3.INTEGRALES IMPROPIAS

8/18/2019 3.INTEGRALES IMPROPIAS

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POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID

NOTAS DE CÁLCULO INTEGRAL

Elaborado por: Gabriel Arias C.

INTEGRALES IMPROPIAS.Recordemos que la existencia de las integrales definidas está dada por el T.F.C. donde se exige que elintegrando f x sea una función continua en un intervalo cerrado a,b . Cuando falla la continuidad

en el intervalo cerrado a,b , entonces la integral recibe el nombre de Integral Impropia, que puedepresentarse en los siguientes casos:

Caso I: Límites de infin itos in tegración.

A) Si f es continua en a, a, , entonces:

t

ta a

f x dx lim f x dx

, siempre que este límite exista.

B) Si f es continua en ,a , entonces:

a a

tt

f x dx lim f x dx

, siempre que este límite exista.

C) Si f es continua en , , y además c

f x dx y

c

f x dx

existen (convergen),

entonces:

c

c

f x dx f x dx f x dx

también existe (converge). Si una o ambas integrales iniciales diverge,

entonces f x dx

diverge.

En los casos anteriores, diremos que la integral existe si el respectivo límite existe, y concluimos que la

integral converge. Pero si el límite no existe, diremos que la integral diverge.

Ejemplo 1: Determine si

1

1dx

x

converge o diverge.

Elaboremos el gráfico de 1

f xx

, continua en 1, , y veamos si el área bajo la curva es un número

real.


2/11

44

tt

1t t t01 1

1 1dx lim dx lim Ln x lim Ln t Ln 1

x x

. El límite no existe, por lo tanto

1

1dx

x

diverge hacia .

Ejemplo 2: Analice si2

1

1dx

x

converge o diverge.

Elaboremos la gráfica de 21

f xx

t t

2 2t t t1

1 1 0

1 1 1 1 1dx lim dx lim lim 1

x t 1x x

. El límite existe, entonces2

1

1dx

x

converge a 1.

Ejemplo 3: ¿Para qué valores de p, la integralp

1

1dx

x

converge y a cuánto?

La soluc ión a esta pregunta se deja como consu lta al estudiante. El resultado de ella, se aplicará

más adelante.

Ejemplo 4: Determine si2

1dx

x 1

converge.


3/11

45

En este caso, ambos límites de integración son infinitos. Si recurrimos a la propiedad de unión de

intervalos, tenemos:

Analicemos la integral en cada subintervalo:

i)

1111 1 1

2 2 tt t tπ π

t4 2

1 1 π π 3 πdx lim dx lim Tan x lim Tan 1 Tan t

4 2 4x 1 x 1

. El límite existe.

ii)b b1 1 1

2 2 1b b tπ π

1 12 4

1 1 π π πdx lim dx lim Tan x lim Tan b Tan 1

2 4 4x 1 x 1

. El límite existe.

Como

1

2

1dx

x 1

converge a3 π

4 y

2

1

1dx

x 1

converge aπ

4, entonces

2

1dx

x 1

también converge

y además

1

2 2 2

1

1 1 1 3 π πdx dx dx π

4 4x 1 x 1 x 1

Caso II: Límites de infin itos no acotados (abiertos).

A) Si f es continua en a, b y discontinua en b, entonces:

b t

t ba a

f x dx lim f x dx

, siempre que el límite exista. Si el límite existe, la integral converge. En caso

contrario, la integral diverge.

B) Si f es continua en a,b y discontinua en a, entonces:

b b

t aa t

f x dx lim f x dx

, siempre que el límite exista. Si el límite existe, la integral converge. En caso

contrario, la integral diverge.

C) Si f es continua en a,b y discontinua en a y en b, entonces:

Si c

a

f x dx y b

c

f x dx existen (convergen), entonces b

a

f x dx también converge y además:

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx . Si alguna de las integrales iniciales diverge, entonces b

a

f x dx diverge.

,1

1

1,


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1

continua en 0,0

1dx

x

converge o diverge.

1 11

bb 0 b 0 b 00

0 b

1 1dx lim dx lim 2 x lim 2 1 2 b 2 0 2

x x

. El límite existe, entonces

1

0

1dx

x

converge a 2.

Ejemplo 2: Evaluar

2

2

Continua en 21

1

dxx 2

.

2 bb

2 2b 2 b 2 b 21

11 1

1 1 1 1 1dx lim dx lim lim

x 2 b 2 1 2x 2 x 2

. El límite no existe,

luego

2

2

1

1dx

x 2

diverge.


2

2

Continua en 2, 22

xdx

4 x

converge.

Consideremos los subintervalos 2,0 y 0, 2

i) 0 0

02 2 2

2 2t 2 t 2 t 2t2 t

x xdx lim dx lim 4 x lim 4 0 4 t 2 0 2

4 x 4 x

.

El límite existe, entonces

0

2

2

xdx

4 x

converge a 2 .

ii) 2 b

b2 2 2

2 2b 2 b 2 b 200 0

x xdx lim dx lim 4 x lim 4 b 4 0 0 2 2

4 x 4 x

. El

límite existe, entonces

2

2

0

xdx

4 x

converge a 2.


5/11

47

Como

0

2

2

xdx

4 x

converge (a 2 ) y

2

2

0

xdx

4 x

converge (a 2), entonces

2

2

2

xdx

4 x

también

converge y además:2 0 2

2 2 2

2 2 0

x x xdx dx dx 2 2 0

4 x 4 x 4 x

.

Pregunta: Dado que 2

xf x

4 x

es una función impar, ¿podemos determinar directamente

que

2

2

2

xdx 0

4 x

?

Caso III: Discontinuidad al interior del intervalo cerrado a,b .

Si f es continua en a,b , excepto en x c con a c b , entonces:

Si c

a

f x dx y b

c

f x dx convergen, entonces b

a

f x dx también converge y además:

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx . Si una de las integrales iniciales diverge, entonces b

a

f x dx diverge.

Ejemplo: Determine si

2

23

10 Continua en 2

1

dx2 x 1

converge o diverge.

Como

23

1f x

2x 1

presenta discontinuidad en

1x

2 y

10 2

2 , entonces consideramos los

subintervalos1

0,2

y

1,2

2

y analizamos la convergencia de la integral en cada uno de ellos.

i)

12 t

t1 1 1

3 3 32 2

1 1 13 3 0t t t2 2 20 0

1 1 3 3 3 3dx lim dx lim 2x 1 lim 2t 1 2.0 1

2 2 2 22x 1 2x 1

El límite existe y por lo tanto

12

23

0

1dx

2x 1

converge a3

2.

ii)

2 22

1 1 133 3 3

2 21 1 13 3 bb b b2 2 21 b

2

1 1 3 3 3 3dx lim dx lim 2x 1 lim 2.2 1 2.b 1 3

2 2 2 22x 1 2x 1


6/11

48

El límite existe y por lo tanto

2

23

12

1dx

2x 1

converge a 33

32

.

Como

12

23

0

1dx

2x 1

y

2

23

12

1dx

2x 1

convergen, entonces

2

23

0

1dx

2x 1

también converge y

además

12 2 2

3 32 2 2

3 3 310 0

2

1 1 1 3 3 3dx dx dx 3 1 3

2 2 22x 1 2x 1 2x 1

Ejercicio 11: determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen. En algunas de ellas,

tenga presente la regla de L’hospital al evaluar el límite.

1. x

0

x e dx

2.1

0

Lnxdx 3.2xx e dx

4.

14

4

2

dx

x 2

5.

3

4

2

1dx

x

6.3

0

xdx

x 1

7.

0

dx

x 1 x

8.

4

23

4

dx

x 4

9.2

xdx

x 4

10.2

0

xdx

1 x

11.

2

1dx

xLnx

12.2

1

Ln xdx

x

13.

π

2

43

0

Senxdx

Cosx

14.

1

0

Ln xdx

x

15.2

0

1dx

x x

16.2

2xe dx

17.

3

0

1dx

x x

18.

9

31

1dx

x 9

20.

π

4

0

Cosxdx

Senx

21.

4

2

0

1dx

x x 6

22.

2

0

x 3dx

2 x 3

ÁREA DE REGIONES PLANAS. ÁREA ENTRE DOS CURVAS.DEFINICIÓN 1: EL ÁREA A de la región limitada por las curvas y f x y y g x , y las rectas

verticales x a y x b , donde f y g son continuas y f x g x para toda x en a,b es:


7/11

49

bajo f bajog

b b

a a

b

a

b

a

A A A

A f x dx g x dx

A f x g x dx

A frontera superior frontera inf erior dx

DEFINICIÓN 2: EL ÁREA A de la región limitada por las curvas x f y y x g y , y las rectashorizontales y c y y d , donde f y g son continuas y f y g y para toda y en c,d es:

izquierda f derecha g

d d

c c

d

c

d

c

A A A

A f y dx g y dy

A f y g y dy

A frontera derecha frontera izquierda dy

Ejemplo 1: Dada la curva2

1y

x , las rectas y x , y 0 y x 2 encuentre la región acotada por:

a)2

1y

x , y x y x 2

b)2

1y

x , y x , y 0 y x 2

Solución:


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50

Para seleccionar la forma más corta y rápida de resolver el ejercicio, miramos si al trazar rectángulos

verticales u horizontales se presenta cambio en alguna frontera.

a) En este caso, si tomamos rectángulos horizontales se presenta un cambio en la frontera izquierda,

conviene considerar rectángulos verticales. Para determinar los límites de integración para x, se requiere

encontrar los puntos de intersección:

Para el límite inferior de integración, punto de intersección entre2

1y

x y y x

3 3 22

x 1 Raíces complejas

1x x 1 x 1 0 x 1 x x 1 0

x

. El límite inferior de integración es x 1 .

Para el límite superior de integración, observamos que está dado por x 2 .

b

a

22 2 2 22

21 1

A frontera superior frontera inf erior dx

1 x 1 2 1 1 1 A x dx A A 1u

2 x 2 2 2 1x

b) En este caso, con rectángulos horizontales o verticales se presenta cambio en una de las fronteras.

Entonces debemos partir el área en dos: para el área 1 los limites de integración (por los puntos de

intersección) son x 0 y x 1 y para el área 2 son x 1 y x 2 .

2 1 21 22

1 2 210 0

1

1 x 1 1 1 A A A A x 0 dx 0 dx A A A 2u

2 x 2 2x

Ejemplo 2: Encuentre el área de la región limitada por la recta1

y x2

y la parábola 2y 4 x .

Solución:


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51

Debemos trabajar con rectángulos horizontales para lo cual expresamos las funciones en términos de y

y, además, debemos buscar los límites de integración para y.

Límites inferior y superior: Punto de intersección entre 2x 4 y y x 2y

2 21 22y 4 y y 2y 4 0 y 1 5 y 1 5

d

c

1 51 5 1 5 32 2 2

1 5 1 51 5

3 32 2

2

A frontera derecha frontera izquierda

y A 4 y 2y dy A 4 y 2y dy 4y y

3

1 5 1 5 A 4 1 5 1 5 4 1 5 1 5

3 3

20 5 A u

3

Ejemplo 3: Considere la región en el primer cuadrante limitada por las curvas y Sen2x y y Tan x .Plantee la integral que permite calcular el área de la región limitada por dichas curvas.

Solución:


10/11

52

Para encontrar los límites de integración de x, debemos encontrar los puntos de intersección entre

y Sen2x y y Tan x .

2 2

2

SenxSen2x Tanx 2SenxCosx 2SenxCos x Senx 2SenxCos x Senx 0

Cosx

Senx 2Cos x 1 0 Senx 2 Cos x 1 2 Cos x 1 0 Senx 0 2 Cosx 1 0 2 Cosx 1 0

1

1

1

Senx 0 x Sen 0 x 0

1 π2 Cosx 1 x Cos x

42

1 π2 Cosx 1 x Cos x

42

Los límites de integración en el primer cuadrante sonπ

x 0 y x4

. Entonces:

π

4

0

A Sen2x Tan x dx

Ejemplo 4: Encuentre el área de la región acotada por x xf x e , g x e y la recta y 0 .

Solución:

Se deduce que se deben encontrar dos áreas por cambiar la frontera superior.

Los límites de integración para x (punto de intersección entre x xf x e y g x e ) producen:


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0 0 b 0 bx x x x x x

t b t bt 00 t 0

0 t b 0 2t b1 0 10

A e dx e dx A lim e dx lim e dx A lim e lim e

A lim e e lim e e 1 1 2 u

Ejercicio 13: Determine el área de la región acotada por:

1. 2y x y la recta y 2 x 8 2. y Sen x , y Cos x y las rectasπ

x 0 y x2

3. 2 2y 12 x y y x 6 4. 2y x y y x 2

5. 2 2x y 4 y y x 2y y 6. 2 yx y 2 , y 1 , y 1 y x e

7. La parábola 2y x , la recta tangente a esta parábola en 1,1 y el eje X.

8. Determine el número b tal que la recta y b divida a la región delimitada por la curva 2y x y la

recta y 4 en dos regiones de igual área.

9. Calcule el número a tal que la recta x a biseque el área bajo la curva2

1y ; 1 x 4

x .

Bibliografía:

STEWART, James; Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Cuarta Edición. Editorial

Thomson.LEITHOLD, Louis; EL CÁLCULO con Geometría Analítica. Cuarta edición. Editorial Harla.EDWARDS Y PENNEY, CÁLCULO CON TRASCENDENTES TEMPRANAS. Séptima Edición. EditorialPearson.

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