.25f)y,f(xk 111 )7445.0(2.1)25.0)(7445.0( 21k 8468.01k

hxfk2

1( 12 , )

2

111 hky

)25.0(2

125.0(2 fk , ))25.0)(8469.0(

2

17445.0

)6386.0,375.0(2 fk

)6386.0(2.1)375.0(6386.0 22k 6765.02k

h)k2hky,hf(xk 21113 ))25.0)(6765.0(2)25.0)(8469.0()7445.0(),25.0(25.0(3 fk

)6178.0,5.0(3 fk

)6178.0(2.1)5.0(6178.0 23k

5870.03k

)hkk4(k61yy 32112

5720.02y

Tercera iteracin

hxx 12 25.025.02x

5.02x


19/35

0)(0.5,0.572f)y,f(xk 221

)5720.0(2.1)5.0)(5720.0( 21k 5434.01k

hxfk 2

1

( 22 , )21

12 hky

)25.0(2

15.0(2 fk , ))25.0)(5434.0(

2

15720.0

)5041.0,625.0(2 fk

)5041.0(2.1)625.0(5041.0 22k 4080.02k

h)k2hky,hf(xk 21223 ))25.0)(4080.0(2)25.0)(5434.0()5720.0(),25.0(5.0(3 fk

)5038.0,75.0(3 fk )5038.0(2.1)75.0(5038.0 23k

3212.03k

)hkk4(k6

1yy 32123

4679.03y

Cuarta iteracin

hxx 23

25.05.03x

75.03x

79)(0.75,0.46f)y,f(xk 331

)4679.0(2.1)75.0)(4679.0( 21k 2986.01k

hxfk2

1( 32 , )

2

113

hky

)25.0(2

175.0(2 fk , ))25.0)(2983.0(

2

14679.0

)4306.0,875.0(2 fk

)4306.0(2.1)875.0(4306.0 22k 1871.02k

h)k2hky,hf(xk 21333

))25.0)(1871.0(2)25.0)(2983.0()4679.0(),25.0(75.0(3 fk


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)4489.0,1(3 fk

)4489.0(2.1)1(4489.0 23k

0898.03k

)hkk4(k6

1yy 32134

4206.04y

hxx 34

25.075.04x

14x

Vectores solucin

X 0 0.25 0.5 0.75 1y 1 0.7445 0.5720 0.4679 0.4206

2 APLICACIONES A LA INGENIERIA CIVIL

El estudio de los mtodos numricos, es muy til y por ende importante

para quien utilice esta herramientas para resolucin de operaciones, las

cuales se saben que pueden resultar complicadas, tediosas y largas, y

por ms que se dominen los mtodos tradicionales, estos muchas veces

pueden no ser suficientes, sin embargo esto no quiere decir que la

operacin sea imposible de solucionar, y es ah donde los mtodos

numricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera.

Dentro del estudio de los mtodos numricos, se encuentran una gran

variedad de aplicaciones como lo fue el descrito en el presente trabajo

referido al mtodo de runge kutta, que tiene como objetivo principal el

anlisis y solucin de los problemas de valor inicial de ecuaciones

diferenciales ordinarias, siendo estos una extensin del mtodo de euler

para resolver las, pero con un orden de exactitud mas alto que este,

logrando as la exactitud del procedimiento sin requerir el clculo de

derivadas superiores Por tal razn se toma como un mtodo de granfacilidad y rapidez lo que lo hace de gran importancia, ya que debido


21/35

a estas caractersticas su implantacin resulta mas cmoda y fcil de

manejar, tomando en cuenta a la misma vez la utilizacin de su

algoritmo resultando una gran ventaja a nivel de su desenvolvimiento

en la programacin en matlab. El mecanismo esta basado en la

aplicacin de ecuaciones matemticas de gran facilidad de empleo,

siendo esta otra caracterstica positiva. Este mtodo es de gran

aplicabilidad en diversas reas de la industria lo que lo hace muy usado

en distintos niveles.

2.1 APLICACIN DEL METODOD DE RUNGE KUTTA (TRANSITO DEAVENIDAS)- HIDROLOGIA

METODO DE RUNGE-KUTTA

Para la circulacin de avenidas a travs de embalses bajo el supuesto

de superficie libre horizontal, puede establecerse un mtodo alternativo

al anteriormente descrito resolviendo la ecuacin de continuidad

mediante un mtodo numrico como el de Runge-Kutta. Este mtodo

no requiere el clculo de la funcin especial 2S/t+Q versus Q, y se

aproxima ms a la hidrulica de la circulacin de flujos a travs de

embalses. Existen diversos rdenes de esquemas de Runge-Kutta, con

mucho, el ms til y empleado el cuarto orden.

La ecuacin de continuidad puede expresarse como

En donde

S: Volumen de agua almacenado.

I(t): Aporte que entra al embalse, funcin del tiempo.

Q(y): descarga evacuada por el aliviadera o estructura de

desage, determinada por la carga o calado.


22/35

El mtodo de Runge-Kutta aproxima el valor de la funcin y sobre un

intervalo de tiempo, t, mediante un desarrollo en serie de Taylor.

Que es la aproximacin de Runge-Kutta de cuarto orden, por esta

precisin, en la que el termino de error ser 0 (t5)

METODO DE RUNGE-KUTTA

HIDROGRAMA DE SALIDATIEMPO

(min.)

ELEVACION

(m.)

CAUDAL

(m3/s)

TIEMPO

(min.)

ELEVACION

(m.)

CAUDAL

(m3/s)

15 353.511 0 255 355.726 87.17

30 353.537 0 270 355.783 97.71

45 353.578 0 285 355.817 104.15

60 353.636 0 300 355.831 106.7

75 353.718 0 325 355.829 106.35

90 353.827 0 330 355.817 104.08

105 353.965 0 345 355.798 100.36

120 354.132 0 360 355.773 95.8

135 354.324 0 375 355.743 90.29

150 354.539 0 390 355.708 83.95

165 354.763 0 405 355.671 77.46


23/35

180 354.985 0 420 355.632 70.81

195 355.195 12.15 435 355.593 64.28

210 355.377 32.75 450 355.555 58.39

225 355.527 53.96 465 355.52 52.88

240 355.642 72.51 480 355.488 48.09

Nota: SE ANEXA UN ARCHIVO EN EXCEL EN EL CD

EJERCICIO 2:

Aplicando el mtodo de Runge-Kutta resolver un problema de

ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con aplicacin de

ingenieras.

Para problemas de ingeniera tenemos el caso de un tanque con

problema de mezclas de soluciones salinas:

Consideremos un depsito que contiene 50lts de agua con 75 gr de sal

disueltos. En un determinado instante comienza a entrar agua salada a

razn de 2 lts/min, con una concentracin de 3 gr/lts de sal, mientras

que el agua, perfectamente mezclada, sale del depsito a razn de 2

lts/min. En la imagen anterior se plantea el problema.

Llamemos a la cantidad de sal en el depsito en el instante t.

Notemos que el volumen de agua en el depsito es siempre de 50 litros,


24/35

ya que en cada instante entran dos litros y salen otros dos. Por tanto, la

concentracin de sal en cada instante ser de La velocidad

de variacin de la concentracin de sal viene dada por , que se

expresa en gr/min.Por un lado, el aporte de sal por minuto al depsito ser de:

Mientras que la tasa de prdida de sal es de:

La variacin total de la concentracin de sal viene dada por la

diferencia entre el aporte y la prdida de sal. Obtenemos as la siguienteecuacin diferencial:

Ya entonces teniendo las condiciones iniciales sabiendo que

osea:

Sabiendo esto vamos a determinar la cantidad de sal disuelta en el

tanque cuando el t= 60min aumentando desde el t inicial=0 con un

h=5min

Sabiendo esto procedemos a hallar :

Donde

Donde

Donde


25/35

Donde

Por lo tanto

Y as sucesivamente hasta llegar hasta

Pero para facilitar este mtodo se realiza a travs de la herramienta

Excel realizando una simple tabla que contenga el mtodo dicha tabla

se anexara en el trabajo.

ANEXOS CALCULOS DE METODO DE RUNGE KUTTASe anexa tambin para comparar la efectividad del mtodo la solucin

de la ecuacin luego de haber sido integraday los valores resueltos, al comparar esto nos podemos dar cuenta queson mnimas las diferencias y que el mtodo es efectivo y ser aun msefectivo si se escoge un incremento (h) ms pequeo.


26/35

Resolver mediante el mtodo de Runge Kuttala siguiente ecuacin:

t(min) 0

s(t)(gr) 75

h(min) 5

t(min) s(t)(gr) k1 k2 k3 k4

0 75 3 2,7 2,73 2,727

5 88,8225 2,4471 2,20239 2,226861 2,2244139

10 100,097513 1,99609947 1,79648952 1,81645052 1,81445442

15 109,294542 1,62821834 1,4653965 1,48167869 1,48005047

20 116,796558 1,3281377 1,19532393 1,20860531 1,20727717

25 122,915952 1,08336192 0,97502573 0,98585935 0,98477599

30 127,907542 0,88369832 0,79532849 0,80416547 0,80328177

35 131,979182 0,72083272 0,64874945 0,65595777 0,65523694

40 135,300419 0,58798325 0,52918492 0,53506476 0,53447677

45 138,009552 0,47961794 0,43165614 0,43645232 0,4359727

50 140,219391 0,39122435 0,35210192 0,35601416 0,35562293

55 142,021957 0,3191217 0,28720953 0,29040075 0,29008163

60 143,492311 0,26030757 0,23427682 0,23687989 0,23661958


27/35

3 PROGRAMA EN MATLAB DEL METODO DE RUNGE KUTTA

DIAGRAMA DE FLUJO DEL PROGRAMA DE RUNGE KUTTA

INICIO

Mostrar

Ingreso

Fin

Computar

Iniciar datos

Incrementar


28/35

Runge Kutta Organizador:% METODO DE RUNGE KUTTA% ord : Orden del metodo% funcion : Nombre de la funcin f(x,y) de la derivada% xo, yo : condiciones iniciales% h : tamao del paso% n : Numero de iteraciones. (para la particin)

disp ('METODO DE RUNGE KUTTA')disp ('---------------------')disp ('1 Metodo de Primer Orden')disp ('2 Metodo de Primer Orden')disp ('3 Metodo de Primer Orden')disp ('4 Metodo de Primer Orden')disp ('5 Comparacion')disp ('0 Salir')ord = input ('Elija Orden:');iford~=0

xo = input ('Ingrese valor inicial de x:');yo = input ('Ingrese valor inicial de y:');h = input ('Ingrese los incrementos h:');n = input ('Ingrese el numero de iteraciones n:');

switchordcase1

RK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n)case2

RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n)case3

RK_tercer_orden('funcion',xo,yo,h,n)case4

RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n)case5

hold allRK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n)RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n)RK_tercer_orden('funcion',xo,yo,h,n)RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n)title('METODO DE RUNGE KUTTA COMPARACION');hleg1 = legend('RK 1er Ord','RK 2do Ord','RK 3er Ord','RK

4to Ord');end

enddisp ('Finalizado')

Funcin:functionf=funcion (x,y)f=2*x*y;

Runge Kutta de 1er Orden:function RK_primer_orden(funcion,xo,yo,h,n)% RK_primer_orden('funcion',xo,yo,h,n)% funcion : Nombre de la funcin f(x,y) de la derivada% xo, yo : condiciones iniciales% h : tamao del paso% n : Numero de iteraciones. (para la particin)

yn=yo;xn=xo;


29/35

vectx = zeros(1, n+1);vecty = zeros(1, n+1);vectx(1)=xn;vecty(1)=yn;

fori=1:nxn1=xn+h;

k1=h*feval(funcion,xn,yn);yn1=yn+k1;vectx(i+1)=xn1;vecty(i+1)=yn1;xn=xn1;yn=yn1;

enddisp('METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER ORDEN')disp([' Iter ',' x ',' y '])disp([' ------',' ------',' ------'])disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)'])

subplot (1,1,1);plot(vectx,vecty,'--r+','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','r','MarkerSize',10);title('METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER OREDEN');xlabel ('valores x');ylabel ('valores y');grid on

Runge Kutta de 2do Orden:function w=RK_segundo_orden(funcion,xo,yo,h,n)% RK_segundo_orden('funcion',xo,yo,h,n)% funcion : Nombre de la funcin f(x,y) de la derivada% xo, yo : condiciones iniciales

% h : tamao del paso% n : Numero de iteraciones. (para la particin)

yn=yo;xn=xo;

vectx = zeros(1, n+1);vecty = zeros(1, n+1);vectx(1)=xn;vecty(1)=yn;

fori=1:nxn1=xn+h;

k1=h*feval(funcion,xn,yn);k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); yn1=yn+k2*h;vectx(i+1)=xn1;vecty(i+1)=yn1;xn=xn1;yn=yn1;

enddisp('METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO ORDEN')disp([' Iter ',' x ',' y '])disp([' ------',' ------',' ------'])disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)'])

subplot (1,1,1);


30/35

plot(vectx,vecty,'--go','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','g','MarkerSize',10);title('METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO OREDEN');xlabel ('valores x');ylabel ('valores y');grid on

Runge Kutta de 3er Orden:function w=RK_tercer_orden(funcion,xo,yo,h,n)% RK_TERCER_orden('funcion',xo,yo,h,n)% funcion : Nombre de la funcin f(x,y) de la derivada% xo, yo : condiciones iniciales% h : tamao del paso% n : Numero de iteraciones. (para la particin)

yn=yo;xn=xo;

vectx = zeros(1, n+1);

vecty = zeros(1, n+1);vectx(1)=xn;vecty(1)=yn;

fori=1:nxn1=xn+h;k1=h*feval(funcion,xn,yn);k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); k3=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k2)); yn1=yn+(k1+4*k2+k3)/6;vectx(i+1)=xn1;vecty(i+1)=yn1;xn=xn1;

yn=yn1;enddisp('METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER ORDEN')disp([' Iter ',' x ',' y '])disp([' ------',' ------',' ------'])disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)'])

subplot (1,1,1);plot(vectx,vecty,'--b*','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','b','MarkerSize',10);title('METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER OREDEN');xlabel ('valores x');ylabel ('valores y');

grid on

Runge Kutta de 4to Orden:function w=RK_cuarto_orden(funcion,xo,yo,h,n)% RK_cuarto_orden('funcion',xo,yo,h,n)% funcion : Nombre de la funcin f(x,y) de la derivada% xo, yo : condiciones iniciales% h : tamao del paso% n : Numero de iteraciones. (para la particin)

yn=yo;xn=xo;

vectx = zeros(1, n+1);vecty = zeros(1, n+1);


31/35

vectx(1)=xn;vecty(1)=yn;

fori=1:nxn1=xn+h;k1=h*feval(funcion,xn,yn);k2=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k1)); k3=h*feval(funcion,(xn+0.5*h),(yn+0.5*k2)); k4=h*feval(funcion,(xn+h),(yn+k3));yn1=yn+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;vectx(i+1)=xn1;vecty(i+1)=yn1;xn=xn1;yn=yn1;

enddisp('METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN')disp([' Iter ',' x ',' y '])disp([' ------',' ------',' ------'])disp([(0:n)',vectx(1:i+1)',vecty(1:i+1)'])

subplot (1,1,1);plot(vectx,vecty,'--kx','LineWidth',2,'MarkeredgeColor','k','MarkerSize',10);title('METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO OREDEN');xlabel ('valores x');ylabel ('valores y');grid on

3.1 SOLUCION DEL EJERCICIO PLANTEADO EN EL PROGRAMA

PARA:

x=0, y=1, h=0.1, n=5

>> RUNGEKUTTA

METODO DE RUNGE KUTTA

---------------------

1 Metodo de Primer Orden

2 Metodo de Primer Orden3 Metodo de Primer Orden

4 Metodo de Primer Orden

5 Comparacion

0 Salir

Elija Orden:5

Ingrese valor inicial de x:0

Ingrese valor inicial de y:1

Ingrese los incrementos h:0.1

Ingrese el numero de iteraciones n:5

METODO DE RUNGE KUTTA DE PRIMER ORDEN

Iter x y------ ------ ------


32/35

0 0 1.0000

1.0000 0.1000 1.0000

2.0000 0.2000 1.0200

3.0000 0.3000 1.0608

4.0000 0.4000 1.1244

5.0000 0.5000 1.2144

METODO DE RUNGE KUTTA DE SEGUNDO ORDEN

Iter x y

------ ------ ------

0 0 1.0000

1.0000 0.1000 1.0010

2.0000 0.2000 1.0040

3.0000 0.3000 1.0092

4.0000 0.4000 1.0164

5.0000 0.5000 1.0259

METODO DE RUNGE KUTTA DE TERCER ORDENIter x y

------ ------ ------

0 0 1.0000

1.0000 0.1000 1.0083

2.0000 0.2000 1.0372

3.0000 0.3000 1.0882

4.0000 0.4000 1.1646

5.0000 0.5000 1.2711

METODO DE RUNGE KUTTA DE CUARTO ORDEN

Iter x y------ ------ ------

0 0 1.0000

1.0000 0.1000 1.0101

2.0000 0.2000 1.0408

3.0000 0.3000 1.0942

4.0000 0.4000 1.1735

5.0000 0.5000 1.2840

Finalizado

RESULTADO:


33/35


34/35

4 CONCLUSIONES

El mtodo RUNGE-KUTA es un conjunto de mtodos iterativospara la aproximacin de ecuaciones diferenciales ordinarias que

derivan del mtodo de Taylor.

El mtodo de RUNGE-KUTTA tiene variantes variando en laexactitud de la solucin

La efectividad o exactitud del mtodo consiste en saber escogerun buen incremento.

Se pueden resolver ecuaciones diferenciales sin tener necesidad

de resolver las integrales a dicha ecuacin solo se necesitaconocer una pendiente hallada a travs de la ecuacin

.

El mtodo de Runge Kutta se utiliza para determinar costos,volmenes bajos aislados, productos de alto valor agregado,control de movimientos, control de procesos, dimensiones deespacio, entre otras


35/35

5 RECOMENDACIONES

Es bueno reconocer los tipos de este mtodo para poder resolverlos diferentes problemas que se nos presente

Reconocer los datos para su fcil resolucin

Saber cmo es el mtodo TAYLOR , saber utilizarlos ya que nosayudara en la variante de cuarto orden

Saber tambin el mtodo de EULER ya que se usa en una de lavariante de este mtodo que estamos explicando