Zenbaki arruntak; eragiketak Zenbakiak gero e ta sartuago ikusten ditugu gure gaur eguneko bizi-

tzan. Oso ezagunak dira guretzat; salneurriak, luzerak, urtearen egunak e t a hilak, gure etxebizitzaren neurriak e ta abar luze bat, ia dena, zenbaki bidez adierazten da.

O s o ezaguna den zientzi gizon baten iritzia honako hau da: aZenbaki baten bidez gauza bat adierazi ezin dugunean, gauza horri buruz oso gutxi dakigula aitortu beharrean gauden. Oso gogorra dirudi iritzi honek, baina zenbakiek duten garrantzia argi adierazten du.

Zenbakien usadioa oso zabaldua agertzen d a e ta erabat ahituak gau- d e haiekin lan egiten. Oinarrisko eragiketak (batuketa, kenketa, berdinketa e t a zatiketal menperatzea guztiz beharrezkoa azaltzen zaigu, eta baldin baten batek hau ez badaki, oso intelektual maila apala duela irudituko zaigu; e t a hala bait da izan ere.

Baina, zer da zenbaki bat? galdetzen badigute, ez zaigula batere errez izango erantzutea, aitortu be'har genuke.

~Zenbak i bat zer den?: erabili bai, erabiltzen ditut; baina behin e r e e z dut izan galdera horri erantzun beharrikw, esango luke batek baino gehiagok.

Maiz, gauza hauk ikuspide praktiko batez begiratzen dira, e ta honetan sakontzea e ta saiatzea alferrikakoa dela dirudi. Horregatik, bada, eta iri- tzi horrekin konforme ez nagoelako, lantxo honen helburutzat zenbakien esannshia aztertzea hartuko dut.

Zerrbakiak, jakina, e z dira ezerezetik sortuak; gizonaren asmaketa be-

zala ager tu ziren kondairaren momento batetan; noiz? Zaila d a hori jaki- t e a , zeren e t a , geroxeago ikusiko denez, zenbakiak erabiltzen bai t ziren jadanik matematiko kontzeptua izan aurretik; e t a hortik datorkigu eran- tzunaren zailtasuna: noiz horrek z e r momento eskatzen digu, lehenengoa ala bigarrena?

Argi e t a garbi uler dai teke. kontatzeko beharra o s o oinarrizkoa dela , e t a , zenbakirik g a b e kontatzea zaila dela benetan. Badirudi, hortaz, o s o urrutiko hasiera batetik gizonak zenbakiak erabili izan dituela.

Orduan, Matematika bera , Zientzia bezala, ia gizonarekin jaio zela e s a n ahal dai teke?; e z dugu us te ; gauza ba t d a kontatzea, e t a b e s t e o s o d e s - berdin ba t hemendik zenbakiari kontzeptu soil ba t bezala heltzea. Konta- tzen denean , beti gauza konkreturen ba t kontatzen da . Bi ardi, e t x e b a t e d o hiru seme-alaba esanaz , gure gaiak ardiak, e t x e a e d o seme-alabak dira, e t a zenbakiak b e s t e kontzeptuan sa r tu ta daude; ez dira horik kon- tzeptuak, laguntzaile bezala ager tzen dira soilik.

Hemendik, e t a horren ondoren bakarrik a t e r a dai teke zenbakiaren bu- rutapena, b e s t e gauzen izaera konkretutik kanpora ateratzean, e t a zenbaki bezala azaltzean soilik. Eta bi kasoak bereztea, ho t s , laguntzaile lana ala kontzeptu lana egi ten duen bereztea, o s o garrantzitsua da.

Honela, errealitatetik urrunduz ideien e remuan barruratzen garenean , e t a justu-justu momento honetan, Matematikan sa r tu gara .

Pausu honen sortzaileak bilatzeko Babilonia e t a Egiptoraino heldu behar genukeela dirudi, orain dela bostmila u r te so r tu bait zituzten gaur Zientzia Matimatika delako gaiaren oinarriak.

Gero, zenbakien ikurrak sor tu zituzten, e r a errez batez ideia hauk adierazteko asmoz. lkur horik e z ziren gaurkoak, jakina; halaz guztiz, e z d a lantxo honen helburua horretan sakontzea e re . Gaurko ikurrak guztion- t za t ezagunak dira, e t a .hamar. zenbakia oinarri moduan erabiltzen bair dugu, hamar dira baita e r e b e s t e edozein zenbaki ba t idazteko hauta dai- tezkeen zenbaki desberdinak. Honako hauk dira: 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Geraz, kontatu beharretik a t e r a dugu zenbakien ideia, e t a horretarako beharrezkoak diren zenbakiak sor tu .

Zenbaki hauk, beraz, gauzak kontatzeko erabiltzen diren zenbakiak, arruntak dira. Definizio hau e z d a o s o zehatza, baina bai erreal i ta tear i o s o hurbila; gainera , b e s t e bide zehatzago batetara iristeko, pauso on ba t bezala onartuko dugu.

Azter dezagun orain b e s t e problema bat , be re hasieran zenbakiekin zerikusirik e z duena: Zuzenerdiaren problema e t a burutapena. Pen tsa de-

tagun eguzkitik atera ondoren hutsunean galdutako errainu batetan; bere abiaburua eguzkia da, baina bere ibilaldia ez da behin ere bukatuko (pro- blema hau sakonkiago aztertuz ez litzateke honela izango, baina egiatzat tiartuko dugu maila honetan). Hau izango litzateke zuzenerdiaren adibide bat, eta egokia gainera; zuzenerdiaren definizioa eman beharrean honako hau emango genuke: apuntu batetik, alde batetara abiaturik, zuzen batear! barrena ibi l daitekeen zatia..

Abiaburuari jatorria deritzo; A baten bidez idatzi dugu gure marraz- kian; beste aldetik gezi mutur baten bidez zuzen-erdiaren bukaezintasuna adierazten da.

Orain, zuzenki edozein bat unitatetzat aukeratzen badugu, A 0 adibi- dez, eta pausoz pauso zuzenki hori A-tik eskubitara eramaten badugu, ho- riako era honetan geldituko zaigu zuzenerdia. Ba dirudi gure asmoa zaila dela: nola estali, berez bukaezina den zuzenerdia zuzenki batez? Baina pentsa dezagun posible dela eta denbora luze bat pasa ondoren gure as- moa lortu dugula; marrazkian ikus daitekeen bezala zuzenerdi guztia mar- katuta dago.

Baina itzul gaitezen gure zenbakietara: nola elkartuko genituzke gure zenbakiz osatutako zerrenda eta marra honetan markatuak ditugun pun- tuak? Arazoa ez da batere zaila, nahikoa da A-ren lekuan O ezartzea eta gero beste puntuen gainean bana-bana zenbakiak idaztea. Kontutan hartu behar da, hori bai, ordenuan ezarri behar ditugula; hau da, txikietatik han- dietaruntz.

Eta zenbaki guzti horiek har ditzakeen multzoa, multzo asmatu hau, zenbaki arrunten multzoa izango da. Beraz, bi definizio eman ditugu zen- baki arruntentzako, lehenengoa kontaketan oinarritua, eta bigarrena zu- zenerdiaren ideian finkatua; bigarrena zehatzagoa da lehenengoa baino, baina abstraktago eta zailago ere bai.

Hau da gutxi gora behera Matematikan erabiltzen den metodoa: errealitatetik abiaturik, geroz eta zehatzago diren ereduetan sartzen da, baina zehaztasunean irabazten den hainbat errealitatetik urrunduz galtzen da.

Galdera bat laster datorkigu burura; zenbat zenbaki arrunt dago? Eran-

tzuteko asmoz eta gogo handi batez animaturik, O-tik hasiko dugu gure ibilaldia; eta honela, kontatuz joango gara. Denbora luze bat pasa ondoren, ordea, nekatuta egongo gara, eta gure lehen asmoa zalantzan jarriko du- yu: posible ote da azkeneraino heltzea?

Zuzenerdiak ez du mugarik. zaila dirudi beraz muga horretaraino iris- tea, beti edukiko dugu gure aurrean beste punturen bat; erotzeko gauza da, Geti ibi l i eta bukatu ezina.

Hortaz, ez gara kapaz zenbaki arrunt guztiak kontatzeko, kontaezinak bai t dira. Hemen sortzen zaigu oso aztergarri den prolema bat. Kontatze arazoa argitu naliirik abiatu gara, eta horretarako gizonak asmatu duen sistema azaldu dugu; orairu, honela sortu ditugun zenbakiak kontatu nahi ditugunean, ezintasuna azaltzen da. lkusten da, beraz, zenbaki arruntok gauzak zenbatzeko balio dutela, baina ez zenbaki arruntak berak konta- tzeko.

Oinarrizko eragiketak Lantxo honen helburutzat oinarrizko eragiketen esannahia argitzea har-

tuko dugu. Ez dirudi oso zaila lantxo honen beharra justifikatzea, zeren gai hain apal eta garrantzitsu hauetan batasun baten falta nabaritzen da, eta prolema hauk idatziz eta argitaratuz bakarrik konponduko direlako US-

tetan gaude.

Bi ohar eman nahi genituzke hasi baino lehen; batuketa, kenketa, bi- derketa eta zatiketa izango direla guretzako langaiak, lehenengoa, eta beste higarren honako hau: ezin bait da multzo baten kanpo eragiketa bat defini, gu arrunten multzoan arituko garela, abisatzea.

l. - BATU KETA

Eragiketa hau, dudarik gabe, oinarrizkoena eta gizonak lehenik sortua bezala agertzen zaigu. Batuketa zer den argitzeko, definizio asko ema3 daiteke; guk hemen errazenetik abiaturik batuketari buruzko hiru ikuspegi aztertuko dugu.

Batuketaren lohen ideia edo kontzeptua gehiketa batena da. .Zuk bost pezeta badituzu eta beste hiru GEHIAGO ematen badizkizut, zenbat edu- kiko duzu azkenean» ia irakasle guztiek jartzen duten adibidea da; batu- keta beraz gehiketa bat bezala azaltzen zaigu lehen aldi batetan. Haurrak, galdera honi erantzuteko, eskuetako behatzak hartuz, lehen bost ETA GERO beste h i ru kontatuko ditu, eta zorozi lor tu dituela erantzungo du.

Honela, eta hain intuiziozkoa den ideia honen bidez, batuketari buruz-

ko lehen kontzeptua bereganatzen da. Batuketa, beraz, kontaketan oinarri- tua dago beti, nahiz lehen ideia hontan nahiz beste zenbait sakonagotan. Errealitatetik jasotako kontzeptu honek zenbaki arruntekin batuketa egite- ko oso erabilgairi dela frogatu du, bere ulertzeko erraztasunagatik ba- tez ere.

Begira dezagun honako adibide hau, gehiketaren sistema erabiliz:

@ @ () a 8 baldin badauzkagu eta beste e @ GEHIA-

GO bereganatzen baditugu azke- @ Q (3) Q e nean edukiko ditugu.

Matematika hizkuntza erabiliz, lehengo taldeak bost elementu ditu e ta bigarrenak hiru; bi hauk batutzean lortutakoak zortzi ditu. Hemendik, las- t e r esango genuke bost (bost gauza edozein] gehi hiru (hiru gauza edo,. zein) zortzi gauza edozein dela. Honela eman dugu pausoa gauzetatik zen- bskietara. Eta laburkiago idazteko: 5+3=8; bost gehi hiru berdin zortzi.

lkurrak gehi izena hartuko du, eta = berdin izango da.

Erraz uler daitekeenez, edozein batuketa (edozein eragiketa baita erel egiteko bi gai behar ditugu; orduan, bi gai hauek batugai izena hartuko dute, batuketaren gaiak bait dira. Bi batugai batuz lortzen den zenbaki berria, batuketaren emaitza alegia, batura izendatuko dugu.

BATUGAI + BATUGAI = BATURA

GEHI ordez, e ta + ikurra irakurtzeko, ETA erabiltzen da; egia esa te- ko, matematika esakera errazten du e ta beraz onargarri iruditzen zaigu; bainan + ikurraren izena geihi dela argi e ta garbi utzi nahi genuke.

Joan gaitezen orain beste gehiketa bat aztertzera; eman dezagun alde batetik lau sagar eta bestetik hiru udare ditugula: orain, bi multzo hauk

batetara biltzean, ez ditugu 7 sagar, ezta 7 udare erer baditugu ordea 7 fruitu, edo 7 elementu: Hemen ikusten da oso ongi errealitateatik kon- tzeptura pasatzeko beharra.

Matematiketan eragiketa honi bilketa deitzen zaio, e ta batuketaren

ideia bere barrutian besarkatzen du; argiago esateko, batuketa bilketaren zati bat bezala agertzen da; bi multzo biltzerakoan multzo berri honen elementen kantitateari dagokiona.

Baina ez da azterketa guztia hemen amaitzen: konsidera dezagun hona- ko adibide hau: A eta B multzoen arteko bilketa, izanik:

A multzoa, lau auto gorriez osatutakoa.

B multzoa, Donostiako matrikuladun hiru autoez osatua.

Bi multzo hagen bilketa emaitza, C=AUB multzoa da: honek, ordea, ez ditu 7 elementa, 5 baizik.

Kaso hontan beraz A (4) U B (3)- C ( 5 ) (U ikurrak bilketa era. yiketa adierazten du; bere izena ~ ~ b i l » da.)

Orduan, biltzen ditugun multzoak bereziak badira, eta kaso honetan bakarrik, bilkura multzoaren kardinala (multzo baten kardinalak, multzo honek zenbat elementu dadukan adierazten du) zera da, bilduak izan dirert kardínalen batura.

Ondoren, geometrian oinarritzen den hirugarren ideia bar azaldu nahi genuke; eragiketa hau bektorezko batuketa deitzen da.

Hemen zenbaki arrunten bidez azalduko dugu batuketa mota hau.

Bektorezko batuketa hau azaltzeko, gure lehen kezka, bektoreak eta zenbaki arruntak elkartzea izan behar du; zehazkiago esanez, zenbaki arrunt bakoitzari dagokion bektorea definitu behar dugu.

Eman dezagun, zuzenerdi honen bidez, zenbaki arrunt guztiak adieraz- ten ditugula. Bektore ikuspegitik 3 zenbakia zera da: bere abiaburua O pun- tuan eta bere helburua 3 puntuan duen bektorea. ~ H i r u n zenbakiaren bek-

P tore ordezkaria: ,-a bektorea izango da. Era berean,

0 1 2 3 4 2 ubimren bektore ordezkaria bektorea izango da.

o 1 2

Bektorezko batuketa egiteko honako lege hau ematen da: b i bektore batugaiak hartzen dira; O puntutik abiaturik ipintzen da Iehenengoa; ondo- ren bigarrena marrazten da, honen abiaburua lehengoaren helburuarekin bat eginez.

Abiaburu bezala lehengoarena hartuz, eta helburutzat bigarrenarena Iiartuz lortzen den bektorea, batuketaren emaitza (batura deitua) izango da.

Batuketa mota hau asko erabiltzen da; zenbaki arruntekin, halaz guz- tiz, ez hainbeste, beste sistemak nahiko onak bait dira; baina zenbaki osoen multzoan barruratzen bagara derrigorrezkoa azaltzen zaigu bere beharra: horregatik, ez da ideia txarra sistema hau hasieratik bertatik ikas araztea. Beraz, batuketa zer den erantzuteko, era desberdin hauk eta beste gehiago ere badaude; dena den, dudarik gabe, hiru azalduok dira ezagunenak eta erabilienak.

Lehenengo ideia, gehiketarena alegia, oso intuiziozko izanik, lehen kon- zeptu bezala azaltzeko egokia dirudi. Beste biak, bilketarena eta bekto- rezkoa haien ondoren eman izan dira orain arte; halaz guztiz, gure iritziz bektorezko hau ere interesgarria litzateke txikitatik ikastea.

Bukatzeko, hiru sistemez egindako batuketa bat azalduko dugu:

3 + 5 = 8 adierazteko

a ) gehiketa bídez:

@ O @ d @ ~ k ~ ~ @ O Q C ) d O @ O e b) bilketa bidez

C) bektore bidez:

i l . - KENKETA

Kenketaz idaztera abiatzerakoan, nola egingo dugun adierazi nahi ge - nuke. Batuketan egin genuen bezala, hiru ikuspegitatik aztertuko dugu ken- keta e r e , e t a zenbaki arrunten multzo barruan jarraituko dugu lana egi ten.

Kenketari buruz arruntki bereganatzen den lehen ideia, ~ g u t x i k e t a * ba tena da . Begira nola; guk hamar pezeta baditugu, e t a hamar hauetat ik lau galtzen e d o ematen e d o kentzen baditugu, dudarik gabe , s e i peze ta re - kin geldituko gara. Ger tae ra hsuk, Matematika alorrean, kenketa baten bi- dez adierazten dira. Guk genuen dirua gutxitu egin d a ger tae ra honetan. Eragiketa hau kontaketan dago oínarritua, zeren e t a eragiketa honen emai - tza kalkulatzeko, gelditu diren pezetak kontatzen bait ditugu.

@a@ galdu di tut

@ea@@ gelditzen dira

Izan e r e , gure kenketak egin behar ditugunean e z gara hain zorrotzak

iraten, eta zortzi txanpon horiek jarri ordez, zortzi (edo maizago, 8) idazten dugu, galdutako txanponekin eta einaitzarekin, hortaz, sistema berdina era- biliz.

Nik zortzi pezeta nituen - 8 bidez adierazten dugu

hiru pezeta galdu ditut - 3 bidez adierazten dugu

Gero 8 - 3 eragiketa eginez, 5 zenbakia ateratzen dugu, eta 5 honek bost pezeta esan nahi du.

8 Ptd , 3 Pta

Gure artean, eragiketa hau egiterakoan, atzizkiak erabiltzea oso zabal- dua dago; eta egia esan, hori ez zaigu batere komenigarri iruditzen.

Adibidez:

8 - 3 = 5 eragiketa irakurtzeko, hau esaten dugu:

zortziri hiru kenduz bost ematen du.

Baina gure iritziz, irakurtzeko era honek, gutxienez, hiru akats hauk ditu.

l.-Eragiketaren berezko ordena desegiten da, eta berdintza ikurra- ren lekua aldatzen du.

zortziri hiru kenduz bost ematen du

2.- lkurrari izenik gabe uzten dio, cckenduzn izena ez bait dirudi OSO

egokia ikurra izendatzeko; berdin pasatzen zaio = ikurrari, era honetan ez hait da irakurtzen.

3.- Berdintzak konplikatu orduko, ezin daiteke sistema horren bidez jarrai; izan ere,

z = (3' (x - y) + (x2 + y) ) - 3 nola irakurri era hontan?

Frogatu dugun bezala, irakurtzeko era hau matematika baliorik gabe gelditzen da; hizkuntza arruntean erabilgarria izango da, baina matematika- tan beste bide bat bi latu behar dugu.

Bide egokiena, gauzak dauden ordenean irakurtzea eta zenbaki eta ikur bakoitzari izen bat ipintzea izango dela dirudi. Dudarik gabe, ulertzeko zailago izango da hasera batetan, baina derrigorrezkoa da, matematikak es- katzen duen zehaztasuna galdu nahi ez bada.

Adibidez:

8 zortzi - ken 0-3 = 5

3 hi ru = berdin zortzi ken hi ru berdin bost. 5 bost

Horretaz gainera, bide hau oso orokorra da, eta edozein eragiketatan erabil daiteke.

Kenketaren gaiek, edo kengaiek, ez dute biek eginkizun berdina bete- tzen, horregatik berezi behar ditugu elkar. Batek kendu egiten du, eta hau ~~kentzaileaa da, besteak, aldiz, kentzailearen ekintza sofritzen du, hau ~kenkizunan da, eta azkenez, eragiketa hau egiterakoan lortzen den emai- iza, N kenduran izendatzen da.

KENKIZUNA - KENTZAILEA = KENDURA

Guretzat, kenkizunak beti kentzaileak baino handiago izan beharko du; bestela, izan ere, nola egingo genlnke 5 - 8 kenketa? Gu orain arte ib i l i garen bidean, eragiketa honek ez du zentzurik; eragiketa honi erantzun on bat emateko arrunten multzotik atera behar dugu, osoen multzoan sartuz.

Lehenengo zati hau bukatu ondoren, bigarrenarekin hasiko gara; mul- tzo teoriarentzat kenketa zer den aztertuz.

Kenketak, eragiketa denez gero, b i elementu behar d i tu bere defini- zioa zehazteko: Bi elementu edo gai horik multzoak dira, eta honetan datza hain zuzen kenketa honen berezitasun nagusiena. Guk A eta B b i multzo edozein hartuko dugu. Eragiketa hau posible izateko, e rag i ke ta~ sartzen diren b i multzoek, honako baldintza hau bete behar dute: A 2 B.

A 3 B [Ezkerretatik eskuinetara irakurriz) A-k du barruan B

(Eskuinetatik ezkerretara irakurris) B dago A barruan

Edo hizkuntza arrunta erabiliz: A-ko elementak B-ko guztiak eta beste batzuk direnean.

A-B eragiketaren emaitza, (kontuz ordenarekin A-B posible denean, 6-A ezin da) beste multzo bat da, C alegia (multzo kendura alegia)~.

C-ko elementak zerak dira: .A-ko elementak izanik, B-koak ez direnakn.

Adibidez:

A-ko elementak O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, KENKIZUNA B-ko elementak 0, 2, 4, 6, 8, kentzailea A-B-ko elementak 1, 3, 5, 7, 9, KENDURA

A = Lehen hamar zifrak

Orain multzo hauen kardinalak edo elemento kopurua konsideratzen badugu, umultzo kendurarenl~ kardinalak beste bien arteko kenketaren emai- tza dela ikusiko dugu.

A r e n kardinala 10 B ren kardinala 5

A-B ren kardinala 10 - 5 = 5

Lege hau beti betetzen da; horregatik, multzoen arteko eragiketa honi líenketa deitzen zaio, zenbakien arteko kenketa gogoratzen bait du. Bake- tari buruz hitz egin genuenean, propietate hau ez zela betetzen ikustera- koan, baketa eta bilketaren artean berezi beharra azaldu genuen.

Kenketari buruz hirugarren ideia bat eman nahi genuke, bektorezkoa alegia. Eta sail honetan barruratzean lehen galdera hau dugu: nola elkaí- bidetu edo erlazionatu zenbakiak bektoreekin? Guk ez dugu bektorezko ken- keta bere zabaltasun guztian aztertuko, zenbaki arruntekin erlazionatzen den heinean baizik.

Eman dezagun honako zuzenerdi hau.

Hasteko, 1 zenbakiari li. bektorea atxiki eraziko diogu eta 1 0-

7- 2 zenbakiari O.----, bektorea; hau da, zenbaki bakoitzari zeroan

1 Z

hasten den eta zenbaki horretan bukatzen den bektorea.

Adibidez 6 zenbakiaren,

Bektorea dela argitzeko azkon txiki ba t idazten d a zenbaki yainean.

Joan gaitezen orain bektorezko kenketa zehaztera; horretarako har di- -b -&

tzagun bi bektore edozein ( 8 e t a 5 bektoreak alegia) . Eta egin de- s, i * r .sb,

zagun 8 - 5 eragiketa; horretarako 8 bektorea idatziko dugu e t a -w

bektore honen helburua, 5 bektorearen abiaburua jarriko dugu, hemen- 9%

dik e t a ezker a ldera 5 bektore osoa idazteko.

Azkenik lehenengo abiaburua bigarreiiaren helburuarekin lotuz, lortzen dugun bektorea, emaitza izango da.

I

Gure kasoan 0 3 bektorea a t e r a zaigu. e d o b e s t e e ran

-9 -b =+ idatziz. 8 - 5 = 3

d 3 Orain, 5 - 8 kenketa egi teko lehen erakuts i dugun s i s t e m a

aplikatzen saiatzen bagara, honako bide hau erabili behar genuke.

Baina O tik ezkerretara dagoen lekua ez dugu gure zuzenerdian s a r - tzen e t a beraz ezin dezakegu eragiketa hau buka.

Kenketak egi teko e r a hau, o s o baliogarria dela pentsatzen dugu, e t a lehenbai t lehen ikas araztea komenigarri.

(iarraitzeko)

J . M." GOÑI