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DRAFT Cantera de ejercicios 3 EJERCICIO 1.12. Sea f : X Y una funci ´ on. a) Pruebe que se tiene f (A - B) f (A) - f (B), sean cuales fueran los subcon- juntos A y B de X. b) Muestre que si f es inyectiva entonces f (A - B)= f (A) - f (B) para cuales- quiera A y B contenidos en X. Demostraci´ on. Sea f : X Y una funci ´ on y A, B subconjuntos de X. a) Dado cualquier y f (A) - f (B) se tiene que y f (A) y y/ f (B). La relaci´ on y f (A) implica la existencia de alg´ un x A tal que y = f (x). Pero como y/ f (B) entonces f (x) / f (B) y, por tanto, x/ B. Luego se tiene que x A y x/ B, esto es, x A - B, de lo cual se deduce que y = f (x) f (A - B). Esto muestra la inclusi ´ on planteada. b) Del item (a) se sabe que f (A - B) f (A) - f (B), luego s ´ olo quedar´ a demostrar que f (A-B) f (A) -f (B). En efecto, dado y f (A-B) existe alg´ un elemento x (A - B) tal que y = f (x). Note que este x es ´ unico, pues f es inyectiva. Siendo que x (A - B) entonces x A y x/ B. La relaci´ on x A implica que y = f (x) f (A). Adem´ as, como x/ B entonces f (x) / f (B), pues si fuera que f (x) f (B) entonces existe x 0 B tal que f (x 0 )= f (x) B. Pero como x/ B entonces en particular se tendr´ a que x 6= x 0 , es decir, tendr´ ıamos x 6= x 0 y f (x 0 )= f (x) lo cual va contra la hip´ otesis de que f es inyectiva. Por lo tanto y = f (x) / f (B). En conclusion y f (A) - f (B). O. Santamaria S.

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DRAFT

Cantera de ejercicios 3

EJERCICIO 1.12. Sea f : X → Y una funcion.

a) Pruebe que se tiene f(A − B) ⊃ f(A) − f(B), sean cuales fueran los subcon-juntos A y B de X .

b) Muestre que si f es inyectiva entonces f(A − B) = f(A) − f(B) para cuales-quiera A y B contenidos en X .

Demostracion. Sea f : X → Y una funcion y A, B subconjuntos de X .

a) Dado cualquier y ∈ f(A) − f(B) se tiene que y ∈ f(A) y y /∈ f(B). La relaciony ∈ f(A) implica la existencia de algun x ∈ A tal que y = f(x). Pero comoy /∈ f(B) entonces f(x) /∈ f(B) y, por tanto, x /∈ B. Luego se tiene que x ∈ A yx /∈ B, esto es, x ∈ A− B, de lo cual se deduce que y = f(x) ∈ f(A− B). Estomuestra la inclusion planteada.

b) Del item (a) se sabe que f(A−B) ⊃ f(A)− f(B), luego solo quedara demostrarque f(A−B) ⊂ f(A)−f(B). En efecto, dado y ∈ f(A−B) existe algun elementox ∈ (A−B) tal que y = f(x). Note que este x es unico, pues f es inyectiva.

Siendo que x ∈ (A − B) entonces x ∈ A y x /∈ B. La relacion x ∈ A implicaque y = f(x) ∈ f(A). Ademas, como x /∈ B entonces f(x) /∈ f(B), pues si fueraque f(x) ∈ f(B) entonces existe x′ ∈ B tal que f(x′) = f(x) ∈ B. Pero comox /∈ B entonces en particular se tendra que x 6= x′, es decir, tendrıamos x 6= x′

y f(x′) = f(x) lo cual va contra la hipotesis de que f es inyectiva. Por lo tantoy = f(x) /∈ f(B). En conclusion y ∈ f(A)− f(B). z

O. Santamaria S.