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Tema 6Circuitos en rgimen permanente
sinusoidal1 Parte
-
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21/03/2007 6-2
Contenidos
Introduccin Onda sinusoidal Respuesta sinusoidal
Representacin de ondas sinusoidales: el fasor Respuesta de una resistencia Respuesta de una bobina
Respuesta de un condensador Impedancia y reactancia Admitancia, conductancia y susceptancia Leyes de Kirchhoff
Diagramas fasoriales Asociacin de impedancias
-
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Contenidos
Mtodos de anlisis Mtodo de tensiones de nudo Mtodo de corrientes de malla
Principios y teoremas Principio de superposicin Thvenin
Norton Compensacin Reciprocidad Millman
-
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Contenidos
Potencia y energa
Potencia instantnea y energa Potencia activa y potencia reactiva
Factor de potencia
Compensacin de la potencia reactiva Potencia compleja. Tringulo de potencias Mxima transferencia de potencia
Balance de potencias. Teorema de Boucherot
-
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Objetivos
Obtener los valores mximo, de pico a pico, medio yeficaz de una onda peridica
Obtener los factores de forma y amplitud de una ondaperidica
Representar una forma de onda sinusoidal por mediode un fasor, y operar con fasores
-
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Objetivos
Familiarizarse con la nueva nomenclatura(impedancia, admitancia, reactancia, susceptancia)
Enunciar la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoffpara circuitos de corriente alterna, y determinar laimpedancia o admitancia de una resistencia, unabobina y un condensador
Construir diagramas fasoriales para representar lastensiones y corrientes de los circuitos de alterna
Representar cualquier circuito de alterna en el
dominio de la frecuencia, determinar la impedanciao admitancia equivalente y calcular cualquiervariable de inters
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Repaso de aritmtica compleja
( )
=
=
=
+=
+
senmb
cosma
rRectangulaPolar
abarctg
bam
PolarrRectangula
m:polarForma
jba:binmicaorrectangulaForma
22
-
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Repaso de aritmtica compleja
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+
+
+++
=+=+
+++=+++=+
=+=
=+=
2211
2211
22211
22211
221121
2121221121
22222
11111
senmsenm
cosmcosmarctg
senmsenmcosmcosm
mmxx
:polarForma
bbjaajbajbaxx
:rrectangulaForma
mjbax
mjbax:complejosdeSuma
rr
rr
r
r
-
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Repaso de aritmtica compleja
( )
( ) ==
+=+=
=+=
mkmkxk
bkjakjbakxk
mjbax
:kescalarunporProducto
r
r
r
-
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Repaso de aritmtica compleja
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )12212121221121
2121221121
22222
11111
babajbbaajbajbaxx
mmmmxx
jbamx
jbamx
:complejosdosdeProducto
++=++=
+==
+==
+==
rr
rr
r
r
-
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Repaso de aritmtica compleja
( )
( ) ==
=+=
+==
mmx
jbajbax
jbamx
:conjugadoOperador
r
r
r
-
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21/03/2007 6-12
Repaso de aritmtica compleja
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )2121
2211221121
12212121
2211221121
22222
11111
mmmmmmxx
babajbbaa
jbajbajbajbaxx
mjbax
mjbax
:conjugadoelporProducto
===
+++
=+=++=
=+=
=+=
rr
rr
r
r
-
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21/03/2007 6-13
Repaso de trigonometra
=
==
=
+==+==+
+++=+
cos)2cos(
sen)2(sencos)cos(
sen)(sen
)2/cos(sen)2/cos( )2/(sencos)2/(sen
:utilidaddericastrigonomtrelacionesOtras
)t(senjA)tcos(AeA
:EulerdeIdentidad
mm)t(j
m
-
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21/03/2007 6-14
Repaso de trigonometra
BcosAcos2)BAcos()BAcos(
senAsenBBcosAcos)BAcos(
senAsenBBcosAcos)BAcos(
oscsen22sen2 2cos1sen
sen21sensen1sencos2cos
2cos1cos2
1cos21coscossencos2cos
:utilidaddericastrigonomtrelacionesOtras
2
22222
2
22222
=++
+=
=+
=
=
===
+=
=+==
-
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21/03/2007 6-15
Ondas peridicas
( ) ( )Ttxtx +=
x(t)
t
T
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
-
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21/03/2007 6-16
Ondas peridicas
Valores asociados:
Valor mximo, de pico o de cresta de una ondax(t)Xm = mx( Xm+ , |Xm| )
Valor de pico a pico de x(t):
Xpp= Xm++ |Xm|
-
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21/03/2007 6-17
Valor medio: representa el promedio de la ondax(t) en un periodo
Valor eficaz, rms (root mean square): representael valor cuadrtico medio de la onda peridica x(t)
Ondas peridicas
+
=
Tt
t
2 dt(t)xT1X
+
=Tt
t
med dtx(t)T
1X
-
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21/03/2007 6-18
Factor de amplitud: es la relacin entre el valormximo (Xm) y el valor eficaz (X) de la onda
peridica x(t)
Factor de forma: es la relacin entre el valor eficaz(X) y el valor medio (Xmed) de la onda peridica x(t)
Ondas peridicas
XX
F mA =
medF X
XF =
-
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Calclese el valor mximo, valor de pico a pico,valor medio, valor eficaz, factor de amplitud y factorde forma para la onda peridica de tensin v(t), en
voltios, de la figura
Ejemplo 6.1
v(t), V
100
t, s20
0,25T T 2T
-
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Ondas sinusoidales
Generacin, transporte y distribucin de energaelctrica
Menores prdidas y cadas de tensin
Frecuencia en Europa: 50 Hz
A tensiones sinusoidales les correspondencorrientes sinusoidales de la misma frecuencia
-
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21/03/2007 6-21
[ ][ ]
[ ]
[ ]
[ ]gradosfasedengulo
rad/sPulsacinT1
2f2
HzFrecuenciaT1f
sciclo)unpara(tiempoPeriodoT
VmximaTensinV
V
m
==
=
=
radianesenngulo180
gradosenngulo
:cordatorioRe
Ondas sinusoidales
( ) ( )vm tcosVtv +=
v
Vm
t, st, rad
3T/2TT/2
v(t)
-Vm
2 3
2
v/
-
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Ondas sinusoidales
Valor medio:
Valor eficaz:
( )
=+= +
m2Tt
t
vmmed
2VdttcosV
T2
V
~
~
( )2
VdttcosV1V m
t
t
v22m =+=
+
-
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Ondas sinusoidales
Factor de amplitud:
Factor de forma:
41122V
VFm
mA ,
/===
11122V
2/VFm
mF ,
/ ===
-
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Ondas sinusoidales
Comparacin de ondas: deben tener lamisma frecuencia
v1(t)
v2(t)
t, s
t, rad
3T/2TT/2
32
v1(t), v2(t)
la onda v1(t) est adelantada respecto a v2(t) o la onda v2(t)est retrasada respecto a v
1(t)
-
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Respuesta sinusoidal
vs
i(t)
L
( )
( )
hh
p
hp
s
RidtdiL0:omogneahSolucin
tcos2i:particularSolucin
iiti:completaSolucin
Ridtdi
LtcosV2tensionesdeKirchhoffdeLey
tcosV2(t)v
+=
+=
+=
+=
=
I
-
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21/03/2007 6-26
Respuesta sinusoidal
( ) ( )44 344 2144 344 21
otransitori
tLR-
permanente
ecos2-tcos2i
:Finalmente
+= II
-
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Respuesta sinusoidalObservaciones
La solucin en rgimen permanente es una
funcin sinusoidal La frecuencia de la respuesta es idntica a lafrecuencia de la excitacin
La amplitud de la respuesta es distinta de laamplitud de la excitacin
El ngulo de fase de la respuesta es distinto
del ngulo de fase de la excitacin
-
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Fasor
El fasor es de utilidad para el anlisis enrgimen permanente
{ }
{ }
=
=
+=
j
j
j
eImsen
eRecos
jsencoseIdentidad de Euler:
por tanto,
-
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Proyeccin enel eje real
( )( ){ }
{ }}
{
=
=
=
=
+=
+
eVeR2eVeeR2
eeeRV2
eeRV2
tVcos2v(t)
tjtj
V
j
jtj
tj
321
Fasor
La tensin sinusoidal:
Vector unitariogiratorio
El giro y la proyeccin son comunes!
-
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Fasor: la transformacin fasorial
}
( ){ }+== tcosV2PVeV j
La transformacin fasorial transfiere funciones
sinusoidales al plano complejo, tambin denominadodominio de la frecuencia
Vej se escribe normalmente como V
Transformacinfasorial
-
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Fasor: transformada fasorial inversa
{ } ( )+== tcosV2eVe2ReVeP tjjj1
La transformada fasorial es til ya que permiteemplear aritmtica compleja en lugar dearitmtica sinusoidal
-
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Onda sinusoidal y fasor asociado
X
Re
ImXm
t
t +
x(t)
( )+= tcosX)t(x m
-
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Notacin habitual:
Aparatos miden valor eficaz
Onda sinusoidal y fasor
Valor instantneo: v Valor eficaz: V Valor mximo: Vm Fasor:
)tcos(V2)tcos(Vvm
+=+=
V
-
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21/03/2007 6-34
Ejemplo 6.2
(t)?y(t)y) y(t)60(cos40(t)y
)30(cos20(t)y21o
2
o1
+=+=
=
t
t
-
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Resumen
Valor medio:
Valor eficaz:
Factor de forma:
Factor de amplitud:
Transformada fasorial:
( )
=+= +
m2
T
t
t
vmmed2VdttcosV
T2V
~
~
( )2
VdttcosV1V m
t
t
v22
m =+= +
( )+== tcosV2PVeV j
4112
2V
VF
m
mA ,
/
===
11122V2/V
F mm
F ,/ =
==
Respuesta de los elementos
-
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21/03/2007 6-36
Respuesta de los elementos
pasivos Vamos a analizar la respuesta de los tres elementos
pasivos (resistencia, bobina y condensador) a una
excitacin sinusoidal en el domino del tiempo y en eldominio de la frecuencia. Imaginemos que conocemos la corriente que circula
por cada uno de ellos que es de la forma
Y queremos calcular la tensin entre sus terminales,que ser del tipo
( )itcos2)t(i += I
( )vtcosV2)t(v +=
Respuesta de los elementos
-
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21/03/2007 6-37
A partir de las relaciones entre v(t) e i(t) en cada unode los elementos pasivos determinaremos su
respuesta Buscamos encontrar los valores de V y v en funcinde I, i y los valores de los parmetros R, L y C
Los fasores de corriente y tensin son:
Respuesta de los elementos
pasivos
( ) { }tji eRe2tcos2)t(i =+= II
( ) { }tjv eVRe2tcosV2)t(v =+=VVV =
i= II
-
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Resistencia: Ley de Ohm
( ) ( )Rtitv =)t(v+ _
)t(i
]tcos2Rtcos2Rtv II
tcos2ti I
Sea
la tensin es:
sinusoides
-
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21/03/2007 6-39
Resistencia
}
{III
I
R=V;ReR=V
1etcos2P
j
j
=
Aplicando la transformada fasorial:
la tensin y la corriente estn en fase!
fasores
I
V
V+ _
I
-
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Resistencia
IRV =
-
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Bobina
dt
)t(diL)t(v =L
)t(v+ _
)t(i
( ) ( )
( ) ( ) ( )o90tcos2Ltsen2Ldtdi
Ltv
tcos2ti
ii
i
+=+==
+=
II
I
-
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21/03/2007 6-42
Bobina
( )
{
( ) ( )
( )
o
o
o
oo
90L=V
90L=Lj=V
e=j-queya,eLj=V
eeLeL=V
i
i
j90j
j90j90j
i
ii
+
=
I
II
I
II
I
Transformacin fasorial
corriente retrasada 90o!
I
V90
jLI
V+_
-
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21/03/2007 6-43
Bobina: observaciones
1. Tensin 90 grados adelantada (pasa antes por 0 al subir)
2. Amplitud de valor 2 LI = LIm
ILj=V
C d d
-
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Condensador
dt
)t(dvC)t(i =
C i(t)
+ )t(v
( ) ( )
( )v
v
tsenV2CdtdvC)t(i
tcosV2tv
+==
+=Sea:
-
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Condensador
VCj= I
( )
( )o
o
90C=V
90C1
=V
Cj1
=V
i
i
I
I
I
Por analoga con la bobina:
o bien,
corriente adelantada 90o!
I
V
90
1/jCI
V+_
Condensador: observaciones
-
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Condensador: observaciones
IC1
jV
=
Observaciones:
1. Tensin retrasada 90o (corriente pasa antes por 0o al subir)
2. Amplitud de valor CC2m
=
II
Impedancia
-
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21/03/2007 6-47
Impedancia
La impedancia es el cociente entre los fasores de tensin ycorriente
Se mide en Ohmios,
IZV=
No es un fasor, es un complejo!
Impedancia
-
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21/03/2007 6-48
Impedancia
Formas de la impedancia:
R=Z1) Resistencia:
2) Bobina:
3) Condensador:
Lj=Z
C
1-j=Z
La parte real de la impedancia se denomina resistencia, R
La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia, X
jXRZ +=
Reactancia
-
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Reactancia
0=X1) Resistencia:
2) Bobina:
3) Condensador:
Formas de la reactancia:
( )0>L=X
( )0
-
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21/03/2007 6-50
Admitancia, conductancia y susceptancia
jBGZ
1=Y +=
La admitancia se define como la inversa de la impedancia:
La admitancia se mide en Siemens [S]
La parte real de la admitancia es la conductancia, G La parte imaginaria de la admitancia es la susceptancia, B
Ley de Kirchhoff de tensiones
-
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Ley de Kirchhoff de tensiones
0)t(v)t(v)t(v n21 =+++ K
( ) ( ) ( )
{ } { } { }
( ){ } 0eeVeVeV2
0eeV2eeV2eeV2
0tcosV2tcosV2tcosV2
tjj
n
j
2
j
1
tjjn
tjj2
tjj1
nn2211
n21
n21
=+++
=+++
=++++++
K
K
K
En rgimen permanente sinusoidal:
La suma algebraica de las tensiones a lo largo decualquier camino cerrado en un circuito es igual a 0
Ley de Kirchhoff de tensiones
-
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Ley de Kirchhoff de tensiones
{ 0eVVV0
tj
0
n21 =
+++
=444 3444 21
K
0VVV n21 =+++ K
por tanto,
Vector unitario giratorio!
Ley de Kirchhoff de tensiones enel dominio de la frecuencia
LKT:
Ley de Kirchhoff de corrientes
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Ley de Kirchhoff de corrientes
0)t(i)t(i)t(i n21 =+++ K
0n21 =+++ III K
Anlogamente a la ley de tensiones:
que es la ley de Kirchhoff de corrientes en eldominio de la frecuencia
La suma algebraica de todas la corrientes queinciden en un nudo es igual a 0
LKC:
Leyes de Kirchhoff
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yEjemplo 6.3
Hallar las corrientes por cada rama y la corriente total idel circuito de la figura sabiendo que R = 10 ; L = 0,1H; C = 1 mF y
i
iR iL iC
R L C
v
+
-
Vcos100t2100v=
Leyes de Kirchhoff
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yEjercicio propuesto
V050
10
3j
3j
3j
I1
I2
10
10I3
+
-
Hallar las corrientes que circulan por cada rama:
Diagramas fasoriales
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Diagramas fasoriales
Los fasores pueden representarse en el planocomplejo
A menudo su representacin es til en la resolucinde problemas En un circuito serie tomamos la corriente como
origen de fases (comn a todos los elementos)
En un circuito paralelo tomamos la tensin comoorigen de fases (comn a todos los elementos)
Ejemplo 6.4
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mV
+
_
sILI CI RI
so
R fuenteladecorrientelaarespecto45retrasadaest
aresistenciladetravsacorrientelaqueformadeR,aresistenciladevalorelencontrarparafasorialesdiagramaslosUtilizar
II
L C R
L=0.2mH, C=800F, =5000 rad/s
Ejemplo 6.4 (I)
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( )( )
( )( )
omo
mR
om
6
o
mC
om3
om
L
RCLo
mm
CLRs
0RV
R0V
904V108005000
j 0V
90V100.25000j
0V
:comoe,calculanse,0VVqueSuponiendo
:LKC
=
=
=
=
=
=
=
++=
I
I
I
III
IIII
Ejemplo 6.4 (II)
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=31
RtantoPor.V3aigualserdebe
delongitudlacomoverpuedesefasorialdiagramaelEn
m
RI
45o
RVmR =I
mC V4j=I
mL V1j=I
sI
Asociacin de impedancias en
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soc ac de peda c as e
serie y en paralelo
En rgimen sinusoidal permanente es posible agrupar
elementos pasivos de distinta naturaleza (resistenciasy/o bobinas y/o condensandores) una vez que cadauno de ellos ha sido caracterizado por su impedanciacorrespondiente
Las reglas para determinar las impedancias(admitancias) equivalentes de combinaciones deelementos pasivos, son idnticas a las estudiadas
para los elementos resistivos, sustituyendo lasresistencias (conductancias) por las impedancias(admitancias) complejas
Impedancias en serie
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( )
n21ab
ab
n21ab
n21ab
n21ab
ZZZVZ
ZZZV
ZZZVVVVV
+++==
+++=
+++=+++=
K
K
K
K
I
I
III
Las impedancias en serie se suman n21eq ZZZZ +++= K
Z1 Z2 Zna
b
+
_
...
abV I
Por los elementos enserie pasa la mismacorriente
Ejemplo 6.5
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j p
Sea
Representar el circuito en el dominio de la frecuencia
a) Calcular i(t)
)t(vs
90 Hm23
F5
)t(i
( ) ( )V305000tosc2750tv os +=
Ejemplo 6.5 (I)
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V30750 o
90 160j
40j
I
a
b
Impedancias en paralelo
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p p
n21ab
n21ab
n21
Z1
Z1
Z1
Z1
Z
V
Z
V
Z
V
Z
V
+++=
+++=
+++=
K
K
K IIII
Z1 Z2 Zn
a
b
+
_
...
...
V
I
1I 2I nI
Los elementos enparalelo estn ala misma tensin
Admitancias en paralelo
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p
La admitancia equivalente es la suma de las admitanciasparalelo
n21eq YYYY +++= K
Y1 Y2 Yn
a
b
+
_
...
...
V
I
1I 2I nI
)t(iEjemplo 6.6
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Sea
Representar el circuito en el dominio de la frecuencia
a) Calcular v(t), i1(t), i2(t) e i3(t)
)t(is 10 F1
)t(i1 6)t(i2
)t(i3
H40
+
v(t)
_
( ) ( )At102osc28ti 5s =
Ejemplo 6.6 (I)
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A08o
10
1I 6+
_
2I
3I
8j
5jV
Transformacin estrella-tringulo
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3
133221c
2
133221b
1
133221a
cba
ba3
cba
ac2
cba
cb1
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZZ
ZZZZZ
Z
ZZZZZ
Z
ZZZZZZ
++=
++=
++=
++=
++=
++=
Z3
a bZc
Z2Z1
n
Zb
c
Za
Resumen
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+==
+=
=
=
=
=
iasusceptanc:Biaconductanc:G
aAdmitanci:Y
jBGZ1
Yreactancia:X
aresistenci:R
impedancia:Z
jXRZ
Cj
1Z:rCondensado
LjZ:Bobina
RZ:aResistenci
ZV:alternaenOhmdeLey I
LKC, LKT, equivalencias serie, paralelo yestrella/tringulo como en CONTINUA!!
