DISTRIBUCIÓN

DE WEIBULL

INTEGRANTES:

ELIANA CASTILLO

NOHORA VARGAS

LUZ AIDA ESTUPIÑAN

MAURICIO BARRERA

HISTORIA la distribución de Weibull es

una distribución de probabilidad continua. Recibe su nombre de  Waloddi Weibull, que la describió detalladamente en 1951, aunque fue descubierta inicialmente por Fréchet (1927) y aplicada por primera vez por Rosin y Rammler (1933) para describir la distribución de los tamaños de determinadas partículas.

WALODDI WEIBULL  ( * 18 de junio de 1887-

Annecy, 12 de octubre de 1979) fue un ingeniero y matemático sueco. Es reconocido por su trabajo en el área de la estadística por sus estudios sobre la distribución de Weibull.

En 1939 publicó su trabajo sobre la distribución de Weibull, utilizada en probabilidad y estadística.

APLICACIONES Análisis de la supervivencia En ingeniería, para modelar procesos

estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y distribución de bienes

Teoría de valores extremos Meteorología Para modelar la distribución de la velocidad

del viento En telecomunicaciones En sistemas de radar para simular la

dispersión de la señal recibida En seguros, para modelar el tamaño de las

pérdidas

DEFINICIÓN Se dice que una variable aleatoria X

tiene una distribución de Weibull si su función de densidad de probabilidad esta dada por

f (X ,∝, 𝜃 )=∝ t∝−1

𝜃𝛼 e−( t

𝜃)𝛼

FUNCIÓN DE DENSIDAD donde  > 0 es el parámetro de

forma y

  > 0 es el parámetro de escala de la distribución.

f ( x ,∝ ,𝜃 )=∝ t∝−1

𝜃𝛼 e−( t

𝜃)𝛼

DEMOSTRACIÓN

K-ESIMO MOMENTO

E (X K)=∫0

∞

X K∝ X ∝−1

𝜃𝛼e−( X

𝜃)𝛼

dx

DEMOSTRACIÓN

Hacemos el cambio de variable Despejamos x

Derivamos Decimos que

MEDIA

E(X^2)

VARIANZA (X)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

F ( X )=p (X ≤ x )=∫0

X∝t∝−1

𝜃𝛼 e−( t

𝜃)𝛼

dt

F ( X )=p ( X ≤x )=1−e−( x𝜃 )

𝛼

DEMOSTRACION

Despejamos tDerivamos

CUARTIL Q, XQ

f (xq )=p(x ≤q)=q

x=[𝜃𝛼∈( 11−q )]

1𝛼

DEMOSTRACIÓN

 

COEFICIENTE DE ASIMETRÍA

∝3

𝜏 (1+ 3∝ )−3𝜏 (1+ 1∝ )(1+ 2∝ )+2𝜏3(1+ 1∝ )[𝜏 (1+ 2∝ )−𝜏2(1+ 1∝ )]

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GRAFICA

http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t9.htm

GRAFICAMOS

X=1,0 = 2 = 3

X=1,0 = 2 = 1

X=1,0 = 1 = 2

1.

f ( x ,∝ ,𝜃 )=∝ t∝−1

𝜃𝛼 e−( t

𝜃)𝛼

2.

3.

1, X=1,0 = 2 = 3

2,X=1,0 = 2 = 1

3,X=1,0 = 1 = 2

EJERCICIOS

1. Suponga que la vida útil de cierto elemento es una variable aleatoria que tiene distribución Weibull con α = 0.5 y  λ= 0.01 . Calcular:

A. La vida media útil de ese artículo.

B. La variación de la vida útil.C. La probabilidad de que el

elemento dure más de 300 horas.

SOLUCIÓN

GRACIAS