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POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID
NOTAS DE CÁLCULO INTEGRAL
Elaborado por: Gabriel Arias C.
INTEGRALES IMPROPIAS.Recordemos que la existencia de las integrales definidas está dada por el T.F.C. donde se exige que elintegrando f x sea una función continua en un intervalo cerrado a,b . Cuando falla la continuidad
en el intervalo cerrado a,b , entonces la integral recibe el nombre de Integral Impropia, que puedepresentarse en los siguientes casos:
Caso I: Límites de infin itos in tegración.
A) Si f es continua en a, a, , entonces:
t
ta a
f x dx lim f x dx
, siempre que este límite exista.
B) Si f es continua en ,a , entonces:
a a
tt
f x dx lim f x dx
, siempre que este límite exista.
C) Si f es continua en , , y además c
f x dx y
c
f x dx
existen (convergen),
entonces:
c
c
f x dx f x dx f x dx
también existe (converge). Si una o ambas integrales iniciales diverge,
entonces f x dx
diverge.
En los casos anteriores, diremos que la integral existe si el respectivo límite existe, y concluimos que la
integral converge. Pero si el límite no existe, diremos que la integral diverge.
Ejemplo 1: Determine si
1
1dx
x
converge o diverge.
Elaboremos el gráfico de 1
f xx
, continua en 1, , y veamos si el área bajo la curva es un número
real.
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tt
1t t t01 1
1 1dx lim dx lim Ln x lim Ln t Ln 1
x x
. El límite no existe, por lo tanto
1
1dx
x
diverge hacia .
Ejemplo 2: Analice si2
1
1dx
x
converge o diverge.
Elaboremos la gráfica de 21
f xx
t t
2 2t t t1
1 1 0
1 1 1 1 1dx lim dx lim lim 1
x t 1x x
. El límite existe, entonces2
1
1dx
x
converge a 1.
Ejemplo 3: ¿Para qué valores de p, la integralp
1
1dx
x
converge y a cuánto?
La soluc ión a esta pregunta se deja como consu lta al estudiante. El resultado de ella, se aplicará
más adelante.
Ejemplo 4: Determine si2
1dx
x 1
converge.
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En este caso, ambos límites de integración son infinitos. Si recurrimos a la propiedad de unión de
intervalos, tenemos:
Analicemos la integral en cada subintervalo:
i)
1111 1 1
2 2 tt t tπ π
t4 2
1 1 π π 3 πdx lim dx lim Tan x lim Tan 1 Tan t
4 2 4x 1 x 1
. El límite existe.
ii)b b1 1 1
2 2 1b b tπ π
1 12 4
1 1 π π πdx lim dx lim Tan x lim Tan b Tan 1
2 4 4x 1 x 1
. El límite existe.
Como
1
2
1dx
x 1
converge a3 π
4 y
2
1
1dx
x 1
converge aπ
4, entonces
2
1dx
x 1
también converge
y además
1
2 2 2
1
1 1 1 3 π πdx dx dx π
4 4x 1 x 1 x 1
Caso II: Límites de infin itos no acotados (abiertos).
A) Si f es continua en a, b y discontinua en b, entonces:
b t
t ba a
f x dx lim f x dx
, siempre que el límite exista. Si el límite existe, la integral converge. En caso
contrario, la integral diverge.
B) Si f es continua en a,b y discontinua en a, entonces:
b b
t aa t
f x dx lim f x dx
, siempre que el límite exista. Si el límite existe, la integral converge. En caso
contrario, la integral diverge.
C) Si f es continua en a,b y discontinua en a y en b, entonces:
Si c
a
f x dx y b
c
f x dx existen (convergen), entonces b
a
f x dx también converge y además:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx . Si alguna de las integrales iniciales diverge, entonces b
a
f x dx diverge.
,1
1
1,
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Ejemplo 1: Determine si
1
continua en 0,0
1dx
x
converge o diverge.
1 11
bb 0 b 0 b 00
0 b
1 1dx lim dx lim 2 x lim 2 1 2 b 2 0 2
x x
. El límite existe, entonces
1
0
1dx
x
converge a 2.
Ejemplo 2: Evaluar
2
2
Continua en 21
1
dxx 2
.
2 bb
2 2b 2 b 2 b 21
11 1
1 1 1 1 1dx lim dx lim lim
x 2 b 2 1 2x 2 x 2
. El límite no existe,
luego
2
2
1
1dx
x 2
diverge.
Ejemplo 3: Determine si
2
2
Continua en 2, 22
xdx
4 x
converge.
Consideremos los subintervalos 2,0 y 0, 2
i) 0 0
02 2 2
2 2t 2 t 2 t 2t2 t
x xdx lim dx lim 4 x lim 4 0 4 t 2 0 2
4 x 4 x
.
El límite existe, entonces
0
2
2
xdx
4 x
converge a 2 .
ii) 2 b
b2 2 2
2 2b 2 b 2 b 200 0
x xdx lim dx lim 4 x lim 4 b 4 0 0 2 2
4 x 4 x
. El
límite existe, entonces
2
2
0
xdx
4 x
converge a 2.
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Como
0
2
2
xdx
4 x
converge (a 2 ) y
2
2
0
xdx
4 x
converge (a 2), entonces
2
2
2
xdx
4 x
también
converge y además:2 0 2
2 2 2
2 2 0
x x xdx dx dx 2 2 0
4 x 4 x 4 x
.
Pregunta: Dado que 2
xf x
4 x
es una función impar, ¿podemos determinar directamente
que
2
2
2
xdx 0
4 x
?
Caso III: Discontinuidad al interior del intervalo cerrado a,b .
Si f es continua en a,b , excepto en x c con a c b , entonces:
Si c
a
f x dx y b
c
f x dx convergen, entonces b
a
f x dx también converge y además:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx . Si una de las integrales iniciales diverge, entonces b
a
f x dx diverge.
Ejemplo: Determine si
2
23
10 Continua en 2
1
dx2 x 1
converge o diverge.
Como
23
1f x
2x 1
presenta discontinuidad en
1x
2 y
10 2
2 , entonces consideramos los
subintervalos1
0,2
y
1,2
2
y analizamos la convergencia de la integral en cada uno de ellos.
i)
12 t
t1 1 1
3 3 32 2
1 1 13 3 0t t t2 2 20 0
1 1 3 3 3 3dx lim dx lim 2x 1 lim 2t 1 2.0 1
2 2 2 22x 1 2x 1
El límite existe y por lo tanto
12
23
0
1dx
2x 1
converge a3
2.
ii)
2 22
1 1 133 3 3
2 21 1 13 3 bb b b2 2 21 b
2
1 1 3 3 3 3dx lim dx lim 2x 1 lim 2.2 1 2.b 1 3
2 2 2 22x 1 2x 1
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El límite existe y por lo tanto
2
23
12
1dx
2x 1
converge a 33
32
.
Como
12
23
0
1dx
2x 1
y
2
23
12
1dx
2x 1
convergen, entonces
2
23
0
1dx
2x 1
también converge y
además
12 2 2
3 32 2 2
3 3 310 0
2
1 1 1 3 3 3dx dx dx 3 1 3
2 2 22x 1 2x 1 2x 1
Ejercicio 11: determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. En algunas de ellas,
tenga presente la regla de L’hospital al evaluar el límite.
1. x
0
x e dx
2.1
0
Lnxdx 3.2xx e dx
4.
14
4
2
dx
x 2
5.
3
4
2
1dx
x
6.3
0
xdx
x 1
7.
0
dx
x 1 x
8.
4
23
4
dx
x 4
9.2
xdx
x 4
10.2
0
xdx
1 x
11.
2
1dx
xLnx
12.2
1
Ln xdx
x
13.
π
2
43
0
Senxdx
Cosx
14.
1
0
Ln xdx
x
15.2
0
1dx
x x
16.2
2xe dx
17.
3
0
1dx
x x
18.
9
31
1dx
x 9
20.
π
4
0
Cosxdx
Senx
21.
4
2
0
1dx
x x 6
22.
2
0
x 3dx
2 x 3
ÁREA DE REGIONES PLANAS. ÁREA ENTRE DOS CURVAS.DEFINICIÓN 1: EL ÁREA A de la región limitada por las curvas y f x y y g x , y las rectas
verticales x a y x b , donde f y g son continuas y f x g x para toda x en a,b es:
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bajo f bajog
b b
a a
b
a
b
a
A A A
A f x dx g x dx
A f x g x dx
A frontera superior frontera inf erior dx
DEFINICIÓN 2: EL ÁREA A de la región limitada por las curvas x f y y x g y , y las rectashorizontales y c y y d , donde f y g son continuas y f y g y para toda y en c,d es:
izquierda f derecha g
d d
c c
d
c
d
c
A A A
A f y dx g y dy
A f y g y dy
A frontera derecha frontera izquierda dy
Ejemplo 1: Dada la curva2
1y
x , las rectas y x , y 0 y x 2 encuentre la región acotada por:
a)2
1y
x , y x y x 2
b)2
1y
x , y x , y 0 y x 2
Solución:
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Para seleccionar la forma más corta y rápida de resolver el ejercicio, miramos si al trazar rectángulos
verticales u horizontales se presenta cambio en alguna frontera.
a) En este caso, si tomamos rectángulos horizontales se presenta un cambio en la frontera izquierda,
conviene considerar rectángulos verticales. Para determinar los límites de integración para x, se requiere
encontrar los puntos de intersección:
Para el límite inferior de integración, punto de intersección entre2
1y
x y y x
3 3 22
x 1 Raíces complejas
1x x 1 x 1 0 x 1 x x 1 0
x
. El límite inferior de integración es x 1 .
Para el límite superior de integración, observamos que está dado por x 2 .
b
a
22 2 2 22
21 1
A frontera superior frontera inf erior dx
1 x 1 2 1 1 1 A x dx A A 1u
2 x 2 2 2 1x
b) En este caso, con rectángulos horizontales o verticales se presenta cambio en una de las fronteras.
Entonces debemos partir el área en dos: para el área 1 los limites de integración (por los puntos de
intersección) son x 0 y x 1 y para el área 2 son x 1 y x 2 .
2 1 21 22
1 2 210 0
1
1 x 1 1 1 A A A A x 0 dx 0 dx A A A 2u
2 x 2 2x
Ejemplo 2: Encuentre el área de la región limitada por la recta1
y x2
y la parábola 2y 4 x .
Solución:
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Debemos trabajar con rectángulos horizontales para lo cual expresamos las funciones en términos de y
y, además, debemos buscar los límites de integración para y.
Límites inferior y superior: Punto de intersección entre 2x 4 y y x 2y
2 21 22y 4 y y 2y 4 0 y 1 5 y 1 5
d
c
1 51 5 1 5 32 2 2
1 5 1 51 5
3 32 2
2
A frontera derecha frontera izquierda
y A 4 y 2y dy A 4 y 2y dy 4y y
3
1 5 1 5 A 4 1 5 1 5 4 1 5 1 5
3 3
20 5 A u
3
Ejemplo 3: Considere la región en el primer cuadrante limitada por las curvas y Sen2x y y Tan x .Plantee la integral que permite calcular el área de la región limitada por dichas curvas.
Solución:
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Para encontrar los límites de integración de x, debemos encontrar los puntos de intersección entre
y Sen2x y y Tan x .
2 2
2
SenxSen2x Tanx 2SenxCosx 2SenxCos x Senx 2SenxCos x Senx 0
Cosx
Senx 2Cos x 1 0 Senx 2 Cos x 1 2 Cos x 1 0 Senx 0 2 Cosx 1 0 2 Cosx 1 0
1
1
1
Senx 0 x Sen 0 x 0
1 π2 Cosx 1 x Cos x
42
1 π2 Cosx 1 x Cos x
42
Los límites de integración en el primer cuadrante sonπ
x 0 y x4
. Entonces:
π
4
0
A Sen2x Tan x dx
Ejemplo 4: Encuentre el área de la región acotada por x xf x e , g x e y la recta y 0 .
Solución:
Se deduce que se deben encontrar dos áreas por cambiar la frontera superior.
Los límites de integración para x (punto de intersección entre x xf x e y g x e ) producen:
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0 0 b 0 bx x x x x x
t b t bt 00 t 0
0 t b 0 2t b1 0 10
A e dx e dx A lim e dx lim e dx A lim e lim e
A lim e e lim e e 1 1 2 u
Ejercicio 13: Determine el área de la región acotada por:
1. 2y x y la recta y 2 x 8 2. y Sen x , y Cos x y las rectasπ
x 0 y x2
3. 2 2y 12 x y y x 6 4. 2y x y y x 2
5. 2 2x y 4 y y x 2y y 6. 2 yx y 2 , y 1 , y 1 y x e
7. La parábola 2y x , la recta tangente a esta parábola en 1,1 y el eje X.
8. Determine el número b tal que la recta y b divida a la región delimitada por la curva 2y x y la
recta y 4 en dos regiones de igual área.
9. Calcule el número a tal que la recta x a biseque el área bajo la curva2
1y ; 1 x 4
x .
Bibliografía:
STEWART, James; Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Cuarta Edición. Editorial
Thomson.LEITHOLD, Louis; EL CÁLCULO con Geometría Analítica. Cuarta edición. Editorial Harla.EDWARDS Y PENNEY, CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS. Séptima Edición. EditorialPearson.
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