XX Olimpiada Thales

SoluciónSolución

El pequeño Chouitín:En el año 300 a. C. el chino Chou Pei Suan Ching demostró el famoso teorema de Pitágoras basándose en un cuadrado similar al de la figura, formado por 8 triángulos rectángulos genéricos iguales y un cuadrado más pequeño.

Pues bien, el pequeño Chouitín te propone que calcules el área del cuadrado pequeño sabiendo sólo que la superficie del cuadrado grande es 289 cm2 y que los catetos menores de los triángulos miden 5 cm.

CuriosidadCuriosidad

289 cm2 =

5 cm

?

MenúMenú

Solución:

¿Sabrías deducir cuánto mide el lado del cuadrado grande?

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado MenúMenú

Solución:

¿Sabrías deducir cuánto mide el lado del cuadrado grande?

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

l2 = 289 cm2

MenúMenú

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

l2 = 289 cm2 l = 289 = 17 cm

Solución:

¿Sabrías deducir cuánto mide el lado del cuadrado grande?

MenúMenú

Solución:

Deduzcamos ahora la longitud de los catetos mayores...

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

17 cm

MenúMenú

Solución:

Deduzcamos ahora la longitud de los catetos mayores...

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

17 cm12 cm

MenúMenú

Solución:

¿Sabes ya cuánto medirá el lado del cuadrado rojo?

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

17 cm12 cm

MenúMenú

Solución:

Es fácil ...

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

17 cm12 cm

12 cm

5 cm ?

MenúMenú

Solución:

¡Ea!, pues ya tenemos a huevo la solución del problema...

289 cm2 =

5 cm

?

EnunciadoEnunciado

17 cm12 cm

12 cm

5 cm 7 cm

MenúMenú

Solución:

289 cm2 =

5 cm

EnunciadoEnunciado

17 cm12 cm

12 cm

5 cm 7 cm

49 cm2

A. cuadrado rojo = l2 = 7 x 7 = 49 cm2

CuriosidadCuriosidad

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

= 4bc/2 + (b-c)2 =

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

= 4bc/2 + (b-c)2 = 2bc + b2 -2bc + c2 =

= b2 + c2 c.q.d.

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

= 4bc/2 + (b-c)2 =

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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Demostración del T. De Pitágoras de Chou Pei Suan Ching (s. III a.C.) :

Como sabes el T. Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir:

ac

b

a2 = b2 + c2

Pues bien, Chou Pei lo demostró basándose en la figura siguiente, ¿sabrías hacerlo tú?

Calculemos el área del cuadrado contor-neado en rojo en función de a y de b:

Área = a2 = 4 triángulos + cuad. pequeño =

= 4bc/2 + (b-c)2 = 2bc + b2 -2bc + c2 =

= b2 + c2 c.q.d.

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

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