2. LENGUAJE ALGEBRAICO.
2.1. Definición de Álgebra. 2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico).
2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación.
2.4. Término algebraico y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de una expresión algebraica.
2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.
2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el
tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que
debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de
número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se
debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX
d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las
cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que
mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan
valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden
representar cualquier valor que se les asigne.
2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos
tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades
conocidas y perfectamente determinadas.
Lenguaje algebraico Capitulo 2
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 2
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como
desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras
letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan
utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas;
por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de
subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio
de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por
medio de letras, de una regla o de un principio general.
2.3. SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y DE AGRUPACIÓN Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas,
es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación,
logaritmación, etc.
SIGNOS DE OPERACIÓN
En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.
En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.
En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (). Así, por ejemplo x x y
= xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores
están indicados por letras o bien por letras y números.
Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz
En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así, por ejemplo x:y = x/y = xy
y se leerá “equis dividido entre ye”.
En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y
a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= xxxx…
(4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve
exponente se sobreentiende que el exponente es uno.
En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la
cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”;
3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
SIGNOS DE RELACIÓN
Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 3
El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.
El signo se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.
El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.
El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que ye”.
El signo se lee mayor que o igual.
El signo se lee menor que o igual.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves {
}. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe
efectuarse en primer lugar.
2.4 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos
+ o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la
parte literal y el grado.
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los
términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se
acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va
precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para
multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como
sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se
sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
-4x2
signo exponente
coeficiente base o literal
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 4
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por
ejemplo el término x3y
2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto
a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES. Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos
semejantes.
5x y 6x son términos semejantes. 2 327x y y 2 332x y son términos semejantes.
4x y 17y no son términos semejantes. 215x y y 26xy no son términos semejantes.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios
términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden
presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes
anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
2 3 5 7 17xy xy xy xy xy
2 2 2
3 5 8x x x
a a a
1 2 3 4 7
2 3 6 6ab ab ab ab
1 2 1 2 3
3 3 3 3xy xy xy xy xy
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los
coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones 2 2 22 5 3xy xy xy
3 4a a a
18 11 7x x x
1 2 3 4 1
2 3 6 6xy xy xy xy
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 5
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos
los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo
término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la
diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene
27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
Reducir 22222 44
3
5
1
5
2bxbxbxbxbx
Reduciendo los positivos: 2222
20
39
4
3
5
1bxbxbxbx
Reduciendo los negativos: 222
5
224
5
2bxbxbx
Tendremos: 222
20
49
5
22
20
39bxbxbx
2.6. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.
Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están
ligadas por la operación multiplicar. 332
3 ,7
2 ,
2 ,3 ,5 ab
b
xa
y
zxabx
Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma
algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8
a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,
b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8
Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor
absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a2 = 0
2.7 GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para
encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 6
mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x
4 - 2 se halla examinando el
exponente de la variable en cada término.
El exponente en 3x2 es 2
El exponente en 5x4 es 4
El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1)
Entonces el grado de 253 42 xx es 4, el exponente de mayor orden de la variable en el
polinomio.
De manera semejante, el grado de 253 934 yyy es 5, puesto que 5 es el exponente de
mayor orden de una variable presente en el polinomio.
Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque si
a0, a=ax°.
El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal.
Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor,
de uno de sus términos.
4 3 25 7 3 1a a a a El grado absoluto es cuatro. 5 3 5 2 62 6 2 4x x y x y x El grado absoluto es sexto.
2 3 3 3 52 3 5ab a b a b b El grado absoluto es quinto.
Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una literal,
es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio.
7 4 3 2 64xy x y x y x El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación a y.
5 2 22 7 8a a b ab El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación a b.
Polinomio cero
El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace notar
que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios cero no pueden
tener grado.
2.8. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de
una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con
respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica
muchas veces las operaciones con polinomios.
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 7
Así, por ejemplo, el polinomio 32234 xyyxyxx está ordenado en orden ascendente con
respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra
ordenatriz x.
Ejemplo
Escribir en orden ascendente el polinomio 4753 211204385 yyyyy
SOLUCIÓN: Ordenamos los términos de menor a mayor según su grado, así: 7543 208251143 yyyyy
Ejemplo
Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la letra x
SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4
Ejemplo
Escribir en orden descendente el polinomio zwzwwwzzw 6328753 452114324 , con
respecto a cada una de las variables.
SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor respecto a cada
variable.
Respecto a la variable w tenemos: 7325368 322144514 wzzwzwzww
Respecto a la variable z tenemos: 8632537 144521432 wzwzwzwwz
Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal que
los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o aumentando
desde el primer término hasta el último.
2.9. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores
numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las
operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una
raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se
presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 8
Ejemplo
Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1
2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24
Ejemplo
Evaluar 34 bx , cuando b=8 y x=2
32848842843
Ejemplo
Evaluar 2 2
2
8 5 2a b a b
x y x y cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.
9
57
36
272
36
418096
36
45
3
8
49
212
4
45
3
18
43
212
4
25
3
182
22
Ejemplo
Resuelve 4 6
2
x para x=3.
9
2
18
2
612
2
634
2
634
Ejemplo
Resuelve 3xy y para x=2 y=3.
2 3 3 3 6 9 15
Ejemplo
Evaluar zw
zw
2
35
cuando w = -4.2 z = 3.6
6.103
8.31
2.72.4
8.1021
6.322.4
6.332.45
2
35
zw
zw
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 9
E J E R C I C I O S 2 .1 :
Reducir los siguientes términos:
1) 1212 57 baba yxyx
2) xxx 764
3) yyy 532
4) xyxyxy 543
5) aaa 87
6) xyxyxy 547
7) aaa xxx 423
8) 111 325 xxx aaa
9) xxxx 432
10) xyxyxyxy 232
11) 2222 3423 yyyy
12) abababab 32
13) xyxyxyxy 5324
14) 2222 243 abababab
15) xyxyxyxy 3715
16) abababab 543
17) 2222 89312 yyyy
18) xxxxx 35432
19) yyyyy 5243
20) xyxyxyxyxy 4332
21) yxyxyxyxyx 22222 76543
22) xxxxxx 2322
23) aaaaa xxxxx 2432
24) 11111 332 aaaaa xxxxx
25) xxxxxx 34232
26) yyyyyy 2432
27) aa2
12
1
28) abab10
15
3
29) xyxy6
13
1
30) xyxy5
45
1
E J E R C I C I O S 2 .2 :
Reducir los siguientes términos:
a) yxyx 22 2
b) yxyx 22
11
9
7
4
c) 11 aa xx
d) 22 99 abab
e) amam4
5
8
3
f) 11 3225 aa mm
g) baba 22
12
5
6
5
h) nmnm baba8
7
i) mnmn4
35
j) 22
3
14 aa
k) 11
12
7
6
5 mm aa
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 10
l) 22
2
1
4
1 mm aa
m) 11 aa xx
n) amam5
3
o) mnmn8
7
6
5
p) baba 22
11
3
q) 3434 6.54.3 baba
r) xyxy 4.32.1
s) xx aa 24
t) 11 88 xx aa
u) yxyx 22 77
v) mnmn 118101
w) abab 405502
x) xx 10181024
y) abab 1515
z) aa4
3
2
1
aa) aa2
1
4
3
bb) 2323 8155 baba
cc) xyxy 4015
dd) nmnm 22 6
E J E R C I C I O S 2 .3 :
Reducir los siguientes términos:
i. mmm2
1
4
1
5
3
ii. yyy3
1
3
2
iii. 222 391524 xxx aaa
iv. xxx aaa 3595
v. ababab 261511
vi. mmm 61019
vii. –x +19x -18x=
viii. mnmnmn 52312
ix. –8x +9x -x=
x. aaa 539
xi. ababababababab 233184605221
xii. aaaaaaa 619183411308140
xiii. 2323232323 48
5
4
1
3
2
6
5aaaaaaaaaa
xiv. xmxmxmxmxmxm 222222 16523171560450184
xv. babababababa 222222 391318515
xvi. bbbbbb 1108117119
xvii. aaaaaa 318015026
xviii. 11111 2620117 xxxxx aaaaa
xix. xxxxx aaaaa 73941307
xx. xxxxx
6
5
4
1
4
32
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 11
xxi. xxxxx2
1
6
7
3
2
2
1
xxii. aaaaaa 63
xxiii. yayayayaya 22222 4851937
xxiv. mnmnmnmnmn 203114
xxv. ccccc 823014217
xxvi. aaaaa 7515118
xxvii. 2222
8
3
6
1
6
5abababab
xxviii. babababa 2222
3
1
6
1
5
3
xxix. yyyy12
1
6
1
3
1
3
1
xxx. xxxx5
1
4
1
3
1
2
1
E J E R C I C I O S 2 .4 :
Resolver cuando a=1, b=2, c=3, d=4, m=½, n=2/3, p=¼, x=0:
1. (a+b) c-d=
2. (a+b)(b-a)=
3. (b-m)(c-n)+4a2=
4. (2m+3n)(4p+b2)=
5. (4m+8p)(a2+b
2)(6n-d)=
6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=
7. b2(c+d)-a
2(m+n)+2x=
8. 2mx+6(b2+c
2)-4d
2=
9.
a
b
p
n
m 16
9
8
10. acb cdamx
11.
2
224
c
ba
a
pm
12. pnmnppnm 209468432
13. pnbpmdnmc 222
14.
m
da
dc 222
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 12
15. apmpnbp 40282241824
16.
2
2
25
p
m
bd
b
da
17. 22 8 nmbcba
18.
pdc
b
nca 6
2
19. n
padnbc2
162323
20.
abc
cdnp
ab
mn
b
abc
2
3
82
6
21.
2
2 111111
mncbbab
22. 2242432 nmcpnm
23.
mb
n
mab
cb
2
3
2
24. ab5
25. 22bc
26. bc
a
3
4
27. 2
2
n
m
28. 222
24
pn
mn
29. 324
3
2mba
30. pnm 3224
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 13
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .1 :
1) 121212 257 bababa yxyxyx
2) xxxx 5764
3) yyyy 4532
4) xyxyxyxy 2543
5) 087 aaa
6) xyxyxyxy 2547
7) aaaa xxxx 3423
8) 1111 4325 xxxx aaaa
9) xxxxx 2432
10) xyxyxyxyxy 2232
11) 22222 23423 yyyyy
12) ababababab 32
13) 05324 xyxyxyxy
14) 0243 2222 abababab
15) xyxyxyxyxy 73715
16) ababababab 5543
17) 22222 1089312 yyyyy
18) xxxxxx 535432
19) yyyyyy 55243
20) xyxyxyxyxyxy 4332
21) yxyxyxyxyxyx 222222 376543
22) xxxxxxx 32322
23) 02432 aaaaa xxxxx
24) 111111 4332 aaaaaa xxxxxx
25) xxxxxxx 34232
26) yyyyyyy 2432
27) aaa 2
12
1
28) ababab10
710
15
3
29) xyxyxy2
16
13
1
30) xyxyxy 5
45
1
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 . 2 :
a) yxyx 22 2 0
b) yxyxyx 222
14
1
11
9
7
4
c) 11 aa xx 0
d) 22 99 abab 0
e) amamam8
7
4
5
8
3
f) 111 73225 aaa mmm
g) bababa 222
12
5
12
5
6
5
h) nmnmnm bababa
8
1
8
7
i) mnmnmn4
17
4
35
j) 222
3
11
3
14 aaa
k) 111
4
1
12
7
6
5 mmm aaa
l) 222
4
1
2
1
4
1 mmm aaa
m) 11 aa xx 0
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 14
n) amamam5
2
5
3
o) mnmnmn24
1
8
7
6
5
p) bababa 222
11
8
11
3
q) 343434 2.26.54.3 bababa
r) xyxyxy 2.24.32.1
s) xxx aaa 224
t) 11 88 xx aa 0
u) yxyx 22 77 0
v) mnmnmn 17118101
w) ababab 97405502
x) xxx 610181024
y) abab 1515 0
z) aaa4
1
4
3
2
1
aa) aaa4
1
2
1
4
3
bb) 232323 268155 bababa
cc) xyxyxy 254015
dd) nmnmnm 222 56
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .3 :
i. mmmm20
17
2
1
4
1
5
3
ii. yyy3
1
3
20
iii. 222 391524 xxx aaa 0
iv. xxxx aaaa 313595
v. ababab 261511 0
vi. mmmm 1561019
vii. –x +19x -18x=0
viii. mnmnmnmn 1652312
ix. –8x +9x -x=0
x. aaaa 11539
xi. ababababababab 233184605221 0
xii. aaaaaaa 619183411308140 a28
xiii. 232323232323
8
544
8
5
4
1
3
2
6
5aaaaaaaaaaaa
xiv. xmxmxmxmxmxmxm 2222222 134016523171560450184
xv. bababababababa 2222222 162391318515
xvi. bbbbbbb 91108117119
xvii. aaaaaaa 88318015026
xviii. 111111 2620117 xxxxxx aaaaaa
xix. xxxxx aaaaa 73941307 0
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 15
xx. xxxxxx6
5
6
5
4
1
4
32
xxi. xxxxxx2
1
2
1
6
7
3
2
2
1
xxii. aaaaaaa 363
xxiii. yayayayaya 22222 4851937 0
xxiv. mnmnmnmnmnmn 2203114
xxv. cccccc 80823014217
xxvi. aaaaaa 647515118
xxvii. 22222
6
1
8
3
6
1
6
5ababababab
xxviii. bababababa 22222
30
7
3
1
6
1
5
3
xxix. yyyyy12
1
12
1
6
1
3
1
3
1
xxx. xxxxx60
13
5
1
4
1
3
1
2
1
R E S U L T A D O S D E L O S E J E R C I C I O S 2 .4 :
1. (a+b) c-d=
2. (a+b)(b-a)=
3. (b-m)(c-n)+4a2=
4. (2m+3n)(4p+b2)=
5. (4m+8p)(a2+b
2)(6n-d)=
6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=
7. b2(c+d)-a
2(m+n)+2x=
8. 2mx+6(b2+c
2)-4d
2=
9.
a
b
p
n
m 16
9
8
10. acb cdamx
11.
2
224
c
ba
a
pm
12. pnmnppnm 209468432
13. pnbpmdnmc 222
14.
m
da
dc 222
15. apmpnbp 40282241824
16.
2
2
25
p
m
bd
b
da
L E N G U A J E A L G E B R A I C O
2 - 16
17. 22 8 nmbcba
18.
pdc
b
nca 6
2
19. n
padnbc2
162323
20.
abc
cdnp
ab
mn
b
abc
2
3
82
6
21.
2
2 111111
mncbbab
22. 2242432 nmcpnm
23.
mb
n
mab
cb
2
3
2
24. ab5
25. 22bc
26. bc
a
3
4
27. 2
2
n
m
28. 222
24
pn
mn
29. 324
3
2mba
30. pnm 3224
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