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Cantera de ejercicios 3

EJERCICIO 1.12. Sea f : X → Y una funcion.

a) Pruebe que se tiene f(A − B) ⊃ f(A) − f(B), sean cuales fueran los subcon-juntos A y B de X .

b) Muestre que si f es inyectiva entonces f(A − B) = f(A) − f(B) para cuales-quiera A y B contenidos en X .

Demostracion. Sea f : X → Y una funcion y A, B subconjuntos de X .

a) Dado cualquier y ∈ f(A) − f(B) se tiene que y ∈ f(A) y y /∈ f(B). La relaciony ∈ f(A) implica la existencia de algun x ∈ A tal que y = f(x). Pero comoy /∈ f(B) entonces f(x) /∈ f(B) y, por tanto, x /∈ B. Luego se tiene que x ∈ A yx /∈ B, esto es, x ∈ A− B, de lo cual se deduce que y = f(x) ∈ f(A− B). Estomuestra la inclusion planteada.

b) Del item (a) se sabe que f(A−B) ⊃ f(A)− f(B), luego solo quedara demostrarque f(A−B) ⊂ f(A)−f(B). En efecto, dado y ∈ f(A−B) existe algun elementox ∈ (A−B) tal que y = f(x). Note que este x es unico, pues f es inyectiva.

Siendo que x ∈ (A − B) entonces x ∈ A y x /∈ B. La relacion x ∈ A implicaque y = f(x) ∈ f(A). Ademas, como x /∈ B entonces f(x) /∈ f(B), pues si fueraque f(x) ∈ f(B) entonces existe x′ ∈ B tal que f(x′) = f(x) ∈ B. Pero comox /∈ B entonces en particular se tendra que x 6= x′, es decir, tendrıamos x 6= x′

y f(x′) = f(x) lo cual va contra la hipotesis de que f es inyectiva. Por lo tantoy = f(x) /∈ f(B). En conclusion y ∈ f(A)− f(B). z

O. Santamaria S.