Pontificia Universidad Catlica del Per Programa de Maestra en Economa Curso: Microeconoma Intermedia Profesores: Claudia Barriga & Jos Gallardo Asistente: Csar Gil Malca
Teora del Bienestar
Considerando el siguiente problema de maximizacin de la utilidad:
mx. U = 21
32
1
22
1
1 XXX
s.a. I = P1X1 + P2X2 + P3X3
Donde:
I : Ingreso total.
iX : Demanda del bien i.
:iP Precio del bien i.
La funcin de Lagrange asociada al problema seria:
L (X1, X2, X3,) = 2
1
32
1
22
1
1 XXX - (I P1X1 P2X2 P3X3)
02
1
1
21
1
1
PX
X
L (1)
02
1
2
21
2
2
PX
X
L (2)
02
1
3
21
3
3
PX
X
L (3)
L I P1X1 P2X2 P3X3 = 0... (4)
De las ecuaciones (1) y (2):
2
1
21
1
21
2
P
P
X
X X2 = 1
2
2
1 XP
P
(5)
De las ecuaciones (1) y (3) por simetra:
X3 = 1
2
3
1 XP
P
(6)
Reemplazando (5) y (6) en (4) tenemos:
I = P1X1 + 1
2
3
131
2
2
12 X
P
PPX
P
PP
I = X1 32
12133211
2
3
2
1
2
2
11
)(
PP
PPPPPPPx
P
P
P
PP
Despejando X1 obtenemos la demanda Marshalliana del bien 1:
X1(P, P2, P3, I) = )(
1213321
32
PPPPPPP
IPP
Reemplazando en (5) y (6) obtenemos la demanda Marshalliana del bien 2 y 3:
X2(P, P2, P3, I) = )(
1213322
31
PPPPPPP
IPP
X3(P, P2, P3, I) = )(
1213323
21
PPPPPPP
IPP
Reemplazando las demandas Marshallianas en la funcin de utilidad obtenemos la
funcin de utilidad indirecta:
V (P, P2, P3, I)= 2
1
1213323
212
1
1213322
312
1
1213321
32
)(
)(
)(
PPPPPPP
IPP
PPPPPPP
IPP
PPPPPPP
IPP
=
21
21
32
1
22
1
1
213132 I PPP
PPPPPP
Por teorema de la dualidad tenemos la funcin de gasto:
e (P1, P2, P3, ) = )(
213132
2
3 21
PPPPPP
UPPP
Por el lema de Shepard obtenemos las demandas compensadas Hicksianos:
)(
)(
)( 213132
23321
213132
2
32
1
1PPPPPP
UPPPPP
PPPPPP
UPP
P
eX h
Despejando la demanda Hicksiana del bien 1:
2
213132
2
3
2
23211
)(
),,,(
PPPPPP
UPPUPPPX h
Por simetra:
2
213132
2
3
2
13212
)(
),,,(
PPPPPP
UPPUPPPX h
2
213132
2
1
2
23213
)(
),,,(
PPPPPP
UPPUPPPX h
Veamos un ejemplo:
Una persona labora en Arequipa y su ingreso lo gasta entre 3 tipos de bienes y servicios:
Alquiler, entretenimiento y alimento; los precios de cada bien y servicio son
respectivamente: AP1 = 10,
AP2 = 5, AP3 = 20, pero, su empresa le exige rotar a Lima
donde los precios de los bienes y servicios son respectivamente:LP1 =20,
LP2 = 5, LP3 = 20,
Cunto estara dispuesto a pagar como mximo la persona para no ir a Lima? Cunto
estara dispuesto a aceptar la persona para ir a Lima?
La respuesta a la primera cuestin se obtiene con la variacin equivalente, dado que
aumenta los precios, que se define como:
VE = e (LAAA uPPP ,,, 321 ) - e (
AAAA uPPP ,,, 321 )
VE =
L
A
L
A
L
A
P
P
LP
P
LP
P PPPPPPuPP
PPPPPP
uPP
P
e 1
1
1
1
1
1 )(
1
)( 213132
2
3
2
2
213132
2
3
2
2
1
Por formula de integracin tenemos:
1112 AAdA
A
Por lo tanto tenemos:
VE =
L
A
P
P
L
PPPPPPPP
uPP1
1
)(
1
)( 21313232
2
3
2
2
Reemplazando los datos del ejercicio obtenemos la respuesta a la primera pregunta en
funcin de la utilidad:
VE=21
))5102010205(
1
)5202020205(
1(
)205(
205 22 LL uu
La respuesta a la segunda cuestin se obtiene con la variacin compensada, dado que
aumenta los precios, que se define como:
VC = )u,P,P,P(e)u,P,P,P(e 0131
2
1
1
11
3
1
2
1
1
VC=
L
A
L
A
L
A
P
P
AP
P
AP
P PPPPPPuPP
PPPPPP
uPP
P
e 1
1
1
1
1
1 )(
1
)( 213132
2
3
2
2
213132
2
3
2
2
1
VC= ))5102010205(
1
)5202020205(
1(
)205(
205 22
Au
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