8/17/2019 1. Introducción Sistemas Dinámicos
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Capitulo 1. Introducción a losSistemas Dinámicos
1.1 Defnición de sistema y modelo1.2 Modelos de tiempo continuo y de tiempodiscreto
1.3 Modelos estáticos y dinámicos
1.4 Modelos lineales y no lineales1.5 Modelos variantes e invariantes con eltiempo
1.6 Modelos determinísticos y estocásticos
1.7 Modelos de una y varias variales
1
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1.1 Defnición desistema y modelo
Sistemas Dinámicos
2
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Sistema
3
!n sistema es la intercone"ión decomponentes para lo#rar un o$etivo.
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Modelo
4
!n modelo es la representaciónmatemática de un sistema.
%epresentaciones de sistemas &ísicos másutili'adas( )istemas de ecuaciones di&erenciales
*unción de +rans&erencia
SISTEM
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!epresentación EcuacionesDi"erenciales
#
-$emplo(
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$unción de Trans"erencia
%
)e defne como la relación entre latrans&ormada de aplace de la variale desalida y la trans&ormada de aplace de la
variale de entrada( suponiendo /ue todaslas condiciones iniciales se 0acen i#uales acero.
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$unción detrans"erencia
E&emplo ' $iltro !C
(
Ecuación Di"erencial
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E&emplo ) Tan*ue
+
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E&emplo
,
%esponde a una &uer'a aplicada almotor y a una &uer'a de &ricciónproporcional a la velocidad.
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1-
1.2 Modelos de tiempocontinuo y de tiempo
discreto
Sistemas Dinámicos
1-
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Modelos de tiempo continuo
11
a variale independiente t tomavalores en un con$unto no numerale.
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Modelos de tiempo discreto
12
a variales independiente tomavalores en un con$unto numerale.
1 2 3 4 5 67
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proimación discreta de laderi/ada
13
)i se apro"ima por una di&erencia deprimer orden se otiene(
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%eempla'ando la apro"imación de la
derivada en el modelo %(
r#ani'ando trminos( se otiene unaecuación en di&erencias(
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1#
%etomando(
)i
)i
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1%
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.5
1
vi
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
0.5
1
vc
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1(
1.3 Modelos estáticos ydinámicos
Sistemas Dinámicos
1(
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Modelo Estático
1+
-l estado de un sistema estáticodepende solo de las condicionespresentes y no de las pasadas.
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E&emplo
1,
onsidere el si#uiente sistema(
-l modelo no tiene condiciones iniciales(es un modelo estático.
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Modelos dinámicos
2-
-n un modelo dinámico la evolución delas variales depende las condicionesiniciales.
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)istema dinámico discreto(
a evolución del modelo depende de la condición inicial . a salida no puede determinarse nicamente en &unción de la
entrada.
(
(
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a evolución de 0 dependede las condiciones iniciales80
)i ( se otiene un modelo estático( /uedetermina la altura del tan/ue para un tiemposufcientemente #rande(
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1.4 Modelos lineales yno lineales
Sistemas Dinámicos
23
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Modelos lineales
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!n modelo es lineal si e"iste unarelación proporcional entre la variale deentrada y de salida.
-n otras palaras( un modelo es lineal sicumple con(
9rincipio de )uperposición 9ropiedad de:ditividad 9ropiedad de -scalamiento u 0omo#eneidad.
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rincipio de Superposición
2#
)i se cumple el principio de superposición
MDE
MDE
MDE
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ropiedad de Escalamiento uomo5eneidad
2%
)i la respuesta de es ( se cumple la propiedad de0omo#eneidad.
MDE
MDE
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rincipio de Superposición yropiedad de Escalamiento
2(
)i el sistema es lineal
MDE
MDE
MDE
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E&emplo
2+
9roar si el si#uiente modelo es lineal o nolineal8
)ea(
:0ora(
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E&emplo
2,
9roar si el si#uiente modelo es lineal ono lineal8
;1 1
;
Saturador
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3-
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31
!n modelo es lineal si la ecuación di&erencial /uelo representa es lineal.
!na ecuación di&erencial es lineal si( loscoefcientes son constantes( o an &unciones deltiempo y los coefcientes son independientes de
.
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!n modelo es no lineal si esta descritopor una ecuación di&erencial no lineal.
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33
1.# Modelos /ariantes ein/ariantes con el tiempo
Sistemas Dinámicos
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Modelos in/ariantes con eltiempo
34
)i un corrimiento en el tiempo de la se
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Modelos /ariantes con eltiempo
3#
MDEt t
MDE t
t
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Modelos in/ariantes y /ariantescon el tiempo
3%
)i los coefcientes de la ecuacióndi&erencial son constantes el modelo se
denomina invariante con el tiempo.
)i los coefcientes de la ecuación
di&erencial son &unción del tiempo elmodelo se denomina variante con eltiempo.
E&emplo0 ro6ar si el si5uiente
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E&emplo0 ro6ar si el si5uientesistema es /ariante o in/ariante con eltiempo
3(
)ea(
:0ora despla'ando + la se
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3+
1.% Modelosdetermin7sticos y
estocásticos
Sistemas Dinámicos
3+
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Modelos determin7sticos
3,
a respuesta de un sistema ante las mismascondiciones iniciales y e"citación es siemprela misma.
MDE t
t
!n modelo es determinista cuando elcomportamiento del sistema /ueda determinado porlas condiciones iniciales y la evolución de la se
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Modelos estocásticos
4-
!n modelo /ue incluya variales aleatorias es unmodelo estocástico.
-"perimento 18
-"perimento 28
MDE
MDE
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1.% Modelos de una y/arias /aria6lesindependientes
Sistemas Dinámicos
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M d l d i 6l
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Modelos de una /aria6leindependiente
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-l modelo está dado en ecuacionesdi&erenciales ordinarias D-.
M d l d i i 6l
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Modelos de /arias /aria6lesindependientes
-l modelo está dado en ecuacionesdi&erenciales parciales 9D-.
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